Desarrollo de una lección de álgebra en la clase de perfil 11.

La lección fue impartida por el profesor de matemáticas de la escuela secundaria MBOU No. 6 Tupitsyna O.V.

Tema y número de lección en el tema:“Aplicación de varias transformaciones que conducen a una ecuación-consecuencia”, lección No. 7, 8 en el tema: “Ecuación-consecuencia”

Tema:Álgebra y los comienzos del análisis matemático - grado 11 (entrenamiento de perfil según el libro de texto de S.M. Nikolsky)

Tipo de lección: "sistematización y generalización de conocimientos y habilidades"

Tipo de lección: taller

El papel del maestro: dirigir la actividad cognitiva de los estudiantes para desarrollar la capacidad de aplicar el conocimiento de forma independiente en un complejo para seleccionar el método o métodos de transformación deseados, lo que lleva a una ecuación: una consecuencia y aplicación del método para resolver la ecuación, en nuevas condiciones.

Equipo técnico requerido:equipo multimedia, cámara web.

La lección utilizada:

1. modelo didáctico de aprendizaje- crear una situación problemática,
2. medios pedagógicos- hojas que indican módulos de formación, una selección de tareas para resolver ecuaciones,
3. tipo de actividad estudiantil- grupo (los grupos se forman en las lecciones - "descubrimientos" de nuevos conocimientos, lecciones No. 1 y 2 de estudiantes con diferentes grados de aprendizaje y aprendizaje), resolución de problemas conjunta o individual,
4. tecnologías educativas orientadas a la personalidad: formación modular, aprendizaje basado en problemas, métodos de búsqueda e investigación, diálogo colectivo, método de actividad, trabajo con un libro de texto y varias fuentes,
5. tecnologías que salvan la salud- para aliviar el estrés, se realiza educación física,
6. competencias:

- educativo y cognitivo en el nivel básico- los estudiantes conocen el concepto de una ecuación - una consecuencia, la raíz de una ecuación y los métodos de transformación que conducen a una ecuación - una consecuencia, son capaces de encontrar las raíces de las ecuaciones y realizar su verificación a un nivel productivo;

- en un nivel avanzado- los estudiantes pueden resolver ecuaciones utilizando métodos de transformación bien conocidos, verificar las raíces de las ecuaciones utilizando el área de valores admisibles de las ecuaciones; calcular logaritmos usando propiedades basadas en exploración; informativo - los estudiantes buscan, extraen y seleccionan de forma independiente la información necesaria para resolver problemas educativos en fuentes de varios tipos.

Objetivo didáctico:

creando condiciones para:

Formación de ideas sobre ecuaciones - consecuencias, raíces y métodos de transformación;

Formación de la experiencia de creación de sentido a partir de una consecuencia lógica de los métodos de transformación de ecuaciones previamente estudiados: elevar una ecuación a una potencia par, potenciar ecuaciones logarítmicas, liberar una ecuación de denominadores, traer términos semejantes;

Consolidación de habilidades para determinar la elección del método de transformación, resolver aún más la ecuación y elegir las raíces de la ecuación;

Dominar las habilidades de plantear un problema sobre la base de información conocida y aprendida, formulando solicitudes para averiguar lo que aún no se sabe;

Formación de intereses cognitivos, habilidades intelectuales y creativas de los estudiantes;

Desarrollo del pensamiento lógico, actividad creativa de los estudiantes, habilidades de proyecto, la capacidad de expresar sus pensamientos;

Formación de un sentido de tolerancia, ayuda mutua cuando se trabaja en grupo;

Despertar el interés por la solución independiente de ecuaciones;

Tareas:

Organizar la repetición y sistematización de conocimientos sobre cómo transformar ecuaciones;

- asegurar el dominio de los métodos para resolver ecuaciones y verificar sus raíces;

- promover el desarrollo del pensamiento analítico y crítico de los estudiantes; comparar y elegir métodos óptimos para resolver ecuaciones;

- crear condiciones para el desarrollo de habilidades de investigación, habilidades de trabajo en grupo;

Motivar a los estudiantes a utilizar el material estudiado para prepararse para el examen;

Analice y evalúe su trabajo y el de sus compañeros en el desempeño de este trabajo.

Resultados previstos:

*personal:

Habilidades de establecer una tarea basada en información conocida y aprendida, generando solicitudes para averiguar lo que aún no se sabe;

La capacidad de elegir las fuentes de información necesarias para resolver el problema; desarrollo de intereses cognitivos, habilidades intelectuales y creativas de los estudiantes;

El desarrollo del pensamiento lógico, la actividad creativa, la capacidad de expresar los propios pensamientos, la capacidad de construir argumentos;

Autoevaluación de los resultados del desempeño;

Habilidades de trabajo en equipo;

*metasujeto:

La capacidad de resaltar lo principal, comparar, generalizar, hacer una analogía, aplicar métodos inductivos de razonamiento, presentar hipótesis al resolver ecuaciones,

Capacidad para interpretar y aplicar los conocimientos adquiridos en preparación para el examen;

*tema:

Conocimiento sobre cómo transformar ecuaciones,

La capacidad de establecer un patrón asociado con varios tipos de ecuaciones y usarlo para resolver y seleccionar raíces,

Integración de los objetivos de la lección:

1. (para el docente) Formación en los estudiantes de una visión holística de las formas de transformar ecuaciones y métodos para resolverlas;
2. (para estudiantes) Desarrollo de la capacidad de observar, comparar, generalizar, analizar situaciones matemáticas asociadas con tipos de ecuaciones que contienen varias funciones. Preparación para el examen.

Etapa I de la lección:

Actualización de conocimientos para aumentar la motivación en el campo de aplicación de diversos métodos de transformación de ecuaciones (diagnósticos de entrada)

La etapa de actualización de conocimientos.llevado a cabo en forma de un trabajo de prueba con autocomprobación. Se proponen tareas de desarrollo, basadas en el conocimiento adquirido en lecciones anteriores, que requieren actividad mental activa de los estudiantes y necesarias para completar la tarea en esta lección.

Trabajo de verificación

1. Elija ecuaciones que requieran la restricción de incógnitas en el conjunto de todos los números reales:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Especificar el rango de valores válidos de cada ecuación donde existen restricciones.

(3) Elija un ejemplo de tal ecuación, donde la transformación puede causar la pérdida de la raíz (utilice los materiales de las lecciones anteriores sobre este tema).

Todos verifican las respuestas de forma independiente de acuerdo con las que ya están resaltadas en la pantalla. Se analizan las tareas más difíciles y los estudiantes prestan especial atención a los ejemplos a, c, g, h, donde existen restricciones.

Se extraen conclusiones de que al momento de resolver ecuaciones es necesario determinar el rango de valores que permite la ecuación o verificar las raíces para evitar valores extraños. Se repiten los métodos previamente estudiados de transformación de ecuaciones que conducen a una ecuación - una consecuencia. Es decir, los estudiantes están así motivados para encontrar la forma correcta de resolver la ecuación propuesta por ellos en un trabajo posterior.

II etapa de la lección:

Aplicación práctica de sus conocimientos, habilidades y destrezas en la resolución de ecuaciones.

A los grupos se les entregan fichas con un módulo recopilado sobre los temas de este tema. El módulo incluye cinco elementos de aprendizaje, cada uno de los cuales está dirigido a realizar ciertas tareas. Los estudiantes con diferentes grados de aprendizaje y aprendizaje determinan de forma independiente el alcance de sus actividades en la lección, pero dado que todos trabajan en grupos, hay un proceso continuo de ajuste de conocimientos y habilidades, tirando a los que están rezagados a obligatorios, otros a avanzados y avanzados. niveles creativos.

En medio de la lección, se lleva a cabo un minuto físico obligatorio.

Nº de elemento educativo	Elemento educativo con tareas.	Guía para el desarrollo de material educativo.
UE-1	Propósito: Determinar y justificar los principales métodos de resolución de ecuaciones basados ​​en las propiedades de las funciones. Ejercicio: Especifique el método de transformación para resolver las siguientes ecuaciones: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = sen x. 2) Tarea: Resuelve al menos dos de las ecuaciones propuestas. Describe qué métodos se usaron en las ecuaciones resueltas.	Cláusula 7.3 p.212 Cláusula 7.4 p.214 Cláusula 7.5 p.217 Cláusula 7.2 página 210
UE-2	Propósito: Dominar técnicas y métodos racionales para resolver Ejercicio: Dé ejemplos de las ecuaciones anteriores o autoseleccionadas (use materiales de lecciones anteriores) que se pueden resolver usando métodos racionales de solución, ¿cuáles son? (énfasis en la forma de comprobar las raíces de la ecuación)
UE-3	Propósito: Utilizar los conocimientos adquiridos en la resolución de ecuaciones de alto nivel de complejidad Ejercicio: = (o ( = (	Cláusula 7.5
UE-4	Establecer el nivel de dominio del tema: bajo - solución de no más de 2 ecuaciones; Medio - solución de no más de 4 ecuaciones; alto - solución de no más de 5 ecuaciones
UE-5	Control de salida: Haz una tabla en la que presentes todas las formas que usas para transformar ecuaciones y para cada forma escribe ejemplos de las ecuaciones que resolviste, comenzando desde la lección 1 del tema: "Ecuaciones - consecuencias"	Resúmenes en cuadernos

III etapa de la lección:

Trabajo de diagnóstico de salida, que representa la reflexión de los estudiantes, que mostrará la preparación no solo para escribir una prueba, sino también para el examen en esta sección.

Al final de la lección, todos los alumnos, sin excepción, se evalúan a sí mismos, luego viene la evaluación del profesor. Si surgen desacuerdos entre el profesor y el alumno, el profesor puede ofrecer una tarea adicional al alumno para poder evaluarla objetivamente. Tareas para el hogardirigido a la revisión del material antes del trabajo de control.

Esta presentación se puede usar al realizar una lección de álgebra y comenzar el análisis en el grado 11 al estudiar el tema "Ecuaciones - consecuencias" de acuerdo con los materiales didácticos de los autores S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

Ver el contenido del documento
“Ecuaciones de consecuencia. Otras transformaciones que conducen al corolario de la ecuación"

ECUACIONES - CONSECUENCIAS

TRABAJO ORAL

• ¿Qué ecuaciones se llaman ecuaciones corolarias?
• Lo que se llama la transición a la ecuación de consecuencia.
• ¿Qué transformaciones conducen a la ecuación corolario?

TRABAJO ORAL

• √x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

sin soluciones

sin soluciones

TRABAJO ORAL

sin soluciones

Transformaciones que conducen a la ecuación corolario

transformación

Influencia en las raíces de la ecuación

Elevar una ecuación a una potencia PAR

f(x)=g(x) (f(x)) norte =(g(x)) norte

Potenciación de ecuaciones logarítmicas, es decir reemplazo:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= gramo(X)

Puede conducir a raíces extrañas

Liberando la ecuación de los denominadores:

Puede provocar la aparición de raíces extrañas, p. aquellos números x i para los cuales o

Reemplazando la diferencia f(x)-f(x) por cero, es decir reducción de términos similares

Puede provocar la aparición de raíces extrañas, p. aquellos números para cada uno de los cuales la función f(x) no está definida.

Si, al resolver esta ecuación, se realiza una transición a la ecuación de consecuencia, entonces es necesario verificar si todas las raíces de la ecuación de consecuencia son las raíces de la ecuación original.

Verificar las raíces obtenidas es una parte obligatoria para resolver la ecuación.

№ 8.2 2 (a) Resuelve la ecuación :

2) Nº 8.23(a)

№ 8.24 (a, c) Resuelve la ecuación :

№ 8.25 (a, c) Resuelve la ecuación :

№ 8.28 (a, c) Resuelve la ecuación :

№ 8.29 (a, c) Resuelve la ecuación :

TAREAS PARA EL HOGAR

• Corrida No. 8.24 (b, d), página 236
• Nº 8.25(b, d)
• 8.28 (b, d)
• 8.29 (b, d)

Clase: 11

Duración: 2 lecciones

El propósito de la lección:

• (para profesor) la formación de una visión holística de los métodos para resolver ecuaciones irracionales entre los estudiantes.
• (para estudiantes) Desarrollo de la capacidad de observar, comparar, generalizar, analizar situaciones matemáticas (diapositiva 2). Preparación para el examen.

Plan de la primera lección(diapositiva 3)

1. Actualización de conocimientos
2. Análisis de la teoría: Elevando una ecuación a una potencia par
3. Taller de resolución de ecuaciones.

Plan de la segunda lección.

1. Trabajo independiente diferenciado en grupos "Ecuaciones irracionales en el examen"
2. Resumen de lecciones
3. Tareas para el hogar

Curso de lecciones

I. Actualización de conocimientos

Objetivo: repetir los conceptos necesarios para el desarrollo exitoso del tema de la lección.

encuesta frontal.

¿Qué dos ecuaciones se dice que son equivalentes?

¿Qué transformaciones de la ecuación se llaman equivalentes?

- Reemplace esta ecuación por una equivalente con una explicación de la transformación aplicada: (diapositiva 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

¿Qué ecuación se llama la ecuación-consecuencia de la ecuación original?

– ¿Puede la ecuación de consecuencia tener una raíz que no sea la raíz de la ecuación original? ¿Cómo se llaman estas raíces?

– ¿Qué transformaciones de la ecuación conducen a las consecuencias de la ecuación?

¿Qué es una raíz cuadrada aritmética?

Detengámonos hoy con más detalle en la transformación "Elevar una ecuación a una potencia par".

II. Análisis de la teoría: Elevando una ecuación a una potencia par

Explicación del profesor con la participación activa de los alumnos:

Vamos 2m(mN) es un número natural par fijo. Entonces la consecuencia de la ecuaciónF(x) =gramo(x) es la ecuación (F(x)) = (gramo(X)).

Muy a menudo, esta declaración se usa para resolver ecuaciones irracionales.

Definición. Una ecuación que contiene la incógnita bajo el signo de la raíz se llama irracional.

Al resolver ecuaciones irracionales, se utilizan los siguientes métodos: (diapositiva 5)

¡Atención! Los métodos 2 y 3 requieren obligatorio cheques

ODZ no siempre ayuda a eliminar las raíces extrañas.

Conclusión: al resolver ecuaciones irracionales, es importante pasar por tres etapas: técnica, análisis de solución, verificación (diapositiva 6).

tercero Taller de resolución de ecuaciones.

Resuelve la ecuación:

Después de discutir cómo resolver la ecuación elevando al cuadrado, resuelve pasando a un sistema equivalente.

Conclusión: la solución de las ecuaciones más simples con raíces enteras puede llevarse a cabo por cualquier método familiar.

b) \u003d x - 2

Resolviendo elevando ambas partes de la ecuación a la misma potencia, los estudiantes obtienen las raíces x = 0, x = 3 -, x = 3 +, que son difíciles y requieren mucho tiempo para verificar por sustitución. (Diapositiva 7). Transición a un sistema equivalente

le permite deshacerse rápidamente de raíces extrañas. La condición x ≥ 2 es satisfecha solo por x.

Respuesta: 3+

Conclusión: Es mejor comprobar las raíces irracionales pasando a un sistema equivalente.

c) \u003d x - 3

En el proceso de resolver esta ecuación, obtenemos dos raíces: 1 y 4. Ambas raíces satisfacen el lado izquierdo de la ecuación, pero para x \u003d 1, se viola la definición de la raíz cuadrada aritmética. La ecuación ODZ no ayuda a eliminar raíces extrañas. La transición a un sistema equivalente da la respuesta correcta.

Conclusión:un buen conocimiento y comprensión de todas las condiciones para determinar la raíz cuadrada aritmética ayuda a pasar arealizando transformaciones equivalentes.

Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos la ecuación

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, separando el radical al lado derecho, obtenemos

26 - x + x \u003d 8. La aplicación de pasos adicionales para elevar al cuadrado ambas partes de la ecuación conducirá a una ecuación de cuarto grado. La transición a la ecuación ODZ da un buen resultado:

encontrar la ecuación ODZ:

x = 3.

Compruebe: - 4 = , 0 = 0 es correcto.

Conclusión:a veces es posible llevar a cabo una solución utilizando la definición de la ecuación ODZ, pero asegúrese de comprobar.

Solución: Ecuación ODZ: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

Para x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación es negativo y el lado derecho no es negativo; entonces la ecuación original no tiene raíces.

Respuesta: sin raíces.

Conclusión:habiendo hecho el razonamiento correcto sobre la restricción en la condición de la ecuación, puede encontrar fácilmente las raíces de la ecuación, o establecer que no existen.

Usando el ejemplo de resolver esta ecuación, muestre el doble cuadrado de la ecuación, explique el significado de la frase "soledad de los radicales" y la necesidad de verificar las raíces encontradas.

h) + = 1.

La solución de estas ecuaciones se realiza por el método de cambio de variable hasta el retorno a la variable original. Termine la decisión de ofrecer antes a quienes se encargarán de las tareas de la siguiente etapa.

preguntas de examen

• ¿Cómo resolver las ecuaciones irracionales más simples?
• ¿Qué se debe recordar al elevar una ecuación a una potencia par? ( pueden aparecer raíces extrañas)
• ¿Cuál es la mejor manera de comprobar las raíces irracionales? ( usando la ODZ y las condiciones para la coincidencia de los signos de ambas partes de la ecuación)
• ¿Por qué es necesario poder analizar situaciones matemáticas al resolver ecuaciones irracionales? ( Para la elección correcta y rápida de un método para resolver una ecuación).

IV. Trabajo independiente diferenciado en grupos "Ecuaciones irracionales en el examen"

La clase se divide en grupos (2-3 personas cada uno) según los niveles de formación, cada grupo elige una opción con una tarea, discute y resuelve las tareas seleccionadas. Cuando sea necesario, comuníquese con el maestro para obtener asesoramiento. Después de completar todas las tareas de su versión y verificar las respuestas por parte del profesor, los miembros del grupo completan individualmente la solución de las ecuaciones g) yh) de la etapa anterior de la lección. Para las opciones 4 y 5 (después de verificar las respuestas y la decisión del maestro), se escriben tareas adicionales en la pizarra, que se realizan individualmente.

Todas las soluciones individuales al final de las lecciones se entregan al profesor para su verificación.

Opción 1

Resuelve las ecuaciones:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Opción 5

1. Resuelve la ecuación:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Resuelve el sistema de ecuaciones:

Tareas adicionales:

v. Resumen de lecciones

¿Qué dificultades experimentó para completar las tareas del examen? ¿Qué se necesita para superar estas dificultades?

VI. Tareas para el hogar

Repita la teoría de resolver ecuaciones irracionales, lea el párrafo 8.2 en el libro de texto (preste atención al ejemplo 3).

Resuelva No. 8.8 (a, c), No. 8.9 (a, c), No. 8.10 (a).

Literatura:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra y comienzo del análisis matemático. , libro de texto para el grado 11 de instituciones educativas, M .: Educación, 2009.
2. Mordkovich A.G. Sobre algunas cuestiones metodológicas relacionadas con la solución de ecuaciones. Matemáticas en la escuela. -2006. -Numero 3.
3. M. Shabunin. Ecuaciones. Conferencias para estudiantes de secundaria y entrantes. Moscú, "Chistye Prudy", 2005. (biblioteca "Primero de septiembre")
4. ES Balayán. Taller de resolución de problemas. Ecuaciones irracionales, desigualdades y sistemas. Rostov del Don, "Phoenix", 2006.
5. Matemáticas. Preparación para el examen-2011. Editado por F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov Legion-M, Rostov del Don, 2010.

Algunas transformaciones nos permiten pasar de la ecuación que se está resolviendo a ecuaciones equivalentes, así como a ecuaciones de consecuencia, lo que simplifica la solución de la ecuación original. En este material, le diremos cuáles son estas ecuaciones, formularemos las definiciones principales, las ilustraremos con ejemplos ilustrativos y explicaremos cómo se calculan exactamente las raíces de la ecuación original a partir de las raíces de la ecuación de consecuencia o una ecuación equivalente.

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El concepto de ecuaciones equivalentes

Definición 1

Equivalente Se llaman ecuaciones a aquellas que tienen las mismas raíces, o aquellas en las que no hay raíces.

Las definiciones de este tipo se encuentran a menudo en varios libros de texto. Demos algunos ejemplos.

Definición 2

La ecuación f (x) = g (x) se considera equivalente a la ecuación r (x) = s (x) si tienen las mismas raíces o si ambas no tienen raíces.

Definición 3

Las ecuaciones con las mismas raíces se consideran equivalentes. Además, se consideran dos ecuaciones que igualmente no tienen raíces.

Definición 4

Si la ecuación f (x) \u003d g (x) tiene el mismo conjunto de raíces que la ecuación p (x) \u003d h (x), entonces se consideran equivalentes entre sí.

Cuando hablamos de un conjunto coincidente de raíces, queremos decir que si cierto número es la raíz de una ecuación, entonces se ajustará como solución a otra ecuación. Ninguna de las ecuaciones que son equivalentes puede tener una raíz que no sea adecuada para la otra.

Damos varios ejemplos de tales ecuaciones.

Ejemplo 1

Por ejemplo, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 yx \u003d 2 serán equivalentes, ya que cada uno de ellos tiene solo una raíz: dos. Además, x · 0 = 0 y 2 + x = x + 2 serán equivalentes, ya que sus raíces pueden ser cualquier número, es decir, los conjuntos de sus soluciones son iguales. Las ecuaciones x = x + 5 y x 4 = − 1 también serán equivalentes, ninguna de las cuales tiene solución.

Para mayor claridad, considere varios ejemplos de ecuaciones no equivalentes.

Ejemplo 2

Por ejemplo, x = 2 y x 2 = 4 serán, porque sus raíces son diferentes. Lo mismo se aplica a las ecuaciones x x \u003d 1 y x 2 + 5 x 2 + 5, porque en el segundo la solución puede ser cualquier número, y en el segundo la raíz no puede ser 0.

Las definiciones dadas anteriormente también son adecuadas para ecuaciones con varias variables, sin embargo, en el caso cuando estamos hablando de dos, tres o más raíces, la expresión "solución de la ecuación" es más apropiada. Así, para resumir: las ecuaciones equivalentes son aquellas ecuaciones que tienen las mismas soluciones o ninguna.

Tomemos ejemplos de ecuaciones que contienen varias variables y son equivalentes entre sí. Entonces, x 2 + y 2 + z 2 = 0 y 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 incluyen tres variables cada uno y tienen solo una solución igual a 0 en los tres casos. Y el par de ecuaciones x + y = 5 y x y = 1 no serán equivalentes entre sí, ya que, por ejemplo, los valores 5 y 3 son adecuados para la primera, pero no serán solución para la segundo: al sustituirlos en la primera ecuación, obtenemos la igualdad correcta, y en el segundo, falso.

El concepto de ecuaciones corolarias

Citemos varios ejemplos de definiciones de ecuaciones corolarias tomadas de libros de texto.

Definición 5

La consecuencia de la ecuación f (x) = g (x) será la ecuación p (x) = h (x), siempre que cada raíz de la primera ecuación sea a la vez raíz de la segunda.

Definición 6

Si la primera ecuación tiene las mismas raíces que la segunda, entonces la segunda será consecuencia de la primera.

Tomemos algunos ejemplos de tales ecuaciones.

Ejemplo 3

Entonces, x 2 = 32 será consecuencia de x - 3 = 0, ya que el primero tiene una sola raíz igual a tres, y también será la raíz de la segunda ecuación, por lo que en el contexto de esta definición, una ecuación será consecuencia de otro. Otro ejemplo: la ecuación (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 será consecuencia de x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 porque la segunda ecuación tiene dos raíces, iguales a 2 y 3, que a su vez serán raíces de la primera.

De la definición anterior, podemos concluir que cualquier ecuación que no tenga raíces también será consecuencia de cualquier ecuación. He aquí algunas otras consecuencias de todas las reglas formuladas en este artículo:

Definición 7

1. Si una ecuación es equivalente a otra, entonces cada una de ellas será consecuencia de la otra.
2. Si de dos ecuaciones cada una es consecuencia de la otra, entonces estas ecuaciones serán equivalentes entre sí.
3. Las ecuaciones serán equivalentes entre sí sólo si cada una de ellas es consecuencia de la otra.

Cómo encontrar las raíces de una ecuación a partir de las raíces de una ecuación de consecuencia o una ecuación equivalente

Según lo que escribimos en las definiciones, entonces, en el caso de que conozcamos las raíces de una ecuación, también conocemos las raíces de las equivalentes, ya que coincidirán.

Si conocemos todas las raíces de la ecuación de consecuencia, entonces podemos determinar las raíces de la segunda ecuación, de la cual es una consecuencia. Para hacer esto, solo necesita eliminar las raíces extrañas. Escribimos un artículo separado sobre cómo se hace esto. Le recomendamos que lo lea.

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Para estudiar el tema de hoy, necesitamos repetir qué ecuación se llama ecuación-consecuencia, qué teoremas son "inquietos" y en qué pasos consiste la solución de cualquier ecuación.

Definición. Si cada raíz de la ecuación ef de x es igual a x (lo denotamos con el número uno) es al mismo tiempo la raíz de la ecuación pe de x, igual a la ceniza de x (lo denotamos con el número dos) , entonces la ecuación dos se llama consecuencia de la ecuación uno.

Teorema cuatro. Si ambos lados de la ecuación ef de x es igual a la misma de x, multiplique por la misma expresión ceniza de x, que es:

Primero, tiene sentido en todas partes en el dominio de definición (en el rango de valores admisibles) de la ecuación eff de x, que es igual a de x.

En segundo lugar, en ninguna parte de esta región desaparece, entonces obtenemos la ecuación ef de x, multiplicado por la ceniza de x es igual a x, multiplicado por la ceniza de x, equivalente a la dada en su DPV.

Consecuencia teorema cuatro es otra declaración "tranquila": si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, entonces se obtiene una ecuación que es equivalente a la dada.

Teorema cinco. Si ambos lados de la ecuación

ef de x es igual a x no es negativo en la ecuación ODZ, luego de elevar ambas partes a la misma potencia par n, la ecuación eff de x a la potencia de x es igual ax a la potencia de x, equivalente a esta ecuación en su o de ze.

Teorema seis. Sea a mayor que cero, y no igual a uno, y ef de x mayor que cero,

zhe de x es mayor que cero, la ecuación tolologarítmica es el logaritmo de ef de x en base a, igual al logaritmo de zhe de x en base a,

es equivalente a la ecuación ef de x es lo mismo que de x .

Como ya hemos dicho, la solución de cualquier ecuación se produce en tres etapas:

La primera etapa es técnica. Con la ayuda de una cadena de transformaciones de la ecuación original, llegamos a una ecuación bastante simple, que resolvemos y encontramos las raíces.

La segunda etapa es el análisis de la solución. Analizamos las transformaciones que realizamos y averiguamos si son equivalentes.

La tercera etapa es la verificación. Verificar todas las raíces encontradas sustituyéndolas en la ecuación original es obligatorio cuando se realizan transformaciones que pueden conducir a una ecuación de consecuencia.

En esta lección, descubriremos, al aplicar, ¿qué transformaciones pasa esta ecuación a una ecuación de consecuencia? Considere las siguientes tareas.

Ejercicio 1

¿Qué ecuación es una consecuencia de la ecuación x menos tres es igual a dos?

Solución

La ecuación x menos tres es igual a dos tiene una sola raíz: x es igual a cinco. Multiplique ambos lados de esta ecuación por la expresión x menos seis, agregue los términos semejantes y obtenga la ecuación cuadrática x cuadrado menos once x más treinta es igual a cero. Calculemos sus raíces: x el primero es igual a cinco; x segundo es igual a seis. Ya contiene dos raíces. La ecuación x cuadrado menos once x más treinta es igual a cero contiene una sola raíz: x es igual a cinco; de la ecuación x menos tres es igual a dos, entonces x al cuadrado menos once x más treinta es una consecuencia de la ecuación x menos tres es igual a dos.

Tarea 2

¿Qué otra ecuación es consecuencia de la ecuación x-3=2?

Solución

En la ecuación x menos tres es igual a dos, elevamos al cuadrado ambas partes, aplicamos la fórmula para el cuadrado de la diferencia, sumamos los términos semejantes, obtenemos la ecuación cuadrática x al cuadrado menos seis, x más cinco es igual a cero.

Calculemos sus raíces: x la primera es igual a cinco, x la segunda es igual a uno.

La raíz x igual a uno es ajena a la ecuación x menos tres igual a dos. Esto sucedió porque ambos lados de la ecuación original estaban elevados al cuadrado (una potencia par). Pero al mismo tiempo, su lado izquierdo - x menos tres - puede ser negativo (condiciones teorema cinco). Entonces la ecuación x cuadrado menos seis x más cinco igual a cero es una consecuencia de la ecuación x menos tres igual a dos.

Tarea 3

Encuentre el corolario de la ecuación para la ecuación

el logaritmo de x más uno en base tres más el logaritmo de x más tres en base tres es igual a uno.

Solución

Representamos la unidad como el logaritmo de tres en base tres, potenciamos la ecuación logarítmica, realizamos la multiplicación, sumamos términos semejantes y obtenemos la ecuación cuadrática x al cuadrado más cuatro x igual a cero. Calculemos sus raíces: x la primera es igual a cero, x la segunda es igual a menos cuatro. La raíz x es igual a menos cuatro es extraña para la ecuación logarítmica, ya que cuando se sustituye en la ecuación logarítmica, las expresiones x más uno y x más tres toman valores negativos: se violan las condiciones. teorema seis.

Entonces la ecuación x al cuadrado más cuatro x igual a cero es una consecuencia de esta ecuación.

Con base en la solución de estos ejemplos, podemos hacer conclusión:la ecuación de consecuencia se obtiene de la ecuación dada expandiendo el dominio de la ecuación. Y esto es posible cuando se realizan transformaciones como

1) deshacerse de los denominadores que contienen una variable;

2) elevando ambas partes de la ecuación a la misma potencia par;

3) exención de signos de logaritmos.

Recuerde Si en el proceso de resolver la ecuación, el dominio de definición de la ecuación se ha expandido, entonces es necesario verificar todas las raíces encontradas.

Tarea 4

Resuelve la ecuación x menos tres dividido por x menos cinco más uno dividido por x es igual a x más cinco dividido por x por x menos cinco.

Solución

La primera etapa es técnica.

Realicemos una cadena de transformaciones, obtengamos la ecuación más simple y resolvámosla. Para ello, multiplicamos ambas partes de la ecuación por un denominador común de fracciones, es decir, por la expresión x multiplicada por xmenos cinco.

Obtenemos la ecuación cuadrática x cuadrado menos tres x menos diez es igual a cero. Calculemos las raíces: x la primera es igual a cinco, x la segunda es igual a menos dos.

La segunda etapa es el análisis de la solución.

Al resolver la ecuación, multiplicamos ambas partes por una expresión que contiene una variable. Esto significa que el dominio de definición de la ecuación se ha expandido. Por lo tanto, se requiere verificar las raíces.

La tercera etapa es la verificación.

Cuando x es igual a menos dos, el común denominador no desaparece. Entonces x es igual a menos dos es la raíz de esta ecuación.

Cuando x es igual a cinco, el común denominador es cero. Por lo tanto, x es igual a cinco, una raíz extraña.

Respuesta: menos dos.

Tarea 5

Resuelve la ecuación raíz cuadrada de x menos seis es igual a raíz cuadrada de cuatro menos x.

Solución

La primera etapa es técnica. .

Para obtener una ecuación sencilla y resolverla, realizamos una cadena de transformaciones.

Elevemos al cuadrado (una potencia par) ambas partes de esta ecuación, muevamos las x al lado izquierdo y los números al lado derecho de la ecuación, traigamos términos semejantes, obtenemos: dos x es igual a diez. X es igual a cinco.

La segunda etapa es el análisis de la solución.

Verifiquemos la equivalencia de las transformaciones realizadas.

Al resolver una ecuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la misma. Esto significa que el dominio de definición de la ecuación se ha expandido. Por lo tanto, se requiere verificar las raíces.

La tercera etapa es la verificación.

Sustituimos las raíces encontradas en la ecuación original.

Si x es igual a cinco, la expresión raíz cuadrada de cuatro menos x no está definida, por lo que x igual a cinco es una raíz extraña. Entonces esta ecuación no tiene raíces.

Respuesta: La ecuación no tiene raíces.

Tarea 6

Resuelve la ecuación El logaritmo natural de x al cuadrado más dos x menos siete es igual al logaritmo natural de x menos uno.

Solución

La primera etapa es técnica. .

Realicemos una cadena de transformaciones, obtengamos la ecuación más simple y resolvámosla. Para ello potenciamos

ecuación, trasladamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, traemos términos similares, obtenemos una ecuación cuadrática x cuadrado más x menos seis es igual a cero. Calculemos las raíces: x la primera es igual a dos, x la segunda es igual a menos tres.

La segunda etapa es el análisis de la solución.

Verifiquemos la equivalencia de las transformaciones realizadas.

En el proceso de resolver esta ecuación, nos deshicimos de los signos de los logaritmos. Esto significa que el dominio de definición de la ecuación se ha expandido. Por lo tanto, se requiere verificar las raíces.

La tercera etapa es la verificación.

Sustituimos las raíces encontradas en la ecuación original.

Si x es igual a dos, entonces obtenemos que el logaritmo natural de la unidad es igual al logaritmo natural de la unidad -

igualdad correcta.

Por lo tanto, x igual a dos es la raíz de esta ecuación.

Si x es menos tres, entonces el logaritmo natural de x al cuadrado más dos x menos siete y el logaritmo natural de x menos uno no están definidos. Entonces x igual a menos tres es una raíz extraña.

Respuesta: dos.

¿Es siempre necesario distinguir tres etapas al resolver una ecuación? ¿De qué otra manera puedes verificar?

Obtendremos respuestas a estas preguntas en la próxima lección.