Vektory lze graficky znázornit směrovými úsečkami. Délka se volí v určitém měřítku k označení velikost vektoru a směr segmentu představuje vektorový směr . Pokud například předpokládáme, že 1 cm představuje 5 km/h, pak bude severovýchodní vítr o rychlosti 15 km/h reprezentován směrovou čárou o délce 3 cm, jak je znázorněno na obrázku.

Vektor v rovině je to směrovaný segment. Dva vektory rovnat se pokud to mají stejně hodnota A směr.

Uvažujme vektor nakreslený z bodu A do bodu B. Bod se nazývá výchozí bod vektor a nazývá se bod B koncový bod. Symbolický zápis tohoto vektoru je (čteno jako „vektor AB“). Vektory jsou také označeny tučnými písmeny, například U, V a W. Čtyři vektory na obrázku vlevo mají stejnou délku a směr. Proto prezentují rovnat se větry; to znamená,

V kontextu vektorů používáme = k označení jejich rovnosti.

délka, popř velikost vyjádřeno jako ||. Abychom určili, zda jsou vektory stejné, zjistíme jejich velikosti a směry.

Příklad 1 Vektory u, , w jsou znázorněny na obrázku níže. Dokažte, že u = w.

Řešení Nejprve zjistíme délku každého vektoru pomocí vzorce vzdálenosti:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Odtud
|u| = | = |w|.
Zdá se, že vektory u, a w, jak můžete vidět z obrázku, mají stejný směr, ale zkontrolujeme jejich sklon. Pokud čáry, na kterých jsou, mají stejný sklon, pak mají vektory stejný směr. Vypočítejte sklony:
Protože u, a w mají stejnou velikost a stejný směr,
u = w.

Mějte na paměti, že stejné vektory vyžadují pouze stejnou velikost a stejný směr, nikoli na stejném místě. Nejvyšší obrázek je příkladem rovnosti vektorů.

Předpokládejme, že člověk udělá 4 kroky na východ a pak 3 kroky na sever. Osoba bude poté 5 kroků od výchozího bodu ve směru znázorněném vlevo. Vektor 4 jednotky dlouhý a se správným směrem představuje 4 kroky na východ a vektor 3 jednotky dlouhý nahoru představuje 3 kroky na sever. Součet z těchto dvou vektorů je vektor o velikosti 5 kroků a ve znázorněném směru. Částka je také tzv výsledný dva vektory.

Obecně platí, že dva nenulové vektory u a v lze geometricky přidat umístěním počátečního bodu vektoru v ke koncovému bodu vektoru u a poté nalezením vektoru, který má stejný počáteční bod jako vektor u a stejný koncový bod. jako vektor v, jak je znázorněno na obrázku níže.

Součet je vektor reprezentovaný nasměrovaným segmentem z bodu A vektoru u do koncového bodu C vektoru v. Pokud tedy u = a v = , pak
u+v=+=

Sčítání vektorů můžeme také popsat jako umístění počátečních bodů vektorů k sobě, sestavení rovnoběžníku a nalezení úhlopříčky rovnoběžníku. (obrázek níže.) Tento přídavek je někdy označován jako pravidlo rovnoběžníku přidání vektorů. Vektorové sčítání je komutativní. Jak je znázorněno na obrázku, oba vektory u + v a v + u jsou reprezentovány stejným směrovaným segmentem.

Jestliže dvě síly F 1 a F 2 působí na stejný objekt, výsledný síla je součet F 1 + F 2 těchto dvou samostatných sil.

Příklad Dvě síly 15 newtonů a 25 newtonů působí na stejný objekt navzájem kolmo. Najděte jejich součet neboli výslednou sílu a úhel, který svírá s větší silou.

Řešení Nakreslete podmínku problému, v tomto případě obdélník, pomocí v nebo k vyjádření výsledku. Abychom zjistili jeho hodnotu, použijeme Pythagorovu větu:
|v| 2 = 152 + 252 Zde |v| označuje délku nebo velikost v.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29.2.
Chcete-li najít směr, všimněte si, že protože OAB je pravý úhel,
tan8 = 15/25 = 0,6.
Pomocí kalkulačky najdeme θ, úhel, který svírá velká síla s čistou silou:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Výsledný má velikost 29,2 a úhel 31° s větší silou.

Piloti mohou korigovat směr svého letu, pokud je boční vítr. Vítr a rychlost letadla mohou být reprezentovány jako větry.

Příklad 3. Rychlost a směr letadla. Letoun se pohybuje po azimutu 100° rychlostí 190 km/h, přičemž rychlost větru je 48 km/h a jeho azimut je 220°. Najděte absolutní rychlost letadla a směr jeho pohybu s přihlédnutím k větru.

Řešení Nejprve si uděláme kresbu. Vítr je znázorněn a vektor rychlosti letadla je . Výsledný vektor rychlosti je v, součet dvou vektorů. Úhel θ mezi v a se nazývá úhel driftu .


Všimněte si, že COA = 100° - 40° = 60°. Potom je hodnota CBA také rovna 60° (opačné úhly rovnoběžníku jsou stejné). Protože součet všech úhlů rovnoběžníku je 360° a COB a OAB mají stejnou velikost, musí být každý 120°. Podle kosinové pravidlo v OAB, máme
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2,48,190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Potom |v| rovná se 218 km/h. Podle sinusové pravidlo ve stejném trojúhelníku,
48 /sinθ = 218 /hřích 120°,
nebo
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Potom θ = 11° na nejbližší celočíselný úhel. Absolutní rychlost je 218 km / h a směr jeho pohybu s přihlédnutím k větru: 100 ° - 11 ° nebo 89 °.

Je-li dán vektor w, můžeme najít dva další vektory u a v, jejichž součet je w. Nazývají se vektory u a v komponenty w a nazývá se proces jejich hledání rozklad nebo reprezentace vektoru jeho vektorovými složkami.

Když rozkládáme vektor, obvykle hledáme kolmé složky. Velmi často však bude jedna součást rovnoběžná s osou x a druhá s osou y. Proto se často nazývají horizontální A vertikální vektorové složky. Na obrázku níže je vektor w = rozložen jako součet u = a v = .

Horizontální složka w je u a vertikální složka je v.

Příklad 4 Vektor w má velikost 130 a sklon 40° vzhledem k horizontále. Rozložte vektor na horizontální a vertikální složky.

Řešení Nejprve nakreslíme obrázek s horizontálními a vertikálními vektory u a v, jejichž součet je w.

Z ABC najdeme |u| a |v| pomocí definic kosinus a sinus:
cos40° = |u|/130 nebo |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 nebo |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Potom je vodorovná složka w 100 doprava a svislá složka w je 84 směrem nahoru.

"Geometrie "Oblast lichoběžníku"" - Přemýšlejte. Oblast lichoběžníku. AH=. 1. AD = 4 cm.Základna. Najděte oblast lichoběžníku ABCD. Najděte oblast obdélníkového lichoběžníku. Geometrie. Zopakujte důkaz věty. Rozdělte mnohoúhelník na trojúhelníky. Problém s řešením.

"Určení osové symetrie" - Sestavte body A "a B". Osová symetrie. Postava. Chybí souřadnice. Budování segmentu. Úsečka. Osa symetrie. Symetrie v poezii. Konstrukce trojúhelníku. Body, které leží na stejné kolmici. Budování bodu. Symetrie. Trojúhelníky. Sestavte trojúhelníky. Nakreslete bod. Vykreslete body. Obrazce s jednou osou symetrie. Rovný. Postavy se dvěma osami symetrie. Symetrie v přírodě.

"Čtyřúhelníky, jejich znaky a vlastnosti" - Testy. Rohy kosočtverce. Obdélník se všemi stranami stejnými. Typy čtyřúhelníků. Seznamte se s typy čtyřúhelníků. Čtyřúhelník, jehož vrcholy jsou ve středních bodech stran. Čtyřúhelníky. Čtyřúhelníky, jejich znaky a vlastnosti. Trapéz. Rovnoběžník. Vlastnosti rovnoběžníku. Úhlopříčky. Které dva stejné trojúhelníky mohou tvořit čtverec? Obdélník. Náměstí. Typy lichoběžníku.

"Věta o vepsaném úhlu" - Studium nového materiálu. Kruhy se protínají. Odpovědět. Aktualizace znalostí studentů. Zkontroluj se. Poloměr kruhu. Správná odpověď. Poloměr kruhu je 4 cm Zpevnění studovaného materiálu. Ostrý roh. Najděte úhel mezi tětivami. Trojúhelník. Věta o vepsaném úhlu. Pojem vepsaného úhlu. Najděte mezi nimi úhel. Jak se nazývá úhel s vrcholem ve středu kružnice? Řešení. Aktualizace znalostí.

"Konstrukce tečny ke kružnici" - Kruh. Vzájemné uspořádání přímky a kruhu. Kruh a čára. Průměr. Společné body. Akord. Řešení. Kruh a čára mají jeden společný bod. Tečna ke kruhu. Opakování. Věta o tečném segmentu.

"Geometrie "Podobné trojúhelníky"" - Dva trojúhelníky se nazývají podobné. Hodnoty sinus, kosinus a tangens pro úhly 30°, 45°, 60°. Najděte obsah rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku. Věta o poměru obsahů podobných trojúhelníků. Podobné trojúhelníky. Druhý znak podobnosti trojúhelníků. Pokračování stran. Hodnoty sinus, kosinus a tangens. proporcionální škrty. Dvě strany trojúhelníku jsou spojeny segmentem, který není rovnoběžný se třetí.

Tato kapitola je věnována vývoji vektorového aparátu geometrie. Pomocí vektorů můžete dokázat věty a řešit je geometrické problémy. Příklady tohoto použití vektorů jsou uvedeny v této kapitole. Studium vektorů je ale také užitečné, protože se ve fyzice hojně používají k popisu různých fyzikálních veličin, jako je například rychlost, zrychlení, síla.

Mnoho fyzikální veličiny, např. síla, posunutí hmotného bodu, rychlost, jsou charakterizovány nejen svou číselnou hodnotou, ale také směrem v prostoru. Tyto fyzikální veličiny se nazývají vektorové veličiny(nebo krátké vektory).

Zvažte příklad. Na těleso nechť působí síla 8 N. Na obrázku je síla znázorněna úsečkou se šipkou (obr. 240). Šipka ukazuje směr síly a délka segmentu odpovídá číselné hodnotě síly na zvolené stupnici. Takže na obrázku 240 je síla 1 N znázorněna jako segment o délce 0,6 cm, proto je síla 8 N znázorněna jako segment o délce 4,8 cm.

Rýže. 240

Abstrahováním od specifických vlastností fyzikálních vektorových veličin se dostáváme ke geometrickému pojmu vektor.

Zvažte libovolný segment. Jeho konce jsou také tzv hraniční body segmentu.

Na segmentu lze zadat dva směry: od jednoho hraničního bodu k druhému a naopak.

Pro volbu jednoho z těchto směrů nazýváme jeden hraniční bod segmentu začátek segmentu, a ostatní - konec segmentu a budeme předpokládat, že segment směřuje od začátku do konce.

Definice

Na obrázcích je vektor znázorněn jako segment se šipkou ukazující směr vektoru. Vektory jsou označeny dvěma velkými latinskými písmeny se šipkou nad nimi, například . První písmeno označuje začátek vektoru, druhé - konec (obr. 242).

Rýže. 242

Obrázek 243, a ukazuje vektory body A, C, E jsou počátky těchto vektorů a B, D, F jsou jejich konce. Vektory se často označují jedním malým latinským písmenem se šipkou nad ním: (obr. 243, b).

Rýže. 243

Pro to, co následuje, je účelné souhlasit s tím, že jakýkoli bod roviny je také vektor. V tomto případě se volá vektor nula. Začátek nulového vektoru se shoduje s jeho koncem. Na obrázku je takový vektor znázorněn jediným bodem. Pokud je například bod reprezentující nulový vektor označen písmenem M, pak lze tento nulový vektor označit takto: (obr. 243, a). Nulový vektor je také označen symbolem Na obrázku 243 vektory jsou nenulové a vektor je nulový.

Délka nebo modul nenulového vektoru je délka segmentu AB. Délka vektoru (vector ) je označena následovně: . Délka nulového vektoru se považuje za nulovou:

Délky vektorů zobrazených na obrázcích 243, a a 243, 6 jsou následující:

(každá buňka na obrázku 243 má stranu rovnou měrné jednotce segmentů).

Vektorová rovnost

Před definováním stejných vektorů se podívejme na příklad. Uvažujme pohyb tělesa, při kterém se všechny jeho body pohybují stejnou rychlostí a stejným směrem.

Rychlost každého bodu M tělesa je vektorová veličina, lze ji tedy znázornit usměrněnou úsečkou, jejíž začátek se shoduje s bodem M (obr. 244). Protože se všechny body tělesa pohybují stejnou rychlostí, mají všechny směrované segmenty představující rychlosti těchto bodů stejný směr a jejich délky jsou stejné.

Rýže. 244

Tento příklad nám říká, jak určit rovnost vektorů.

Nejprve si představíme koncept kolineárních vektorů.

Volají se nenulové vektory kolineární, leží-li buď na téže přímce, nebo na rovnoběžných přímkách; nulový vektor je považován za kolineární s jakýmkoli vektorem.

Na obrázku 245 jsou vektory (vektor nula) kolineární a vektory a jsou také nekolineární.

Rýže. 245

Pokud jsou dva nenulové vektory a kolineární, pak mohou být nasměrovány buď stejným způsobem, nebo opačně. V prvním případě se volají vektory a kosměrný a ve druhém opačnými směry 1 .

Společný směr vektorů a je označen následovně: Pokud jsou vektory a směrovány opačně, pak je to označeno následovně: Obrázek 245 ukazuje vektory s oběma směry a opačně:

Začátek nulového vektoru se shoduje s jeho koncem, takže nulový vektor nemá žádný konkrétní směr. Jinými slovy, jakýkoli směr lze považovat za směr nulového vektoru. Souhlasíme s předpokladem, že nulový vektor je kosměrný s jakýmkoli vektorem. Tak na obrázku 245 atd.

Nenulové kolineární vektory mají vlastnosti, které jsou znázorněny na obrázku 246, a - c.




Rýže. 246

Nyní uvedeme definici stejných vektorů.

Definice

Tedy vektory a jsou stejné, jestliže . Rovnost vektorů a je označena takto:

Odložení vektoru z daného bodu

Pokud je bod A začátkem vektoru, pak to říkají vektor je posunut z bodu A(obr. 247). Dokažme následující tvrzení:

z libovolného bodu M můžete odložit vektor rovný danému vektoru a navíc pouze jeden.




Rýže. 247

Pokud je vektor nulový, pak požadovaný vektor je vektor . Předpokládejme, že vektor je nenulový a body A a B jsou jeho začátkem a koncem. Bodem M vedeme přímku p rovnoběžnou s AB (obr. 248; je-li M bod přímky AB, pak samotnou přímku AB bereme jako přímku p). Na přímce p dáme stranou úsečky MN a MN“ rovné úsečce AB a vybereme z vektorů ten, který je řízen společně s vektorem (na obrázku 248 vektor). Tento vektor je požadovaný vektor, rovný vektoru . Z konstrukce vyplývá, že existuje pouze jeden takový vektor.




Rýže. 248

Komentář

Stejné vektory vynesené z různých bodů se často označují stejným písmenem. Takto jsou například na obrázku 244 naznačeny stejné vektory rychlosti různých bodů. Někdy se o takových vektorech říká, že jsou stejným vektorem, ale vyneseným z různých bodů.

Praktické úkoly

738. Označte body A, B a C, které neleží na jedné přímce. Nakreslete všechny nenulové vektory, jejichž začátek a konec se shodují s libovolnými dvěma z těchto bodů. Zapište si všechny výsledné vektory a označte začátek a konec každého vektoru.

739. Po zvolení vhodného měřítka nakreslete vektory znázorňující let letadla, nejprve 300 km jižně od města A do B a poté 500 km východně od města B do C. Poté nakreslete vektor, který znázorňuje pohyb z výchozího bodu. do koncového bodu.

740. Nakreslete vektory tak, aby:

741. Nakreslete dva nekolineární vektory a . Nakreslete několik vektorů: a) ve stejném směru jako vektor ; b) kosměrný s vektorem; c) opačně orientované k vektoru; d) opačně směřující k vektoru .

742. Nakreslete dva vektory: a) mající stejné délky a nekolineární; b) mající stejnou délku a ko-směrný; c) mající stejnou délku a opačný směr. V jakém případě jsou výsledné vektory stejné?

Odpovědět V případě b).