พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และจุด D ที่ไม่อยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมนี้ เชื่อมต่อจุดนี้กับส่วนต่างๆ กับจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC เป็นผลให้เราได้สามเหลี่ยม ADC , CDB , ABD . พื้นผิวที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อัน ABC , ADC , CDB และ ABD เรียกว่าจัตุรมุข และเขียนแทนด้วย DABC
สามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นจัตุรมุขเรียกว่าใบหน้า
ด้านข้างของสามเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่าขอบของจัตุรมุข และจุดยอดของพวกมันคือจุดยอดของจัตุรมุข

จัตุรมุขก็มี 4 ใบหน้า, 6 ซี่โครงและ 4 ยอดเขา.
ซี่โครงสองซี่ที่ไม่มี ด้านบนทั่วไปเรียกว่าตรงกันข้าม.
บ่อยครั้งเพื่อความสะดวกเรียกว่าใบหน้าด้านหนึ่งของจัตุรมุข พื้นฐานและอีกสามหน้าที่เหลือเป็นหน้าด้านข้าง

ดังนั้นจัตุรมุขจึงเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่อัน

แต่มันก็เป็นความจริงเช่นกันที่ปิรามิดสามเหลี่ยมตามอำเภอใจนั้นเป็นจัตุรมุข ถ้าอย่างนั้นมันก็เป็นเรื่องจริงเช่นกันที่เรียกว่าจัตุรมุข ปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของจัตุรมุขเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามและตั้งฉากกับจุดนั้น
ค่ามัธยฐานของจัตุรมุขเรียกว่าส่วนที่เชื่อมจุดยอดกับจุดตัดของค่ามัธยฐานของหน้าด้านตรงข้าม
จัตุรมุข Bimedianเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบตัดของจัตุรมุข

เนื่องจากจัตุรมุขเป็นปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม ปริมาตรของจัตุรมุขใดๆ จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

• สคือบริเวณใบหน้าใดๆ
• ชม- ความสูงลดลงบนใบหน้านี้

จัตุรมุขปกติ - จัตุรมุขชนิดพิเศษ

จัตุรมุขที่ทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่า ถูกต้อง.
คุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ:

• ขอบทั้งหมดเท่ากัน
• มุมระนาบทั้งหมดของจัตุรมุขธรรมดาคือ 60°
• เนื่องจากจุดยอดแต่ละจุดคือจุดยอดของสามเหลี่ยมปกติ 3 รูป ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180°
• จุดยอดใดๆ ของจัตุรมุขปกติจะถูกฉายไปที่จุดออร์โธเซ็นเตอร์ของด้านตรงข้าม (ไปยังจุดตัดของความสูงของรูปสามเหลี่ยม)

ให้เราได้รับจัตุรมุข ABCD ปกติที่มีขอบเท่ากับ . DH คือส่วนสูง
มาสร้างโครงสร้างเพิ่มเติม BM - ความสูงของสามเหลี่ยม ABC และ DM - ความสูงของสามเหลี่ยม ACD .
ส่วนสูง BM เท่ากับ BM และเท่ากับ
พิจารณาสามเหลี่ยม BDM โดยที่ DH ซึ่งเป็นความสูงของจัตุรมุข ก็เป็นความสูงของสามเหลี่ยมนี้เช่นกัน
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ตกไปทางด้าน MB สามารถหาได้จากสูตร

, ที่ไหน
บีเอ็ม=, DM=, BD=ก,
p=1/2 (บีเอ็ม+บีดี+ดีเอ็ม)=
แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรความสูง รับ


ลองเอา 1/2a ออกมา. รับ

ใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง

หลังจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย เราก็ได้


ปริมาตรของจัตุรมุขใดๆ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร
,
ที่ไหน ,

แทนที่ค่าเหล่านี้เราจะได้

ดังนั้น สูตรปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ

ที่ไหน ก–ขอบจัตุรมุข

การคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขหากทราบพิกัดของจุดยอด

ให้เราทราบพิกัดของจุดยอดของจัตุรมุข

วาดเวกเตอร์จากจุดยอด , , .
หากต้องการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัว ให้ลบพิกัดเริ่มต้นที่สอดคล้องกันออกจากพิกัดสิ้นสุด รับ

จากสูตรพื้นฐานสำหรับปริมาตรของจัตุรมุข

ที่ไหน สคือบริเวณใบหน้าใดๆ และ ชม- เมื่อความสูงลดลงคุณจะได้สูตรทั้งชุดที่แสดงปริมาตรในแง่ขององค์ประกอบต่าง ๆ ของจัตุรมุข เราให้สูตรเหล่านี้สำหรับจัตุรมุข เอบีซีดี.

(2) ,

ที่ไหน ∠ ( ค.ศ,เอบีซี) คือมุมระหว่างขอบ ค.ศและหันหน้าไปทางระนาบ เอบีซี;

(3) ,

ที่ไหน ∠ ( เอบีซี,เอบีดี) คือมุมระหว่างใบหน้า เอบีซีและ เอบีดี;

ที่ไหน | เอบี,ซีดี| - ระยะห่างระหว่างซี่โครงด้านตรงข้าม เอบีและ ซีดี, ∠ (เอบี,ซีดี) คือมุมระหว่างขอบเหล่านี้

สามารถใช้สูตร (2)–(4) เพื่อหามุมระหว่างเส้นตรงและระนาบ สูตร (4) มีประโยชน์อย่างยิ่ง โดยคุณสามารถค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นเบ้ได้ เอบีและ ซีดี.

สูตร (2) และ (3) คล้ายกับสูตร ส = (1/2)เกี่ยวกับบาป คสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สูตร ส = รพีสูตรที่คล้ายกัน

ที่ไหน รคือรัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ของจัตุรมุข Σ คือพื้นผิวทั้งหมด (ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด) นอกจากนี้ยังมีสูตรสวยงามที่เชื่อมโยงปริมาตรของจัตุรมุขกับรัศมี รขอบเขตที่อธิบายไว้ ( สูตรเครล):

โดยที่ Δ คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของขอบด้านตรงข้าม ( เอบี× ซีดี, เครื่องปรับอากาศ× บีดี,ค.ศ× พ.ศ). จากสูตร (2) และทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับมุมสามเหลี่ยม (ดูตรีโกณมิติทรงกลม) เราสามารถได้สูตรที่คล้ายกับสูตรของเฮรอนสำหรับสามเหลี่ยม

ความหมายของจัตุรมุข

จัตุรมุข- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ใบหน้าและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม

เครื่องคิดเลขออนไลน์

จัตุรมุขมีสี่หน้า แต่ละหน้าประกอบด้วยสามด้าน จัตุรมุขมีจุดยอดสี่จุด แต่ละจุดมีขอบสามด้าน

ร่างกายนี้แบ่งออกเป็นหลายประเภท ด้านล่างนี้คือการจำแนกประเภท

1. จัตุรมุข Isohedral- ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน
2. จัตุรมุขออร์โธเซนตริก- ความสูงทั้งหมดที่ลากจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังด้านตรงข้ามจะมีความยาวเท่ากัน
3. จัตุรมุขสี่เหลี่ยม- ขอบที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งทำมุม 90 องศาซึ่งกันและกัน
4. กรอบ;
5. ได้สัดส่วน;
6. ศูนย์กลาง.

สูตรปริมาตรจัตุรมุข

ปริมาตรของร่างกายที่กำหนดสามารถพบได้หลายวิธี มาวิเคราะห์โดยละเอียดกันดีกว่า

ผ่านผลคูณของเวกเตอร์

หากจัตุรมุขถูกสร้างขึ้นบนเวกเตอร์สามตัวที่มีพิกัด:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ก= (ก x​ , ก ย​ , ก z​ )
b ⃗ = (b x , by , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)ข= (ข x​ , ข ย​ , ข z​ )
ค ⃗ = (c x , cy , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)ค= (ค x​ , ค ย​ , ค z​ ) ,

ปริมาตรของจัตุรมุขนี้คือผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้ ซึ่งก็คือดีเทอร์มิแนนต์:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )วี =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ก x​ ข x​ ค x​ ​ ก ย​ ข ย​ ค ย​ ​ ก z​ ข z​ ค z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

ทราบพิกัดของจุดยอดทั้งสี่ของทรงแปดหน้า เอ (1 , 4 , 9) เอ(1,4,9) เอ (1 , 4 , 9 ), ข(8 , 7 , 3) ​​​​ข(8,7,3) บี(8, 7, 3), ค (1 , 2 , 3) ​​​​ค(1,2,3) ค (1 , 2 , 3 ), ง(7, 12, 1) ง(7,12,1) ง (7 , 1 2 , 1 ). ค้นหาปริมาตรของมัน

สารละลาย

เอ (1 , 4 , 9) เอ(1,4,9) เอ (1 , 4 , 9 )
ข(8 , 7 , 3) ​​​​ข(8,7,3) บี(8, 7, 3)
ค (1 , 2 , 3) ​​​​ค(1,2,3) ค (1 , 2 , 3 )
ง(7, 12, 1) ง(7,12,1) ง (7 , 1 2 , 1 )

ขั้นตอนแรกคือการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ที่ใช้สร้างเนื้อหาที่กำหนด
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาแต่ละพิกัดของเวกเตอร์โดยการลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสองจุด ตัวอย่างเช่น พิกัดเวกเตอร์ AB → \overrightarrow(AB) เอบีนั่นคือเวกเตอร์ที่พุ่งจากจุดหนึ่ง เอ เอ กตรงประเด็น บีบี บีนี่คือความแตกต่างของพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดต่างๆ บีบี บีและ เอ เอ ก:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)เอบี= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)เอ ซี= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)เอ ดี= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

ทีนี้ ลองหาผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้กัน โดยเราจะเขียนดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม ขณะที่สมมุติว่า AB → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)เอบี= ก, AC → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)เอ ซี= ข, AD → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)เอ ดี= ค.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 - 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ก x​ ข x​ คx​ ​ กย​ ขย​ คย​ ​ กz​ ขz​ คz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

นั่นคือปริมาตรของจัตุรมุขคือ:

$วี=61\cdot |$

คำตอบ

$44.8\text{ซม3 .}$

สูตรสำหรับปริมาตรของจัตุรมุขมีด้านเท่ากันทุกด้าน

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะกับการคำนวณปริมาตรของทรงสี่หน้ามีด้านเท่า ซึ่งก็คือทรงสี่หน้าซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติที่เหมือนกัน

$วี=12\sqrt{2\cdot {ก}^3}$

กกคือความยาวของขอบจัตุรมุข

หาปริมาตรของจัตุรมุขถ้าด้านของมันมีค่าเท่ากับ $11\text{ซม.}$

สารละลาย

$ก=11$

ทดแทน กกลงในสูตรหาปริมาตรของจัตุรมุข:

$วี=12\sqrt{2\cdot {ก}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{ซม3}}}}}$

คำตอบ

$156.8\text{ซม3 .}$