డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ నిర్వచించబడనివ్వండి

నిర్వచనం.వ్యక్తీకరణ

అని పిలిచారు ఫంక్షనల్సమీపంలో.

ఉదాహరణ.

కొన్ని విలువల కోసం, శ్రేణి కలుస్తుంది, ఇతర విలువలకు ఇది వేరుగా ఉండవచ్చు.

ఉదాహరణ.

సిరీస్ కలయిక యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి. ఈ శ్రేణి విలువల కోసం నిర్వచించబడింది

ఒకవేళ , సిరీస్ యొక్క కలయికకు అవసరమైన ప్రమాణం సంతృప్తి చెందనందున, సిరీస్ విభేదిస్తుంది; సిరీస్ వేరుగా ఉంటే; ఇది అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి.

వద్ద కన్వర్జెంట్ సిరీస్‌తో ఈ శ్రేణిని పోల్చడం అధ్యయనం చేసిన శ్రేణి యొక్క కలయిక ప్రాంతాన్ని ఇస్తుంది.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ నుండి విలువలతో, సంఖ్యా శ్రేణి పొందబడుతుంది

ఒకవేళ సంఖ్యా శ్రేణి కలుస్తుంది, అప్పుడు పాయింట్ అంటారు కన్వర్జెన్స్ పాయింట్ఫంక్షనల్ వరుస.

శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితి దాని కలయిక యొక్క ప్రాంతాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. కన్వర్జెన్స్ యొక్క ప్రాంతం సాధారణంగా అక్షం యొక్క కొంత విరామం.

ప్రతి పాయింట్ వద్ద సంఖ్యా శ్రేణి కలుస్తుంటే, అప్పుడు ఫంక్షనల్ సిరీస్ అంటారు కలుస్తోందిప్రాంతంలో.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ మొత్తం అనేది సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతంలో నిర్వచించబడిన వేరియబుల్ యొక్క కొంత ఫంక్షన్

లక్షణాలు సిరీస్‌లో మెంబర్‌గా తెలిసినట్లయితే ఫంక్షన్‌లకు ఏ లక్షణాలు ఉంటాయి, అంటే.

కొనసాగింపు గురించి ఒక తీర్మానం చేయడానికి ఫంక్షన్ల కొనసాగింపు సరిపోదు.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ యొక్క ఒక ముఖ్యమైన లక్షణాన్ని వ్యక్తీకరించే అదనపు షరతు ద్వారా నిరంతర ఫంక్షన్‌ల శ్రేణిని ఒక నిరంతర ఫంక్షన్‌కు కలయిక అందించబడుతుంది.

నిర్వచనం. ఈ శ్రేణి యొక్క పాక్షిక మొత్తాల పరిమితి ఉంటే, డొమైన్‌లో ఫంక్షనల్ సిరీస్‌ని కన్వర్జెంట్ అంటారు, అనగా.

నిర్వచనం. ఏదైనా సానుకూలత కోసం, అసమానత అందరికీ ఉండేలా ఒక సంఖ్య ఉంటే, క్రియాత్మక శ్రేణిని ప్రాంతంలో ఏకరీతిగా కన్వర్జెంట్ అంటారు.

ఏకరీతి కన్వర్జెన్స్ యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను స్ట్రిప్‌తో చుట్టుముట్టినట్లయితే, రిలేషన్ ద్వారా నిర్వచించబడిన గ్రాఫ్‌లు అన్నివిధులు, తగినంత పెద్ద విలువతో ప్రారంభమవుతాయి, పూర్తిగాపరిమితి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ చుట్టూ ఉన్న ఈ “- స్ట్రిప్”లో ఉంటుంది .

ఏకరీతి కన్వర్జెంట్ సిరీస్ యొక్క లక్షణాలు .

1. నిరంతర విధులతో కూడిన కొన్ని ప్రాంతంలో ఏకరీతిగా కన్వర్జెంట్ సిరీస్ మొత్తం, ఈ ప్రాంతంలో నిరంతర ఫంక్షన్.

2. అటువంటి శ్రేణిని పదం ద్వారా వేరు చేయవచ్చు

3. శ్రేణిని పదం వారీగా ఏకీకృతం చేయవచ్చు

ఫంక్షనల్ సిరీస్ ఏకరీతిగా కలుస్తుందో లేదో నిర్ధారించడానికి, మేము తప్పనిసరిగా వీర్‌స్ట్రాస్ తగిన కన్వర్జెన్స్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించాలి.

నిర్వచనం. ఫంక్షనల్ సిరీస్ అంటారు ఆధిపత్యం వహించిందిఈ ప్రాంతం మొత్తానికి అసమానతలను కలిగి ఉండే సానుకూల పదాలతో ఒక కన్వర్జెంట్ సంఖ్యా శ్రేణి ఉంటే మార్పు యొక్క కొన్ని ప్రాంతంలో.

వీర్‌స్ట్రాస్ గుర్తు(ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క ఏకరీతి కలయిక).

ఫంక్షనల్ పరిధి ఏకరీతిగా కలుస్తుందిఈ డొమైన్‌లో ఆధిపత్యం చెలాయిస్తే కన్వర్జెన్స్ డొమైన్‌లో.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, కొన్ని ప్రాంతంలోని విధులు సంపూర్ణ విలువలో సంబంధిత ధనాత్మక సంఖ్యలను మించకుండా ఉంటే మరియు సంఖ్య శ్రేణి కలిసినట్లయితే, అప్పుడు ఫంక్షనల్ సిరీస్ ఈ ప్రాంతంలో ఏకరీతిగా కలుస్తుంది.

ఉదాహరణ. ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క ఏకరీతి కలయికను నిరూపించండి.

పరిష్కారం. . ఈ శ్రేణి యొక్క సాధారణ పదాన్ని సంఖ్యా శ్రేణి యొక్క సాధారణ పదంతో భర్తీ చేద్దాం, కానీ సిరీస్‌లోని ప్రతి సభ్యుని సంపూర్ణ విలువను మించిపోయింది. దీన్ని చేయడానికి, సిరీస్ యొక్క సాధారణ పదం గరిష్టంగా ఏ సమయంలో ఉంటుందో నిర్ణయించడం అవసరం.

ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యా శ్రేణి కలుస్తుంది, అంటే వీయర్‌స్ట్రాస్ ప్రమాణం ప్రకారం ఫంక్షనల్ సిరీస్ ఏకరీతిగా కలుస్తుంది.

ఉదాహరణ. సిరీస్ మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, మేము రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తానికి బాగా తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

ఫార్ములా (1) యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భాగాలను వేరు చేయడం, మేము వరుసగా పొందుతాము

లెక్కించాల్సిన మొత్తంలో, మేము మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉన్న నిబంధనలను వేరు చేస్తాము:

ఉత్పన్నాలను గణిద్దాం:

పవర్ సిరీస్.

ఫంక్షనల్ సిరీస్‌లలో పవర్ మరియు త్రికోణమితి శ్రేణుల తరగతి ఉంది.

నిర్వచనం. రూపం యొక్క ఫంక్షనల్ సిరీస్

అధికారాలలో శక్తి అంటారు. వ్యక్తీకరణలు స్థిరమైన సంఖ్యలు.

శ్రేణి పవర్ సిరీస్ అయితే.

పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ డొమైన్. అబెల్ సిద్ధాంతం.

సిద్ధాంతం. పవర్ సిరీస్ ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తుంటే, అది కలుస్తుంది మరియు దానితో పాటుగా, సంపూర్ణ విలువలో లేదా అంతరంలో తక్కువగా ఉన్న ఏదైనా విలువ కోసం ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది.

రుజువు.

రాడ్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ కారణంగా, దాని సాధారణ పదం తప్పనిసరిగా సున్నాకి మొగ్గు చూపాలి, కాబట్టి ఈ శ్రేణిలోని అన్ని నిబంధనలు ఏకరీతిగా కట్టుబడి ఉంటాయి: స్థిరమైన సానుకూల సంఖ్య ఉంటుంది , ఏదైనా అసమానత కలిగి ఉంటుంది., ఇది అన్నింటికీ మధ్యలో ఉంటుంది పాయింట్

ఫంక్షనల్ వరుసలు. పవర్ సిరీస్.
సిరీస్ యొక్క కలయిక పరిధి

కారణం లేకుండా నవ్వడం డి'అలెంబర్ట్‌కి సంకేతం

కాబట్టి ఫంక్షనల్ వరుసల గంట కొట్టబడింది. టాపిక్‌ను విజయవంతంగా నేర్చుకోవడానికి మరియు ముఖ్యంగా, ఈ పాఠం, మీరు సాధారణ నంబర్ సిరీస్‌లో బాగా ప్రావీణ్యం కలిగి ఉండాలి. మీరు సిరీస్ అంటే ఏమిటో బాగా అర్థం చేసుకోవాలి, కలయిక కోసం సిరీస్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి పోలిక సంకేతాలను వర్తింపజేయగలరు. అందువల్ల, మీరు ఇప్పుడే అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినట్లయితే లేదా ఉన్నత గణితంలో టీపాట్‌గా ఉంటే, అవసరమైనక్రమంలో మూడు పాఠాల ద్వారా పని చేయండి: టీపాట్‌ల కోసం వరుసలు,డి'అలెంబర్ట్ యొక్క చిహ్నం. కౌచీ యొక్క చిహ్నాలుమరియు ప్రత్యామ్నాయ వరుసలు. లైబ్నిజ్ గుర్తు. ఖచ్చితంగా మూడు! నంబర్ సిరీస్‌లతో సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మీకు ప్రాథమిక జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలు ఉంటే, చాలా కొత్త మెటీరియల్ లేనందున, ఫంక్షనల్ సిరీస్‌తో వ్యవహరించడం చాలా సులభం.

ఈ పాఠంలో, మేము ఫంక్షనల్ సిరీస్ (సాధారణంగా ఇది ఏమిటి) అనే భావనను పరిశీలిస్తాము, 90% ఆచరణాత్మక పనులలో కనిపించే పవర్ సిరీస్‌తో పరిచయం పొందండి మరియు కన్వర్జెన్స్‌ను కనుగొనడంలో సాధారణ సాధారణ సమస్యను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకుంటాము. ఒక పవర్ సిరీస్ యొక్క వ్యాసార్థం, కన్వర్జెన్స్ ఇంటర్వెల్ మరియు కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం. ఇంకా, మెటీరియల్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను పవర్ శ్రేణిలోకి ఫంక్షన్ల విస్తరణ, మరియు ప్రారంభకులకు అంబులెన్స్ అందించబడుతుంది. కొంచెం విశ్రాంతి తర్వాత, మేము తదుపరి స్థాయికి వెళ్తాము:

ఫంక్షనల్ సిరీస్ విభాగంలో కూడా చాలా ఉన్నాయి సుమారు గణనలకు అప్లికేషన్లు, మరియు ఫోరియర్ సిరీస్, ఇది ఒక నియమం వలె, విద్యా సాహిత్యంలో ఒక ప్రత్యేక అధ్యాయం కేటాయించబడింది, కొద్దిగా వేరుగా ఉంటుంది. నా వద్ద ఒకే ఒక కథనం ఉంది, కానీ ఇది చాలా పొడవుగా ఉంది మరియు అనేక అదనపు ఉదాహరణలు!

కాబట్టి, ల్యాండ్‌మార్క్‌లు సెట్ చేయబడ్డాయి, వెళ్దాం:

ఫంక్షనల్ సిరీస్ మరియు పవర్ సిరీస్ భావన

పరిమితిలో అనంతం లభిస్తే, అప్పుడు సొల్యూషన్ అల్గోరిథం కూడా దాని పనిని పూర్తి చేస్తుంది మరియు మేము పనికి తుది సమాధానాన్ని ఇస్తాము: "సిరీస్ కలుస్తుంది" (లేదా దేనిలో అయినా"). మునుపటి పేరాలోని కేసు #3ని చూడండి.

పరిమితిలో ఉంటే అది సున్నా కాదు మరియు అనంతం కాదు, అప్పుడు మేము ఆచరణలో నం. 1లో అత్యంత సాధారణ సందర్భాన్ని కలిగి ఉన్నాము - సిరీస్ నిర్దిష్ట విరామంలో కలుస్తుంది.

ఈ సందర్భంలో, పరిమితి. శ్రేణి కలయిక యొక్క విరామాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? మేము అసమానతను చేస్తాము:

IN ఈ రకమైన ఏదైనా పనిఅసమానత యొక్క ఎడమ వైపున ఉండాలి పరిమితి గణన ఫలితం, మరియు అసమానత యొక్క కుడి వైపున ఖచ్చితంగా యూనిట్. సరిగ్గా ఈ అసమానత ఎందుకు మరియు కుడి వైపున ఎందుకు ఉందో నేను వివరించను. పాఠాలు ఆచరణాత్మకమైనవి మరియు బోధనా సిబ్బంది తమను తాము వేలాడదీయలేదని నా కథల నుండి కొన్ని సిద్ధాంతాలు స్పష్టంగా మారడం ఇప్పటికే చాలా బాగుంది.

మాడ్యూల్‌తో పని చేయడం మరియు డబుల్ అసమానతలను పరిష్కరించే సాంకేతికత వ్యాసంలోని మొదటి సంవత్సరంలో వివరంగా పరిగణించబడింది ఫంక్షన్ పరిధి, కానీ సౌలభ్యం కోసం, నేను అన్ని చర్యలపై వీలైనంత వివరంగా వ్యాఖ్యానించడానికి ప్రయత్నిస్తాను. మేము పాఠశాల నియమం ప్రకారం మాడ్యూల్‌తో అసమానతను వెల్లడిస్తాము . ఈ విషయంలో:

సగం వెనక్కు.

రెండవ దశలో, కనుగొనబడిన విరామం యొక్క చివర్లలో శ్రేణి యొక్క కలయికను పరిశోధించడం అవసరం.

ముందుగా, మేము విరామం యొక్క ఎడమ చివరను తీసుకొని దానిని మా పవర్ సిరీస్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

వద్ద

ఒక సంఖ్యా శ్రేణి స్వీకరించబడింది మరియు మేము దానిని కన్వర్జెన్స్ కోసం పరిశీలించాలి (మునుపటి పాఠాల నుండి ఇప్పటికే తెలిసిన పని).

1) సిరీస్ సంకేతం-ప్రత్యామ్నాయం.
2) - సిరీస్ యొక్క నిబంధనలు తగ్గుదల మాడ్యులో. అంతేకాకుండా, సిరీస్ యొక్క ప్రతి తదుపరి పదం మాడ్యులస్‌లో మునుపటి దాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది: , కాబట్టి తగ్గుదల మార్పులేనిది.
ముగింపు: సిరీస్ కలుస్తుంది.

మాడ్యూల్స్‌తో రూపొందించబడిన సిరీస్ సహాయంతో, మేము ఖచ్చితంగా ఎలా కనుగొంటాము:
- కలుస్తుంది (సాధారణీకరించిన హార్మోనిక్ సిరీస్ కుటుంబం నుండి "రిఫరెన్స్" సిరీస్).

అందువలన, ఫలిత సంఖ్య సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది.

వద్ద - కలుస్తుంది.

! నేను గుర్తు చేస్తున్నాను ఏదైనా కన్వర్జెంట్ పాజిటివ్ సిరీస్ కూడా ఖచ్చితంగా కన్వర్జెంట్‌గా ఉంటుంది.

అందువలన, పవర్ సిరీస్ కలుస్తుంది, మరియు ఖచ్చితంగా, కనుగొన్న విరామం యొక్క రెండు చివర్లలో.

సమాధానం:అధ్యయనం చేయబడిన శక్తి శ్రేణి యొక్క కలయిక ప్రాంతం:

దీనికి జీవించే హక్కు మరియు సమాధానం యొక్క మరొక రూపకల్పన ఉంది: ఒకవేళ సిరీస్ కలుస్తుంది

కొన్నిసార్లు సమస్య యొక్క స్థితిలో కన్వర్జెన్స్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని పేర్కొనడం అవసరం. పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో ఇది స్పష్టంగా ఉంది.

ఉదాహరణ 2

పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం:మేము సిరీస్ యొక్క కలయిక యొక్క విరామాన్ని కనుగొంటాము ఉపయోగించడం ద్వారడి'అలెంబర్ట్ యొక్క చిహ్నం (కానీ లక్షణం ప్రకారం కాదు! - ఫంక్షనల్ సిరీస్‌కి అలాంటి లక్షణం లేదు):

సిరీస్ వద్ద కలుస్తుంది

ఎడమమేము బయలుదేరాలి మాత్రమే, కాబట్టి మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 3 ద్వారా గుణిస్తాము:

– సిరీస్ సంకేతం-ఆల్టర్నేటింగ్.
– - సిరీస్ తగ్గుదల మాడ్యులో నిబంధనలు. సిరీస్ యొక్క ప్రతి తదుపరి పదం సంపూర్ణ విలువలో మునుపటి దాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది: , కాబట్టి తగ్గుదల మార్పులేనిది.

ముగింపు: సిరీస్ కలుస్తుంది.

కన్వర్జెన్స్ యొక్క స్వభావం కోసం మేము దానిని పరిశీలిస్తాము:

ఈ సిరీస్‌ని విభిన్న సిరీస్‌తో పోల్చండి.
మేము పోలిక యొక్క పరిమితి గుర్తును ఉపయోగిస్తాము:

సున్నా కాకుండా ఇతర పరిమిత సంఖ్య పొందబడుతుంది, అంటే సిరీస్ సిరీస్‌తో కలిసి విభేదిస్తుంది.

అందువలన, సిరీస్ షరతులతో కలుస్తుంది.

2) ఎప్పుడు - విభేదిస్తుంది (రుజువు చేసినట్లు).

సమాధానం:అధ్యయనం చేయబడిన శక్తి శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం: . కోసం, సిరీస్ షరతులతో కలుస్తుంది.

పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం సగం-విరామం, మరియు విరామం యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద పవర్ సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది, మరియు పాయింట్ వద్ద , అది మారిన విధంగా, షరతులతో.

ఉదాహరణ 3

పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ యొక్క విరామాన్ని కనుగొనండి మరియు కనుగొనబడిన విరామం చివరిలో దాని కలయికను పరిశోధించండి

ఇది మీరే చేయవలసిన ఉదాహరణ.

అరుదైన, కానీ సంభవించే కొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 4

శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి:

పరిష్కారం: d'Alembert పరీక్షను ఉపయోగించి, మేము ఈ శ్రేణి యొక్క కలయిక యొక్క విరామాన్ని కనుగొంటాము:

(1) సిరీస్‌లోని తదుపరి సభ్యుల నిష్పత్తిని మునుపటి దానికి కంపోజ్ చేయండి.

(2) నాలుగు-అంతస్తుల భిన్నాన్ని వదిలించుకోండి.

(3) క్యూబ్‌లు మరియు అధికారాలతో కూడిన కార్యకలాపాల నియమం ప్రకారం, ఒకే డిగ్రీ కింద సంగ్రహించబడ్డాయి. న్యూమరేటర్‌లో మనం తెలివిగా డిగ్రీని కుళ్ళిపోతాము, అనగా. తదుపరి దశలో మేము భిన్నాన్ని తగ్గించే విధంగా విస్తరించండి. కారకాలు వివరంగా వివరించబడ్డాయి.

(4) క్యూబ్ కింద, మేము పదం ద్వారా హారం పదం ద్వారా లవం విభజిస్తాము, ఇది సూచిస్తుంది . ఒక భిన్నంలో, మేము తగ్గించగల ప్రతిదాన్ని తగ్గిస్తాము. గుణకం పరిమితి సంకేతం నుండి తీసివేయబడింది, "డైనమిక్" వేరియబుల్ "en"పై ఆధారపడిన దానిలో ఏమీ లేనందున, దానిని బయటకు తీయవచ్చు. దయచేసి మాడ్యూల్ గుర్తు డ్రా చేయబడలేదని గమనించండి - ఇది ఏదైనా "x" కోసం ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటుంది.

పరిమితిలో, సున్నా పొందబడింది, అంటే మనం తుది సమాధానం ఇవ్వగలము:

సమాధానం:సిరీస్ వద్ద కలుస్తుంది

మరియు మొదట "భయంకరమైన కూరటానికి" ఉన్న ఈ వరుసను పరిష్కరించడం కష్టం అని అనిపించింది. పరిమితిలో సున్నా లేదా అనంతం దాదాపు బహుమతి, ఎందుకంటే పరిష్కారం గమనించదగ్గ తగ్గింది!

ఉదాహరణ 5

శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

ఇది మీరే చేయవలసిన ఉదాహరణ. జాగ్రత్తగా ఉండండి ;-) పూర్తి పరిష్కారం పాఠం చివరిలో సమాధానం.

సాంకేతికతలను ఉపయోగించడం పరంగా కొత్తదనం యొక్క మూలకాన్ని కలిగి ఉన్న మరికొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 6

శ్రేణి యొక్క కలయిక యొక్క విరామాన్ని కనుగొనండి మరియు కనుగొనబడిన విరామం యొక్క చివర్లలో దాని కలయికను పరిశోధించండి

పరిష్కారం:పవర్ సిరీస్ యొక్క సాధారణ పదం కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది ప్రత్యామ్నాయాన్ని నిర్ధారిస్తుంది. సొల్యూషన్ అల్గోరిథం పూర్తిగా భద్రపరచబడింది, కానీ పరిమితిని కంపైల్ చేసేటప్పుడు, మాడ్యూల్ అన్ని "మైనస్‌లను" నాశనం చేస్తుంది కాబట్టి, మేము ఈ కారకాన్ని విస్మరిస్తాము (రాయవద్దు).

మేము d'Alembert పరీక్షను ఉపయోగించి సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ విరామాన్ని కనుగొంటాము:

మేము ప్రామాణిక అసమానతను కంపోజ్ చేస్తాము:
సిరీస్ వద్ద కలుస్తుంది
ఎడమమేము బయలుదేరాలి మాడ్యూల్ మాత్రమే, కాబట్టి మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 5 ద్వారా గుణిస్తాము:

ఇప్పుడు మేము మాడ్యూల్‌ను సుపరిచితమైన మార్గంలో విస్తరింపజేస్తాము:

డబుల్ అసమానత మధ్యలో, మీరు "x" ను మాత్రమే వదిలివేయాలి, ఈ ప్రయోజనం కోసం, అసమానత యొక్క ప్రతి భాగం నుండి 2 తీసివేయండి:

అధ్యయనం చేయబడిన శక్తి శ్రేణి యొక్క కలయిక యొక్క విరామం.

మేము కనుగొనబడిన విరామం చివరిలో సిరీస్ యొక్క కలయికను పరిశీలిస్తాము:

1) మా పవర్ సిరీస్‌లోని విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి :

చాలా జాగ్రత్తగా ఉండండి, ఏదైనా సహజ "en" కోసం గుణకం ప్రత్యామ్నాయాన్ని అందించదు. మేము సిరీస్ వెలుపల ఫలితంగా వచ్చే మైనస్‌ని తీసుకుంటాము మరియు దాని గురించి మరచిపోతాము, ఎందుకంటే ఇది (ఏదైనా స్థిరమైన-గుణకం వలె) సంఖ్యా శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ లేదా డైవర్జెన్స్‌ను ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయదు.

మళ్ళీ గమనించండిపవర్ సిరీస్ యొక్క సాధారణ పదానికి విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేసే క్రమంలో, మేము కారకాన్ని తగ్గించాము . ఇది జరగకపోతే, మేము పరిమితిని తప్పుగా లెక్కించామని లేదా మాడ్యూల్‌ను తప్పుగా విస్తరించామని దీని అర్థం.

కాబట్టి, సంఖ్యా శ్రేణి యొక్క కలయికను పరిశోధించడం అవసరం. ఇక్కడ పరిమితి పోలిక ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించడం మరియు ఈ సిరీస్‌ను భిన్నమైన హార్మోనిక్ సిరీస్‌తో పోల్చడం చాలా సులభం. కానీ, నిజం చెప్పాలంటే, పోలిక యొక్క అంతిమ సంకేతంతో నేను చాలా అలసిపోయాను, కాబట్టి నేను పరిష్కారానికి కొన్ని రకాలను జోడిస్తాను.

కాబట్టి సిరీస్ వద్ద కలుస్తుంది

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 9 ద్వారా గుణించండి:

పాత పాఠశాల జోక్‌ను గుర్తుచేసుకుంటూ మేము రెండు భాగాల నుండి మూలాన్ని సంగ్రహిస్తాము:


మాడ్యూల్‌ను విస్తరిస్తోంది:

మరియు అన్ని భాగాలకు ఒకదాన్ని జోడించండి:

అధ్యయనం చేయబడిన శక్తి శ్రేణి యొక్క కలయిక యొక్క విరామం.

మేము కనుగొన్న విరామం చివరలలో పవర్ సిరీస్ యొక్క కలయికను పరిశీలిస్తాము:

1) అయితే, కింది సంఖ్యల శ్రేణి పొందబడుతుంది:

గుణకం ఒక జాడ లేకుండా అదృశ్యమైంది, ఎందుకంటే "en" యొక్క ఏదైనా సహజ విలువ కోసం .

లుఖోవ్ యు.పి. ఉన్నత గణితంపై ఉపన్యాసాల సారాంశం. ఉపన్యాసం నం. 42 5

ఉపన్యాసం 42

విషయం: ఫంక్షనల్ వరుసలు

ప్లాన్ చేయండి.

1. ఫంక్షనల్ వరుసలు. కలయిక ప్రాంతం.
2. ఏకరీతి కలయిక. వీర్‌స్ట్రాస్ గుర్తు.
3. ఏకరీతిగా కన్వర్జెంట్ సిరీస్ యొక్క లక్షణాలు: శ్రేణి మొత్తం యొక్క కొనసాగింపు, పదం వారీగా ఏకీకరణ మరియు భేదం.
4. పవర్ సిరీస్. అబెల్ సిద్ధాంతం. పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ డొమైన్. కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థం.
5. పవర్ సిరీస్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు: ఏకరీతి కలయిక, కొనసాగింపు మరియు మొత్తం యొక్క అనంతమైన భేదం. టర్మ్‌వైజ్ ఇంటిగ్రేషన్ మరియు పవర్ సిరీస్ యొక్క భేదం.

ఫంక్షనల్ వరుసలు. కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం

నిర్వచనం 40.1. అనంతమైన లక్షణాల మొత్తం

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

ఇక్కడ u n (x) = f (x, n), అంటారు ఫంక్షనల్ పరిధి.

మీరు నిర్దిష్ట సంఖ్యా విలువను సెట్ చేస్తే X , సిరీస్ (40.1) సంఖ్యా శ్రేణిగా మారుతుంది మరియు విలువ ఎంపికపై ఆధారపడి ఉంటుంది X అటువంటి శ్రేణి కలుస్తుంది లేదా విభేదించవచ్చు. కన్వర్జెంట్ సిరీస్‌లు మాత్రమే ఆచరణాత్మక విలువను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి ఆ విలువలను గుర్తించడం చాలా ముఖ్యం X , దీని కోసం ఫంక్షనల్ సిరీస్ కన్వర్జెంట్ న్యూమరికల్ సిరీస్ అవుతుంది.

నిర్వచనం 40.2. ఎన్నో విలువలు X , క్రియాత్మక శ్రేణి (40.1)కి ప్రత్యామ్నాయంగా ఒక కన్వర్జెంట్ సంఖ్యా శ్రేణిని పొందడం అంటారు.కలయిక ప్రాంతంఫంక్షనల్ వరుస.

నిర్వచనం 40.3. ఫంక్షన్ s(x), శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ పరిధిలో నిర్వచించబడింది, ఇది ప్రతి విలువకు X కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం నుండి ఇచ్చిన విలువ కోసం (40.1) నుండి పొందిన సంబంధిత సంఖ్యా శ్రేణి మొత్తానికి సమానం x అంటారు ఫంక్షనల్ సిరీస్ మొత్తం.

ఉదాహరణ. కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం మరియు ఫంక్షనల్ సిరీస్ మొత్తాన్ని కనుగొనండి

1 + x + x ² +...+ x n +...

ఎప్పుడు | x | ≥ 1, కాబట్టి సంబంధిత సంఖ్యా శ్రేణి వేరుగా ఉంటుంది. ఉంటే

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

కాబట్టి, శ్రేణి యొక్క కలయిక పరిధి విరామం (-1, 1) మరియు దాని మొత్తం సూచించిన రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

వ్యాఖ్య . సంఖ్యా శ్రేణి కోసం, మేము ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క పాక్షిక మొత్తం భావనను పరిచయం చేయవచ్చు:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

మరియు సిరీస్ యొక్క మిగిలిన భాగం: r n = s s n .

ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క ఏకరీతి కలయిక

సంఖ్యా శ్రేణి యొక్క ఏకరీతి కన్వర్జెన్స్ భావనను ముందుగా నిర్వచిద్దాం.

నిర్వచనం 40.4. ఫంక్షన్ క్రమం f n (x ) అంటారు ఫంక్షన్‌కు ఏకరీతిగా కలుస్తుంది f సెట్లో X ఉంటే మరియు

వ్యాఖ్య 1. మేము ఫంక్షనల్ సీక్వెన్స్ మరియు యూనిఫాం కన్వర్జెన్స్ యొక్క సాధారణ కలయికను సూచిస్తాము - .

వ్యాఖ్య 2 . ఏకరీతి కన్వర్జెన్స్ మరియు సాధారణ కన్వర్జెన్స్ మధ్య ఉన్న ప్రాథమిక వ్యత్యాసాన్ని మరోసారి గమనించండి: సాధారణ కలయిక విషయంలో, ε యొక్క ఎంచుకున్న విలువ కోసం, ప్రతి దానికీ ఉనికిలో ఉంటుందిమీ నంబర్ ఎన్ దేని కొరకు n > N కింది అసమానతలను కలిగి ఉంది:

ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన ε కోసం సాధారణ సంఖ్యగా మారవచ్చు N, దేనికైనా ఈ అసమానత నెరవేరేలా భరోసా X , అసాధ్యం. ఏకరీతి కన్వర్జెన్స్ విషయంలో, అటువంటి సంఖ్య N, అన్ని xకి సాధారణం, ఉనికిలో ఉంది.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క ఏకరీతి కన్వర్జెన్స్ భావనను ఇప్పుడు నిర్వచిద్దాం. ప్రతి శ్రేణి దాని పాక్షిక మొత్తాల శ్రేణికి అనుగుణంగా ఉంటుంది కాబట్టి, శ్రేణి యొక్క ఏకరీతి కలయిక ఈ క్రమం యొక్క ఏకరీతి కన్వర్జెన్స్ పరంగా నిర్వచించబడుతుంది:

నిర్వచనం 40.5. ఫంక్షనల్ సిరీస్ అంటారుఏకరీతిగా కలుస్తుంది X సెట్‌లో, Xలో ఉంటే దాని పాక్షిక మొత్తాల క్రమం ఏకరీతిగా కలుస్తుంది.

వీర్‌స్ట్రాస్ గుర్తు

సిద్ధాంతం 40.1. సంఖ్యల శ్రేణి అందరికీ మరియు అందరికీ కలిసినట్లయితే n = 1, 2,…, ఆపై సిరీస్ సెట్‌లో ఖచ్చితంగా మరియు ఏకరీతిగా కలుస్తుంది X.

రుజువు.

ఏదైనా ε > 0 c కోసం అటువంటి సంఖ్య ఉంది N , అందుకే

మిగిలిన వాటి కోసం r n సిరీస్, అంచనా

అందువల్ల, సిరీస్ ఏకరీతిగా కలుస్తుంది.

వ్యాఖ్య. సిద్ధాంతం 40.1 యొక్క షరతులకు అనుగుణంగా ఉండే సంఖ్యల శ్రేణిని ఎంచుకునే విధానాన్ని సాధారణంగా అంటారుప్రధానీకరణ , మరియు ఈ సిరీస్ కూడాప్రధానమైన ఈ ఫంక్షనల్ పరిధి కోసం.

ఉదాహరణ. ఫంక్షనల్ సిరీస్ కోసం, ఏదైనా విలువకు ప్రధానమైనది X ఒక కన్వర్జెంట్ పాజిటివ్ సిరీస్. కాబట్టి, అసలు సిరీస్ (-∞, +∞)లో ఏకరీతిగా కలుస్తుంది.

ఏకరీతి కన్వర్జెంట్ సిరీస్ యొక్క లక్షణాలు

సిద్ధాంతం 40.2. విధులు ఉంటే u n (x) వద్ద నిరంతరంగా ఉంటాయి మరియు సిరీస్ ఏకరీతిలో కలుస్తుంది X, ఆపై దాని మొత్తం s (x) పాయింట్ వద్ద కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది x 0

రుజువు.

మేము ε > 0ని ఎంచుకుంటాము. కాబట్టి, ఒక సంఖ్య ఉంది n 0 అది

- పరిమిత సంఖ్యలో నిరంతర ఫంక్షన్ల మొత్తం, కాబట్టిపాయింట్ వద్ద నిరంతర x 0 కాబట్టి, అటువంటి δ > 0 ఉందిఅప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

అంటే, ఫంక్షన్ s (x) x \u003d x 0 కోసం నిరంతరంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 40.3. ఫంక్షన్లు u n (x) విభాగంలో నిరంతరంగా ఉంటాయి [ a , b ] మరియు సిరీస్ ఈ విభాగంలో ఏకరీతిగా కలుస్తుంది. అప్పుడు సిరీస్ కూడా ఒకే విధంగా కలుస్తుంది [ a , b ] మరియు (40.2)

(అంటే, సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితులలో, సిరీస్‌ను పదం వారీగా ఏకీకృతం చేయవచ్చు).

రుజువు.

సిద్ధాంతం 40.2 ద్వారా, ఫంక్షన్ s(x) = [a, bలో నిరంతరాయంగా ఉంటుంది ] మరియు, అందువల్ల, దానిపై సమగ్రంగా ఉంటుంది, అంటే, సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపున సమగ్రం (40.2) ఉనికిలో ఉంది. శ్రేణి ఫంక్షన్‌కు ఏకరీతిగా కలుస్తుందని చూపిద్దాం

సూచించు

అప్పుడు ఏదైనా εకి ఒక సంఖ్య ఉంటుంది N , ఇది n > N కోసం

అందువల్ల, సిరీస్ ఏకరీతిగా కలుస్తుంది మరియు దాని మొత్తం σ ( x ) = .

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం 40.4. ఫంక్షన్లు u n (x) విరామంలో నిరంతరం తేడా ఉంటుంది [ a , b ] మరియు వాటి ఉత్పన్నాలతో కూడిన సిరీస్:

(40.3)

ఏకరీతిలో కలుస్తుంది [ a , b ]. అప్పుడు, సిరీస్ కనీసం ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తే, అది అన్నింటిపై ఏకరీతిగా కలుస్తుంది [ a , b ], దాని మొత్తం s (x )= నిరంతరం భేదాత్మకమైన ఫంక్షన్ మరియు

(సిరీస్‌ని పదం ద్వారా వేరు చేయవచ్చు).

రుజువు.

ఫంక్షన్ σ( X ) ఎలా. సిద్ధాంతం 40.3 ద్వారా, శ్రేణి (40.3) పదం ద్వారా పదాన్ని ఏకీకృతం చేయవచ్చు:

ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సిరీస్ [ a , b ] సిద్ధాంతం 40.3 ద్వారా. కానీ సంఖ్యా శ్రేణి సిద్ధాంతం యొక్క స్థితి ద్వారా కలుస్తుంది, కాబట్టి, సిరీస్ ఏకరీతిగా కలుస్తుంది. అప్పుడు ఫంక్షన్ σ( t ) అనేది [ a , b ] మరియు అందువల్ల నిరంతరంగా ఉంటుంది. అప్పుడు ఫంక్షన్ నిరంతరంగా భేదమవుతుంది [ a , b ], మరియు, నిరూపించడానికి అవసరమైన విధంగా.

నిర్వచనం 41.1. తదుపరి శక్తి రూపం యొక్క ఫంక్షనల్ సిరీస్ అంటారు

(41.1)

వ్యాఖ్య. భర్తీ చేయడం ద్వారా x x 0 = t సిరీస్ (41.1)ని ఫారమ్‌కి తగ్గించవచ్చు, కాబట్టి ఫారమ్ యొక్క సిరీస్ కోసం పవర్ సిరీస్ యొక్క అన్ని లక్షణాలను నిరూపించడానికి సరిపోతుంది

(41.2)

సిద్ధాంతం 41.1 (అబెల్ యొక్క 1వ సిద్ధాంతం).పవర్ సిరీస్ (41.2) వద్ద కలిసినట్లయితే x \u003d x 0, ఆపై ఏదైనా x: | x |< | x 0 | సిరీస్ (41.2) ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది. సిరీస్ (41.2) వద్ద విభేదిస్తే x \u003d x 0, అప్పుడు అది దేనికైనా విభేదిస్తుంది x : | x | > | x 0 |.

రుజువు.

శ్రేణి కలిసినట్లయితే, స్థిరంగా ఉంటుంది c > 0:

అందువలన, కోసం సిరీస్ అయితే | x |<| x 0 | కలుస్తుంది ఎందుకంటే ఇది అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం. అందుకే, కోసం సిరీస్ | x |<| x 0 | ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది.

సిరీస్ (41.2) వద్ద విభేదిస్తుంది అని తెలిస్తే x = x 0 , అప్పుడు అది | కోసం కలుస్తుంది x | > | x 0 | , ఇది బిందువు వద్ద కూడా కలుస్తుంది అని ముందుగా నిరూపించబడిన దాని నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది x 0

అందువలన, మీరు సంఖ్యలలో అతిపెద్దది కనుగొంటే x 0 > 0 అంటే (41.2) కలుస్తుంది x \u003d x 0, అప్పుడు ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం, అబెల్ సిద్ధాంతం నుండి క్రింది విధంగా ఉంటుంది, ఇది విరామం (- x 0, x 0 ), బహుశా ఒకటి లేదా రెండు సరిహద్దులతో సహా.

నిర్వచనం 41.2. సంఖ్య R ≥ 0 అంటారు కన్వర్జెన్స్ యొక్క వ్యాసార్థంపవర్ సిరీస్ (41.2) ఈ శ్రేణి కలుస్తుంది కానీ వేరుగా ఉంటుంది. విరామం (- R, R) అంటారు కలయిక విరామంసిరీస్ (41.2).

ఉదాహరణలు.

1. సిరీస్ యొక్క సంపూర్ణ కలయికను అధ్యయనం చేయడానికి, మేము d'Alembert పరీక్షను ఉపయోగిస్తాము: . అందువల్ల, సిరీస్ ఎప్పుడు కలుస్తుంది X = 0, మరియు దాని కలయిక యొక్క వ్యాసార్థం 0: R = 0.
2. అదే d'Alembert పరీక్షను ఉపయోగించి, సిరీస్ దేనికైనా కలుస్తుందని చూపవచ్చు x, అంటే
3. డి'అలెంబర్ట్ పరీక్ష ఆధారంగా సిరీస్ కోసం, మేము పొందుతాము:

కాబట్టి, 1 కోసం< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 విభేదిస్తుంది. వద్ద X = 1 మనకు హార్మోనిక్ శ్రేణి లభిస్తుంది, ఇది తెలిసినట్లుగా, విభేదిస్తుంది మరియు ఎప్పుడు అవుతుంది X = -1 సిరీస్ లీబ్నిజ్ ప్రమాణం ప్రకారం షరతులతో కలుస్తుంది. అందువలన, పరిగణించబడిన శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ యొక్క వ్యాసార్థంఆర్ = 1, మరియు కన్వర్జెన్స్ యొక్క విరామం [-1, 1).

పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని నిర్ణయించడానికి సూత్రాలు.

1. డి'అలెంబర్ట్ ఫార్ములా.

శక్తి శ్రేణిని పరిగణించండి మరియు దానికి డి'అలెంబర్ట్ పరీక్షను వర్తింపజేయండి: శ్రేణి యొక్క కలయిక కోసం, ఇది అవసరం. ఉనికిలో ఉంటే, అప్పుడు కలయిక యొక్క ప్రాంతం అసమానత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అనగా

- (41.3)

• డి'అలెంబర్ట్ సూత్రంకన్వర్జెన్స్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని లెక్కించడానికి.

1. కౌచీ-హడమార్డ్ ఫార్ములా.

అదే విధంగా కౌచీ రాడికల్ ప్రమాణం మరియు తార్కికం ఉపయోగించి, ఈ పరిమితి ఉన్నట్లయితే, అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిగా పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని సెట్ చేయడం సాధ్యమవుతుందని మేము పొందుతాము మరియు తదనుగుణంగా కనుగొనండి కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థం కోసం మరొక సూత్రం:

(41.4)

• కౌచీ-హడమార్డ్ ఫార్ములా.

పవర్ సిరీస్ యొక్క లక్షణాలు.

సిద్ధాంతం 41.2 (అబెల్ యొక్క 2వ సిద్ధాంతం).ఒకవేళ ఆర్ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థం (41.2) మరియు ఈ శ్రేణి వద్ద కలుస్తుంది x = R , అప్పుడు అది విరామంలో ఏకరీతిగా కలుస్తుంది (-ఆర్, ఆర్).

రుజువు.

సైన్-పాజిటివ్ సిరీస్ సిద్ధాంతం 41.1 ద్వారా కలుస్తుంది. కాబట్టి, సిరీస్ (41.2) సిద్ధాంతం 40.1 ద్వారా విరామం [-ρ, ρ]లో ఏకరీతిగా కలుస్తుంది. ρ ఎంపిక నుండి ఇది ఏకరీతి కలయిక యొక్క విరామం (-ఆర్, ఆర్ ), ఇది నిరూపించబడాలి.

పరిణామం 1 . పూర్తిగా కన్వర్జెన్స్ విరామంలో ఉన్న ఏదైనా విభాగంలో, సిరీస్ మొత్తం (41.2) ఒక నిరంతర ఫంక్షన్.

రుజువు.

సిరీస్ యొక్క నిబంధనలు (41.2) నిరంతర విధులు, మరియు సిరీస్ పరిశీలనలో ఉన్న విరామంలో ఏకరీతిగా కలుస్తుంది. అప్పుడు దాని మొత్తం యొక్క కొనసాగింపు సిద్ధాంతం 40.2 నుండి అనుసరిస్తుంది.

పర్యవసానం 2. ఏకీకరణ α, β యొక్క పరిమితులు పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యవధిలో ఉంటే, అప్పుడు సిరీస్ మొత్తం యొక్క సమగ్రత సిరీస్ నిబంధనల యొక్క సమగ్రాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది:

(41.5)

ఈ వాదన యొక్క రుజువు సిద్ధాంతం 40.3 నుండి అనుసరించబడింది.

సిద్ధాంతం 41.3. శ్రేణి (41.2) కలయిక విరామాన్ని కలిగి ఉంటే (- R , R ), ఆపై సిరీస్

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

శ్రేణి (41.2) యొక్క టర్మ్-బై-టర్మ్ భేదం ద్వారా పొందబడింది, కలయిక యొక్క ఒకే అంతరం ఉంటుంది (-ఆర్, ఆర్). ఇందులో

φ΄ (х) = s΄ (x) కోసం | x |< R , (41.7)

అంటే, కన్వర్జెన్స్ విరామంలో, పవర్ సిరీస్ మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం దాని టర్మ్-బై-టర్మ్ డిఫరెన్సియేషన్ ద్వారా పొందిన సిరీస్ మొత్తానికి సమానం.

రుజువు.

మేము ρ: 0ని ఎంచుకుంటాము< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . అప్పుడు సిరీస్ కలుస్తుంది, కాబట్టి, అంటే| x | ≤ ρ, అప్పుడు

ఈ విధంగా, ధారావాహిక యొక్క నిబంధనలు (41.6) సానుకూల సంకేత శ్రేణి యొక్క నిబంధనల కంటే సంపూర్ణ విలువలో తక్కువగా ఉంటాయి, ఇది డి'అలెంబర్ట్ పరీక్ష ప్రకారం కలుస్తుంది:

అంటే, ఇది సిరీస్ (41.6)కి ప్రధానమైనది కాబట్టి, సిరీస్ (41.6) [-ρ, ρ]పై ఏకరీతిగా కలుస్తుంది. కాబట్టి, సిద్ధాంతం 40.4 ద్వారా, సమానత్వం (41.7) నిజం. ρ ఎంపిక నుండి సిరీస్ (41.6) విరామం యొక్క ఏదైనా అంతర్గత బిందువు వద్ద కలుస్తుంది (-ఆర్, ఆర్).

ఈ విరామం వెలుపల సిరీస్ (41.6) విభేదిస్తుందని నిరూపిద్దాం. నిజానికి, అది వద్ద కలిసినట్లయితే x1 > R , ఆపై, విరామంలో పదం వారీగా దాన్ని ఏకీకృతం చేయడం (0, x 2), ఆర్< x 2 < x 1 , సిరీస్ (41.2) పాయింట్ వద్ద కలుస్తుందని మేము పొందుతాము x 2 , ఇది సిద్ధాంతం యొక్క స్థితికి విరుద్ధంగా ఉంది. కాబట్టి, సిద్ధాంతం పూర్తిగా నిరూపించబడింది.

వ్యాఖ్య . సిరీస్ (41.6), క్రమంగా, పదం ద్వారా పదాన్ని వేరు చేయవచ్చు మరియు ఈ ఆపరేషన్ కావలసినన్ని సార్లు చేయవచ్చు.

ముగింపు: పవర్ సిరీస్ విరామంలో కలిసినట్లయితే (-ఆర్, ఆర్ ), అప్పుడు దాని మొత్తం అనేది కన్వర్జెన్స్ విరామంలో ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉండే ఒక ఫంక్షన్, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి టర్మ్-బై-టర్మ్ డిఫరెన్సియేషన్‌ని సంబంధిత సార్లు ఉపయోగించి అసలు నుండి పొందిన శ్రేణి మొత్తం; ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నాల శ్రేణికి కలయిక యొక్క విరామం (-ఆర్, ఆర్).

డిపార్ట్‌మెంట్ ఆఫ్ ఇన్ఫర్మేటిక్స్ అండ్ హయ్యర్ మ్యాథమెటిక్స్, KSPU

అంశం 2. ఫంక్షనల్ సిరీస్. పవర్ సిరీస్

2.1 ఫంక్షనల్ వరుసలు

ఇప్పటివరకు, మేము సభ్యులుగా ఉన్న సిరీస్‌లను పరిగణించాము. ఇప్పుడు మనం విధులు సభ్యులుగా ఉన్న సిరీస్‌ల అధ్యయనానికి వెళ్దాం.

ఫంక్షనల్ పరిధి వరుస అంటారు

దీని సభ్యులు ఒకే ఆర్గ్యుమెంట్‌కు సంబంధించిన విధులు అదే సెట్‌లో నిర్వచించబడిన E.

ఉదాహరణకి,

1.
;

2.
;

మేము ఒక వాదన ఇస్తే Xకొంత సంఖ్యా విలువ
,
, అప్పుడు మనకు నంబర్ సిరీస్ వస్తుంది

ఇది కలుస్తుంది (పూర్తిగా కలుస్తుంది) లేదా విభేదిస్తుంది.

వద్ద ఉంటే
ఫలిత సంఖ్య శ్రేణి కలుస్తుంది, ఆపై పాయింట్
అని పిలిచారుకన్వర్జెన్స్ పాయింట్ ఫంక్షనల్ వరుస. కన్వర్జెన్స్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితిని అంటారుకలయిక ప్రాంతం ఫంక్షనల్ వరుస.సమ్మిళిత ప్రాంతాన్ని సూచిస్తాము X, స్పష్టంగా,
.

సానుకూల సంఖ్యా శ్రేణి కోసం ప్రశ్న ఎదురైతే: “సిరీస్ కలుస్తుందా లేదా విభేదిస్తుందా?”, సంకేత-వేరియబుల్ సిరీస్ కోసం, ప్రశ్న: “ఇది షరతులతో లేదా ఖచ్చితంగా, - లేదా వేరుగా కలుస్తుందా?”, ఆపై ఫంక్షనల్ కోసం సిరీస్ ప్రధాన ప్రశ్న: “ఏదానికి కలుస్తుంది (ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది). X?».

ఫంక్షనల్ పరిధి
వాదన యొక్క ప్రతి విలువ ప్రకారం ఒక చట్టాన్ని ఏర్పాటు చేస్తుంది
,
, సంఖ్య సిరీస్ మొత్తానికి సమానమైన సంఖ్య కేటాయించబడుతుంది
. అందువలన, సెట్లో Xఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది
, అని పిలుస్తారు ఫంక్షనల్ సిరీస్ మొత్తం.

ఉదాహరణ 16

ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

.

పరిష్కారం.

వీలు Xస్థిర సంఖ్య, అప్పుడు ఈ శ్రేణిని సానుకూల గుర్తుతో సంఖ్యా శ్రేణిగా పరిగణించవచ్చు
మరియు వద్ద ప్రత్యామ్నాయంగా
.

ఈ శ్రేణిలోని సభ్యుల సంపూర్ణ విలువల శ్రేణిని తయారు చేద్దాం:

అంటే ఏదైనా విలువ కోసం Xఈ పరిమితి ఒకటి కంటే తక్కువ, అంటే ఈ శ్రేణి కలుస్తుంది మరియు పూర్తిగా (మేము సిరీస్ నిబంధనల యొక్క సంపూర్ణ విలువల శ్రేణిని అధ్యయనం చేసినందున) మొత్తం వాస్తవ అక్షం మీద ఉంటుంది.

అందువలన, సంపూర్ణ కలయిక యొక్క ప్రాంతం సమితి
.

ఉదాహరణ 17.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి
.

పరిష్కారం.

వీలు Xఒక స్థిర సంఖ్య
, అప్పుడు ఈ శ్రేణిని సానుకూల సంకేతంతో సంఖ్యా శ్రేణిగా పరిగణించవచ్చు
మరియు వద్ద ప్రత్యామ్నాయంగా
.

ఈ శ్రేణిలోని సభ్యుల సంపూర్ణ విలువల శ్రేణిని పరిగణించండి:

మరియు దానికి DAlembert పరీక్షను వర్తింపజేయండి.

DAlembert పరీక్ష ప్రకారం, పరిమితి విలువ ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటే సిరీస్ కలుస్తుంది, అనగా. ఉంటే ఈ సిరీస్ కలుస్తుంది
.

ఈ అసమానతను పరిష్కరిస్తూ, మేము పొందుతాము:


.

ఈ విధంగా, వద్ద, ఈ శ్రేణి యొక్క నిబంధనల యొక్క సంపూర్ణ విలువలతో కూడిన సిరీస్ కలుస్తుంది, అంటే అసలు సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది మరియు వద్ద
ఈ సిరీస్ వేరుగా ఉంటుంది.

వద్ద
ఈ విలువల కోసం సిరీస్ కలుస్తుంది లేదా విభేదించవచ్చు Xపరిమితి విలువ ఒకదానికి సమానం. అందువల్ల, మేము పాయింట్ల శ్రేణి యొక్క కలయికను అదనంగా అధ్యయనం చేస్తాము
మరియు
.

ఈ వరుసలో ప్రత్యామ్నాయం
, మనకు ఒక నంబర్ సిరీస్ వస్తుంది
, ఇది హార్మోనిక్ డైవర్జెంట్ సిరీస్ అని తెలిసిన దాని గురించి, అప్పుడు పాయింట్
అనేది అందించిన సిరీస్ యొక్క డైవర్జెన్స్ పాయింట్.

వద్ద
ఒక ప్రత్యామ్నాయ సంఖ్య శ్రేణి పొందబడుతుంది

ఇది షరతులతో కలుస్తుంది (ఉదాహరణ 15 చూడండి), కాబట్టి పాయింట్
సిరీస్ యొక్క షరతులతో కూడిన కన్వర్జెన్స్ పాయింట్.

ఈ విధంగా, ఈ శ్రేణి యొక్క కలయిక ప్రాంతం , మరియు సిరీస్ ఖచ్చితంగా వద్ద కలుస్తుంది.

ఫంక్షనల్ పరిధి

అని పిలిచారుఆధిపత్యం వహించింది x యొక్క కొంత పరిధిలో, అటువంటి కన్వర్జెంట్ పాజిటివ్ సిరీస్ ఉంటే

,

ఇచ్చిన ప్రాంతం నుండి అన్ని x కోసం షరతు
వద్ద
. వరుస
అని పిలిచారుప్రధానమైన.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, శ్రేణిలోని ప్రతి నిబంధనలు కొన్ని అనుకూల-సంకేత శ్రేణి యొక్క సంబంధిత పదం కంటే సంపూర్ణ విలువలో ఎక్కువగా లేకుంటే అది ఆధిపత్యం చెలాయిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, ఒక వరుస

దేనికైనా ఆధిపత్యం ఉంది X, ఎందుకంటే అందరికీ Xసంబంధం

వద్ద
,

మరియు ఒక వరుస కన్వర్జెంట్ అని తెలిసింది.

సిద్ధాంతంవీయర్‌స్ట్రాస్

కొన్ని డొమైన్‌లో ఆధిపత్యం చెలాయించిన సిరీస్ ఖచ్చితంగా ఆ డొమైన్‌లో కలుస్తుంది.

ఉదాహరణకు, ఫంక్షనల్ సిరీస్‌ను పరిగణించండి
. ఈ సిరీస్‌లో ఆధిపత్యం ఉంది
, ఎందుకంటే వద్ద
సిరీస్ యొక్క నిబంధనలు సానుకూల శ్రేణి యొక్క సంబంధిత సభ్యులను మించవు . కాబట్టి, వీర్‌స్ట్రాస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, పరిగణించబడిన ఫంక్షనల్ సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది
.

2.2 పవర్ సిరీస్. అబెల్ సిద్ధాంతం. పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ డొమైన్

వివిధ రకాల ఫంక్షనల్ సిరీస్‌లలో, ప్రాక్టికల్ అప్లికేషన్ యొక్క కోణం నుండి చాలా ముఖ్యమైనవి పవర్ మరియు త్రికోణమితి సిరీస్. ఈ వరుసలను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం.

తదుపరి శక్తి డిగ్రీల ద్వారా
రూపం యొక్క ఫంక్షనల్ సిరీస్ అంటారు

ఎక్కడ కొంత స్థిర సంఖ్య,
శ్రేణి యొక్క గుణకాలు అని పిలువబడే సంఖ్యలు.

వద్ద
మేము అధికారాలలో శక్తి శ్రేణిని పొందుతాము X, ఇది కనిపిస్తుంది

.

సరళత కోసం, మేము పవర్ సిరీస్‌లను పవర్‌లలో పరిశీలిస్తాము X, అటువంటి సిరీస్ నుండి అధికారాలలో శ్రేణిని పొందడం సులభం కనుక
, బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం Xవ్యక్తీకరణ
.

పవర్ సిరీస్ యొక్క తరగతి యొక్క సరళత మరియు ప్రాముఖ్యత ప్రధానంగా పవర్ సిరీస్ యొక్క పాక్షిక మొత్తం కారణంగా ఉంటుంది

బహుపది - దీని లక్షణాలు బాగా అధ్యయనం చేయబడిన మరియు కేవలం అంకగణిత కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి విలువలు సులభంగా లెక్కించబడే ఒక ఫంక్షన్.

పవర్ సిరీస్ అనేది ఫంక్షనల్ సిరీస్‌కి ప్రత్యేక సందర్భం కాబట్టి, అవి కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం కూడా అవసరం. ఏకపక్ష క్రియాత్మక శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతానికి విరుద్ధంగా, ఇది ఏకపక్ష రూపం యొక్క సమితి కావచ్చు, పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం బాగా నిర్వచించబడిన రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ క్రింది సిద్ధాంతం చెప్పేది ఇదే.

సిద్ధాంతంఅబెల్.

పవర్ సిరీస్ ఉంటే
కొంత విలువ వద్ద కలుస్తుంది
, అప్పుడు అది కలుస్తుంది, మరియు ఖచ్చితంగా, షరతును సంతృప్తిపరిచే x యొక్క అన్ని విలువలకు
. శక్తి శ్రేణి కొంత విలువతో విభేదిస్తే
, అప్పుడు అది పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే విలువల కోసం కూడా విభేదిస్తుంది
.

ఇది అబెల్ యొక్క సిద్ధాంతం నుండి అనుసరిస్తుంది అన్నీఅధికారాలలో పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ పాయింట్లు Xకోఆర్డినేట్‌ల మూలం నుండి గుర్తించబడింది ఏదైనా డైవర్జెన్స్ పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ. కన్వర్జెన్స్ పాయింట్లు మూలం వద్ద కేంద్రీకృతమై ఒక నిర్దిష్ట ఖాళీని పూరించినట్లు స్పష్టంగా ఉంది. పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతంపై సిద్ధాంతం చెల్లుతుంది.

సిద్ధాంతం.

ఏదైనా పవర్ సిరీస్ కోసం
ఒక సంఖ్య ఉందిఆర్ (ఆర్>0)అన్ని x విరామం లోపల పడుకునే విధంగా
, సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది మరియు విరామం వెలుపల ఉన్న అన్ని x కోసం
, సిరీస్ వేరుగా ఉంటుంది.

సంఖ్యఆర్అని పిలిచారుకన్వర్జెన్స్ యొక్క వ్యాసార్థం పవర్ సిరీస్ మరియు విరామం
– కలయిక విరామం x శక్తులలో పవర్ సిరీస్.

కన్వర్జెన్స్ విరామం చివరలో సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ గురించి సిద్ధాంతం ఏమీ చెప్పలేదని గమనించండి, అనగా. పాయింట్ల వద్ద
. ఈ పాయింట్ల వద్ద, విభిన్న శక్తి శ్రేణులు విభిన్నంగా ప్రవర్తిస్తాయి: శ్రేణి కలుస్తుంది (ఖచ్చితంగా లేదా షరతులతో), లేదా అది విభేదించవచ్చు. అందువల్ల, ఈ పాయింట్ల వద్ద సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ నేరుగా నిర్వచనం ద్వారా తనిఖీ చేయబడాలి.

ప్రత్యేక సందర్భాలలో, శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థం సున్నా లేదా అనంతానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఉంటే
, అప్పుడు అధికారాలలో పవర్ సిరీస్ Xఒక పాయింట్ వద్ద మాత్రమే కలుస్తుంది
; ఉంటే
, అప్పుడు పవర్ సిరీస్ మొత్తం వాస్తవ అక్షం మీద కలుస్తుంది.

మళ్ళీ, పవర్ సిరీస్ గమనించండి
డిగ్రీల ద్వారా
పవర్ సిరీస్‌కి తగ్గించవచ్చు
భర్తీ చేయడం ద్వారా
. వరుస ఉంటే
వద్ద కలుస్తుంది
, అనగా కోసం
, అప్పుడు రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత మనకు లభిస్తుంది

 లేదా
.

అందువలన, పవర్ సిరీస్ యొక్క కలయిక యొక్క విరామం
రూపం ఉంది
. పాయింట్ అని పిలిచారు కలయిక కేంద్రం. స్పష్టత కోసం, సంఖ్యా అక్షంపై కన్వర్జెన్స్ విరామాన్ని వర్ణించడం ఆచారం (మూర్తి 1)

అందువలన, కన్వర్జెన్స్ యొక్క ప్రాంతం కన్వర్జెన్స్ యొక్క విరామాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీనికి పాయింట్లు జోడించబడతాయి
ఈ పాయింట్ల వద్ద సిరీస్ కలిసినట్లయితే. ఈ శ్రేణిలోని సభ్యుల సంపూర్ణ విలువలతో కూడిన శ్రేణికి DAlembert పరీక్ష లేదా రాడికల్ కౌచీ పరీక్షను నేరుగా వర్తింపజేయడం ద్వారా కన్వర్జెన్స్ యొక్క విరామాన్ని కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 18.

శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి
.

పరిష్కారం.

ఈ శ్రేణి అధికారాలలో పవర్ సిరీస్ X, అనగా
. ఈ శ్రేణిలోని సభ్యుల సంపూర్ణ విలువలతో కూడిన శ్రేణిని పరిగణించండి మరియు dAlembert పరీక్షను ఉపయోగించండి.

పరిమితి విలువ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటే సిరీస్ కలుస్తుంది, అనగా.

, ఎక్కడ
.

అందువలన, ఈ శ్రేణి యొక్క కలయిక యొక్క విరామం
, కన్వర్జెన్స్ యొక్క వ్యాసార్థం
.

మేము ఇంటర్వెల్ చివరల్లో, పాయింట్ల వద్ద సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్‌ని అధ్యయనం చేస్తాము
. ఈ శ్రేణిలో విలువను భర్తీ చేయడం
, మేము సిరీస్‌ని పొందుతాము

.

ఫలితంగా వచ్చే సిరీస్ హార్మోనిక్ డైవర్జింగ్ సిరీస్, కాబట్టి పాయింట్ వద్ద
సిరీస్ వేరుగా ఉంటుంది, కాబట్టి పాయింట్
కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతంలో చేర్చబడలేదు.

వద్ద
మేము ప్రత్యామ్నాయ సిరీస్‌ని పొందుతాము

,

ఇది షరతులతో కూడుకున్నది (ఉదాహరణ 15), అందుకే పాయింట్
– కన్వర్జెన్స్ పాయింట్ (షరతులతో కూడినది).

అందువలన, శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం
, మరియు పాయింట్ వద్ద
సిరీస్ షరతులతో కలుస్తుంది మరియు ఇతర పాయింట్ల వద్ద - ఖచ్చితంగా.

ఉదాహరణను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించే తార్కికం సాధారణ పాత్రను ఇవ్వవచ్చు.

పవర్ సిరీస్‌ను పరిగణించండి

సిరీస్‌లోని సభ్యుల సంపూర్ణ విలువల శ్రేణిని తయారు చేద్దాం మరియు దానికి D "అలెంబర్ట్ యొక్క చిహ్నాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

(పరిమితం లేదా అనంతం) పరిమితి ఉంటే, డి'అలెంబర్ట్ పరీక్ష యొక్క కన్వర్జెన్స్ షరతు ప్రకారం, సిరీస్ కలుస్తుంది

,

,

.

ఇక్కడ నుండి, కలయిక యొక్క విరామం మరియు వ్యాసార్థం యొక్క నిర్వచనం నుండి, మేము కలిగి ఉన్నాము

రాడికల్ కౌచీ ప్రమాణాన్ని వర్తింపజేయడం మరియు అదే విధంగా తార్కికం చేయడం, కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనడానికి మరొక సూత్రాన్ని పొందవచ్చు.

ఉదాహరణ 19

పరిష్కారం.

శ్రేణి అధికారాలలో ఒక పవర్ సిరీస్ X.కన్వర్జెన్స్ విరామాన్ని కనుగొనడానికి, మేము పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని గణిస్తాము. ఇచ్చిన శ్రేణి కోసం, సంఖ్యా గుణకం యొక్క ఫార్ములా రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

, అప్పుడు

అందుకే,

ఎందుకంటే ఆర్ = , అప్పుడు సిరీస్ అన్ని విలువలకు (ఖచ్చితంగా) కలుస్తుంది X,ఆ. కలయిక ప్రాంతం X (–; +).

సూత్రాలను ఉపయోగించకుండా కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుందని గమనించండి, కానీ నేరుగా D "అలెంబర్ట్:

పరిమితి విలువ ఆధారపడి ఉండదు కాబట్టి Xమరియు 1 కంటే తక్కువ, ఆపై సిరీస్ అన్ని విలువలకు కలుస్తుంది X,ఆ. వద్ద X(-;+).

ఉదాహరణ 20

శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + పి!(X + 5) పి +...

పరిష్కారం .

x + 5), ఆ. కన్వర్జెన్స్ సెంటర్ X 0 = - 5. సిరీస్ యొక్క సంఖ్యా గుణకం ఎ పి = ఎన్!.

సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి

.

అందువలన, కన్వర్జెన్స్ విరామం ఒక బిందువును కలిగి ఉంటుంది - కన్వర్జెన్స్ విరామం యొక్క కేంద్రం x = - 5.

ఉదాహరణ 21

శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి
.

పరిష్కారం.

ఈ శ్రేణి అధికారాలలో పవర్ సిరీస్ ( X–2), ఆ.

కన్వర్జెన్స్ సెంటర్ X 0 = 2. ఏదైనా స్థిరమైన వాటికి సిరీస్ సైన్-పాజిటివ్ అని గమనించండి X,ఎందుకంటే వ్యక్తీకరణ ( X- 2) 2 శక్తికి పెంచబడింది పి.సీరీస్‌కి రాడికల్ కౌచీ ప్రమాణాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

పరిమితి విలువ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటే సిరీస్ కలుస్తుంది, అనగా.

,
,
,

కాబట్టి కన్వర్జెన్స్ యొక్క వ్యాసార్థం
, అప్పుడు కన్వర్జెన్స్ సమగ్రం

,
.

అందువలన, సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది X
. కన్వర్జెన్స్ ఇంటిగ్రల్ కన్వర్జెన్స్ కేంద్రానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుందని గమనించండి Xఓ = 2.

కన్వర్జెన్స్ విరామం చివరలో సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్‌ని అధ్యయనం చేద్దాం.

ఊహిస్తూ
, మేము సంఖ్యాపరమైన సానుకూల-సంకేత శ్రేణిని పొందుతాము

మేము అవసరమైన కన్వర్జెన్స్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

అందువల్ల, సంఖ్యల శ్రేణి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు పాయింట్
అనేది డైవర్జెన్స్ పాయింట్. పరిమితి యొక్క గణనలో రెండవ గొప్ప పరిమితి ఉపయోగించబడిందని గమనించండి.

ఊహిస్తూ
, మేము ఒకే సంఖ్యల శ్రేణిని పొందుతాము (మీరే తనిఖీ చేసుకోండి!), కాబట్టి పాయింట్
కన్వర్జెన్స్ విరామంలో కూడా చేర్చబడలేదు.

కాబట్టి, ఈ సిరీస్ యొక్క సంపూర్ణ కలయిక ప్రాంతం X
.

2.3 కన్వర్జెంట్ పవర్ సిరీస్ యొక్క లక్షణాలు

నిరంతర విధుల యొక్క పరిమిత మొత్తం నిరంతరంగా ఉంటుందని మనకు తెలుసు; భేదాత్మక ఫంక్షన్ల మొత్తం భేదాత్మకంగా ఉంటుంది మరియు మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల మొత్తానికి సమానం; చివరి మొత్తాన్ని పదం వారీగా ఏకీకృతం చేయవచ్చు.

ఇది ఫంక్షన్ల "అనంతమైన మొత్తాలు" కోసం - ఫంక్షనల్ సిరీస్, సాధారణ సందర్భంలో, లక్షణాలు జరగవు.

ఉదాహరణకు, ఫంక్షనల్ సిరీస్‌ను పరిగణించండి

సహజంగానే, సిరీస్‌లోని సభ్యులందరూ నిరంతర విధులు. ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం మరియు దాని మొత్తాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము సిరీస్ యొక్క పాక్షిక మొత్తాలను కనుగొంటాము

ఆపై సిరీస్ మొత్తం

కాబట్టి మొత్తం ఎస్(X) ఈ శ్రేణిలో, పాక్షిక మొత్తాల శ్రేణి యొక్క పరిమితిగా, ఉనికిలో ఉంది మరియు పరిమితంగా ఉంటుంది X (-1;1), అందువల్ల, ఈ విరామం అనేది సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం. అంతేకాకుండా, దాని మొత్తం ఒక నిరంతర ఫంక్షన్, నుండి

కాబట్టి, ఈ ఉదాహరణ చూపిస్తుంది, సాధారణ సందర్భంలో, పరిమిత మొత్తాల లక్షణాలు అనంతమైన మొత్తాలకు - సిరీస్‌కు అనలాగ్‌ను కలిగి ఉండవు. అయితే, ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భంలో - పవర్ సిరీస్ - మొత్తం యొక్క లక్షణాలు పరిమిత మొత్తాల లక్షణాలను పోలి ఉంటాయి.

ఫంక్షనల్ పరిధి అధికారికంగా వ్రాసిన వ్యక్తీకరణ అంటారు

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

ఎక్కడ u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - స్వతంత్ర వేరియబుల్ నుండి ఫంక్షన్ల క్రమం x.

సిగ్మాతో ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క సంక్షిప్త సంజ్ఞామానం:.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ ఉదాహరణలు :

(2)

(3)

స్వతంత్ర చరరాశిని ఇవ్వడం xకొంత విలువ x0 మరియు దానిని ఫంక్షనల్ సిరీస్ (1)కి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము సంఖ్యా శ్రేణిని పొందుతాము

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

పొందిన సంఖ్యా శ్రేణి కలుస్తే, ఫంక్షనల్ సిరీస్ (1) కలుస్తుంది x = x0 ; అది వేరుగా ఉంటే, సిరీస్ అని చెప్పబడినది (1) వద్ద విభేదిస్తుంది x = x0 .

ఉదాహరణ 1. ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్‌ను పరిశోధించండి(2) విలువల కోసం x= 1 మరియు x = - 1 .
పరిష్కారం. వద్ద x= 1 మనకు ఒక సంఖ్యా శ్రేణి వస్తుంది

ఇది లైబ్నిజ్ పరీక్ష ప్రకారం కలుస్తుంది. వద్ద x= - 1 మనకు ఒక సంఖ్యా శ్రేణి వస్తుంది

,

ఇది భిన్నమైన శ్రావ్యమైన శ్రేణి యొక్క ఉత్పత్తిగా విభేదిస్తుంది – 1. అందువలన, సిరీస్ (2) వద్ద కలుస్తుంది x= 1 మరియు వేరుగా ఉంటుంది x = - 1 .

ఫంక్షనల్ సిరీస్ (1) యొక్క కన్వర్జెన్స్ కోసం అటువంటి పరీక్ష దాని సభ్యుల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలకు సంబంధించి నిర్వహించబడితే, ఈ డొమైన్ యొక్క పాయింట్లు రెండు సెట్లుగా విభజించబడతాయి: విలువలతో xవాటిలో ఒకదానిలో తీసుకుంటే, సిరీస్ (1) కలుస్తుంది మరియు మరొకదానిలో అది విభేదిస్తుంది.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ కలిసే స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క విలువల సమితిని దాని అంటారు కలయిక ప్రాంతం .

ఉదాహరణ 2. ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం. శ్రేణిలోని సభ్యులు మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిర్వచించబడ్డారు మరియు హారంతో జ్యామితీయ పురోగతిని ఏర్పరుస్తారు q= పాపం x. కాబట్టి సిరీస్ కలుస్తుంది

మరియు ఉంటే విభేదిస్తుంది

(విలువలు సాధ్యం కాదు). కానీ విలువల కోసం మరియు ఇతర విలువల కోసం x. అందువల్ల, సిరీస్ అన్ని విలువలకు కలుస్తుంది x, తప్ప . ఈ పాయింట్లను మినహాయించి, దాని కలయిక యొక్క ప్రాంతం మొత్తం సంఖ్య రేఖ.

ఉదాహరణ 3. ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సిరీస్ యొక్క నిబంధనలు హారంతో జ్యామితీయ పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి q= ln x. కాబట్టి, సిరీస్ అయితే , లేదా , ఎక్కడ నుండి కలుస్తుంది . ఇది ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం.

ఉదాహరణ 4. ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్‌ను పరిశోధించండి

పరిష్కారం. ఏకపక్ష విలువను తీసుకుందాం. ఈ విలువతో, మనకు ఒక సంఖ్య శ్రేణి వస్తుంది

(*)

దాని సాధారణ పదం యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి

పర్యవసానంగా, సిరీస్ (*) ఏకపక్షంగా ఎంచుకున్న దాని కోసం విభేదిస్తుంది, అనగా. ఏదైనా విలువ కోసం x. దాని కలయిక యొక్క డొమైన్ ఖాళీ సెట్.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ మరియు దాని లక్షణాల యొక్క ఏకరీతి కలయిక

కాన్సెప్ట్‌కి వెళ్దాం ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క ఏకరీతి కలయిక . వీలు లు(x) అనేది ఈ సిరీస్ మొత్తం, మరియు లుn ( x) - మొత్తం nఈ సిరీస్‌లోని మొదటి సభ్యులు. ఫంక్షనల్ పరిధి u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... విరామంలో ఏకరీతిగా కన్వర్జెంట్ అంటారు [ a, బి] , ఏదైనా ఏకపక్షంగా చిన్న సంఖ్యలో ఉంటే ε > 0 అటువంటి సంఖ్య ఉంది ఎన్, అది అందరికీ n ≥ ఎన్అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది

|లు(x) − లు n ( x)| < ε

ఎవరికైనా xసెగ్మెంట్ నుండి [ a, బి] .

పై ఆస్తిని ఈ క్రింది విధంగా జ్యామితీయంగా వివరించవచ్చు.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి వై = లు(x) . మేము ఈ వక్రరేఖ చుట్టూ వెడల్పు 2 స్ట్రిప్‌ను నిర్మిస్తాము. ε n, అంటే, మేము వక్రతలను నిర్మిస్తాము వై = లు(x) + ε nమరియు వై = లు(x) − ε n(క్రింద ఉన్న చిత్రంలో అవి ఆకుపచ్చగా ఉంటాయి).

అప్పుడు దేనికైనా ε nఫంక్షన్ గ్రాఫ్ లుn ( x) పరిశీలనలో ఉన్న బ్యాండ్‌లో పూర్తిగా ఉంటుంది. అదే బ్యాండ్ అన్ని తదుపరి పాక్షిక మొత్తాల గ్రాఫ్‌లను కలిగి ఉంటుంది.

పైన వివరించిన ఫీచర్ లేని ఏదైనా కన్వర్జెంట్ ఫంక్షనల్ సిరీస్ నాన్-యూనిఫాం కన్వర్జెంట్.

ఏకరీతిగా కన్వర్జెంట్ ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క మరొక ఆస్తిని పరిగణించండి:

కొంత విరామంలో ఏకరీతిగా కలుస్తున్న నిరంతర ఫంక్షన్ల శ్రేణి మొత్తం [ a, బి] , ఈ విభాగంలో నిరంతరంగా ఉండే ఫంక్షన్ ఉంది.

ఉదాహరణ 5ఫంక్షనల్ సిరీస్ మొత్తం నిరంతరంగా ఉందో లేదో నిర్ణయించండి

పరిష్కారం. మొత్తం కనుక్కోండి nఈ సిరీస్‌లోని మొదటి సభ్యులు:

ఉంటే x> 0 , అప్పుడు

,

ఉంటే x < 0 , то

ఉంటే x= 0 , అప్పుడు

ఇందుమూలంగా .

ఈ శ్రేణి మొత్తం నిరంతరాయంగా పని చేస్తుందని మా అధ్యయనం చూపించింది. దీని గ్రాఫ్ క్రింది చిత్రంలో చూపబడింది.

ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క ఏకరీతి కన్వర్జెన్స్ కోసం వీర్‌స్ట్రాస్ పరీక్ష

భావన ద్వారా వీర్‌స్ట్రాస్ ప్రమాణాన్ని చేరుద్దాం ఫంక్షనల్ సిరీస్ యొక్క మెజారిటీలు . ఫంక్షనల్ పరిధి

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...