Lăsați funcția să fie definită în domeniu

Definiție. Expresie

numit funcţional aproape.

Exemplu.

Pentru unele valori, seria poate converge, pentru alte valori poate diverge.

Exemplu.

Găsiți aria de convergență a seriei. Această serie este definită pentru valori

Dacă atunci , seria diverge, deoarece nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei; dacă seria diverge; if este o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Compararea acestei serii cu seria convergentă la dă regiunea de convergenţă a seriei studiate.

Cu valorile din seria funcțională se obține o serie numerică

Dacă pentru seria de numere converge, atunci punctul este numit punct de convergență rând funcțional.

Mulțimea tuturor punctelor de convergență ale unei serii formează regiunea de convergență a acesteia. Zona de convergență este de obicei un interval al axei.

Dacă în fiecare punct seria de numere converge, atunci seria funcțională se numește convergenteîn zonă.

Suma seriei funcționale este o funcție a variabilei definite în regiunea de convergență a seriei

Ce proprietăți au funcțiile dacă proprietățile sunt cunoscute ca membru al seriei, adică.

Continuitatea funcțiilor nu este suficientă pentru a face o concluzie despre continuitate.

Convergența unei serii de funcții continue la o funcție continuă este asigurată de o condiție suplimentară care exprimă o caracteristică importantă a convergenței unei serii funcționale.

Definiție. O serie funcțională se numește convergentă în domeniu dacă există o limită a sumelor parțiale ale acestei serii, adică .

Definiție. O serie funcțională se numește uniform convergentă în regiune dacă pentru orice pozitiv, există un astfel de număr încât inegalitatea este valabilă pentru toate.

Sensul geometric al convergenței uniforme

Dacă înconjurăm graficul funcției cu o bandă, definită de relația atunci graficele toate funcții, începând cu o valoare suficient de mare, în întregime se află în această „fâșie” care înconjoară graficul funcției limită.

Proprietățile unei serii uniform convergente .

1. Suma unei serii uniform convergente dintr-o regiune, compusă din funcții continue, este o funcție continuă în această regiune.

2. O astfel de serie poate fi diferenţiată termen cu termen

3. Seria poate fi integrată termen cu termen

Pentru a determina dacă o serie funcțională este uniform convergentă, trebuie să folosim criteriul de convergență suficientă Weierstrass.

Definiție. Seria funcțională se numește dominatîntr-o regiune de schimbare dacă există o serie numerică atât de convergentă cu termeni pozitivi încât inegalitățile să fie valabile pentru toată această regiune.

semn Weierstrass(convergenţa uniformă a seriei funcţionale).

Gama funcțională converge uniformîn domeniul convergenţei dacă este dominată în acest domeniu.

Cu alte cuvinte, dacă funcțiile dintr-o anumită zonă nu depășesc numerele pozitive corespunzătoare în valoare absolută și dacă seria de numere converge, atunci seria funcțională converge uniform în această zonă.

Exemplu. Demonstrați convergența uniformă a seriei funcționale.

Soluţie. . Să înlocuim termenul comun al acestei serii cu termenul comun al seriei numerice, dar depășind fiecare membru al seriei în valoare absolută. Pentru a face acest lucru, este necesar să se determine la care termenul comun al seriei va fi maxim.

Seria numerică rezultată converge, ceea ce înseamnă că seria funcțională converge uniform conform testului Weierstrass.

Exemplu. Aflați suma seriei.

Pentru a găsi suma unei serii, folosim formula binecunoscută pentru suma unei progresii geometrice

Diferențiând părțile stânga și dreapta ale formulei (1), obținem succesiv

În suma care trebuie calculată, evidențiem termenii proporționali cu derivatele prima și a doua:

Să calculăm derivatele:

Serie de puteri.

Printre seriile funcționale există o clasă de putere și serii trigonometrice.

Definiție. Seria funcțională a formei

se numește putere în puteri. Expresiile sunt numere constante.

Dacă seria este o serie de puteri în puteri de .

Domeniul de convergență al unei serii de puteri. teorema lui Abel.

Teorema. Dacă o serie de puteri converge într-un punct, atunci converge și, în plus, absolut pentru orice valoare care este mai mică în valoare absolută, adică sau în interval.

Dovada.

Datorită convergenței radului, termenul său comun trebuie să tindă spre zero, deci toți termenii acestei serii sunt mărginiți uniform: există un număr pozitiv constant, astfel încât pentru orice inegalitatea este valabilă, care pentru toți cei cu centrul la punct

rânduri funcționale. Serie de puteri.
Domeniul de convergență al seriei

Râsul fără motiv este un semn al lui d'Alembert

Deci ora rândurilor funcționale a sunat. Pentru a stăpâni cu succes subiectul și, în special, această lecție, trebuie să fii bine versat în seria de numere obișnuită. Ar trebui să înțelegeți bine ce este o serie, să puteți aplica semnele de comparație pentru a studia seria pentru convergență. Astfel, dacă tocmai ați început să studiați subiectul sau sunteți un ceainic la matematică superioară, necesar lucrați prin trei lecții în succesiune: Rânduri pentru ceainice,Semnul lui d'Alembert. Semne ale lui CauchyȘi Alternând rânduri. semnul Leibniz. Cu siguranță toate trei! Dacă aveți cunoștințe și abilități de bază în rezolvarea problemelor cu seriile de numere, atunci va fi destul de ușor să vă ocupați de seria funcțională, deoarece nu există foarte mult material nou.

În această lecție, vom lua în considerare conceptul de serie funcțională (ce este în general), vom face cunoștință cu seriile de putere, care se găsesc în 90% din sarcinile practice și vom învăța cum să rezolvăm o problemă tipică comună de găsire a convergenței. raza, intervalul de convergență și regiunea de convergență a unei serii de puteri. În plus, vă recomand să luați în considerare materialul de pe extinderea funcțiilor în serii de puteri, iar începătorului i se va asigura o ambulanță. După puțină odihnă, trecem la următorul nivel:

Tot in sectiunea serii functionale sunt numeroasele lor aplicații pentru calcule aproximative, și Seria Fourier, cărora, de regulă, li se alocă un capitol separat în literatura educațională, se depărtează puțin. Am un singur articol, dar este lung și multe, multe exemple suplimentare!

Deci, reperele sunt setate, să mergem:

Conceptul de serie funcțională și serie de putere

Dacă se obține infinitul în limită, atunci și algoritmul de soluție își termină munca și dăm răspunsul final sarcinii: „Seria converge la” (sau la oricare”). Vezi cazul #3 din paragraful anterior.

Dacă în limită se dovedește nu zero și nu infinit, atunci avem cel mai frecvent caz în practica nr. 1 - seria converge pe un anumit interval.

În acest caz, limita este . Cum se află intervalul de convergență al unei serii? Facem o inegalitate:

ÎN ORICE sarcină de acest tip pe partea stângă a inegalității ar trebui să fie rezultatul calculului limită, și în partea dreaptă a inegalității strict unitate. Nu voi explica de ce anume această inegalitate și de ce există una în dreapta. Lecțiile sunt practice și deja este foarte bine că unele dintre teoreme au devenit mai clare din poveștile mele că cadrele didactice nu s-au spânzurat.

Tehnica de lucru cu modulul și de rezolvare a inegalităților duble a fost luată în considerare în detaliu în primul an în articol Domeniul de aplicare a funcției, dar pentru comoditate, voi încerca să comentez toate acțiunile cât mai detaliat posibil. Dezvăluim inegalitatea cu modulul conform regulii școlii . În acest caz:

La jumătatea drumului în urmă.

În a doua etapă, este necesar să se investigheze convergența seriei la capetele intervalului găsit.

În primul rând, luăm capătul din stânga al intervalului și îl înlocuim în seria noastră de puteri:

La

A fost primită o serie numerică și trebuie să o examinăm pentru convergență (o sarcină deja familiară din lecțiile anterioare).

1) Seria este alternant de semne.
2) – termenii seriei descresc modulo. Mai mult, fiecare termen următor al seriei este mai mic decât cel anterior în modul: , deci scăderea este monotonă.
Concluzie: seria converge.

Cu ajutorul unei serii formate din module, vom afla exact cum:
– converge (seria de referință din familia serii armonice generalizate).

Astfel, seria numerică rezultată converge absolut.

la - converge.

! reamintesc că orice serie pozitivă convergentă este de asemenea absolut convergentă.

Astfel, seria de puteri converge, și absolut, la ambele capete ale intervalului găsit.

Răspuns: regiunea de convergență a seriei de puteri studiate:

Are dreptul la viață și un alt design al răspunsului: Seria converge dacă

Uneori, în starea problemei, este necesară precizarea razei de convergență. Este evident că în exemplul considerat .

Exemplul 2

Aflați regiunea de convergență a unei serii de puteri

Soluţie: găsim intervalul de convergență al seriei prin utilizarea semnul lui d'Alembert (dar nu în funcție de atribut! - nu există un astfel de atribut pentru seria funcțională):

Seria converge la

Stânga trebuie să plecăm numai, deci înmulțim ambele părți ale inegalității cu 3:

– Seria este alternant de semne.
– – termenii seriei descresc modulo. Fiecare termen următor al seriei este mai mic decât cel anterior în valoare absolută: , deci scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

O examinăm pentru natura convergenței:

Comparați această serie cu seria divergentă.
Folosim semnul limită de comparație:

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria diverge împreună cu seria.

Astfel, seria converge condiționat.

2) Când – diverge (după cum s-a dovedit).

Răspuns: Zona de convergență a seriei de puteri studiate: . Pentru , seria converge condiționat.

În exemplul considerat, domeniul de convergență al seriei de puteri este un semiinterval, iar în toate punctele intervalului seria de puteri converge absolutși în acel moment, după cum sa dovedit, conditionat.

Exemplul 3

Aflați intervalul de convergență al seriei de puteri și investigați convergența acestuia la capetele intervalului găsit

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Luați în considerare câteva exemple care sunt rare, dar apar.

Exemplul 4

Găsiți aria de convergență a seriei:

Soluţie: folosind criteriul d'Alembert, găsim intervalul de convergenţă al acestei serii:

(1) Compuneți raportul dintre următorul membru al seriei față de cel anterior.

(2) Scăpați de fracția cu patru etaje.

(3) Cuburile și, conform regulii operațiunilor cu puteri, se însumează sub un singur grad. La numărător descompunem inteligent gradul, adică. extindeți în așa fel încât la pasul următor să reducem fracția cu . Factorialii sunt descriși în detaliu.

(4) Sub cub, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, indicând că . Într-o fracțiune, reducem tot ce poate fi redus. Multiplicatorul este scos din semnul limită, poate fi scos, deoarece nu există nimic în el care să depindă de variabila „dinamică” „en”. Vă rugăm să rețineți că semnul modulului nu este desenat - din motivul că ia valori nenegative pentru orice „x”.

În limită se obține zero, ceea ce înseamnă că putem da răspunsul final:

Răspuns: Seria converge la

Și la început părea că acest rând cu o „umplutură groaznică” va fi greu de rezolvat. Zero sau infinit în limită este aproape un cadou, pentru că soluția este redusă vizibil!

Exemplul 5

Aflați aria de convergență a unei serii

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Fii atent ;-) Soluția completă este răspunsul de la sfârșitul lecției.

Luați în considerare încă câteva exemple care conțin un element de noutate în ceea ce privește utilizarea tehnicilor.

Exemplul 6

Aflați intervalul de convergență al seriei și investigați convergența acestuia la capetele intervalului găsit

Soluţie: Termenul comun al seriei de puteri include factorul , care asigură alternanța. Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la compilarea limitei, ignorăm (nu scriem) acest factor, deoarece modulul distruge toate „minusurile”.

Găsim intervalul de convergență al seriei folosind testul d'Alembert:

Compunem inegalitatea standard:
Seria converge la
Stânga trebuie să plecăm numai modul, deci înmulțim ambele părți ale inegalității cu 5:

Acum extindem modulul într-un mod familiar:

În mijlocul inegalității duble, trebuie să lăsați doar „x”, în acest scop, scădeți 2 din fiecare parte a inegalității:

este intervalul de convergență al seriei de puteri studiate.

Investigăm convergența seriei la sfârșitul intervalului găsit:

1) Înlocuiți valoarea din seria noastră de puteri :

Fiți extrem de atenți, multiplicatorul nu oferă alternanță, pentru orice „en” natural. Luăm minusul rezultat în afara seriei și uităm de el, deoarece acesta (ca orice multiplicator constant) nu afectează în niciun fel convergența sau divergența seriei numerice.

Observați din nou că în cursul substituirii valorii în termenul comun al seriei de puteri, am redus factorul . Dacă acest lucru nu s-a întâmplat, atunci aceasta ar însemna că fie am calculat incorect limita, fie am extins incorect modulul.

Deci, este necesar să se investigheze convergența seriei numerice. Aici este cel mai ușor să utilizați criteriul de comparare a limitei și să comparați această serie cu o serie armonică divergentă. Dar, ca să fiu sincer, m-am săturat teribil de semnul final al comparației, așa că voi adăuga ceva varietate la soluție.

Deci seria converge la

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu 9:

Extragem rădăcina din ambele părți, în timp ce ne amintim de gluma din vechea școală:


Extinderea modulului:

și adăugați unul la toate părțile:

este intervalul de convergență al seriei de puteri studiate.

Investigăm convergența seriei de puteri la sfârșitul intervalului găsit:

1) Dacă , atunci se obține următoarea serie de numere:

Multiplicatorul a dispărut fără urmă, deoarece pentru orice valoare naturală a „en” .

Luhov Yu.P. Rezumat al prelegerilor de matematică superioară. Prelegerea nr. 42 5

Cursul 42

SUBIECT: rânduri funcționale

Plan.

1. rânduri funcționale. Zona de convergență.
2. Convergență uniformă. semn Weierstrass.
3. Proprietățile serii uniform convergente: continuitatea sumei unei serii, integrarea și diferențierea termen cu termen.
4. Serie de puteri. teorema lui Abel. Domeniul de convergență al unei serii de puteri. raza de convergenta.
5. Proprietățile de bază ale seriei de puteri: convergența uniformă, continuitatea și diferențiabilitatea infinită a sumei. Integrarea pe termeni și diferențierea serii de putere.

rânduri funcționale. Zona de convergență

Definiția 40.1. O sumă infinită de caracteristici

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

unde u n (x) = f (x, n), se numește gamă funcțională.

Dacă setați o anumită valoare numerică X , seria (40.1) se va transforma într-o serie numerică, iar în funcție de alegerea valorii X o astfel de serie poate converge sau diverge. Numai seriile convergente au valoare practică, deci este important să se determine acele valori X , pentru care seria funcțională devine o serie numerică convergentă.

Definiția 40.2. Multe valori X , înlocuind care în seria funcțională (40.1) se obține o serie numerică convergentă, se numeșteregiune de convergenţărând funcțional.

Definiția 40.3. Funcția s(x), definit în intervalul de convergenţă al seriei, care pentru fiecare valoare X din regiunea de convergență este egală cu suma seriei numerice corespunzătoare obținute din (40.1) pentru o valoare dată x este numit suma seriei funcționale.

Exemplu. Să găsim regiunea de convergență și suma seriei funcționale

1 + x + x ² +…+ x n +…

Când | X | ≥ 1, deci seria numerică corespunzătoare diverge. Dacă

| X | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Prin urmare, domeniul de convergență al seriei este intervalul (-1, 1), iar suma sa are forma indicată.

cometariu . La fel ca și pentru seria numerică, putem introduce conceptul de sumă parțială a unei serii funcționale:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

iar restul seriei: r n = s s n .

Convergența uniformă a unei serii funcționale

Să definim mai întâi conceptul de convergență uniformă a unei secvențe numerice.

Definiția 40.4. Secvența de funcții f n (x ) se numește convergând uniform către funcţie f pe multimea X daca si

Observația 1. Vom nota convergența obișnuită a unei secvențe funcționale și convergența uniformă - .

Observația 2 . Să remarcăm încă o dată diferența fundamentală dintre convergența uniformă și convergența obișnuită: în cazul convergenței obișnuite, pentru o valoare aleasă a lui ε, pentru fiecare există numarul tau N pentru care n > N este valabilă următoarea inegalitate:

În acest caz, se poate dovedi că pentru un ε dat numărul general N, asigurând îndeplinirea acestei inegalităţi pentru oricare X , imposibil. În cazul convergenței uniforme, un astfel de număr N, comun tuturor x, există.

Să definim acum noțiunea de convergență uniformă a unei serii funcționale. Deoarece fiecare serie corespunde unei succesiuni a sumelor sale parțiale, convergența uniformă a unei serii este definită în termenii convergenței uniforme a acestei secvențe:

Definiția 40.5. Seria funcțională se numeșteuniform convergente pe setul X, dacă pe X succesiunea sumelor sale parțiale converge uniform.

semn Weierstrass

Teorema 40.1. Dacă seria de numere converge pentru toți și pentru toți n = 1, 2,…, apoi seria converge absolut și uniform pe platou X.

Dovada.

Pentru orice ε > 0 c există un astfel de număr N, motiv pentru care

Pentru resturile r n serie, estimarea

Prin urmare, seria converge uniform.

Cometariu. Procedura de selectare a unei serii de numere care îndeplinește condițiile teoremei 40.1 este de obicei numită majorare , și această serie în sine majorant pentru acest interval funcțional.

Exemplu. Pentru seria funcțională, majorantul pentru orice valoare X este o serie pozitivă convergentă. Prin urmare, seria originală converge uniform pe (-∞, +∞).

Proprietățile serii uniform convergente

Teorema 40.2. Dacă funcțiile u n (x ) sunt continue la și seria converge uniform spre X, atunci suma sa s (x) este, de asemenea, continuu la punct x 0 .

Dovada.

Alegem ε > 0. Atunci, deci, există un număr n 0 că

- suma unui număr finit de funcții continue, decicontinuu la un punct x 0 . Prin urmare, există δ > 0 astfel încât Atunci obținem:

Adică, funcția s (x) este continuă pentru x \u003d x 0.

Teorema 40.3. Fie funcțiile u n (x ) sunt continue pe segmentul [ a, b ] iar seria converge uniform pe acest segment. Apoi seria converge uniform spre [ a , b ] și (40.2)

(adica in conditiile teoremei seria poate fi integrata termen cu termen).

Dovada.

Prin teorema 40.2, funcția s(x) = continuu pe [a, b ] și, prin urmare, este integrabil pe ea, adică integrala din partea stângă a egalității (40.2) există. Să arătăm că seria converge uniform către funcție

Denota

Atunci pentru orice ε există un număr N, care pentru n > N

Prin urmare, seria converge uniform, iar suma sa este egală cu σ ( x ) = .

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 40.4. Fie funcțiile u n (x ) sunt diferențiabile continuu pe intervalul [ a, b ] și o serie compusă din derivatele lor:

(40.3)

converge uniform spre [ a, b ]. Atunci, dacă seria converge cel puțin într-un punct, atunci converge uniform pe toate [ a , b ], suma sa s (x )= este o funcţie continuu diferenţiabilă şi

(seria poate fi diferenţiată termen cu termen).

Dovada.

Să definim funcția σ( X ) Cum. Prin teorema 40.3, seria (40.3) poate fi integrată termen cu termen:

Seria din partea dreaptă a acestei egalități converge uniform către [ a, b ] prin teorema 40.3. Dar seria numerică converge după condiția teoremei, prin urmare seria converge uniform. Atunci funcția σ( t ) este suma unei serii uniform convergente de funcții continue pe [ a, b ] și, prin urmare, este ea însăși continuă. Atunci funcția este diferențiabilă continuu pe [ a, b ] și, după cum este necesar pentru a dovedi.

Definiția 41.1. puterea în continuare se numește o serie funcțională a formei

(41.1)

Cometariu. Prin înlocuire x x 0 = t seria (41.1) poate fi redusă la forma, deci este suficient să se dovedească toate proprietățile seriei de puteri pentru serii de formă

(41.2)

Teorema 41.1 (Teorema I a lui Abel).Dacă seria de puteri (41.2) converge la x \u003d x 0, apoi pentru orice x: | x |< | x 0 | seria (41.2) converge absolut. Dacă seria (41.2) diverge la x \u003d x 0, apoi diverge pentru oricare x : | x | > | x 0 |.

Dovada.

Dacă seria converge, atunci există o constantă c > 0:

Prin urmare, în timp ce seria pentru | x |<| x 0 | converge deoarece este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Prin urmare, seria pentru | x |<| x 0 | converge absolut.

Dacă se știe că seria (41.2) diverge la x = x 0 , atunci nu poate converge pentru | x | > | x 0 | , întrucât ar rezulta din ceea ce s-a dovedit mai devreme că converge şi la punct x 0 .

Astfel, dacă găsiți cel mai mare dintre numere x 0 > 0 astfel încât (41.2) converge pentru x \u003d x 0, atunci regiunea de convergență a acestei serii, după cum reiese din teorema Abel, va fi intervalul (- x 0, x 0 ), eventual incluzând una sau ambele granițe.

Definiția 41.2. Se numește numărul R ≥ 0 raza de convergentaserie de puteri (41.2) dacă această serie converge dar diverge. Interval (- R, R) se numește interval de convergenta seria (41.2).

Exemple.

1. Pentru a studia convergenţa absolută a seriei, folosim testul d'Alembert: . Prin urmare, seria converge numai atunci când X = 0, iar raza convergenței sale este 0: R = 0.
2. Folosind același test d'Alembert, se poate arăta că seria converge pentru oricare x, adică
3. Pentru o serie bazată pe testul d'Alembert, obținem:

Prin urmare, pentru 1< X < 1 ряд сходится, при

X< -1 и x > 1 diverge. La X = 1 obținem o serie armonică, care, după cum știți, diverge și când X = -1 seria converge conditionat dupa criteriul Leibniz. Astfel, raza de convergență a seriei luate în considerare R = 1, iar intervalul de convergență este [-1, 1).

Formule pentru determinarea razei de convergență a unei serii de puteri.

1. formula d'Alembert.

Luați în considerare o serie de puteri și aplicați-i testul d'Alembert: pentru convergența seriei, este necesar ca. Dacă există, atunci aria de convergență este determinată de inegalitate, adică

- (41.3)

• formula lui d'Alembertpentru a calcula raza de convergență.

1. Formula Cauchy-Hadamard.

Folosind criteriul radical Cauchy și raționând într-un mod similar, obținem că este posibil să se stabilească aria de convergență a unei serii de puteri ca un set de soluții la inegalitate, cu condiția ca această limită să existe și, în consecință, să se găsească încă o formulă pentru raza de convergență:

(41.4)

• Formula Cauchy-Hadamard.

Proprietățile seriei de putere.

Teorema 41.2 (a 2-a teoremă a lui Abel). Daca R raza de convergență a seriei (41.2) și această serie converge la x = R , apoi converge uniform pe intervalul (- R, R).

Dovada.

Seria semn pozitiv converge prin Teorema 41.1. Prin urmare, seria (41.2) converge uniform în intervalul [-ρ, ρ] prin Teorema 40.1. Din alegerea lui ρ rezultă că intervalul de convergență uniformă (- R, R ), ceea ce urma să fie dovedit.

Corolarul 1 . Pe orice segment care se află în întregime în intervalul de convergență, suma seriei (41.2) este o funcție continuă.

Dovada.

Termenii seriei (41.2) sunt funcții continue, iar seria converge uniform asupra intervalului luat în considerare. Apoi continuitatea sumei sale rezultă din teorema 40.2.

Consecința 2. Dacă limitele integrării α, β se află în intervalul de convergență al seriei de puteri, atunci integrala sumei seriei este egală cu suma integralelor termenilor seriei:

(41.5)

Dovada acestei afirmații rezultă din teorema 40.3.

Teorema 41.3. Dacă seria (41.2) are un interval de convergență (- R , R ), apoi seria

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

obţinut prin diferenţierea termen cu termen a seriei (41.2), are acelaşi interval de convergenţă (- R, R). în care

φ΄ (х) = s΄ (x) pentru | x |< R , (41.7)

adică în intervalul de convergenţă, derivata sumei unei serii de puteri este egală cu suma seriei obţinută prin diferenţierea ei termen cu termen.

Dovada.

Alegem ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Atunci seria converge, deci, adica daca| x | ≤ ρ, atunci

Unde Astfel, termenii seriei (41.6) sunt mai puțini în valoare absolută decât termenii seriei cu semn pozitiv, care converge conform testului d'Alembert:

adică este majoranta pentru seria (41.6) la Prin urmare, seria (41.6) converge uniform pe [-ρ, ρ]. Prin urmare, prin teorema 40.4, egalitatea (41.7) este adevărată. Din alegerea lui ρ rezultă că seria (41.6) converge în orice punct interior al intervalului (- R, R).

Să demonstrăm că seria (41.6) diverge în afara acestui interval. Într-adevăr, dacă ar converge la x1 > R , apoi, integrându-l termen cu termen pe intervalul (0, x2), R< x 2 < x 1 , am obține că seria (41.2) converge în punctul x 2 , ceea ce contrazice condiția teoremei. Deci, teorema este complet demonstrată.

cometariu . Seria (41.6), la rândul ei, poate fi diferențiată termen cu termen și această operație poate fi efectuată de câte ori se dorește.

Concluzie: dacă seria de puteri converge pe intervalul (- R, R ), atunci suma sa este o funcție care are derivate de orice ordin în intervalul de convergență, fiecare dintre acestea fiind suma unei serii obținute din original folosind diferențierea termen cu termen de numărul corespunzător de ori; în timp ce intervalul de convergență pentru o serie de derivate de orice ordin este (- R, R).

Departamentul de Informatică și Matematică Superioară, KSPU

Tema 2. Serii funcționale. Serie de puteri

2.1. Rânduri funcționale

Până acum, am luat în considerare seriale ai căror membri erau numere. Să ne întoarcem acum la studiul seriilor ai căror membri sunt funcții.

Gama funcțională se numește rând

ai căror membri sunt funcții ale aceluiași argument definit pe aceeași mulțime E.

De exemplu,

1.
;

2.
;

Dacă dăm un argument X o anumită valoare numerică
,
, apoi obținem o serie de numere

care poate converge (converge absolut) sau diverge.

Eu gras
seria de numere rezultată converge, apoi punctul
numitpunct de convergență rând funcțional. Se numește mulțimea tuturor punctelor de convergențăregiune de convergenţă rând funcțional. Să notăm zona de convergență X, evident,
.

Dacă pentru seriile numerice pozitive se pune întrebarea: „Converge sau diverge seria?”, pentru seria cu variabile cu semn, întrebarea este: „Converge ca - condiționat sau absolut, - sau diverge?”, atunci pentru funcțional. serie întrebarea principală este: „Converge (converge absolut) la ce X?».

Gama funcțională
stabileşte o lege conform căreia fiecare valoare a argumentului
,
, i se atribuie un număr egal cu suma seriei de numere
. Astfel, pe platou X funcția este dată
, Care e numit suma seriei funcționale.

Exemplul 16

Găsiți aria de convergență a unei serii funcționale

.

Soluţie.

Lăsa X este un număr fix, atunci această serie poate fi considerată ca o serie numerică cu semn pozitiv pt
şi alternând la
.

Să facem o serie de valori absolute ale membrilor acestei serii:

adică pentru orice valoare X această limită este mai mică de unu, ceea ce înseamnă că această serie converge și absolut (din moment ce am studiat o serie de valori absolute ale termenilor seriei) pe întreaga axă reală.

Astfel, regiunea de convergență absolută este mulțimea
.

Exemplul 17.

Găsiți aria de convergență a unei serii funcționale
.

Soluţie.

Lăsa X este un număr fix
, atunci această serie poate fi considerată ca o serie numerică cu semn pozitiv pt
şi alternând la
.

Luați în considerare o serie de valori absolute ale membrilor acestei serii:

și aplică-i testul DAlembert.

Conform testului DAlembert, seria converge dacă valoarea limită este mai mică de unu, adică. această serie va converge dacă
.

Rezolvând această inegalitate, obținem:


.

Astfel, la , seria compusă din valorile absolute ale termenilor acestei serii converge, ceea ce înseamnă că seria originală converge absolut, iar la
această serie diverge.

La
seria poate converge sau diverge, deoarece pentru aceste valori X valoarea limită este egală cu unu. Prin urmare, studiem suplimentar convergența seriei de puncte
Și
.

Înlocuind în acest rând
, obținem o serie de numere
, despre care se știe că este o serie divergentă armonică, apoi punctul
este punctul de divergență al seriei date.

La
se obţine o serie de numere alternativă

despre care se știe că converge condiționat (vezi Exemplul 15), deci punctul
este punctul de convergență condiționată a seriei.

Astfel, regiunea de convergență a acestei serii este , iar seria converge absolut la .

Gama funcțională

numitdominat într-un interval de x, dacă există o astfel de serie pozitivă convergentă

,

că pentru toți x din zona dată condiția
la
. Rând
numitmajorant.

Cu alte cuvinte, o serie este dominată dacă fiecare dintre termenii săi nu este mai mare în valoare absolută decât termenul corespunzător al unei serii de semne pozitive convergente.

De exemplu, un rând

este dominat pentru orice X, pentru că pentru toți X relatia

la
,

și un rând este cunoscut a fi convergent.

TeoremaWeierstrass

O serie dominată într-un anumit domeniu converge absolut în acel domeniu.

Luați în considerare, de exemplu, seria funcțională
. Acest serial este dominat pt
, deoarece la
termenii seriei nu depăşesc membrii corespunzători ai seriei pozitive . Prin urmare, conform teoremei Weierstrass, seria funcțională considerată converge absolut pentru
.

2.2. Serie de puteri. teorema lui Abel. Domeniul de convergență al unei serii de puteri

Dintre varietatea de serii funcționale, cele mai importante din punct de vedere al aplicării practice sunt seriile de putere și trigonometrice. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste rânduri.

puterea în continuare treptat
se numește o serie funcțională a formei

Unde este un număr fix,
sunt numere numite coeficienți ai seriei.

La
obținem o serie de puteri în puteri X, care arată ca

.

Pentru simplitate, vom lua în considerare seriile de putere în puteri X, întrucât dintr-o astfel de serie se obține ușor o serie în puteri
, înlocuind în schimb X expresie
.

Simplitatea și importanța clasei de serie de puteri se datorează în primul rând faptului că suma parțială a unei serii de puteri

este un polinom - o funcție ale cărei proprietăți sunt bine studiate și ale cărei valori sunt ușor de calculat folosind numai operații aritmetice.

Deoarece seriile de putere sunt un caz special al unei serii funcționale, este, de asemenea, necesar să se găsească aria de convergență pentru ele. Spre deosebire de regiunea de convergență a unei serii funcționale arbitrare, care poate fi un set de forme arbitrare, regiunea de convergență a unei serii de puteri are o formă bine definită. Aceasta este ceea ce spune următoarea teoremă.

TeoremaAbel.

Dacă seria de putere
converge la o anumită valoare
, apoi converge, și absolut, pentru toate valorile lui x care satisfac condiția
. Dacă seria de puteri diverge la o anumită valoare
, apoi diverge și pentru valorile care satisfac condiția
.

Din teorema lui Abel rezultă că Toate punctele de convergență ale unei serii de puteri în puteri X situat de la originea coordonatelor mai departe decât oricare dintre punctele de divergență. Este evident că punctele de convergență umplu un anumit gol centrat la origine. este valabilă teorema asupra regiunii de convergenţă a unei serii de puteri.

Teorema.

Pentru orice serie de putere
există un numărR (R>0)astfel încât pentru toate x situate în interiorul intervalului
, seria converge absolut și pentru toate x situate în afara intervalului
, seria diverge.

NumărRnumitraza de convergenta seria de putere și intervalul
– interval de convergenta serie de puteri în puteri ale lui x.

Rețineți că teorema nu spune nimic despre convergența seriei la capetele intervalului de convergență, i.e. la puncte
. În aceste puncte, diferitele serii de putere se comportă diferit: seria poate converge (absolut sau condiționat) sau poate diverge. Prin urmare, convergența seriei în aceste puncte ar trebui verificată direct prin definiție.

În cazuri particulare, raza de convergență a seriei poate fi egală cu zero sau infinit. Dacă
, apoi seria de puteri în puteri X converge într-un singur punct
; dacă
, apoi seria de puteri converge pe întreaga axă reală.

Din nou, rețineți că seria de putere
treptat
poate fi redusă la o serie de puteri
prin înlocuire
. Dacă rândul
converge la
, adică Pentru
, apoi după înlocuirea inversă obținem

 sau
.

Astfel, intervalul de convergență al seriei de puteri
are forma
. punct numit centru de convergenţă. Pentru claritate, este obișnuit să se descrie intervalul de convergență pe axa numerică (Figura 1)

Astfel, regiunea de convergență este formată din intervalul de convergență, la care se pot adăuga puncte
dacă seria converge în aceste puncte. Intervalul de convergență poate fi găsit prin aplicarea directă a testului DAlembert sau a testului radical Cauchy la o serie compusă din valorile absolute ale membrilor acestei serii.

Exemplul 18.

Aflați aria de convergență a unei serii
.

Soluţie.

Această serie este o serie de puteri în puteri X, adică
. Luați în considerare o serie compusă din valorile absolute ale membrilor acestei serii și utilizați testul dAlembert.

Seria va converge dacă valoarea limită este mai mică de 1, adică.

, Unde
.

Astfel, intervalul de convergență al acestei serii
, raza de convergență
.

Studiem convergența seriei la capetele intervalului, la puncte
. Înlocuind în această serie valoarea
, primim seria

.

Seria rezultată este o serie divergentă armonică, prin urmare, la punct
seria diverge, deci ideea
nu este inclusă în regiunea de convergenţă.

La
obținem o serie alternativă

,

care este convergent condiționat (Exemplul 15), de unde și punctul
– punct de convergenţă (condiţional).

Astfel, regiunea de convergență a seriei
, iar la punct
seria converge condiționat, iar în alte puncte - absolut.

Raționamentului folosit în rezolvarea exemplului i se poate da un caracter general.

Luați în considerare seria de putere

Să facem o serie de valori absolute ale membrilor seriei și să îi aplicăm semnul D „Alembert.

Dacă există o limită (finită sau infinită), atunci prin condiția de convergență a testului d'Alembert, seria va converge dacă

,

,

.

De aici, din definiția intervalului și a razei de convergență, avem

Aplicând criteriul radical Cauchy și raționând în mod similar, se poate obține o altă formulă pentru găsirea razei de convergență

Exemplul 19

Soluţie.

Seria este o serie de puteri în puteri X. Pentru a găsi intervalul de convergență, calculăm raza de convergență folosind formula de mai sus. Pentru o serie dată, formula coeficientului numeric are forma

, Apoi

Prin urmare,

Deoarece R = , atunci seria converge (absolut) pentru toate valorile X, acestea. regiune de convergenţă X (–; +).

Rețineți că ar fi posibil să găsiți aria de convergență fără a utiliza formule, dar aplicând direct semnul D "Alembert:

Deoarece valoarea limitei nu depinde de Xși mai puțin de 1, atunci seria converge pentru toate valorile X, acestea. la X(-;+).

Exemplul 20

Aflați aria de convergență a unei serii

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P!(X + 5) P +...

Soluţie .

x + 5), acestea. centru de convergenţă X 0 = - 5. Coeficientul numeric al seriei A P = n!.

Aflați raza de convergență a seriei

.

Astfel, intervalul de convergență este format dintr-un punct - centrul intervalului de convergență x = - 5.

Exemplul 21

Aflați aria de convergență a unei serii
.

Soluţie.

Această serie este o serie de puteri în puteri ( X–2), acestea.

centru de convergenţă X 0 = 2. Rețineți că seria este semn-pozitivă pentru orice fix X, deoarece expresia ( X- 2) ridicat la puterea de 2 P. Să aplicăm serii criteriul radical Cauchy.

Seria va converge dacă valoarea limită este mai mică de 1, adică.

,
,
,

deci raza de convergenţă
, apoi integrala de convergență

,
.

Astfel, seria converge absolut pentru X
. Rețineți că integrala de convergență este simetrică față de centrul de convergență X O = 2.

Să studiem convergența seriei la capetele intervalului de convergență.

Presupunând
, obținem o serie numerică cu semn pozitiv

Folosim criteriul de convergență necesar:

prin urmare, seria de numere diverge, iar punctul
este punctul de divergență. Rețineți că a doua limită remarcabilă a fost utilizată în calculul limitei.

Presupunând
, obținem aceeași serie de numere (verificați-l singur!), deci ideea
de asemenea, nu este inclusă în intervalul de convergență.

Deci, regiunea de convergență absolută a acestei serii X
.

2.3. Proprietățile serii de puteri convergente

Știm că o sumă finită de funcții continue este continuă; suma funcțiilor diferențiabile este diferențiabilă, iar derivata sumei este egală cu suma derivatelor; suma finală poate fi integrată termen cu termen.

Rezultă că pentru „sume infinite” de funcții - serii funcționale, în cazul general, proprietățile nu au loc.

De exemplu, luați în considerare seria funcțională

Evident, toți membrii seriei sunt funcții continue. Să găsim regiunea de convergență a acestei serii și suma ei. Pentru a face acest lucru, găsim sumele parțiale ale seriei

apoi suma seriei

Deci suma S(X) din această serie, ca limită a unei succesiuni de sume parțiale, există și este finită pentru X (-1;1), prin urmare, acest interval este regiunea de convergență a seriei. Mai mult, suma sa este o funcție discontinuă, deoarece

Deci, acest exemplu arată că, în cazul general, proprietățile sumelor finite nu au analog pentru sume infinite - serie. Totuși, pentru un caz special de serie funcțională - seria de puteri - proprietățile sumei sunt similare cu proprietățile sumelor finite.

Gama funcțională se numește expresie scrisă formal

u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ... , (1)

Unde u1 (X), u 2 (X), u 3 (X), ..., u n ( X), ... - succesiune de funcţii dintr-o variabilă independentă X.

O notație prescurtată a unei serii funcționale cu sigma:.

Exemple de serii funcționale sunt :

(2)

(3)

Dând variabila independentă X ceva valoare X0 iar substituind-o in seria functionala (1), obtinem o serie numerica

u1 (X 0 ) + u 2 (X 0 ) + u 3 (X 0 ) + ... + u n ( X 0 ) + ...

Dacă seria numerică obținută converge, atunci seria funcțională (1) se spune că converge pentru X = X0 ; dacă diverge, despre care se spune că este seria (1) diverge la X = X0 .

Exemplul 1. Investigați convergența unei serii funcționale(2) pentru valori X= 1 și X = - 1 .
Soluţie. La X= 1 obținem o serie de numere

care converge conform testului Leibniz. La X= - 1 obținem o serie de numere

,

care diverge ca produs al unei serii armonice divergente cu – 1. Astfel, seria (2) converge la X= 1 și diverge la X = - 1 .

Dacă se efectuează un astfel de test pentru convergența seriei funcționale (1) cu privire la toate valorile variabilei independente din domeniul de definire a membrilor săi, atunci punctele acestui domeniu vor fi împărțite în două seturi: cu valori X luată într-una dintre ele, seria (1) converge, iar în cealaltă diverge.

Setul de valori ale unei variabile independente pentru care seria funcțională converge se numește ei regiune de convergenţă .

Exemplul 2. Aflați aria de convergență a unei serii funcționale

Soluţie. Membrii seriei sunt definiți pe întreaga dreaptă numerică și formează o progresie geometrică cu numitor q= păcat X. Deci seria converge dacă

şi diverge dacă

(valorile nu sunt posibile). Dar pentru valori și pentru alte valori X. Prin urmare, seria converge pentru toate valorile X, cu exceptia . Regiunea de convergență este întreaga dreaptă numerică, cu excepția acestor puncte.

Exemplul 3. Aflați regiunea de convergență a unei serii funcționale

Soluţie. Termenii seriei formează o progresie geometrică cu un numitor q=ln X. Prin urmare, seria converge dacă , sau , de unde . Aceasta este regiunea de convergență a acestei serii.

Exemplul 4. Investigați convergența unei serii funcționale

Soluţie. Să luăm o valoare arbitrară. Cu această valoare, obținem o serie de numere

(*)

Găsiți limita termenului său comun

În consecință, seria (*) diverge pentru un ales arbitrar, adică. pentru orice valoare X. Domeniul convergenței sale este mulțimea goală.

Convergența uniformă a unei serii funcționale și proprietățile acesteia

Să trecem la concept convergenţa uniformă a seriei funcţionale . Lăsa s(X) este suma acestei serii și sn ( X) - suma n primii membri ai acestei serii. Gama funcțională u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ... se numeste uniform convergent pe intervalul [ A, b] , dacă pentru orice număr arbitrar mic ε > 0 există un astfel de număr N, asta pentru toti n ≥ N inegalitatea va fi satisfăcută

|s(X) − s n ( X)| < ε

pentru oricine X din segmentul [ A, b] .

Proprietatea de mai sus poate fi ilustrată geometric după cum urmează.

Luați în considerare graficul funcției y = s(X) . Construim o bandă de lățime 2 în jurul acestei curbe. ε n, adică construim curbe y = s(X) + ε nȘi y = s(X) − ε n(sunt verzi in poza de mai jos).

Apoi pentru orice ε n graficul funcției sn ( X) va sta în întregime în trupa luată în considerare. Aceeași bandă va conține grafice ale tuturor sumelor parțiale ulterioare.

Orice serie funcțională convergentă care nu are caracteristica descrisă mai sus este convergentă neuniform.

Luați în considerare încă o proprietate a serii funcționale uniform convergente:

suma unei serii de funcții continue care converg uniform pe un anumit interval [ A, b] , există o funcție care este continuă pe acest segment.

Exemplul 5 Determinați dacă suma unei serii funcționale este continuă

Soluţie. Să găsim suma n primii membri ai acestei serii:

Dacă X> 0, atunci

,

Dacă X < 0 , то

Dacă X= 0, atunci

Prin urmare .

Studiul nostru a arătat că suma acestei serii este o funcție discontinuă. Graficul său este prezentat în figura de mai jos.

Testul Weierstrass pentru convergența uniformă a seriilor funcționale

Să abordăm criteriul Weierstrass prin intermediul conceptului majorităţi de serii funcţionale . Gama funcțională

u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ...