Avstandsbestemmelse med gps-koordinater. Avstand mellom to punkter på et plan Koordinatsystemer

Beregningen av avstander mellom punkter i henhold til deres koordinater på et plan er elementær, på jordoverflaten er det litt mer komplisert: vi vil vurdere å måle avstanden og innledende asimut mellom punkter uten projeksjonstransformasjoner. Først, la oss forstå terminologien.

Introduksjon

Stor sirkelbuelengde- den korteste avstanden mellom to punkter på overflaten av sfæren, målt langs linjen som forbinder disse to punktene (en slik linje kalles ortodromen) og passerer langs overflaten av sfæren eller annen omdreiningsflate. Sfærisk geometri er forskjellig fra den vanlige euklidiske og avstandsligningene har også en annen form. I euklidisk geometri er den korteste avstanden mellom to punkter en rett linje. På en kule er det ingen rette linjer. Disse linjene på sfæren er en del av store sirkler - sirkler hvis senter sammenfaller med sfærens sentrum. Innledende asimut- asimuten, som når man starter fra punkt A, følger storsirkelen for den korteste avstanden til punkt B, vil endepunktet være punkt B. Når man beveger seg fra punkt A til punkt B langs storsirkellinjen, vil asimuten fra gjeldende posisjon til endepunktet B er konstant er i endring. Den innledende asimuten er forskjellig fra en konstant, hvoretter asimuten fra det nåværende punktet til den siste ikke endres, men ruten er ikke den korteste avstanden mellom to punkter.

Gjennom to punkter på overflaten av sfæren, hvis de ikke er direkte motsatte av hverandre (det vil si at de ikke er antipoder), kan en unik storsirkel tegnes. To punkter deler storsirkelen i to buer. Lengden på en kort bue er den korteste avstanden mellom to punkter. Et uendelig antall storsirkler kan tegnes mellom to antipodale punkter, men avstanden mellom dem vil være den samme på en hvilken som helst sirkel og lik halve omkretsen av sirkelen, eller π*R, der R er radiusen til kulen.

På et plan (i et rektangulært koordinatsystem) er storsirkler og deres fragmenter, som nevnt ovenfor, buer i alle projeksjoner, bortsett fra den gnomoniske, hvor storsirklene er rette linjer. I praksis betyr dette at fly og annen lufttransport alltid bruker ruten til minimumsavstanden mellom punktene for å spare drivstoff, det vil si at flyturen utføres langs avstanden til en stor sirkel, på flyet ser det ut som en bue.

Jordens form kan beskrives som en kule, så storsirkelavstandsligningene er viktige for å beregne den korteste avstanden mellom punkter på jordoverflaten og brukes ofte i navigasjon. Å beregne avstanden med denne metoden er mer effektiv og i mange tilfeller mer nøyaktig enn å beregne den for projiserte koordinater (i rektangulære koordinatsystemer), fordi det for det første ikke er nødvendig å oversette geografiske koordinater til et rektangulært koordinatsystem (utfør projeksjon) transformasjoner), og for det andre kan mange projeksjoner, hvis de er feil valgt, føre til betydelige lengdeforvrengninger på grunn av arten av projeksjonsforvrengninger. Det er kjent at ikke en kule, men en ellipsoide beskriver jordens form mer nøyaktig, men denne artikkelen diskuterer beregning av avstander på en kule, for beregninger brukes en kule med en radius på 6372795 meter, noe som kan føre til en feil ved beregning av avstander i størrelsesorden 0,5 %.

Formler

Det er tre måter å beregne den sfæriske avstanden til en stor sirkel. 1. Sfærisk cosinus-teorem Ved små avstander og liten beregningsbitdybde (antall desimaler) kan bruk av formelen føre til betydelige avrundingsfeil. φ1, λ1; φ2, λ2 - breddegrad og lengdegrad av to punkter i radianer Δλ - koordinatforskjell i lengdegrad Δδ - vinkelforskjell Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) For å konvertere vinkelavstanden til metyrisk vinkelforskjellen med radius Jorden (6372795 meter), vil enhetene for den endelige avstanden være lik enhetene som radiusen er uttrykt i (i dette tilfellet meter). 2. Haversine Formel Brukes for å unngå problemer med korte avstander. 3. Modifikasjon for antipoder Den forrige formelen er også underlagt problemet med antipoder, for å løse det, brukes følgende modifikasjon.

Min implementering i PHP

// Jordradius define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Avstand mellom to punkter * $φA, $λA - breddegrad, lengdegrad av 1. punkt, * $φB, $λB - breddegrad, lengdegrad av 2. punkt * Basert på http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ funksjon calculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // konverter koordinater til radianer $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosinus og sinus for breddegrader og lengdegradsforskjeller $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // beregninger stor sirkellengde $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Eksempel på funksjonsanrop: $lat1 = 77.1539; $lang1 = -139.398; $lat2 = -77,1804; $lang2 = -139,55; echo calculateTheDistance($lat1, $lang1, $lat2, $lang2) . "meter"; // Returnerer "17166029 meter"

Å løse problemer i matematikk for elever er ofte ledsaget av mange vanskeligheter. Hovedformålet med nettstedet vårt er å hjelpe studenten med å takle disse vanskelighetene, samt å lære ham hvordan han kan bruke sin teoretiske kunnskap til å løse spesifikke problemer i alle deler av kurset "Matematikk".

Ved å begynne å løse problemer om emnet, skal elevene kunne bygge et punkt på et plan i henhold til dets koordinater, samt finne koordinatene til et gitt punkt.

Beregningen av avstanden mellom to punkter tatt på planet A (x A; y A) og B (x B; y B) utføres med formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), hvor d er lengden på segmentet som forbinder disse punktene på planet.

Hvis en av endene av segmentet faller sammen med origo, og den andre har koordinatene M (x M; y M), vil formelen for å beregne d ha formen OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Beregne avstanden mellom to punkter gitt koordinatene til disse punktene

Eksempel 1.

Finn lengden på segmentet som forbinder punktene A(2; -5) og B(-4; 3) på koordinatplanet (fig. 1).

Løsning.

Betingelsen for oppgaven er gitt: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 og y B = 3. Finn d.

Ved å bruke formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), får vi:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Beregne koordinatene til et punkt som er like langt fra tre gitte punkter

Eksempel 2

Finn koordinatene til punktet O 1, som er like langt fra de tre punktene A(7; -1) og B(-2; 2) og C(-1; -5).

Løsning.

Fra formuleringen av tilstanden til problemet følger det at O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. La det ønskede punktet O 1 ha koordinater (a; b). I henhold til formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finner vi:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vi lager et system av to ligninger:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Etter firkantet venstre og riktige deler ligninger vi skriver:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Forenkling, skriver vi

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Etter å ha løst systemet får vi: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) er like langt fra de tre punktene gitt i tilstanden som ikke ligger på en rett linje. Dette punktet er sentrum av sirkelen som går gjennom de tre gitte punktene. (Fig. 2).

3. Beregning av abscissen (ordinaten) til et punkt som ligger på abscissen (ordinaten) og er i en gitt avstand fra dette punktet

Eksempel 3

Avstanden fra punkt B(-5; 6) til punkt A som ligger på x-aksen er 10. Finn punkt A.

Løsning.

Det følger av formuleringen av tilstanden til problemet at ordinaten til punkt A er null og AB = 10.

Ved å betegne abscissen til punktet A til a, skriver vi A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Vi får ligningen √((a + 5) 2 + 36) = 10. Forenklet har vi

a 2 + 10a - 39 = 0.

Røttene til denne ligningen a 1 = -13; og 2 = 3.

Vi får to poeng A 1 (-13; 0) og A 2 (3; 0).

Undersøkelse:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Begge oppnådde poeng passer til tilstanden til problemet (Fig. 3).

4. Beregning av abscissen (ordinaten) til et punkt som ligger på abscissen (ordinaten) og er i samme avstand fra to gitte punkter

Eksempel 4

Finn et punkt på Oy-aksen som er i samme avstand fra punktene A (6; 12) og B (-8; 10).

Løsning.

La koordinatene til punktet som kreves av tilstanden til problemet, som ligger på Oy-aksen, være O 1 (0; b) (i punktet som ligger på Oy-aksen er abscissen lik null). Det følger av betingelsen at O 1 A \u003d O 1 B.

I henhold til formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finner vi:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Vi har ligningen √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) eller 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Etter forenkling får vi: b - 4 = 0, b = 4.

Kreves av tilstanden til problempunktet O 1 (0; 4) (Fig. 4).

5. Beregne koordinatene til et punkt som er i samme avstand fra koordinataksene og et gitt punkt

Eksempel 5

Finn punkt M som ligger på koordinatplanet i samme avstand fra koordinataksene og fra punkt A (-2; 1).

Løsning.

Det nødvendige punktet M, som punktet A (-2; 1), er plassert i det andre koordinathjørnet, siden det er like langt fra punktene A, P 1 og P 2 (Fig. 5). Avstandene til punktet M fra koordinataksene er de samme, derfor vil dets koordinater være (-a; a), hvor a > 0.

Det følger av betingelsene for problemet at MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

de. |-a| = a.

I henhold til formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finner vi:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

La oss lage en ligning:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Etter kvadrering og forenkling har vi: a 2 - 6a + 5 = 0. Vi løser ligningen, vi finner a 1 = 1; og 2 = 5.

Vi får to poeng M 1 (-1; 1) og M 2 (-5; 5), som tilfredsstiller problemets tilstand.

6. Beregning av koordinatene til et punkt som er i samme spesifiserte avstand fra abscissen (ordinataksen) og fra dette punktet

Eksempel 6

Finn et punkt M slik at avstanden fra y-aksen og fra punktet A (8; 6) vil være lik 5.

Løsning.

Det følger av betingelsen for oppgaven at MA = 5 og abscissen til punktet M er lik 5. La ordinaten til punktet M være lik b, så M(5; b) (Fig. 6).

I henhold til formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) har vi:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

La oss lage en ligning:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Forenklet får vi: b 2 - 12b + 20 = 0. Røttene til denne ligningen er b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Derfor er det to punkter som tilfredsstiller problemets tilstand: M 1 (5; 2) og M 2 (5; 10).

Det er kjent at mange studenter, når de løser problemer på egenhånd, trenger konstante konsultasjoner om teknikker og metoder for å løse dem. Ofte kan en elev ikke finne en måte å løse et problem på uten hjelp fra en lærer. Eleven kan få nødvendige råd om problemløsning på nettsiden vår.

Har du noen spørsmål? Er du usikker på hvordan du finner avstanden mellom to punkter på et fly?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!

blog.site, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

I denne artikkelen vil vi vurdere måter å bestemme avstanden fra et punkt til et punkt teoretisk og på eksemplet med spesifikke oppgaver. La oss starte med noen definisjoner.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisjon 1

Avstand mellom punktene- dette er lengden på segmentet som forbinder dem, i den eksisterende skalaen. Det er nødvendig å stille inn skalaen for å ha en lengdeenhet for måling. Derfor løses i utgangspunktet problemet med å finne avstanden mellom punktene ved å bruke deres koordinater på koordinatlinjen, i koordinatplanet eller tredimensjonalt rom.

Startdata: koordinatlinjen O x og et vilkårlig punkt A som ligger på den. Ett reelt tall er iboende i et hvilket som helst punkt på linjen: la dette være et bestemt tall for punkt A xA, det er koordinaten til punkt A.

Generelt kan vi si at estimeringen av lengden til et bestemt segment skjer i sammenligning med segmentet tatt som en lengdeenhet på en gitt skala.

Hvis punkt A tilsvarer et heltall reelt tall, etter å ha satt til side suksessivt fra punkt O til et punkt langs en rett linje OA segmenter - lengdeenheter, kan vi bestemme lengden av segment OA ved det totale antallet ventende enhetssegmenter.

For eksempel tilsvarer punkt A tallet 3 - for å komme til det fra punkt O, vil det være nødvendig å sette av tre enhetssegmenter. Hvis punkt A har en koordinat på - 4, plottes enkeltsegmenter på lignende måte, men i en annen negativ retning. Således, i det første tilfellet, er avstanden OA 3; i det andre tilfellet, O A \u003d 4.

Hvis punkt A har et rasjonelt tall som koordinat, setter vi fra origo (punkt O) til side et helt antall enhetssegmenter, og deretter den nødvendige delen. Men geometrisk er det ikke alltid mulig å foreta en måling. For eksempel virker det vanskelig å legge til side koordinat direkte brøk 4 111 .

På den ovennevnte måten er det helt umulig å utsette et irrasjonelt tall på en rett linje. For eksempel når koordinaten til punkt A er 11 . I dette tilfellet er det mulig å vende seg til abstraksjon: hvis den gitte koordinaten til punkt A er større enn null, så O A \u003d x A (tallet er tatt som en avstand); hvis koordinaten er mindre enn null, så er O A = - x A . Generelt er disse utsagnene sanne for ethvert reelt tall x A .

Oppsummering: avstanden fra origo til punktet, som tilsvarer et reelt tall på koordinatlinjen, er lik:

0 hvis punktet er det samme som origo;

x A hvis x A > 0 ;

- x A hvis x A< 0 .

Samtidig er det åpenbart at lengden på segmentet i seg selv ikke kan være negativ, derfor, ved å bruke modultegnet, skriver vi avstanden fra punktet O til punktet A med koordinaten x A: O A = x A

Riktig utsagn vil være: avstanden fra ett punkt til et annet vil være lik modulen til forskjellen i koordinater. De. for punktene A og B , som ligger på samme koordinatlinje hvor som helst og har henholdsvis koordinatene x A Og x B: A B = x B - x A .

Inndata: punktene A og B som ligger på et plan i et rektangulært koordinatsystem O x y med gitte koordinater: A (x A , y A) og B (x B , y B) .

La oss tegne perpendikulære til koordinataksene O x og O y gjennom punktene A og B og få projeksjonspunktene som et resultat: A x , A y , B x , B y . Basert på plasseringen av punktene A og B, er følgende alternativer ytterligere mulige:

Hvis punktene A og B faller sammen, er avstanden mellom dem null;

Hvis punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på O x-aksen (abscisse-aksen), så faller punktene og sammen, og | A B | = | A y B y | . Siden avstanden mellom punktene er lik modulen til differansen mellom deres koordinater, er Ay B y = y B - y A , og derfor A B = A y B y = y B - y A .

Hvis punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på O y-aksen (y-aksen) - analogt med forrige avsnitt: A B = A x B x = x B - x A

Hvis punktene A og B ikke ligger på en rett linje vinkelrett på en av koordinataksene, finner vi avstanden mellom dem ved å utlede beregningsformelen:

Vi ser at trekanten A B C er rettvinklet av konstruksjon. I dette tilfellet er A C = A x B x og B C = A y B y . Ved å bruke Pythagoras setning komponerer vi likheten: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , og transformerer den så: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

La oss danne en konklusjon fra det oppnådde resultatet: avstanden fra punkt A til punkt B på planet bestemmes av beregningen ved å bruke formelen ved å bruke koordinatene til disse punktene

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Den resulterende formelen bekrefter også de tidligere dannede utsagnene for tilfeller av sammenfall av punkter eller situasjoner når punktene ligger på rette linjer vinkelrett på aksene. Så for tilfellet med sammenfall av punktene A og B, vil likheten være sann: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

For situasjonen når punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på x-aksen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

For tilfellet når punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på y-aksen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Startdata: rektangulært koordinatsystem O x y z med vilkårlige punkter liggende på det med gitte koordinater A (x A , y A , z A) og B (x B , y B , z B) . Det er nødvendig å bestemme avstanden mellom disse punktene.

Ta i betraktning generell sak, når punktene A og B ikke ligger i et plan parallelt med et av koordinatplanene. Tegn gjennom punkt A og B-plan vinkelrett på koordinataksene, og få de tilsvarende projeksjonspunktene: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Avstanden mellom punktene A og B er diagonalen til den resulterende boksen. I henhold til konstruksjonen av målingen av denne boksen: A x B x , A y B y og A z B z

Fra løpet av geometri er det kjent at kvadratet på diagonalen til et parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets dimensjoner. Basert på denne uttalelsen får vi likheten: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Ved å bruke konklusjonene vi har fått tidligere, skriver vi følgende:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

La oss transformere uttrykket:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Endelig formel for å bestemme avstanden mellom punkter i rommet vil se slik ut:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Den resulterende formelen er også gyldig for tilfeller der:

Prikkene samsvarer;

De ligger på samme koordinatakse eller på en rett linje parallelt med en av koordinataksene.

Eksempler på å løse oppgaver for å finne avstanden mellom punktene

Eksempel 1

Startdata: en koordinatlinje og punkter som ligger på den med gitte koordinater A (1 - 2) og B (11 + 2) er gitt. Det er nødvendig å finne avstanden fra referansepunktet O til punkt A og mellom punktene A og B.

Løsning

Avstanden fra referansepunktet til punktet er lik modulen til koordinaten til dette punktet, henholdsvis O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
Avstanden mellom punktene A og B er definert som modulen til differansen mellom koordinatene til disse punktene: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Svar: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Eksempel 2

Innledende data: gitt et rektangulært koordinatsystem og to punkter som ligger på det A (1 , - 1) og B (λ + 1 , 3) λ er et reelt tall. Det er nødvendig å finne alle verdiene for dette tallet der avstanden A B vil være lik 5.

Løsning

For å finne avstanden mellom punktene A og B må du bruke formelen A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Ved å erstatte de reelle verdiene til koordinatene får vi: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Og vi bruker også den eksisterende betingelsen at A B = 5 og da vil likheten være sann:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Svar: A B \u003d 5 hvis λ \u003d ± 3.

Eksempel 3

Innledende data: et tredimensjonalt rom i et rektangulært koordinatsystem O x y z og punktene A (1 , 2 , 3) og B - 7 , - 2 , 4 som ligger i det er gitt.

Løsning

For å løse oppgaven bruker vi formelen A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ved å erstatte de reelle verdiene får vi: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Svar: | A B | = 9

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Avstanden mellom to punkter på et plan.
Koordinatsystemer

Hvert punkt A i planet er karakterisert ved sine koordinater (x, y). De faller sammen med koordinatene til vektoren 0А , som kommer ut av punktet 0 - opprinnelsen.

La A og B være vilkårlige punkter på planet med henholdsvis koordinater (x 1 y 1) og (x 2, y 2).

Da har vektoren AB åpenbart koordinatene (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Det er kjent at kvadratet av lengden til en vektor er lik summen av kvadratene til dens koordinater. Derfor bestemmes avstanden d mellom punktene A og B, eller, hva som er den samme, lengden på vektoren AB, fra betingelsen

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Den resulterende formelen lar deg finne avstanden mellom to punkter på planet, hvis bare koordinatene til disse punktene er kjent

Hver gang, når vi snakker om koordinatene til et eller annet punkt på planet, har vi i tankene et veldefinert koordinatsystem x0y. Generelt kan koordinatsystemet på flyet velges på forskjellige måter. Så, i stedet for x0y-koordinatsystemet, kan vi vurdere x"0y"-koordinatsystemet, som oppnås ved å rotere de gamle koordinataksene rundt startpunktet 0 mot klokken piler på hjørnet α .

Hvis et punkt på planet i x0y-koordinatsystemet hadde koordinater (x, y), vil det i det nye x"0y"-koordinatsystemet ha andre koordinater (x", y").

Som et eksempel, se på punktet M, plassert på aksen 0x" og med avstand fra punktet 0 i en avstand lik 1.

Åpenbart, i x0y-koordinatsystemet, har dette punktet koordinater (cos α , synd α ), og i koordinatsystemet x"0y" er koordinatene (1,0).

Koordinatene til to punkter i plan A og B avhenger av hvordan koordinatsystemet er satt i dette planet. Men avstanden mellom disse punktene avhenger ikke av hvordan koordinatsystemet er spesifisert. Vi vil gjøre vesentlig bruk av denne viktige omstendigheten i neste avsnitt.

Øvelser

I. Finn avstander mellom punkter i planet med koordinater:

1) (3.5) og (3.4); 3) (0,5) og (5,0); 5) (-3,4) og (9, -17);

2) (2, 1) og (- 5, 1); 4) (0,7) og (3,3); 6) (8, 21) og (1, -3).

II. Finn omkretsen til en trekant hvis sider er gitt av ligningene:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 og y = 1.

III. I x0y-koordinatsystemet har punktene M og N henholdsvis koordinater (1, 0) og (0,1). Finn koordinatene til disse punktene i det nye koordinatsystemet, som også oppnås ved å rotere de gamle aksene rundt startpunktet med en vinkel på 30° mot klokken.

IV. I x0y-koordinatsystemet har punktene M og N koordinater (2, 0) og (\ / 3/2, - 1/2). Finn koordinatene til disse punktene i det nye koordinatsystemet, som fås ved å rotere de gamle aksene rundt startpunktet med en vinkel på 30° med klokken.

Ved å begynne å løse problemer om emnet, skal elevene kunne bygge et punkt på et plan i henhold til dets koordinater, samt finne koordinatene til et gitt punkt.

Hvis en av endene av segmentet faller sammen med origo, og den andre har koordinatene M (x M; y M), vil formelen for å beregne d ha formen OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Beregne avstanden mellom to punkter gitt koordinatene til disse punktene

Eksempel 1.

Finn lengden på segmentet som forbinder punktene A(2; -5) og B(-4; 3) på koordinatplanet (fig. 1).

Løsning.

Betingelsen for oppgaven er gitt: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 og y B = 3. Finn d.

Ved å bruke formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), får vi:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Beregne koordinatene til et punkt som er like langt fra tre gitte punkter

Eksempel 2

Finn koordinatene til punktet O 1, som er like langt fra de tre punktene A(7; -1) og B(-2; 2) og C(-1; -5).

Løsning.

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vi lager et system av to ligninger:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Etter å ha kvadreert venstre og høyre side av ligningene, skriver vi:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Forenkling, skriver vi

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Etter å ha løst systemet får vi: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) er like langt fra de tre punktene gitt i tilstanden som ikke ligger på en rett linje. Dette punktet er sentrum av sirkelen som går gjennom de tre gitte punktene. (Fig. 2).

3. Beregning av abscissen (ordinaten) til et punkt som ligger på abscissen (ordinaten) og er i en gitt avstand fra dette punktet

Eksempel 3

Avstanden fra punkt B(-5; 6) til punkt A som ligger på x-aksen er 10. Finn punkt A.

Løsning.

Det følger av formuleringen av tilstanden til problemet at ordinaten til punkt A er null og AB = 10.

Ved å betegne abscissen til punktet A til a, skriver vi A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Vi får ligningen √((a + 5) 2 + 36) = 10. Forenklet har vi

a 2 + 10a - 39 = 0.

Røttene til denne ligningen a 1 = -13; og 2 = 3.

Vi får to poeng A 1 (-13; 0) og A 2 (3; 0).

Undersøkelse:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Begge oppnådde poeng passer til tilstanden til problemet (Fig. 3).

4. Beregning av abscissen (ordinaten) til et punkt som ligger på abscissen (ordinaten) og er i samme avstand fra to gitte punkter

Eksempel 4

Finn et punkt på Oy-aksen som er i samme avstand fra punktene A (6; 12) og B (-8; 10).

Løsning.

I henhold til formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finner vi:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Vi har ligningen √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) eller 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Etter forenkling får vi: b - 4 = 0, b = 4.

Kreves av tilstanden til problempunktet O 1 (0; 4) (Fig. 4).

5. Beregne koordinatene til et punkt som er i samme avstand fra koordinataksene og et gitt punkt

Eksempel 5

Finn punkt M som ligger på koordinatplanet i samme avstand fra koordinataksene og fra punkt A (-2; 1).

Løsning.

Det følger av betingelsene for problemet at MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

de. |-a| = a.

I henhold til formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) finner vi:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

La oss lage en ligning:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Etter kvadrering og forenkling har vi: a 2 - 6a + 5 = 0. Vi løser ligningen, vi finner a 1 = 1; og 2 = 5.

Vi får to poeng M 1 (-1; 1) og M 2 (-5; 5), som tilfredsstiller problemets tilstand.

6. Beregning av koordinatene til et punkt som er i samme spesifiserte avstand fra abscissen (ordinataksen) og fra dette punktet

Eksempel 6

Finn et punkt M slik at avstanden fra y-aksen og fra punktet A (8; 6) vil være lik 5.

Løsning.

Det følger av betingelsen for oppgaven at MA = 5 og abscissen til punktet M er lik 5. La ordinaten til punktet M være lik b, så M(5; b) (Fig. 6).

I henhold til formelen d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) har vi:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

La oss lage en ligning:

Har du noen spørsmål? Er du usikker på hvordan du finner avstanden mellom to punkter på et fly?
For å få hjelp av en veileder - registrer deg.
Den første leksjonen er gratis!

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.