Nechť je funkce definována v doméně

Definice. Výraz

volal funkční u.

Příklad.

Pro některé hodnoty může řada konvergovat, pro jiné hodnoty se může lišit.

Příklad.

Najděte oblast konvergence řady. Tato řada je definována pro hodnoty

Jestliže pak , řada diverguje, protože není splněno nezbytné kritérium pro konvergenci řady; pokud se řada liší; if je nekonečně klesající geometrická progrese.

Srovnání této řady s konvergentní řadou at dá oblast konvergence studované řady.

S hodnotami z funkční řady se získá číselná řada

Pokud pro číselnou řadu konverguje, pak se bod nazývá bod konvergence funkční řada.

Množina všech bodů konvergence řady tvoří oblast její konvergence. Oblast konvergence je obvykle nějaký interval osy.

Pokud v každém bodě číselná řada konverguje, volá se funkční řada konvergující v oblasti .

Součet funkční řady je nějaká funkce proměnné definované v oblasti konvergence řady

Jaké vlastnosti mají funkce, pokud jsou vlastnosti známé jako člen řady, tzn.

Spojitost funkcí nestačí k závěru o spojitosti.

Konvergenci řady spojitých funkcí ke spojité funkci zajišťuje další podmínka vyjadřující jeden důležitý rys konvergence funkční řady.

Definice. Funkční řada se nazývá konvergentní v definičním oboru, pokud existuje limita dílčích součtů této řady, tj.

Definice. Funkční řada se v oblasti nazývá rovnoměrně konvergentní, pokud pro jakékoli kladné existuje takové číslo, že nerovnost platí pro všechny.

Geometrický význam jednotné konvergence

Obklopíme-li graf funkce pruhem, definovaným vztahem, pak grafy Všechno funkce , počínaje dostatečně velkou hodnotou , zcela leží v tomto „-proužku“ obklopujícím graf limitní funkce .

Vlastnosti rovnoměrně konvergentní řady .

1. Součet rovnoměrně konvergentní řady v nějaké oblasti, složené ze spojitých funkcí, je v této oblasti spojitou funkcí.

2. Takovou řadu lze členit po členech

3. Série lze integrovat termín po termínu

Abychom určili, zda je funkční řada rovnoměrně konvergentní, musíme použít Weierstrassovo kritérium dostatečné konvergence.

Definice. Funkční řada se nazývá dominoval v nějaké oblasti změny, pokud existuje taková konvergentní číselná řada s kladnými členy, že nerovnosti platí pro celou tuto oblast.

Weierstrass znamení(rovnoměrná konvergence funkční řady).

Funkční rozsah konverguje rovnoměrně v doméně konvergence, pokud v této doméně dominuje.

Jinými slovy, pokud funkce v nějaké oblasti nepřekročí odpovídající kladná čísla v absolutní hodnotě a pokud číselná řada konverguje, pak funkční řada konverguje rovnoměrně v této oblasti.

Příklad. Dokažte rovnoměrnou konvergenci funkční řady.

Řešení. . Nahraďme společný člen této řady společným členem číselné řady, ale přesahující každý člen řady v absolutní hodnotě. K tomu je nutné určit, při kterém bude společný člen řady maximální.

Výsledná číselná řada konverguje, což znamená, že funkční řada konverguje rovnoměrně podle Weierstrassova testu.

Příklad. Najděte součet řady.

K nalezení součtu řady použijeme známý vzorec pro součet geometrické posloupnosti

Odlišením levé a pravé části vzorce (1) získáme postupně

V součtu, který se má vypočítat, vybereme členy úměrné prvnímu a druhému derivátu:

Spočítejme si derivace:

Mocninná řada.

Mezi funkční řady patří třída výkonové a trigonometrické řady.

Definice. Funkční řada formuláře

se nazývá moc v mocnostech. Výrazy jsou konstantní čísla.

Pokud je řada mocninnou řadou v mocninách .

Oblast konvergence mocninné řady. Abelova věta.

Teorém. Konverguje-li mocninná řada v bodě, pak konverguje a navíc absolutně pro jakoukoli hodnotu, která je menší v absolutní hodnotě, tedy v intervalu.

Důkaz.

Kvůli konvergenci rad musí jeho společný člen tíhnout k nule, takže všechny členy této řady jsou rovnoměrně ohraničené: existuje konstantní kladné číslo , takže pro libovolnou nerovnost platí ., což pro všechny se středem v směřovat

funkční řádky. Mocninná řada.
Rozsah konvergence řady

Smích bez důvodu je známkou d'Alemberta

Hodina funkčních řad tedy udeřila. K úspěšnému zvládnutí tématu a zejména této lekce se musíte dobře orientovat v obvyklých číselných řadách. Měli byste dobře rozumět tomu, co je řada, být schopni použít znaky srovnání ke studiu řady pro konvergenci. Pokud jste tedy toto téma právě začali studovat nebo jste konvičkou ve vyšší matematice, nutné projděte postupně tři lekce: Řady na čajové konvice,Znamení d'Alemberta. Známky Cauchy A Střídání řádků. Leibnizův znak. Určitě všechny tři! Pokud máte základní znalosti a dovednosti v řešení problémů s číselnými řadami, pak bude docela snadné se vypořádat s funkčními řadami, protože nového materiálu není mnoho.

V této lekci se zamyslíme nad pojmem funkční řady (co to obecně je), seznámíme se s mocninnými řadami, které se vyskytují v 90 % praktických úloh, a naučíme se řešit běžný typický problém hledání konvergence. poloměr, interval konvergence a oblast konvergence mocninné řady. Dále doporučuji zvážit materiál na rozšíření funkcí do mocninných řad, a začátečníkovi bude poskytnuta sanitka. Po chvilce odpočinku přejdeme na další úroveň:

Také v sekci funkčních řad je jich mnoho aplikace pro přibližné výpočty, a Fourierovy řady, kterým je zpravidla ve vzdělávací literatuře přidělena samostatná kapitola, jdou trochu od sebe. Mám jen jeden článek, ale je dlouhý a mnoho, mnoho dalších příkladů!

Takže orientační body jsou nastaveny, pojďme na to:

Pojem funkční řady a mocninné řady

Pokud je v limitě získáno nekonečno, pak algoritmus řešení také dokončí svou práci a my dáváme konečnou odpověď na úlohu: „Řada konverguje v“ (nebo v obou“). Viz případ č. 3 předchozího odstavce.

Pokud se v limitu ukáže, že není nula a ne nekonečno, pak máme nejčastější případ v praxi č. 1 - řada konverguje na určitém intervalu.

V tomto případě je limit . Jak zjistit interval konvergence řady? Vytváříme nerovnost:

V JAKÝKOLI úkol tohoto typu na levé straně nerovnosti by měla být výsledek výpočtu limitu a na pravé straně nerovnosti přísně jednotka. Nebudu vysvětlovat, proč právě tato nerovnost a proč je jedna vpravo. Hodiny jsou praktické a už teď je velmi dobře, že některé věty z mých vyprávění objasnily, že se učitelský sbor neoběsil.

Technika práce s modulem a řešení dvojitých nerovností byla podrobně zvažována v prvním roce v článku Rozsah funkcí, ale pro pohodlí se pokusím všechny akce okomentovat co nejpodrobněji. Odhalíme nerovnost s modulem podle školního řádu . V tomto případě:

Napůl za sebou.

Ve druhé fázi je nutné prozkoumat konvergenci řady na koncích nalezeného intervalu.

Nejprve vezmeme levý konec intervalu a dosadíme jej do naší mocninné řady:

Byla přijata číselná řada a musíme ji prozkoumat z hlediska konvergence (úloha již známá z předchozích lekcí).

1) Řada je střídavá.
2) – podmínky modulu snížení řady. Každý další člen řady je navíc v modulu menší než předchozí: , takže pokles je monotónní.
Závěr: řada konverguje.

S pomocí série sestavené z modulů přesně zjistíme, jak:
– konverguje („referenční“ řady z rodiny zobecněných harmonických řad).

Výsledná číselná řada tedy konverguje absolutně.

na - konverguje.

! Připomínám že každá konvergentní kladná řada je také absolutně konvergentní.

Mocninná řada tedy konverguje, a to absolutně, na obou koncích nalezeného intervalu.

Odpovědět: oblast konvergence studované mocninné řady:

Má právo na život a jiný návrh odpovědi: Řada konverguje, jestliže

Někdy je ve stavu problému nutné zadat poloměr konvergence. Je zřejmé, že v uvažovaném příkladu .

Příklad 2

Najděte oblast konvergence mocninné řady

Řešení: najdeme interval konvergence řady používáním znamení d'Alemberta (ale ne podle atributu! - pro funkční řadu takový atribut neexistuje):

Řada konverguje v

Vlevo, odjet musíme odejít pouze, takže obě strany nerovnosti vynásobíme 3:

– Řada je střídavá.
– – podmínky modulu snížení řady. Každý další člen řady je v absolutní hodnotě menší než předchozí: , takže pokles je monotónní.

Závěr: řada konverguje.

Zkoumáme to na povahu konvergence:

Porovnejte tuto řadu s divergentní řadou.
Používáme limitní znak srovnání:

Získá se konečné číslo jiné než nula, což znamená, že řada diverguje společně s řadou.

Řada tedy konverguje podmíněně.

2) Kdy – se rozchází (jak bylo prokázáno).

Odpovědět: Oblast konvergence studované mocninné řady: . Pro , řada podmíněně konverguje.

V uvažovaném příkladu je oblast konvergence mocninné řady poloviční interval a ve všech bodech intervalu mocninná řada absolutně konverguje a v bodě, jak se ukázalo, podmíněně.

Příklad 3

Najděte interval konvergence mocninné řady a prozkoumejte její konvergenci na koncích nalezeného intervalu

Toto je příklad typu „udělej si sám“.

Zvažte několik příkladů, které jsou vzácné, ale vyskytují se.

Příklad 4

Najděte oblast konvergence řady:

Řešení: pomocí d'Alembertova testu zjistíme interval konvergence této řady:

(1) Sestavte poměr dalšího člena řady k předchozímu.

(2) Zbavte se čtyřpatrového zlomku.

(3) Kostky a podle pravidla operací s mocninami se sčítají do jednoho stupně. V čitateli chytře rozložíme stupeň, tzn. expandovat tak, že v dalším kroku zlomek snížíme o . Faktoriály jsou podrobně popsány.

(4) Pod krychlí rozdělíme čitatele jmenovatelem člen člen, což znamená, že . Ve zlomku zredukujeme vše, co se zredukovat dá. Multiplikátor je vyjmut z limitního znaménka, lze jej vyjmout, protože v něm není nic, co by záviselo na "dynamické" proměnné "en". Vezměte prosím na vědomí, že znak modulu není nakreslen - z toho důvodu, že má nezáporné hodnoty pro jakékoli "x".

V limitu se získá nula, což znamená, že můžeme dát konečnou odpověď:

Odpovědět:Řada konverguje v

A zprvu se zdálo, že tuhle řadu s „strašnou nádivkou“ bude těžké vyřešit. Nula nebo nekonečno v limitu je téměř dar, protože řešení je znatelně redukováno!

Příklad 5

Najděte oblast konvergence řady

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Pozor ;-) Úplné řešení je odpověď na konci lekce.

Zvažte několik dalších příkladů, které obsahují prvek novosti, pokud jde o použití technik.

Příklad 6

Najděte interval konvergence řady a prozkoumejte její konvergenci na koncích nalezeného intervalu

Řešení: Společným pojmem mocninné řady je faktor , který zajišťuje střídání. Algoritmus řešení je zcela zachován, ale při kompilaci limity tento faktor ignorujeme (nezapisujeme), protože modul ničí všechny „mínusy“.

Interval konvergence řady zjistíme pomocí d'Alembertova testu:

Skládáme standardní nerovnost:
Řada konverguje v
Vlevo, odjet musíme odejít pouze modul, takže obě strany nerovnosti vynásobíme 5:

Nyní modul rozšiřujeme známým způsobem:

Uprostřed dvojité nerovnosti musíte ponechat pouze „x“, pro tento účel odečtěte 2 od každé části nerovnosti:

je interval konvergence studované mocninné řady.

Zkoumáme konvergenci řady na koncích nalezeného intervalu:

1) Dosaďte hodnotu v naší mocninné řadě :

Buďte extrémně opatrní, multiplikátor neposkytuje střídání, pro žádné přirozené "en". Výsledné mínus vezmeme mimo řadu a zapomeneme na něj, protože (jako každý konstantní násobič) nijak neovlivňuje konvergenci ani divergenci číselné řady.

Všimněte si znovuže v průběhu dosazování hodnoty do společného členu mocninné řady jsme snížili faktor . Pokud by se tak nestalo, znamenalo by to, že jsme buď špatně vypočítali limit, nebo nesprávně rozšířili modul.

Je tedy nutné prozkoumat konvergenci číselné řady. Zde je nejjednodušší použít limitní srovnávací kritérium a porovnat tuto řadu s divergentní harmonickou řadou. Ale abych byl upřímný, byl jsem strašně unavený konečným znakem srovnání, takže řešení trochu zpestřím.

Takže řada konverguje na

Vynásobte obě strany nerovnosti 9:

Extrahujeme kořen z obou částí, přičemž si pamatujeme starý školní vtip:

Rozšíření modulu:

a přidejte jednu do všech částí:

je interval konvergence studované mocninné řady.

Zkoumáme konvergenci mocninných řad na koncích nalezeného intervalu:

1) Jestliže , pak se získá následující číselná řada:

Multiplikátor zmizel beze stopy, protože pro jakoukoli přirozenou hodnotu "en" .

Lukhov Yu.P. Abstrakt přednášek z vyšší matematiky. Přednáška č. 42 5

Přednáška 42

PŘEDMĚT: Funkční řady

Plán.

funkční řádky. Oblast konvergence.
Rovnoměrná konvergence. Weierstrass znamení.
Vlastnosti rovnoměrně konvergentních řad: spojitost součtu řady, integrace po členu a derivace.
Mocninná řada. Abelova věta. Oblast konvergence mocninné řady. poloměr konvergence.
Základní vlastnosti mocninných řad: rovnoměrná konvergence, spojitost a nekonečná diferencovatelnost součtu. Termínová integrace a derivace mocninných řad.

funkční řádky. Oblast konvergence

Definice 40.1. Nekonečné množství funkcí

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x) +… , (40,1)

kde u n (x) = f (x, n), se nazývá funkční rozsah.

Pokud nastavíte konkrétní číselnou hodnotu X , řada (40.1) se změní na číselnou řadu a v závislosti na volbě hodnoty X taková řada může konvergovat nebo divergovat. Praktickou hodnotu mají pouze konvergentní řady, proto je důležité tyto hodnoty určit X , pro které se funkční řada stává konvergentní číselnou řadou.

Definice 40.2. Mnoho hodnot X , jehož dosazením do funkční řady (40.1) získáme konvergentní číselnou řadu, se nazývákonvergenční regionfunkční řada.

Definice 40.3. Funkce s(x), definované v rozsahu konvergence řady, která pro každou hodnotu X z oblasti konvergence se rovná součtu odpovídající číselné řady získané z (40.1) pro danou hodnotu se nazývá x součet funkční řady.

Příklad. Najděte oblast konvergence a součet funkčních řad

1 + x + x ² +…+ x n +…

Když | X | ≥ 1, takže se odpovídající číselné řady rozcházejí. Li

| X | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Rozsah konvergence řady je tedy interval (-1, 1) a jeho součet má naznačený tvar.

Komentář . Stejně jako u číselných řad můžeme zavést koncept částečného součtu funkční řady:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

a zbytek řady: r n = s s n .

Rovnoměrná konvergence funkční řady

Nejprve definujme pojem jednotné konvergence číselné posloupnosti.

Definice 40.4. Funkční sekvence f n (x ) se nazývá rovnoměrně konvergující k funkci f na množině X, jestliže a

Poznámka 1. Budeme označovat obvyklou konvergenci funkční posloupnosti a stejnoměrnou konvergenci - .

Poznámka 2 . Ještě jednou si povšimněme zásadního rozdílu mezi stejnoměrnou konvergencí a obyčejnou konvergencí: v případě obyčejné konvergence pro vybranou hodnotu ε existuje pro každou vaše číslo N pro který n > N platí následující nerovnost:

V tomto případě se může ukázat, že pro dané ε je obecné číslo N, zajištění naplnění této nerovnosti pro kohokoliv X , nemožné. V případě jednotné konvergence takové číslo N, společné všem x, existuje.

Definujme nyní pojem rovnoměrné konvergence funkční řady. Protože každá řada odpovídá posloupnosti jejích dílčích součtů, stejnoměrná konvergence řady je definována z hlediska stejnoměrné konvergence této posloupnosti:

Definice 40.5. Funkční řada se nazývárovnoměrně konvergentní na množině X, pokud na X posloupnost jeho dílčích součtů stejnoměrně konverguje.

Weierstrass znamení

Věta 40.1. Pokud číselná řada konverguje pro všechny a pro všechny n = 1, 2,…, pak řada konverguje absolutně a rovnoměrně na množině X.

Důkaz.

Pro libovolné ε > 0 c existuje takové číslo N, proto

Pro zbytky r n série, odhad

Proto řada konverguje rovnoměrně.

Komentář. Obvykle se nazývá postup pro výběr číselné řady splňující podmínky věty 40.1 majorizace a tato série samotná majorant pro tento funkční rozsah.

Příklad. Pro funkční řadu, majorant pro jakoukoli hodnotu X je konvergentní kladná řada. Proto původní řada konverguje rovnoměrně na (-∞, +∞).

Vlastnosti rovnoměrně konvergentních řad

Věta 40.2. Pokud funkce u n (x ) jsou spojité v a řada konverguje rovnoměrně na X, pak jeho součet s (x) je také v bodě spojitý x 0.

Důkaz.

Zvolíme ε > 0. Pak tedy existuje číslo n 0 to

- součet konečného počtu spojitých funkcí, takspojitý v bodě x 0. Proto existuje δ > 0 takové, že Pak dostaneme:

To znamená, že funkce s (x) je spojitá pro x \u003d x 0.

Věta 40.3. Nechť funkce u n (x ) jsou souvislé na segmentu [ a, b ] a řada k tomuto segmentu rovnoměrně konverguje. Pak řada také konverguje rovnoměrně na [ a , b ] a (40.2)

(to znamená, že za podmínek věty lze řadu integrovat člen po členu).

Důkaz.

Podle věty 40.2 funkce s(x) = spojitý na [a, b ], a proto je na něm integrovatelný, tj. existuje integrál na levé straně rovnosti (40.2). Ukažme, že řada konverguje rovnoměrně k funkci

Označit

Pak pro libovolné ε existuje číslo N , což pro n > N

Řada tedy konverguje rovnoměrně a její součet je roven σ ( x) =.

Věta byla prokázána.

Věta 40.4. Nechť funkce u n (x ) jsou plynule diferencovatelné na intervalu [ a, b ] a řada složená z jejich derivátů:

(40.3)

konverguje rovnoměrně na [ a, b ]. Pak, pokud řada konverguje alespoň v jednom bodě, pak konverguje rovnoměrně na všech [ a , b ], jeho součet s (x )= je plynule diferencovatelná funkce a

(řadu lze členit po členech).

Důkaz.

Definujme funkci σ( X ) Jak. Podle věty 40.3 lze řadu (40.3) integrovat termín po termínu:

Řada na pravé straně této rovnosti konverguje rovnoměrně na [ a, b ] podle věty 40.3. Ale číselná řada konverguje podle podmínky věty, proto řada konverguje rovnoměrně. Poté funkce σ( t ) je součet rovnoměrně konvergentní řady spojitých funkcí na [ a, b ] a je tedy sama o sobě spojitá. Potom je funkce plynule diferencovatelná na [ a, b ], a podle potřeby prokázat.

Definice 41.1. moc další se nazývá funkční řada formuláře

(41.1)

Komentář. Nahrazením x x 0 = t řadu (41.1) lze redukovat na tvar, takže stačí dokázat všechny vlastnosti mocninných řad pro řadu tvaru

(41.2)

Věta 41.1 (Abelova 1. věta).Pokud mocninná řada (41.2) konverguje při x \u003d x 0, pak pro libovolné x: | x |< | x 0 | řada (41.2) konverguje absolutně. Pokud se řada (41.2) liší v x \u003d x 0, pak se rozchází pro jakékoli x : | x | > | x 0 |.

Důkaz.

Pokud řada konverguje, pak existuje konstanta c > 0:

Proto, zatímco řada pro | x |<| x 0 | konverguje, protože je součtem nekonečně klesající geometrické progrese. Proto řada pro | x |<| x 0 | absolutně konverguje.

Pokud je známo, že řada (41.2) diverguje v x = x 0 , pak nemůže konvergovat pro | x | > | x 0 | , protože by z toho, co bylo dokázáno dříve, vyplývalo, že také konverguje v bodě x 0.

Pokud tedy najdete největší z čísel x 0 > 0 tak, že (41.2) konverguje pro x \u003d x 0, pak oblastí konvergence této řady, jak vyplývá z Abelovy věty, bude interval (- x 0, x 0 ), případně včetně jedné nebo obou hranic.

Definice 41.2. Volá se číslo R ≥ 0 poloměr konvergencemocninná řada (41.2), pokud tato řada konverguje, ale diverguje. Interval (- R, R) se nazývá interval konvergence série (41.2).

Příklady.

Ke studiu absolutní konvergence řady použijeme d'Alembertův test: . Proto řada konverguje pouze tehdy, když X = 0 a poloměr jeho konvergence je 0: R = 0.
Pomocí stejného d'Alembertova testu lze ukázat, že řada konverguje pro kteroukoli x, tzn
Pro sérii založenou na d'Alembertově testu dostáváme:

Proto za 1< X < 1 ряд сходится, при

X< -1 и x > 1 se liší. Na X = 1 dostaneme harmonickou řadu, která, jak známo, diverguje a kdy X = -1 řada konverguje podmíněně podle Leibnizova kritéria. Tedy poloměr konvergence uvažované řady R = 1 a interval konvergence je [-1, 1).

Vzorce pro určení poloměru konvergence mocninné řady.

d'Alembertova formule.

Uvažujme mocninnou řadu a aplikujte na ni d'Alembertův test: pro konvergenci řady je nutné, aby. Pokud existuje, pak je oblast konvergence určena nerovností, tzn.

- (41.3)

d'Alembertův vzorecpro výpočet poloměru konvergence.

Cauchy-Hadamardův vzorec.

Pomocí radikálního Cauchyho testu a uvažování podobným způsobem dostaneme, že je možné nastavit oblast konvergence mocninné řady jako množinu řešení nerovnice za předpokladu, že tato limita existuje, a podle toho najít ještě jeden vzorec pro poloměr konvergence:

(41.4)

Cauchy-Hadamardův vzorec.

Vlastnosti mocninných řad.

Věta 41.2 (Abelova 2. věta). Pokud R poloměr konvergence řady (41.2) a tato řada konverguje na x = R , pak konverguje rovnoměrně na intervalu (- R, R).

Důkaz.

Znaménko-pozitivní řada konverguje podle věty 41.1. Proto řada (41.2) konverguje rovnoměrně v intervalu [-ρ, ρ] podle věty 40.1. Z volby ρ vyplývá, že interval rovnoměrné konvergence (- R, R ), což mělo být prokázáno.

Důsledek 1 . Na každém segmentu, který leží celý v intervalu konvergence, je součet řady (41.2) spojitá funkce.

Důkaz.

Členy řady (41.2) jsou spojité funkce a řada konverguje rovnoměrně na uvažovaném intervalu. Pak spojitost jeho součtu vyplývá z věty 40.2.

Důsledek 2. Leží-li meze integrace α, β v intervalu konvergence mocninné řady, pak je integrál součtu řady roven součtu integrálů členů řady:

(41.5)

Důkaz tohoto tvrzení vyplývá z věty 40.3.

Věta 41.3. Pokud má řada (41.2) interval konvergence (- R , R ), pak řada

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

získaný člen po členu derivací řady (41.2), má stejný interval konvergence (- R, R). V čem

φ΄ (х) = s΄ (x) pro | x |< R , (41.7)

to znamená, že v rámci intervalu konvergence je derivace součtu mocninné řady rovna součtu řady získané její derivací člen po členu.

Důkaz.

Vybíráme ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Pak řada konverguje, tedy pokud| x | ≤ ρ, tedy

Kde jsou tedy členy řady (41.6) v absolutní hodnotě menší než členy řady kladných znamének, které konvergují podle d'Alembertova testu:

to znamená, že je to majorant pro řadu (41.6) na Proto řada (41.6) konverguje rovnoměrně na [-ρ, ρ]. Proto podle věty 40.4 platí rovnost (41.7). Z volby ρ vyplývá, že řada (41.6) konverguje v libovolném vnitřním bodě intervalu (- R, R).

Dokažme, že řada (41.6) mimo tento interval diverguje. Pokud by se to sblížilo x1 > R , pak jej integrujeme po členech na intervalu (0, x 2), R< x 2 < x 1 , dostali bychom, že řada (41.2) konverguje v bodě x 2 , což odporuje podmínce věty. Věta je tedy zcela dokázána.

Komentář . Sérii (41.6) lze zase členit po členu a tuto operaci lze provádět tolikrát, kolikrát je potřeba.

Závěr: pokud mocninná řada konverguje na intervalu (- R, R ), pak její součet je funkcí, která má derivace libovolného řádu v rámci konvergenčního intervalu, z nichž každá je součtem řady získané z originálu pomocí derivace člen po členu odpovídající počet opakování; zatímco interval konvergence pro řadu derivací libovolného řádu je (- R, R).

Ústav informatiky a vyšší matematiky KSPU

Téma 2. Funkční řada. Mocninná řada

2.1. Funkční řady

Dosud jsme zvažovali řady, jejichž členy byla čísla. Vraťme se nyní ke studiu řad, jejichž členy jsou funkce.

Funkční rozsah se nazývá řada

jehož členy jsou funkce stejného argumentu definovaného na stejné množině E.

Například,

1.
;

2.
;

Pokud uvedeme argument X nějakou číselnou hodnotu
,
, pak dostaneme číselnou řadu

které mohou konvergovat (absolutně konvergovat) nebo divergovat.

Pokud v
výsledná číselná řada konverguje, pak bod
volalbod konvergence funkční řada. Množina všech bodů konvergence se nazývákonvergenční region funkční řada. Označme oblast konvergence X, očividně,
.

Je-li u kladných číselných řad položena otázka: „Konverguje řada nebo diverguje?“, u řady se znaménkovou proměnnou otázka zní: „Konverguje jako – podmíněně nebo absolutně – nebo diverguje?“, pak pro funkcionální řadu série hlavní otázka zní: „Konverguje (konverguje absolutně) k čemu X?».

Funkční rozsah
stanoví zákon, podle kterého každá hodnota argumentu
,
, je přiřazeno číslo rovné součtu číselné řady
. Tedy na place X funkce je dána
, který se nazývá součet funkční řady.

Příklad 16

Najděte oblast konvergence funkční řady

Řešení.

Nechat X je pevné číslo, pak lze tuto řadu považovat za číselnou řadu s kladným znaménkem pro
a střídavě při
.

Udělejme řadu absolutních hodnot členů této řady:

tedy za jakoukoli hodnotu X tato mez je menší než jedna, což znamená, že tato řada konverguje a absolutně (protože jsme studovali řadu absolutních hodnot členů řady) na celé reálné ose.

Oblast absolutní konvergence je tedy množinou
.

Příklad 17.

Najděte oblast konvergence funkční řady
.

Řešení.

Nechat X je pevné číslo
, pak lze tuto řadu považovat za číselnou řadu s kladným znaménkem pro
a střídavě při
.

Zvažte řadu absolutních hodnot členů této řady:

a aplikujte na něj DAlembertův test.

Podle DAlembertova testu řada konverguje, pokud je mezní hodnota menší než jedna, tzn. tato řada bude konvergovat, pokud
.

Vyřešením této nerovnosti dostaneme:


.

Tedy v , řada složená z absolutních hodnot členů této řady konverguje, což znamená, že původní řada konverguje absolutně, a v
tato řada se rozchází.

Na
řada může konvergovat nebo divergovat, protože pro tyto hodnoty X mezní hodnota je rovna jedné. Proto dodatečně studujeme konvergenci řady bodů
A
.

Střídání v tomto řádku
, dostaneme číselnou řadu
, o kterém je známo, že jde o harmonickou divergentní řadu, pak bod
je bod divergence dané řady.

Na
získá se střídavá číselná řada

o kterém je známo, že konverguje podmíněně (viz příklad 15), takže bod
je bodem podmíněné konvergence řady.

Oblast konvergence této řady je tedy , a řada konverguje absolutně v .

Funkční rozsah

volaldominoval v nějakém rozsahu x, pokud existuje taková konvergentní kladná řada

že pro všechna x z dané oblasti podmínka
na
. Řádek
volalmajorant.

Jinými slovy, řadě dominuje, pokud každý z jejích členů není v absolutní hodnotě větší než odpovídající člen nějaké konvergující řady s kladným znaménkem.

Například řada

dominuje pro všechny X, protože pro všechny X vztah

na
,

a řada je známo, že je konvergentní.

TeorémWeierstrass

Řada dominovaná v nějaké doméně absolutně konverguje v této doméně.

Vezměme si například funkční řadu
. Této sérii dominuje pro
, protože v
členy řady nepřesahují odpovídající členy kladné řady . Uvažovaná funkční řada tedy podle Weierstrassovy věty konverguje absolutně pro
.

2.2. Mocninná řada. Abelova věta. Oblast konvergence mocninné řady

Mezi rozmanitostí funkčních řad jsou z hlediska praktického použití nejdůležitější výkonové a trigonometrické řady. Pojďme se na tyto řádky podívat blíže.

moc další postupně
se nazývá funkční řada formuláře

Kde je nějaké pevné číslo
jsou čísla nazývaná koeficienty řady.

Na
dostaneme mocninnou řadu X, která vypadá

Pro jednoduchost budeme mocninné řady uvažovat v mocninách X, protože z takové řady je snadné získat řadu v mocninách
, nahrazující místo toho X výraz
.

Jednoduchost a důležitost třídy mocninných řad je dána především tím, že jde o částečný součet mocninné řady

je polynom - funkce, jejíž vlastnosti jsou dobře studovány a jejíž hodnoty lze snadno vypočítat pouze pomocí aritmetických operací.

Protože mocninné řady jsou speciálním případem funkčních řad, je také nutné, aby našli oblast konvergence. Na rozdíl od oblasti konvergence libovolné funkční řady, která může být množinou libovolného tvaru, má oblast konvergence mocninné řady přesně definovaný tvar. To říká následující věta.

TeorémAbel.

Pokud mocninná řada
konverguje na nějaké hodnotě
, pak konverguje a absolutně pro všechny hodnoty x splňující podmínku
. Pokud se mocninná řada na nějaké hodnotě rozchází
, pak se také liší pro hodnoty splňující podmínku
.

Z Abelovy věty vyplývá, že Všechno body konvergence mocninné řady v mocninách X nachází se od počátku souřadnic dále než kterýkoli z divergenčních bodů. Je zřejmé, že body konvergence vyplňují určitou mezeru se středem v počátku. platí věta o oblasti konvergence mocninné řady.

Teorém.

Pro jakoukoli mocninnou řadu
je tam čísloR (R>0)taková, že pro všechna x ležící uvnitř intervalu
, řada konverguje absolutně a pro všechna x ležící mimo interval
, série se rozchází.

ČísloRvolalpoloměr konvergence mocninnou řadu a interval
– interval konvergence mocninné řady v mocninách x.

Všimněte si, že věta neříká nic o konvergenci řady na koncích intervalu konvergence, tzn. v bodech
. V těchto bodech se různé mocninné řady chovají odlišně: řada může konvergovat (absolutně nebo podmíněně), nebo může divergovat. Proto by měla být konvergence řad v těchto bodech kontrolována přímo z definice.

V určitých případech může být poloměr konvergence řady roven nule nebo nekonečnu. Li
, pak mocninná řada v mocninách X konverguje pouze v jednom bodě
; -li
, pak mocninná řada konverguje na celé reálné ose.

Opět si všimněte, že mocninná řada
postupně
lze redukovat na mocninnou řadu
nahrazením
. Pokud řádek
konverguje v
, tj. Pro
, pak po obrácené substituci dostaneme

 popř
.

Tedy interval konvergence mocninné řady
má formu
. Směřovat volal centrum konvergence. Pro názornost je obvyklé znázorňovat interval konvergence na číselné ose (obrázek 1)

Oblast konvergence se tedy skládá z intervalu konvergence, ke kterému lze přidat body
pokud řada v těchto bodech konverguje. Interval konvergence lze zjistit přímou aplikací DAlembertova testu nebo radikálního Cauchyho testu na řadu složenou z absolutních hodnot členů této řady.

Příklad 18.

Najděte oblast konvergence řady
.

Řešení.

Tato řada je mocninnou řadou v mocninách X, tj.
. Zvažte řadu složenou z absolutních hodnot členů této řady a použijte dAlembertův test.

Řada bude konvergovat, pokud je mezní hodnota menší než 1, tzn.

, kde
.

Tedy interval konvergence této řady
, poloměr konvergence
.

Studujeme konvergenci řad na koncích intervalu, v bodech
. Nahrazení hodnoty v této řadě
, dostaneme sérii

Výsledná řada je tedy v bodě harmonická divergující řada
série se rozchází, takže pointa
není zahrnuta v regionu konvergence.

Na
dostáváme střídavou řadu

který je podmíněně konvergentní (příklad 15), proto bod
– bod konvergence (podmíněný).

Tedy oblast konvergence řady
a na místě
řada podmíněně konverguje a v jiných bodech absolutně.

Úvaha použitá při řešení příkladu může mít obecný charakter.

Zvažte mocninnou řadu

Udělejme řadu absolutních hodnot členů řady a aplikujme na ni znamení D "Alembert.

Pokud existuje (konečná nebo nekonečná) limita, pak podle podmínky konvergence d'Alembertova testu bude řada konvergovat, pokud

Odtud, z definice intervalu a poloměru konvergence, máme

Aplikováním radikálního Cauchyho kritéria a podobným uvažováním lze získat další vzorec pro nalezení poloměru konvergence

Příklad 19

Řešení.

Série je mocninnou řadou v mocninách X. Abychom našli interval konvergence, vypočítáme poloměr konvergence pomocí výše uvedeného vzorce. Pro danou řadu má vzorec pro číselný koeficient tvar

, Pak

Proto,

Protože R = , pak řada konverguje (absolutně) pro všechny hodnoty X, těch. oblast konvergence X (–; +).

Všimněte si, že by bylo možné najít oblast konvergence bez použití vzorců, ale přímo s použitím znaku D "Alembert:

Protože hodnota limitu nezávisí na X a menší než 1, pak řada konverguje pro všechny hodnoty X, těch. na X(-;+).

Příklad 20

Najděte oblast konvergence řady

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P!(X + 5) P +...

Řešení .

x + 5), těch. konvergenční centrum X 0 = - 5. Číselný koeficient řady A P = n!.

Najděte poloměr konvergence řady

Interval konvergence se tedy skládá z jednoho bodu – středu intervalu konvergence x = - 5.

Příklad 21

Najděte oblast konvergence řady
.

Řešení.

Tato řada je mocninnou řadou v mocninách ( X–2), těch.

konvergenční centrum X 0 = 2. Všimněte si, že řada je znaménko-pozitivní pro všechny pevné X, protože výraz ( X- 2) zvýšen na sílu 2 P. Aplikujme na řadu radikální Cauchyho kritérium.

Řada bude konvergovat, pokud je mezní hodnota menší než 1, tzn.

,
,
,

tedy poloměr konvergence
, pak konvergenční integrál

,
.

Série tedy konverguje absolutně pro X
. Všimněte si, že integrál konvergence je symetrický vzhledem ke středu konvergence XÓ = 2.

Pojďme studovat konvergenci řady na koncích intervalu konvergence.

Za předpokladu
, získáme číselnou řadu kladných znamének

Používáme nezbytné konvergenční kritérium:

proto se číselná řada liší a bod
je bodem divergence. Všimněte si, že při výpočtu limitu byla použita druhá pozoruhodná mez.

Za předpokladu
, dostaneme stejnou číselnou řadu (přesvědčte se sami!), takže pointa
také není zahrnut do konvergenčního intervalu.

Tedy oblast absolutní konvergence této řady X
.

2.3. Vlastnosti konvergentních mocninných řad

Víme, že konečný součet spojitých funkcí je spojitý; součet diferencovatelných funkcí je diferencovatelný a derivace součtu se rovná součtu derivací; konečný součet lze integrovat termín po termínu.

Ukazuje se, že pro "nekonečné součty" funkcí - funkčních řad se v obecném případě vlastnosti nekonají.

Zvažte například funkční řadu

Je zřejmé, že všechny členy řady jsou spojité funkce. Najděte oblast konvergence této řady a její součet. K tomu najdeme dílčí součty řady

pak součet řady

Takže suma S(X) této řady jako limita posloupnosti dílčích součtů existuje a je konečná pro X (-1;1), proto je tento interval oblastí konvergence řady. Jeho součet je navíc nespojitou funkcí, protože

Tento příklad tedy ukazuje, že v obecném případě vlastnosti konečných součtů nemají obdobu pro nekonečné součty – řady. Pro speciální případ funkční řady - mocninné řady - jsou však vlastnosti součtu podobné vlastnostem konečných součtů.

Funkční rozsah se nazývá formálně písemný projev

u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ... , (1)

Kde u1 (X), u 2 (X), u 3 (X), ..., u n ( X), ... - posloupnost funkcí z nezávisle proměnné X.

Zkrácený zápis funkční řady se sigma:.

Příklady funkčních řad jsou :

(2)

(3)

Uvedení nezávislé proměnné X nějakou hodnotu X0 a dosazením do funkční řady (1) získáme číselnou řadu

u1 (X 0 ) + u 2 (X 0 ) + u 3 (X 0 ) + ... + u n ( X 0 ) + ...

Pokud získaná číselná řada konverguje, pak se říká, že funkční řada (1) konverguje pro X = X0 ; pokud diverguje, o čemž se říká, že je řada (1) diverguje na X = X0 .

Příklad 1. Prozkoumejte konvergenci funkční řady(2) pro hodnoty X= 1 a X = - 1 .
Řešení. Na X= 1 dostaneme číselnou řadu

která konverguje podle Leibnizova testu. Na X= - 1 dostaneme číselnou řadu

která diverguje jako součin divergentní harmonické řady o – 1. Řada (2) tedy konverguje při X= 1 a liší se v X = - 1 .

Pokud se takový test konvergence funkční řady (1) provede s ohledem na všechny hodnoty nezávislé proměnné z oblasti definice jejích členů, pak se body této oblasti rozdělí do dvou sad: s hodnotami X v jednom z nich řada (1) konverguje a ve druhém diverguje.

Množina hodnot nezávislé proměnné, pro kterou funkční řada konverguje, se nazývá její konvergenční region .

Příklad 2. Najděte oblast konvergence funkční řady

Řešení. Členy řady jsou definovány na celé číselné ose a tvoří geometrickou posloupnost se jmenovatelem q= hřích X. Takže řada konverguje, jestliže

a diverguje, pokud

(hodnoty nejsou možné). Ale pro hodnoty a pro jiné hodnoty X. Proto řada konverguje pro všechny hodnoty X, až na . Oblastí jeho konvergence je celá číselná osa s výjimkou těchto bodů.

Příklad 3. Najděte oblast konvergence funkční řady

Řešení. Členy řady tvoří geometrickou posloupnost se jmenovatelem q=ln X. Proto řada konverguje, jestliže , nebo , odkud . Toto je oblast konvergence této řady.

Příklad 4. Zkoumejte konvergenci funkční řady

Řešení. Vezměme libovolnou hodnotu. S touto hodnotou dostaneme číselnou řadu

(*)

Najděte hranici jeho společného členu

V důsledku toho se řada (*) rozchází pro libovolně zvolený, tzn. za jakoukoli hodnotu X. Oblastí jeho konvergence je prázdná množina.

Rovnoměrná konvergence funkční řady a její vlastnosti

Přejděme ke konceptu rovnoměrná konvergence funkční řady . Nechat s(X) je součet této řady a sn ( X) - součet n první členové této série. Funkční rozsah u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u n ( X) + ... se nazývá rovnoměrně konvergentní na intervalu [ A, b] , pokud pro libovolné libovolně malé číslo ε > 0 existuje takové číslo N, to pro všechny n ≥ N nerovnost bude uspokojena

|s(X) − s n ( X)| < ε

pro každého X ze segmentu [ A, b] .

Výše uvedená vlastnost může být geometricky znázorněna následovně.

Zvažte graf funkce y = s(X) . Kolem této křivky sestrojíme pruh o šířce 2. ε n, tedy konstruujeme křivky y = s(X) + ε n A y = s(X) − ε n(na obrázku níže jsou zelené).