Разработка урока алгебры в 11 профильном классе

Урок проводила учитель математики МБОУ СОШ № 6 Тупицына О.В.

Тема и номер урока в теме: «Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию», урок № 7, 8 в теме: «Уравнение – следствие»

Учебный предмет: Алгебра и начала математического анализа– 11 класс (профильное обучение по учебнику С.М.Никольского)

Вид урока: «систематизация и обобщения знаний и умений»

Тип урока: практикум

Роль учителя: направить познавательную активность учащихся на выработку умений самостоятельно применять знания в комплексе для выбора нужного способа или способов преобразования, приводящие к уравнению – следствию и применение способа в решении уравнения, в новых условиях.

Необходимое техническое оборудование: мультимедиа оборудование, веб-камера.

На уроке использовались :

1. дидактическая модель обучения – создание проблемной ситуации,
2. педагогические средства – листы с указанием учебных модулей, подборка заданий для решения уравнений,
3. вид деятельности учащихся – групповая (группы формируются на уроках – «открытия» новых знаний, уроки № 1и 2 из учащихся с разной степенью обученности и обучаемости), совместное или индивидуальное решение задач,
4. личностно – ориентированные образовательные технологии : модульное обучение, проблемное обучение, поисковый и исследовательский методы, коллективный диалог, деятельностный метод, работа с учебником и различными источниками,
5. здоровьесберегающие технологии - для снятия напряжения проводится физкультминутка,
6. компетенции:

- учебно – познавательная на базовом уровне - учащиеся знают понятие уравнения – следствия, корня уравнения и способы преобразования, приводящие к уравнению - следствию, умеют находить корни уравнений и выполнять их проверку на продуктивном уровне;

- на продвинутом уровне – учащиеся могут решать уравнения с помощью известных способов преобразований проверять корни уравнений, используя область допустимых значений уравнений; вычислять логарифмы с помощью свойств на основе исследования; информационная – учащиеся самостоятельно ищут, извлекают и отбирают необходимую для решения учебных задач информацию в источниках различного типа.

Дидактическая цель:

создание условий для :

Формирование представления об уравнениях – следствиях, корнях и способах преобразований;

Формирования опыта смыслотворчества на основе логического следствия из ранее изученных способов преобразования уравнений: возведения уравнения в чётную степень, потенцирование логарифмических уравнений, освобождение уравнения от знаменателей, приведение подобных членов;

Закрепление умений по определению выбора способа преобразования, дальнейшему решению уравнения и выбору корней уравнения;

Овладение навыками постановки задачи на основе известной и усвоенной информации, формирование запросов на выяснение того, что еще не известно;

Формирование познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

Развитие логического мышления, творческой активности учащихся, проектных умений, умений излагать свои мысли;

Формирование чувства толерантности, взаимовыручки при работе в группе;

Пробуждения интереса к самостоятельному решению уравнений;

Задачи:

Организовать повторение и систематизацию знаний о способах преобразования уравнений;

- обеспечить овладение методами решения уравнений и проверки их корней;

- способствовать развитию аналитического и критического мышления учащихся; сравнивать и выбирать оптимальные методы решения уравнений;

- создать условия для развития исследовательских навыков, умений работы в группе;

Мотивировать учащихся на применение изученного материала для подготовки к ЕГЭ;

Проанализировать и оценить свою работу и работу своих товарищей по выполнению данной работы.

Планируемые результаты:

*личностные:

Навыки постановки задачи на основе известной и усвоенной информации, формирования запросов на выяснение того, что еще не известно;

Умение выбирать источники информации, необходимые для решения задачи; развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

Развитие логического мышления, творческой активности, умений излагать свои мысли, умение выстраивать аргументацию;

Самооценка результатов деятельности;

Умение работать в команде;

*метапредметные:

Умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогию, применять индуктивные способы рассуждений, выдвигать гипотезы при решении уравнений,

Способность к интерпретации и применению полученных знаний при подготовке к ЕГЭ;

*предметные:

Знания о способах преобразования уравнений,

Умение устанавливать закономерность, связанную с различными видами уравнений и использовать её при решении и отборе корней,

Интегрирующие цели урока:

1. (для учителя) Формирование у учащихся целостного представления о способах преобразования уравнений и методах их решений;
2. (для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации, связанные с видами уравнений, содержащими различные функции. Подготовка к ЕГЭ.

І этап урока:

Актуализация знаний для повышения мотивации в области применения различных способов преобразований уравнений (входная диагностика)

Этап актуализации знаний проводится в виде проверочной работы с самопроверкой. Предлагаются задания развивающего характера, опирающиеся на знания приобретённые на прошлых уроках, требующие от учащихся активной мыслительной деятельности и необходимые для выполнения задания на данном уроке.

Проверочная работа

1. Выберите уравнения, требующие ограничения неизвестных на множестве всех действительных чисел:

а) = Х-2; б)3 = Х-2; в) =1;

г) ( = (; д) = ; е) +6 =5 ;

ж) = ; з) = .

(2) Укажите область допустимых значений каждого уравнения, где имеются ограничения.

(3) Выберите пример такого уравнения, где при преобразовании может произойти потеря корня (используйте материалы прошлых уроков по данной теме).

Ответы каждый сверяет самостоятельно по готовым, высвеченным на экране. Разбираются наиболее сложные задания и обращается особое внимание учащихся на примеры а, в, ж, з, где ограничения существуют.

Делаются выводы о том, что при решении уравнений, необходимо проводить определение области допустимых уравнением значений или делать проверку корней, чтобы избежать посторонних значений. Повторяются ранее изученные способы преобразования уравнений, приводящих к уравнению – следствию. То есть ученики тем самым смотивированны для поиска верно выбранного способа решения уравнения, предложенного им в дальнейшей работе.

ІІ этап урока:

Практическое применение своих знаний, умений и навыков при решении уравнений.

Группам раздаются листы с модулем, составленным по вопросам данной темы. В модуль входят пять учебных элементов, каждый из которых нацелен на выполнение определённых задач. Учащиеся, имеющие разные степени обученности и обучаемости самостоятельно определяют объём своей деятельности на уроке, но так как все работают в группах, происходит непрерывный процесс корректировки знаний и умений, подтягивание отстающих до обязательного, других до продвинутого и творческого уровней.

В середине урока проводится обязательная физминутка.

№ учебного элемента	Учебный элемент с указанием заданий	Руководство по освоению учебным материалом
УЭ-1	Цель: Определить и обосновать основные методы решения уравнений, основываясь на свойствах функций. Задание: Укажите способ преобразования для решения следующих уравнений: А) )= -8); б) = в) ( = ( г) ctg +х 2 -2х = ctg +24; д) = ; е) = sin x. 2) Задание: Решите не менее двух уравнений из предложенных. Опишите, какие способы применялись в решённых уравнениях.	П. 7.3 стр.212 П.7.4 стр.214 П. 7.5 стр.217 П.7.2 стр. 210
УЭ-2	Цель: Овладеть рациональными приёмами и методами решения Задание: Приведите примеры из указанных выше или самостоятельно подобранных (используйте материалы прошлых уроков) уравнений, при решении которых можно использовать рациональные приёмы решения, в чём они заключаются? (акцент на способ проверки корней уравнения)
УЭ-3	Цель: Использование полученных знаний при решении уравнений высокого уровня сложности Задание: = ( или ( = (	П.7.5
УЭ-4	Установите уровень освоения темы: низкий – решение не более 2-х уравнений; Средний – решение не более 4-х уравнений; высокий – решение не более 5-ти уравнений
УЭ-5	Выходной контроль: Составить таблицу, в которую представить все используемые вами способы преобразования уравнений и на каждый способ записать примеры, решённых вами уравнений, начиная с 1 урока темы: «Уравнения – следствия»	Конспекты в тетрадях

ІІІ этап урока:

Выходная диагностическая работа, представляющая рефлексию учащихся, которая покажет готовность не только к написанию контрольной работы, но и готовность к ЕГЭ по данному разделу.

По итогу урока все без исключения учащиеся оценивают себя сами, затем идёт учительская оценка. Если возникают несогласия между учителем и учеником, то учитель может предложить выполнение дополнительного задания ученику, чтобы объективно суметь оценить его. Домашнее задание нацелено на повторение материала перед контрольной работой.

Данную презентацию можно использовать при проведении урока алгебры и начала анализа в 11 классе при изучении темы "Уравнения - следствия" по УМК авторов С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин

Просмотр содержимого документа
«Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию»

УРАВНЕНИЯ - СЛЕДСТВИЯ

УСТНАЯ РАБОТА

• Какие уравнения называют уравнениями-следствиями?
• Что называют переходом к уравнению-следствию
• Какие преобразования приводят к уравнению-следствию?

УСТНАЯ РАБОТА

• √ х= 6
• √ х-2 = 3
• 3 √х= 4;
• √ х 2 =9
• √ х+4=-2
• √ х+1+√х+2=-2

Решений нет

Решений нет

УСТНАЯ РАБОТА

Решений нет

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Преобразование

Влияние на корни уравнения

Возведение уравнения в ЧЕТНУЮ степень

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Потенцирование логарифмических уравнений, т.е. замена:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g (x)

Может привести к появлению посторонних корней

Освобождение уравнения от знаменателей:

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел x i , для которых или

Замена разности f(x)-f(x) нулем, т.е. приведение подобных членов

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел, для каждого из которых функция f(x) не определена.

Если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения –следствия являются корнями исходного уравнения.

Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

№ 8.2 2 (а) Решите уравнение :

2) № 8.23(а)

№ 8.24 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.25 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.28 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.29 (а,в) Решите уравнение :

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Выполнить № 8.24 (б,г), стр. 236
• № 8.25(б,г)
• 8.28 (б,г)
• 8.29 (б,г)

Класс: 11

Продолжительность: 2 урока.

Цель урока:

• (для учителя) формирование у учащихся целостного представления о методах решения иррациональных уравнений.
• (для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации (слайд 2). Подготовка к ЕГЭ.

План первого урока (слайд 3)

1. Актуализация знаний
2. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
3. Практикум по решению уравнений

План второго урока

1. Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ»
2. Итог уроков
3. Домашнее задание

Ход уроков

I. Актуализация знаний

Цель: повторить понятия, необходимые для успешного освоения темы урока.

Фронтальный опрос.

– Какие два уравнения называются равносильными?

– Какие преобразования уравнения называют равносильными?

– Данное уравнение заменить равносильным с пояснением применённого преобразования: (слайд 4)

а) х+ 2х +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; г) х = 32; д) = -4.

– Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?

– Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? Как называются эти корни?

– Какие преобразования уравнения приводят к уравнениям-следствиям?

– Что называется арифметическим квадратным корнем?

Остановимся сегодня более подробно на преобразовании «Возведение уравнения в чётную степень».

II. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень

Объяснение учителя при активном участии учащихся:

Пусть 2 m (m N) – фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения f(x) = g(x) является уравнение (f(x)) = (g(x)).

Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений.

Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется иррациональным.

При решении иррациональных уравнений используют следующие методы: (слайд 5)

Внимание! Методы 2 и 3 требуют обязательной проверки.

ОДЗ не всегда помогает устранить посторонние корни.

Вывод: при решении иррациональных уравнений важно пройти три этапа: технический, анализ решения, проверка(слайд 6).

III. Практикум по решению уравнений

Решить уравнение:

После обсуждения способа решения уравнения возведением в квадрат, решить переходом к равносильной системе.

Вывод : решение простейших уравнений с целыми корнями можно провести любым знакомым методом.

б) = х – 2

Решая методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, учащиеся получают корни х = 0, х= 3 - , х= 3 + , проверить которые подстановкой сложно и трудоёмко. (Слайд 7). Переход к равносильной системе

позволяет быстро избавиться от посторонних корней. Условию х ≥ 2 удовлетворяет только х.

Ответ: 3 +

Вывод : иррациональные корни проверять лучше переходом к равносильной системе.

в) = х – 3

В процессе решения этого уравнения получаем два корня: 1 и 4. Оба корня удовлетворяют левой части уравнения, но при х = 1 нарушается определение арифметического квадратного корня. ОДЗ уравнения не помогает устранить посторонние корни. Переход к равносильной системе даёт правильный ответ.

Вывод: хорошее знание и понимание всех условий определения арифметического квадратного корня помогает перейти к выполнению равносильных преобразований.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

х + 13 - 8 + 16 = 3 + 2х - х, уединив радикал в правую часть, получаем

26 – х + х = 8. Применение дальнейших действий по возведению в квадрат обеих частей уравнения, приведёт к уравнению 4-й степени. Переход к ОДЗ уравнения даёт хороший результат:

найдём ОДЗ уравнения:

х = 3.

Проверка: - 4 = , 0 = 0 верно.

Вывод: иногда возможно провести решение с помощью определения ОДЗ уравнения , но обязательно сделать проверку.

Решение: ОДЗ уравнения: -2 – х ≥ 0 х ≤ -2.

При х ≤ -2, < 0, а ≥ 0.

Следовательно, левая часть уравнения отрицательна, а правая – неотрицательна; поэтому исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Вывод: сделав правильные рассуждения по ограничению в условии уравнения, можно без труда найти корни уравнения, или установить, что их нет.

На примере решения этого уравнения показать двукратное возведение уравнения в квадрат, объяснить смысл фразы «уединение радикалов» и необходимость проверки найденных корней.

з) + = 1.

Решение этих уравнения провести методом замены переменной до момента возвращения к исходной переменной. Закончить решение предложить тем, кто раньше справится с заданиями следующего этапа.

Контрольные вопросы

• Как решать простейшие иррациональные уравнения?
• Что необходимо помнить при возведении уравнения в чётную степень? (могут появиться посторонние корни)
• Как лучше проверять иррациональные корни? (с помощью ОДЗ и условий совпадения знаков обеих частей уравнения)
• Для чего необходимо уметь анализировать математические ситуации при решении иррациональных уравнений? (Для правильного и быстрого выбора способа решения уравнения).

IV. Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ»

Класс разбивается на группы (по 2-3 человека) по уровням обученности, каждая группа выбирает себе вариант с заданием, обсуждает и решает выбранные задания. По мере необходимости обращается к учителю за консультацией. После выполнения всех заданий своего варианта и проверки ответов учителем, участники группы индивидуально заканчивают решение уравнений ж) и з) предыдущего этапа урока. Для 4 и 5 вариантов (после проверки ответов и решения учителем) на доске записаны дополнительные задания, которые выполняются индивидуально.

Все индивидуальные решения в конце уроков сдаются учителю на проверку.

Вариант 1

Решите уравнения:

а) = 6;
б) = 2;
в) = 2 – х;
г) (х + 1) (5 – х) (+ 2 = 4.

Вариант 5

1. Решите уравнение:

а) = ;
б) = 3 – 2х;

2. Решить систему уравнений:

Дополнительные задания:

V. Итог уроков

Какие трудности испытывали при выполнении заданий ЕГЭ? Что необходимо для устранения этих трудностей?

VI. Домашнее задание

Повторить теорию решения иррациональных уравнений, прочитать пункт 8.2 в учебнике (обратить внимание на пример 3).

Решить № 8.8 (а, в), № 8.9 (а, в), № 8.10 (а).

Литература:

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа, учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений, М.: Просвещение, 2009.
2. Мордкович А.Г. О некоторых методических вопросах, связанных с решением уравнений. Математика в школе. -2006. -№3.
3. М. Шабунин. Уравнения. Лекции для старшеклассников и абитуриентов. Москва, «Чистые пруды», 2005. (библиотечка «Первое сентября»)
4. Э.Н. Балаян. Практикум по решению задач. Иррациональные уравнения, неравенства и системы. Ростов-на-Дону, «Феникс», 2006.
5. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова Легион-М, Ростов-на-Дону, 2010.

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие равносильных уравнений

Определение 1

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Определение 2

Уравнение f (x) = g (x) считается равносильным уравнению r (x) = s (x) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Определение 3

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Определение 4

Если уравнение f (x) = g (x) имеет то же множество корней, что и уравнение p (x) = h (x) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Пример 1

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Пример 2

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Определение 5

Следствием уравнения f (x) = g (x) будет уравнение p (x) = h (x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Определение 6

Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.

Возьмем несколько примеров таких уравнений.

Пример 3

Так, x · 2 = 32 будет следствием x − 3 = 0 , поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 будет следствием x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4 , потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3 , которые в то же время будут корнями первого.

Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:

Определение 7

1. Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
2. Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
3. Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.

Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения

Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.

Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Для изучения сегодняшней темы нам необходимо повторить, какое уравнение называется уравнением-следствием, какие теоремы «беспокойные» и из каких этапов состоит решение любого уравнения.

Определение. Если каждый корень уравнения эф от икс равно же от икс (обозначим его цифрой один) является в то же время корнем уравнения пэ от икс, равное аш от икс (обозначим его цифрой два), то уравнение два называют следствием уравнения один.

Теорема четвертая. Если обе части уравнения эф от икс равно же от иксумножить на одно и то же выражение аш от икс, которое:

Во- первых, имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения эф от икс, равное же от икс.

Во-вторых, нигде в этой области не обращается в нуль, то получится уравнение эф от икс, умноженное на аш от икс равно же от икс, умноженное на аш от икс, равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы четыре является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема пятая . Если обе части уравнения

эф от икс равно же от икснеотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение эф от икс в энной степени равно же от иксв энной степени равносильное данному уравнению в его о дэ зэ.

Теорема шестая . Пусть а больше нуля, а не равное единице, и эф от икс больше нуля,

жэ от икс больше нуля,тологарифмическое уравнение логарифм эф от икс по основанию а, равное логарифму жэ от икс по основанию а,

равносильно уравнению эф от икс равно же от икс.

Как мы уже говорили, решение любых уравнений происходит в три этапа:

Первый этап — технический. С помощью цепочки преобразований от исходного уравнения мы приходим к достаточно простому уравнению, которое решаем и находим корни.

Второй этап — анализ решения. Анализируем преобразования, которые выполнили, и выясняем, равносильны ли они.

Третий этап — проверка. Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию.

На этом уроке мы выясним, при применении каких преобразований данное уравнение переходит в уравнение-следствие? Рассмотрим следующие задания.

Задание 1

Какое уравнение является следствием уравнения икс минус три равно двум?

Решение

Уравнение икс минус три равно двум имеет единственный корень — икс равно пяти. Умножим обе части этого уравнения на выражение икс минус шесть, приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать равно нулю. Вычислим его корни: икс первое равно пяти; икс второе равно шести. Оно уже содержит два корня. Уравнение икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать равно нулю содержит единственный корень — икс равно пяти; уравнения икс минус три равно двум, поэтому икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать является следствием уравнения икс минус три равно двум.

Задание 2

Какое еще уравнение является следствием уравнения х-3=2?

Решение

В уравнении икс минус три равно двум возведем в квадрат его обе части, применим формулу квадрата разности, приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение икс квадрат минус шесть икс плюс пять равно нулю.

Вычислим его корни: икс первое равно пяти, икс второе равно единице.

Корень икс равно единице является посторонним для уравнения икс минус три равно двум. Это получилось потому, что обе части исходного уравнения возвели в квадрат (четная степень). Но при этом его левая часть — икс минус три — может быть отрицательной (нарушены условия теоремы пять ). Значит, уравнение икс квадрат минус шесть икс плюс пять равно нулю является следствием уравнения икс минус три равно двум.

Задание 3

Найти уравнение-следствие для уравнения

логарифм выражения икс плюс один по основанию три плюс логарифм выражения икс плюс три по основанию три равно единице.

Решение

Представим единицу как логарифм трех по основанию три, потенцируем логарифмическое уравнение, выполним умножение, приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение икс квадрат плюс четыре икс равно нулю. Вычислим его корни: икс первое равно нулю, икс второе равно минус четырем. Корень икс равно минус четырем является посторонним для логарифмического уравнения, так как при подстановке его в логарифмическое уравнение выражения икс плюс один и икс плюс три принимают отрицательные значения — нарушены условия теоремы шесть .

Значит, уравнение икс квадрат плюс четыре икс равно нулю является следствием данного уравнения.

На основании решения этих примеров, мы можем сделать вывод : уравнение-следствие получается из данного уравнения путем расширения области определения уравнения. А это возможно при выполнении таких преобразований, как

1)избавление от знаменателей, содержащих переменную величину;

2)возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;

3)освобождение от знаков логарифмов.

Запомните!Если в процессе решения уравнения произошло расширение области определения уравнения, то обязательна проверка всех найденных корней.

Задание 4

Решить уравнение икс минус три, деленное на икс минус пять, плюс один, деленное на икс, равно икс плюс пять, деленное на икс, умноженное на икс минус пять.

Решение

Первый этап - технический.

Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на выражение икс умноженное на иксминус пять.

Получим квадратное уравнение икс квадрат минус три икс минус десять равно нулю. Вычислим корни: икс первое равно пяти, икс второе равно минус двум.

Второй этап- анализ решения.

При решении уравнения, мы его обе части умножили на выражение, содержащее переменную. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

При икс равном минусдваобщийзнаменатель не обращается в нуль. Значит, икс равно минусдваявляется корнем данного уравнения.

При икс равном пяти общий знаменатель обращается в нуль. Поэтому икс равно пяти - посторонний корень.

Ответ: минус два.

Задание 5

Решить уравнение квадратный корень из икс минус шесть равно квадратному корню из четырех минус икс.

Решение

Первый этап — технический.

Для того чтобы получить простое уравнение и решить его, выполним цепочку преобразований.

Возведем в квадрат (четная степень) обе части этого уравнения, перенесем иксы в левую часть, а числа в правую часть уравнения, приведем подобные слагаемые, получим: два икс равно десяти. Икс равен пяти.

Второй этап- анализ решения.

Проверим выполненные преобразования на равносильность.

При решении уравнения, мы его обе части возвели в квадрат. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Если икс равен пяти, выражение квадратный корень из четырех минус икс не определено, поэтому икс, равный пяти - посторонний корень. Значит, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Задание 6

Решить уравнение натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс два икс минус семь равно натуральному логарифму выражения икс минус один.

Решение

Первый этап — технический.

Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого потенцируем

уравнение, перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, приведем подобные члены, получим квадратное уравнение икс квадрат плюс икс минус шесть равно нулю. Вычислим корни: икс первое равно двум, икс второе равно минус трем.

Второй этап - анализ решения.

Проверим выполненные преобразования на равносильность.

В процессе решения данного уравнения мы освободились от знаков логарифмов. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Если икс равен двум, то получаем натуральный логарифм единицы равен натуральному логарифму единицы —

верное равенство.

Значит, икс равный двум - корень данного уравнения.

Если икс равен минус трем, то натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс два икс минус семь и натуральный логарифм выражения икс минус один не определены. Значит, икс равный минус трем — посторонний корень.

Ответ: два.

Всегда ли нужно при решении уравнения выделять три этапа? Каким еще способом можно выполнить проверку?

Ответы на эти вопросы мы получим на следующем уроке.