Анализ размерностей физических величин. Анализ размерностей

Физические величины, числовое значение которых не зависит от выбранного масштаба единиц, называются безразмерными. Примеры безразмерных величин - угол (отношение длины дуги к радиусу), показатель преломления вещества (отношение скорости света в вакууме к скорости света в веществе).

Физические величины, изменяющие свое числовое значение при изменении масштаба единиц, называются размерными. Примеры размерных величин - длина, сила и т. д. Выражение единицы физической величины через основные единицы называется ее размерностью (или формулой размерности). Например, размерность силы в системах СГС и СИ выражается формулой

Соображения размерности можно использовать для проверки правильности полученных ответов при решении физических задач: правые и левые части полученных выражений, как и отдельные слагаемые в каждой из частей, должны иметь одинаковую размерность.

Метод размерностей можно использовать и для вывода формул и уравнений, когда нам известно, от каких физических параметров может зависеть искомая величина. Сущность метода легче всего уяснить на конкретных примерах.

Применения метода размерностей. Рассмотрим задачу, ответ для которой нам хорошо известен: с какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с высоты если сопротивлением воздуха можно пренебречь? Вместо непосредственного вычисления на основе законов движения будем рассуждать следующим образом.

Подумаем, от чего вообще может зависеть искомая скорость. Очевидно, что она должна зависеть от начальной высоты и от ускорения свободного падения Можно предположить, следуя Аристотелю, что она зависит и от массы . Поскольку складывать можно только величины одинаковой размерности, то для искомой скорости можно предложить такую формулу:

где С - некоторая безразмерная постоянная (числовой коэффициент), а х, у и z - неизвестные числа, которые следует определить.

Размерность правой и левой частей этого равенства должна быть одинакова, и именно этим условием можно воспользоваться для определения показателей степени х, у, z в (2). Размерность скорости есть размерность высоты есть размерность ускорения свободного падения равна , наконец, размерность массы равна М. Поскольку постоянная С безразмерна, то формуле (2) соответствует следующее равенство размерностей:

Это равенство должно выполняться независимо от того, каковы числовые значения . Поэтому следует приравнять показатели степеней при и М в левой и правой частях равенства (3):

Из этой системы уравнений получаем Поэтому формула (2) принимает вид

Истинное значение скорости, как известно, равно

Итак, использованный подход позволил определить правильно зависимость от и и не дал возможности найти значение

безразмерной постоянной С. Хотя нам и не удалось получить исчерпывающего ответа, все же получена весьма существенная информация. Например, мы можем с полной определенностью утверждать, что, если начальную высоту увеличить в четыре раза, скорость в момент падения возрастет вдвое и что вопреки мнению Аристотеля эта скорость не зависит от массы падающего тела.

Выбор параметров. При использовании метода размерностей следует в первую очередь выявить параметры, определяющие рассматриваемое явление. Это легко сделать, если известны описывающие его физические законы. В ряде случаев определяющие явление параметры можно указать и тогда, когда физические законы неизвестны. Как правило, для использования метода анализа размерностей нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения.

Если число параметров, определяющих изучаемое явление, больше числа основных единиц, на которых построена выбранная система единиц, то, разумеется, все показатели степеней в предлагаемой формуле для искомой величины не могут быть определены. В этом случае полезно прежде всего определить все независимые безразмерные комбинации из выбранных параметров. Тогда искомая физическая величина будет определяться не формулой типа (2), а произведением какой-либо (самой простой) комбинации параметров, имеющей нужную размерность (т. е. размерность искомой величины), на некоторую функцию найденных безразмерных параметров.

Легко видеть, что в разобранном выше примере падения тела с высоты из величин и безразмерную комбинацию составить нельзя. Поэтому там формула (2) исчерпывает все возможные случаи.

Безразмерный параметр. Рассмотрим теперь такую задачу: определим дальность горизонтального полета снаряда, выпущенного в горизонтальном направлении с начальной скоростью из орудия, находящегося на горе высоты

В отсутствие сопротивления воздуха число параметров, от которых может зависеть искомая дальность, равно четырем: и т. Поскольку число основных единиц равно трем, то полное решение задачи методом размерностей невозможно. Найдем прежде всего все независимые безразмерные параметры у, которые можно составить из и

Этому выражению соответствует следующее равенство размерностей:

Отсюда получаем систему уравнений

которая дает и для искомого безразмерного параметра получаем

Видно, что единственный независимый безразмерный параметр в рассматриваемой задаче - это Теперь достаточно найти какой-либо параметр, имеющий размерность длины, например взять сам параметр для того чтобы написать общее выражение для дальности полета снаряда по горизонтали в виде

где - пока неизвестная функция безразмерного параметра Метод размерностей (в изложенном варианте) не позволяет определить эту функцию. Но если нам откуда-нибудь, например из опыта, известно, что искомая дальность пропорциональна горизонтальной скорости снаряда, то вид функции немедленно определяется: скорость должна входить в нее в первой степени, т. е.

Теперь из (5) для дальности полета снаряда получаем

что при совпадает с правильным ответом

Подчеркнем, что при таком способе определения вида функции нам достаточно знать характер экспериментально установленной зависимости дальности полета не от всех параметров, а только от какого-нибудь одного из них.

Векторные единицы длины. Но можно определить дальность (7) только из соображений размерности, если увеличить до четырех число основных единиц, через которые выражаются параметры и т. До сих пор при записи формул размерностей не делалось различий между единицами длины в горизонтальном и вертикальном направлении. Однако такое различие можно ввести, основываясь на том, что сила тяжести действует только по вертикали.

Обозначим размерность длины в горизонтальном направлении через а по вертикали - через Тогда размерность дальности полета по горизонтали будет размерность высоты будет размерность горизонтальной скорости будет а для ускорения

свободного падения получим Теперь, глядя на формулу (5), мы видим, что единственный способ получить правильную размерность в правой части заключается в том, чтобы считать пропорциональной Мы снова приходим к формуле (7).

Разумеется, имея четыре основные единицы и М, можно и непосредственно сконструировать величину нужной размерности из четырех параметров и

Равенство размерностей левой и правой частей имеет вид

Система уравнений для х, у, z и и дает значения и мы опять приходим к формуле (7).

Используемые здесь разные единицы длины по взаимно перпендикулярным направлениям иногда называют векторными единицами длины. Их применение существенно расширяет возможности метода анализа размерностей.

При использовании метода анализа размерностей полезно развить навыки до такой степени, чтобы не составлять систему уравнений для показателей степеней в искомой формуле, а подбирать их непосредственно. Проиллюстрируем это на следующей задаче.

Задача

Максимальная дальность. Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы дальность полета по горизонтали была максимальной?

Решение. Допустим, что мы «забыли» все формулы кинематики, и попытаемся получить ответ из соображений размерности. На первый взгляд может показаться, что метод размерностей здесь вообще неприменим, так как в ответ должна войти какая-то тригонометрическая функция угла бросания. Поэтому вместо самого угла а попробуем искать выражение для дальности Ясно, что без векторных единиц длины здесь не обойтись.

Следует подчеркнуть, что конечная цель в рассматриваемом случае остается прежней: нахождение чисел подобия, по которым следует вести моделирование, но решается она при существенно меньшем объеме информации о характере процесса.

Для уяснения дальнейшего кратко рассмотрим некоторые основополагающие понятия. Обстоятельное изложение можно найти в книге А.Н.Лебедева «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.

Любой материальный объект обладает рядом свойств, которые допускают количественное выражение. При этом каждое из свойств характеризуется размером определенной физической величины. Единицы некоторых физических величин можно выбирать произвольно, и с их помощью представлять единицы всех остальных. Физические единицы, выбираемые произвольно, называют основными . В международной системе (применительно к механике) это - килограмм, метр и секунда. Остальные величины, выраженные через эти три, называют производными .

Основная единица может обозначаться либо символом соответствующей величины, либо специальным символом. Например, единицы длины - L , единицы массы - M , единица времени - T . Либо, единица длины - метр (м), единица массы - килограмм (кг), единица времени - секунда (с).

Под размерностью понимают символическое выражение (иногда его называют формулой) в виде степенного одночлена, связывающее производную величину с основными. Общий вид этой закономерности имеет вид

где x , y , z - показатели размерности.

Например, размерность скорости

Для безразмерной величины все показатели , и, следовательно, .

Два следующих утверждения достаточно ясны и не нуждаются в каких-либо специальных доказательствах.

Отношение размеров двух объектов является величиной постоянной вне зависимости от того, в каких единицах они выражаются. Так, например, если отношение площади, занимаемой окнами, к площади стен составляет 0,2, то этот результат останется неизменным, если сами площади выражать в мм2, м2или км2.

Второе положение можно сформулировать следующим образом. Любое правильное физическое соотношение должно быть размерностно однородным. Это означает, что все члены, входящие как в правую, так и в левую его части должны иметь одинаковую размерность. Это простое правило четко реализуется в житейском обиходе. Все осознают, что метры можно складывать только с метрами и никак не с килограммами или с секундами. Нужно четко представлять, что правило остается справедливым и при рассмотрении даже самых сложных уравнений.

Метод анализа размерностей базируется на так называемой -теореме (читается: пи-теорема). -теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Более полно теорема может сформулирована так:

Любая функциональная зависимость между размерными величинами может быть представлена в виде зависимости между N безразмерными комплексами (числами ), составленными из этих величин. Число этих комплексов , где n - число основных единиц. Как уже отмечалось выше, в гидромеханике (кг, м, с).

Пусть, например, величина А является функцией пяти размерных величин (), т.е.

(13.12)

Из -теоремы следует, что эта зависимость может быть преобразована в зависимость, содержащую два числа ()

(13.13)

где и - безразмерные комплексы, составленные из размерных величин.

Эту теорему иногда приписывают Бэкингему и называют -теоремой Бэкингема. В действительности в её разработку внесли вклад многие крупные ученые, в том числе Фурье, Рябушинский, Рэлей.

Доказательство теоремы выходит за рамки курса. При необходимости оно может быть найдено в книге Л.И.Седова «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с. Подробное обоснование метода приводится и в книге В.А.Веникова и Г.В.Веникова «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с. Особенностью этой книги является то, что помимо вопросов, связанных с подобием, в нее включены сведения о методике постановки эксперимента и обработки его результатов.

Использование анализа размерностей для решения конкретных практических задач связано с необходимостью составления функциональной зависимости вида (13.12), которая на следующем этапе обрабатывается специальными приемами, приводящими в конечном итоге к получению чисел (чисел подобия).

Основным, носящим творческий характер, является первый этап, так как получаемые результаты зависят от того, насколько правильно и полно представление исследователя о физической природе процесса. Другими словами, насколько функциональная зависимость (13.12) правильно и полно учитывает все параметры, влияющие на изучаемый процесс. Любая ошибка здесь неизбежно приводит к ошибочным выводам. В истории науки известна так называемая «ошибка Рэлея». Суть ее в том, что изучая задачу о теплообмене при турбулентном течении, Рэлей не учел влияние вязкости потока, т.е. не включил её в зависимость (13.12). В результате в конечные соотношения, полученные им, не вошло число подобия Рейнольдса, играющее исключительно важную роль в теплообмене.

Для уяснения сущности метода рассмотрим пример, иллюстрирующий как общий подход к задаче, так и способ получения чисел подобия .

Необходимо установить вид зависимости, позволяющий определить потери давления либо напора при турбулентном течении в круглых трубах.

Напомним, что эта задача уже рассматривалась в разделе 12.6. Поэтому представляет несомненный интерес установить, как она может быть разрешена с помощью анализа размерностей и дает ли это решение какую-то новую информацию.

Ясно, что падение давления вдоль трубы, обусловленное затратами энергии на преодоление сил вязкого трения обратно пропорционально её длине, поэтому с целью сокращения числа переменных целесообразно рассматривать не , а , т.е. потери давления на единицу длины трубы. Напомним, что отношение , где - потери напора, носит название гидравлического уклона.

Из представлений о физической сущности процесса можно предположить что возникающие потери должны зависеть: от средней скорости течения рабочей среды (v); от размера трубопровода, определяемого его диаметром (d ); от физических свойств транспортируемой среды, характеризуемых её плотностью () и вязкостью (); и, наконец, разумно считать, что потери должны быть как-то связаны с состоянием внутренней поверхностью трубы, т.е. с шероховатостью (k ) ее стенок. Таким образом, зависимость (13.12) в рассматриваемом случае имеет вид

(13.14)

На этом и заканчивается первый и, нужно подчеркнуть, наиболее ответственный этап анализа размерностей.

В соответствии с -теоремой, число влияющих параметров, входящих в зависимость, . Следовательно, число безразмерных комплексов , т.е. после соответствующей обработки (13.14) должна принять вид

(13.15)

Существует несколько способов нахождения чисел . Мы воспользуемся методом, предложенным Рэлеем.

Основным достоинством его является то, что он представляет собой своеобразный алгоритм, приводящий к решению задачи.

Из параметров, входящих в (13.15) необходимо выбрать три любых, но так, чтобы в них входили основные единицы, т.е. метр, килограмм и секунда. Пусть ими будут v, d , . Легко убедиться, что они удовлетворяют поставленному требованию.

Образуются числа в виде степенных одночленов из выбранных параметров, умноженных на один из оставшихся в (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Теперь задача сводится к нахождению всех показателей степеней. При этом они должны быть подобраны так, чтобы числа были безразмерны.

Для решения этой задачи определим прежде всего размерности всех параметров:

; ;

Вязкость , т.е. .

Параметр , и .

И, наконец, .

Таким образом, размерности чисел будут

Аналогично два других

В начале раздела 13.3 уже отмечалось, что для любой безразмерной величины показатели размерности . Поэтому, например, для числа можем записать

Приравнивая показатели степеней, получаем три уравнения с тремя неизвестными

Откуда находим ; ; .

Подставляя эти значения в (13.6), получаем

(13.19)

Действуя аналогично, легко показать, что

и .

Таким образом, зависимость (13.15) принимает вид

(13.20)

Так как есть неопределяющее число подобия (число Эйлера), то (13.20) можно записать как функциональную зависимость

(13.21)

Следует иметь в виду, что анализ размерностей не дает и принципиально не может дать каких-то числовых значений в получаемых с его помощью соотношениях. Поэтому он должен завершаться анализом результатов и при необходимости их корректировкой, исходя из общих физических представлений. Рассмотрим с этих позиций выражение (13.21). В правую его часть входит квадрат скорости, но эта запись не выражает ничего, кроме того, что скорость возводится в квадрат. Однако, если поделить эту величину на два, т.е. , то как известно из гидромеханики, она приобретает важный физический смысл: удельной кинетической энергии, а - динамическое давление, обусловленное средней скоростью. С учетом этого (13.21) целесообразно записать в виде

(13.22)

Если теперь, как в (12.26), обозначить буквой , то приходим к формуле Дарси

(13.23)

(13.24)

где - гидравлический коэффициент трения, который, как следует из (13.22), является функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости (k/d ). Вид этой зависимости может быть найден только экспериментальным путем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.

2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.

3. Федяевский К.К., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.

4. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.

5. Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.

6. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

8. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. -М.: Энергия, 1971. - 480 с.

9. А.С. Монин, А.М. Яглом «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)

10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

11. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.

12. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.

13. А.А.Гухман «Введение в теорию подобия». - М.: Высшая школа, 1963. - 253 с.

14. С. Клайн «Подобие и приближенные методы». - М.: Мир, 1968. - 302 с.

15. А.А.Гухман «Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. Процессы переноса в движущейся среде». - М.: Высшая шкала,1967. - 302 с.

16. А.Н.Лебедев «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.

17. Л.И.Седов «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с.

18. В.А.Веников и Г.В.Веников «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ................................................................................................ 3

1.1. Векторы и операции над ними................................................... 4

1.2. Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля). ......................................................................................................... 5

1.3. Операции второго порядка........................................................ 6

1.4. Интегральные соотношения теории поля.................................. 7

1.4.1. Поток векторного поля.................................................. 7

1.4.2. Циркуляция вектора поля.............................................. 7

1.4.3. Формула Стокса............................................................. 7

1.4.4. Формула Гаусса-Остроградского.................................. 7

2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЖИДКОСТИ. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ........................................................................... 8

2.1. Плотность.................................................................................... 8

2.2. Вязкость....................................................................................... 9

2.3. Классификация сил.................................................................... 12

2.3.1. Массовые силы............................................................. 12

2.3.2. Поверхностные силы.................................................... 12

2.3.3. Тензор напряжения...................................................... 13

2.3.4. Уравнение движения в напряжениях........................... 16

3. ГИДРОСТАТИКА................................................................................. 18

3.1. Уравнение равновесия жидкости.............................................. 18

3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме. ......................................................................................................... 19

3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления. ......................................................................................................... 20

3.4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Гидростатический закон распределения давления... 20

3.5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.... 22

3.5.1. Плоская поверхность.................................................... 24

4. КИНЕМАТИКА..................................................................................... 26

4.1. Установившееся и неустановившееся движение жидкости...... 26

4.2. Уравнение неразрывности (сплошности)................................. 27

4.3. Линии тока и траектории.......................................................... 29

4.4. Трубка тока (поверхность тока)............................................... 29

4.5. Струйная модель потока........................................................... 29

4.6. Уравнение неразрывности для струйки................................... 30

4.7. Ускорение жидкой частицы...................................................... 31

4.8. Анализ движения жидкой частицы........................................... 32

4.8.1. Угловые деформации................................................... 32

4.8.2. Линейные деформации................................................. 36

5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.............................................. 38

5.1. Кинематика вихревого движения............................................. 38

5.2. Интенсивность вихря................................................................ 39

5.3. Циркуляция скорости............................................................... 41

5.4. Теорема Стокса......................................................................... 42

6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ................................ 44

6.1. Потенциал скорости.................................................................. 44

6.2. Уравнение Лапласа................................................................... 46

6.3. Циркуляция скорости в потенциальном поле.......................... 47

6.4. Функция тока плоского течения............................................... 47

6.5. Гидромеханический смысл функции тока................................ 49

6.6. Связь потенциала скорости и функции тока............................ 49

6.7. Методы расчета потенциальных потоков................................ 50

6.8. Наложение потенциальных потоков......................................... 54

6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра................ 58

6.10. Применение теории функций комплексного переменного к изучению плоских потоков идеальной жидкости............................................ 60

6.11. Конформные отображения..................................................... 62

7. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ............................. 65

7.1. Уравнения движения идеальной жидкости.............................. 65

7.2. Преобразование Громеки-Лэмба............................................. 66

7.3. Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба........................ 67

7.4. Интегрирование уравнения движения для установившегося течения......................................................................................................... 68

7.5. Упрощенный вывод уравнения Бернулли............................... 69

7.6. Энергетический смысл уравнения Бернулли........................... 70

7.7. Уравнение Бернулли в форме напоров.................................... 71

8. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ..................................... 72

8.1. Модель вязкой жидкости.......................................................... 72

8.1.1. Гипотеза линейности................................................... 72

8.1.2. Гипотеза однородности................................................ 74

8.1.3. Гипотеза изотропности................................................. 74

8.2 Уравнение движения вязкой жидкости. (уравнение Навье-Стокса) ......................................................................................................... 74

9. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (основы гидравлики)........................................................................................................... 77

9.1. Расход потока и средняя скорость........................................... 77

9.2. Слабодеформированные потоки и их свойства....................... 78

9.3. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости................. 79

9.4. Физический смысл коэффициента Кориолиса......................... 82

10. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.............................................................................................. 84

11. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ..................................................................................................... 86

12. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ. .................................................................................................................. 90

12.1. Общие сведения....................................................................... 90

12.2. Уравнения Рейнольдса............................................................ 92

12.3. Полуэмпирические теории турбулентности.......................... 93

12.4. Турбулентное течение в трубах............................................. 95

12.5. Степенные законы распределения скоростей....................... 100

12.6. Потери давления (напора) при турбулентном течении в трубах. ......................................................................................................... 100

13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ............... 102

13.1. Инспекционный анализ дифференциальных уравнений..... 106

13.2. Понятие об автомодельности................................................ 110

13.3. Анализ размерностей............................................................ 111

Литература …………………………………………………………………..118

С ПРАВДОПОДОБНЫМИ РАССУЖДЕНИЯМИ «ОТ КОНЦА К НАЧАЛУ» ПРИ ОЦЕНКЕ ФАКТОРОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Общие сведения о методе анализа размерностей

При изучении механических явлений вводится ряд понятий, например энергия, скорость, напряжение и т. п., которые характеризуют рассматриваемое явление и могут быть заданы и определены с помощью числа. Все вопросы о движении и о равновесии формулируются как задачи об определении некоторых функций и численных значений для величин, характеризующих явление, причем при решении таких задач в чисто теоретических исследованиях законы природы и различные геометрические (пространственные) соотношения представляют в виде функциональных уравнений – обычно дифференциальных.

Очень часто мы не имеем возможности постановки задачи в математическом виде, так как исследуемое механическое явление настолько сложно, что для него пока нет приемлемой схемы и нет еще уравнений движений. С таким положением мы встречаемся при решении задач в области авиамеханики, гидромеханики, в проблемах изучения прочности и деформаций и т.п. В этих случаях главную роль играют экспериментальные методы исследования, которые дают возможность установить простейшие опытные данные, которые в последующем ложатся в основу стройных теорий со строгим математическим аппаратом. Однако сами эксперименты могут осуществляться только на основе предварительного теоретического анализа. Противоречие разрешается при итерационном процессе исследования, выдвигая предположения и гипотезы и проверяя их экспериментальным путем. При этом основываются на наличии подобия явлений природы, как общего закона. Теория подобия и размерностей является в известной мере «грамматикой» эксперимента.

Размерность величин

Единицы измерения различных физических величин, объединенные на основе их непротиворечивости, образуют систему единиц. В настоящее время применяется Международная система единиц (СИ). В СИ независимо одна от другой выбраны единицы измерения так называемых первичных величин – массы (килограмм, кг), длины (метр, м), времени (секунда, сек, с), сила тока (ампер, а), температуры (градус Кельвина, К) и силы света (свеча, св). Они получили название основных единиц. Единицы измерения остальных, вторичных, величин выражаются через основные. Формула, указывающая зависимость единицы измерения вторичной величины от основных единиц измерения, называется размерностью этой величины.

Размерность вторичной величины находится при помощи определительного уравнения, служащего определением этой величины в математической форме. Например, определительным уравнением для скорости является

Будем указывать размерность величины при помощи взятого в квадратные скобки символа этой величины, тогда

, или
,

где [L], [T] – соответственно размерности длины и времени.

Определительным уравнением для силы можно считать второй закон Ньютона

Тогда размерность силы будет иметь следующий вид

[F]=[M][L][T].

Определительное уравнение и формула размерности работы соответственно будут иметь вид

A=Fs и [A]=[M][L][T].

В общем случае будем иметь взаимосвязь

[Q]=[M][L][T] (1).

Обратим внимание на запись взаимосвязи размерностей, это еще нам пригодится.

Теоремы теории подобия

Становление теории подобия в историческом аспекте характеризуют ее три основные теоремы.

Первая теорема подобия формулирует необходимые условия и свойства подобных систем, утверждая, что подобные явления имеют одинаковые критерии подобия в видеыбезразмерных выражений, которые есть мера отношения интенсивности двух физических эффектов, существенных для исследуемого процесса.

Вторая теорема подобия (П-теорема) доказывает возможность приведения уравнения к критериальному виду, не определяя достаточности условий для существования подобия.

Третья теорема подобия указывает на пределы закономерного распространения единичного опыта, ибо подобными явлениями будут те, которые имеют подобные условия однозначности и одинаковые определяющие критерии.

Таким образом, методологическая суть теории размерностей заключается в том, что всякую систему уравнений, заключающую в себе математическую запись законов, управляющих явлением, можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Определяющие критерии составляются из независимых между собой величин, которые входят в условия однозначности: геометрические соотношения, физические параметры, краевые (начальные и граничные) условия. Система определяющих параметров должна обладать свойствами полноты. Некоторые из определяющих параметров могут быть физическими размерными постоянными, их будем называть фундаментальными переменными, в отличие от других - регулируемых переменных. Пример, ускорение силы тяжести. Она фундаментальная переменная. В земных условиях – постоянная величина и - переменная в космических условиях.

Для правильного применения анализа размерностей исследователь должен знать характер и число фундаментальных и регулируемых переменных в его эксперименте.

В этом случае имеет место практический вывод из теории анализа размерностей и он заключается в том что, если экспериментатору действительно известны все переменные исследуемого процесса, а математической записи закона в виде уравнения пока еще нет, то он вправе преобразовать их, применив первую часть теоремы Букингема : «Если какое-либо уравнение однозначно относительно размерностей, то его можно преобразовать к соотношению, содержащему набор безразмерных комбинаций величин».

Однородным относительно размерностей является уравнение, форма которого не зависит от выбора основных единиц.

PS. Эмпирические закономерности, как правило, приближенные. Это описания в виде неоднородных уравнений. В своей конструкции они имеют размерные коэффициенты, «работающие» только в определенной системе единиц измерений. В последующем, с накоплением данных, мы выходим на описание в виде однородных уравнений, т. е. независимых от системы единиц измерения.

Безразмерные комбинации , о которых идет речь, представляют собой произведения или отношения величин, составленные таким образом, что в каждой комбинации размерности сокращаются. При этом произведения нескольких размерных величин различной физической природы образуют комплексы , отношение двух размерных величин одной физической природы – симплексы.

Вместо того чтобы варьировать поочередно каждую из переменных, причем изменение некоторых из них может вызывать затруднения, исследователь может варьировать лишь комбинаций . Это обстоятельство существенно упрощает эксперимент и позволяет представить в графической форме и проанализировать полученные данные гораздо быстрее и с большей точностью.

Использование метода анализа размерностей, организуя правдоподобные рассуждения «от конца к началу».

Ознакомившись с приведенными общими сведениями, особо можно обратить внимание на следующие моменты.

Наиболее эффективно применение анализа размерностей при наличии одной безразмерной комбинации. В этом случае экспериментально достаточно определить лишь согласующий коэффициент (достаточно поставить один эксперимент для составления и решения одного уравнения). Задача усложняется с увеличением числа безразмерных комбинаций. Соблюдение требования полного описания физической системы, как правило, возможно (а может быть так считают) при увеличении числа учитываемых переменных. Но при этом увеличивается вероятность усложнения вида функции и, главное, резко возрастает объем экспериментальных работ. Введение дополнительных основных единиц как–то снимает остроту проблемы, но не всегда и не полностью. Тот факт, что теория анализа размерностей со временем развивается, весьма обнадеживает и ориентирует на поиск новых возможностей.

Ну, а если при поиске и формировании набора учитываемых факторов, т. е. по сути, воссоздании структуры исследуемой физической системы воспользоваться организацией правдоподобных рассуждений «от конца к началу» по Паппу?

Для осмысления высказанного предложения и закрепления основ метода анализа размерностей предлагаем разобрать пример установления взаимосвязи факторов, определяющих эффективность взрывной отбойки при подземной разработке рудных месторождений.

Принимая во внимание принципы системного подхода, мы с полным основанием можем судить о том, что два системных взаимодействующих объекта образуют новую динамичную систему. В производственной деятельности этими объектами являются – объект преобразования и предметное орудие преобразования.

При отбойке руды на основе взрывного разрушения таковыми можем считать рудный массив и систему взрывных зарядов (скважин).

При использовании принципов анализа размерностей с организацией правдоподобных рассуждений « от конца к началу» получим следующий ход рассуждений и систему взаимосвязей параметров взрывного комплекса с характеристиками массива.

d м = f 1 (W ,I 0 ,t зам , s )	d м = k 1 W (s t зам ¤ I 0 W) n (1)
I 0 = f 2 (I c ,V бур ,K и )	I 0 = k 2 I c V бур K и (2)
I c = f 3 (t зам ,Q ,A)	I с = k 3 t возд 2/3 Q 2/3 A 1/3 (3)
t возд = f 4 (r заб ,P макс l скв )	t возд = k 4 r заб 1/2 P макс –1/2 l скв (4)
P макс = f 5 (r зар Д)	P макс = k 5 r зар Д 2 (5)

Обозначения и формулы размерности используемых переменных приведем в Таблице.

ПЕРЕМЕННЫЕ	Обозначение	размерности
Диаметр максимального куска дробления	d м	[ L ]
Линия наименьшего сопротивления		[ L ]
Предел прочности пород на сжатие
Период (интервал) замедления взрывания	t зам	[ T ]
Импульс взрыва, приходящийся на 1 м 3 массива	I 0
Удельный расход бурения, м /м 3	V бур	[ L -2 ]
Коэффициент использования скважин под заряд	К ис
Импульс взрыва, приходящийся на 1 м скважины	I c
Энергия взрыва, приходящаяся на 1м заряда
Акустическая жесткость среды(А=gС)
Время воздействия взрыва в скважине	t возд	[ T ]
Плотность забойки	r заб	[ L -3 M ]
Длина скважины	l скв	[ L ]
Максимальное первоначальное давление в скважине		[ L -1 M T -2 ]
Плотность заряда в скважине	r зар	[ L -3 M ]
Скорость детонации ВВ		[ L T -1 ]

Переходя от формулы (5) к формуле(1), раскрывая установленные взаимосвязи, а также имея в виду установленную ранее связь между диаметром среднего и диаметром максимального куска по развалу

d ср = k 6 d м 2/3 , (6)

получим общее уравнение взаимосвязи факторов, определяющих качество дробления:

d ср = kW 2/3 [ s t зам / r заб 1/3 Д -2/3 l скв 2/3 M зар 2|3 U вв 2/3 А 1/3 V бур К ис W ] n (7)

Преобразуем последнее выражение с целью создания безразмерных комплексов, при этом будем иметь в виду:

Q = M зар U вв ; q вв =М зар V бур К ис ; М заб =0.25 p r заб d скв 2 ;

где М зар – масса заряда ВВ в 1 м длины скважины, кг/м;

М заб – масса забойки в 1 м забойки, кг/м;

U вв – теплотворная способность ВВ, ккал/кг.

В числителе и знаменателе используем [М зар 1/3 U вв 1/3 (0.25 p d скв 2 ) 1/3 ] . Получим окончательно

Все комплексы и симплексы имеют физический смысл. По опытным данным и данным практики степенной показатель степени n =1/3, а коэффициент k определяется в зависимости от масштаба упрощения выражения (8).

Хотя успех анализа размерностей зависит от правильного понимания физического смысла конкретной задачи, после выбора переменных и основных размерностей этот метод может применяться совершенно автоматически. Следовательно, данный метод легко изложить в рецептурном виде, имея, однако, в виду, что такой «рецепт» требует от исследователя правильного выбора составных компонентов. Единственное, что мы можем здесь сделать, - это дать некоторые общие рекомендации.

Этап 1. Выбрать независимые переменные, оказывающие воздействие на систему. Необходимо рассматривать также размерные коэффициенты и физические константы, если они играют важную роль. Это наиболее ответствен ный этап всей работы.

Этап 2. Выбрать систему основных размерностей, через которую можно выразить единицы, всех выбранных переменных. Обычно используются следующие системы: в механике и динамике жидкостей М L q (иногда FL q ), в термодинамике М L q Т или М L q TH ; в электротехнике и ядерной физике М L q К или М L qm ., при этом температура может либо рассматриваться как основная величина, либо выражаться через молекулярную кинетическую энергию.

Этап 3. Записать размерности выбранных независимых переменных и составить безразмерные комбинации. Решение будет правильным, если: 1) каждая комбинация является безразмерной; 2) число комбинаций не меньше предсказываемого p-теоремой; 3) каждая переменная встречается в комбинациях хотя бы один раз.

Этап 4. Изучить полученные комбинации с точки зрения их приемлемости, физического смысла и (если должен использоваться метод наименьших квадратов) концентрации неопределенности по возможности в одной комбинации. Если комбинации не удовлетворяют этим критериям, то можно: 1) получить другое решение уравнений для показателей степеней, чтобы найти лучший набор комбинаций; 2) выбрать другую систему основных размерностей и проделать всю работу с самого начала; 3) проверить правильность выбора независимых переменных.

Этап 5. Когда будет получен удовлетворительный набор безразмерных комбинаций, исследователь может составить план изменения комбинаций, варьируя в своем оборудовании значения выбранных переменных. Планирование экспериментов следует рассмотреть особо.

При использовании метода анализа размерности с организацией правдоподобных рассуждений «от конца к началу» необходимо ввести серьезные корректуры и особенно на первом этапе.

Краткие выводы

Сегодня можно сформировать концептуальные положения научно-исследовательской работы по уже сложившемуся нормативному алгоритму. Пошаговое следование позволяет упорядочить поиск темы и определение ее этапов выполнения с выходом на научные положения, рекомендации. Знание содержания отдельных процедур способствует их экспертной оценке и отбору наиболее приемлемых и эффективных.

Ход научного исследования можно представить в виде логической схемы, определившись в процессе выполнения НИР, выделяя три стадии, характерные для любой деятельности:

Подготовительная стадия : Ее еще можно назвать стадией методологической подготовки исследования и формирования методологического сопровождения НИР. Состав работ следующий. Определение проблемы, разработка концептуального описания предмета исследования и определение (формулировка) темы исследования. Составление программы исследования с постановкой задач и разработкой плана их решения. Обоснованный выбор методов исследований. Разработка методики экспериментальных работ.

Основная стадия : - исполнительная (технологическая), реализация программы и плана исследования.

Заключительная стадия : - обработка результатов исследования, формулировка основных положений, рекомендаций, экспертиза.

Научные положения - это новая научная истина, - это то, что нужно и можно защищать. Формулировка научных положений может быть математическая или логическая. Научные положения помогают делу, решению проблемы. Научные положения должны быть адресными, т.е. отражать (содержать) тему, для которой они решались. Чтобы осуществить общую увязку содержания НИР со стратегией ее выполнения рекомендуется до и (или) после разработки указанных положений поработать над структурой отчета о НИР. В первом случае – работа над структурой отчета имеет даже эвристический потенциал, способствует осмыслению идей НИР, во втором случае – выступает своего рода проверкой стратегии и обратной связью управления НИР.

Будем помнить о том, что есть логика поиска, выполнения работы и логика изложения . Первая диалектическая – динамичная, с циклами, возвратами, трудно формализуемая, вторая логика статического состояния, формальная, т.е. имеющая строгую определенную форму.

Как вывод, желательно работу над структурой отчета не прекращать в течение всего времени выполнения НИР и тем самым эпизодически «сверять часы ДВУХ ЛОГИК ».

Повышению эффективности работы над концепцией способствует систематизация современных проблем горного дела на административном уровне.

При методологическом сопровождении научно-исследовательской работы часто встречаемся ситуации, когда теоретические положения по конкретной проблеме еще не достаточно полно разработаны. Уместно воспользоваться методологическим «лизингом». В качестве примера подобного подхода и возможного его использования представляет интерес метод анализа размерностей с организацией правдоподобных рассуждений «от конца к началу».

Основные термины и понятия

Объект и предмет деятельности	Актуальность	Горная технология
Концепция		Объект горной технологии
Цель и целеполагание		Средства горной технологии
Проблема Проблемная ситуация	Структура	Физико-технический эффект
Стадии и этапы НИР		Научное положение
Теоремы теории подобия	Размерность	Основные единицы

Исследователем природы является опыт. Он не обманывает никогда... Надо производить опыты, изменяя обстоятельства, пока не извлечем из них общих правил, потому, что опыт доставляет истинные правила.

Леонардо да Винчи

В физике... нет места для путаных мыслей…
Действительно понимающие природу
Того или иного явления должны получать основные
Законы из соображений размерности. Э. Ферми

Описание той или иной проблемы, обсуждение теоретических и экспериментальных вопросов начинается с качественного описания и оценки того эффекта, который дает данная работа.

При описании какой-то проблемы нужно, прежде всего, оценить порядок величины ожидаемого эффекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи величин, описывающих данное явление. Эти вопросы называются качественным описанием физической ситуации.

Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей.

Вот некоторые достоинства и приложения метода размерностей:

быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;
получение качественных и функциональных зависимостей;
восстановление забытых формул на экзаменах;
выполнение некоторых заданий ЕГЭ;
осуществление проверки правильности решения задач.

Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии).

Учащиеся впервые встречаются с методом размерностей при изучении теплового излучения в курсе физики 11 класса:

Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости r v – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот.

Единица спектральной плотности энергетической светимости – джоуль на квадратный метр (1 Дж/м 2). Энергия теплового излучения черного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м 2 является kT/ 2 ( = c/v). Точный расчет, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат:

где k – постоянная Больцмана.

Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот. Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея-Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно черного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название “ультрафиолетовой катастрофы”.

Покажем применение метода размерностей на простом и хорошо понятном примере.

Рисунок 1

Тепловое излучение абсолютно черного тела: ультрафиолетовая катастрофа – расхождение классической теории теплового излучения с опытом.

Представим себе, что тело массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце пройденного участка пути длиной s равна v, то можно записать теорему о кинетической энергии: .Между величинами F, m, v и s существует функциональная связь.

Предположим, что теорема о кинетической энергии забыта, а понимаем, что функциональная зависимость между v, F, m, и s существует и имеет степенной характер.

Здесь x, y, z – некоторые числа. Определим их. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть , где k – числовой коэффициент, не имеет единиц измерения и с помощью метода размерностей не определяется.

Левая и правая части соотношения (1) имеют одинаковые размерности. Размерности величин v, F, m и s таковы: [v] = м/c = мc -1 , [F] = H = кгмс -2 , [m] = кг, [s] = м. (Символ [A] обозначает размерность величины A.) Запишем равенство размерностей в левой и правой частях соотношения (1):

м c -1 = кг x м x c -2x кг y м Z = кг x+y м x+z c -2x .

В левой части равенства вообще нет килограммов, поэтому и справа их быть не должно.

Это значит, что

Справа метры входят в степени x+z, а слева - в степени 1, поэтому

Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует

Из полученных уравнений находим числа x, y, z:

x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.

Окончательная формула имеет вид

Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, получаем, что

Последняя формула есть математическая запись теоремы о кинетической энергии, правда без числового коэффициента.

Принцип подобия, сформулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение v 2 /s прямо пропорционально отношению F/m. Например, два тела с разными массами m 1 и m 2 ; будем действовать на них разными силами F 1 и F 2 , но таким образом, что отношения F 1 / m 1 и F 2 / m 2 будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начнут двигаться. Если начальные скорости равны нулю, то скорости, приобретаемые телами на отрезке пути длины s, будут равны. Это и есть закон подобия, к которому мы пришли с помощью идеи о равенстве размерностей правой и левой частей формулы, описывающей степенную связь значения конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.

Метод размерностей был введен при построении основ классической механики, однако его эффективное применение для решения физических задач, началось в конце прошлого – в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью интересных и важных задач принадлежит выдающемуся физику лорду Рэлею. В 1915 году Рэлей писал: “ Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия, даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые, тем не менее, можно было получить априорно в течение нескольких минут”.

В наши дни физиков уже нельзя упрекнуть в пренебрежительном отношении или в недостаточном внимании к принципу подобия и к методу размерностей. Рассмотрим одну из классических задач Рэлея.

Задача Рэлея о колебаниях шарика на струне.

Пусть между точками A и B натянута струна. Сила натяжения струны F. На середине этой струны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC (и соответственно CB) равна 1. Масса М шарика намного больше массы самой струны. Струну оттягивают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда эти x колебаний много меньше длины струны, то процесс будет гармоническим.

Определим частоту колебаний шарика на струне. Пусть величины , F, M и 1 связанны степенной зависимостью:

Показатели степени x, y, z – числа, которые нам нужно определить.

Выпишем размерности интересующих нас величин в системе СИ:

C -1 , [F] = кгм с -2 , [M] = кг, = м.

Если формула (2) выражает реальную физическую закономерность, то размерности правой и левой частей этой формулы должны совпадать, то есть должно выполняться равенство

с -1 = кг x м x c -2x кг y м z = кг x + y м x + z c -2x

В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени – 1. Это означает, что для x, y и z выполняются уравнения:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Решая эту систему, находим:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Следовательно,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

Точная формула для частоты отличается от найденной всего в раз ( 2 = 2F/(M1)).

Таким образом, получена не только качественная, но и количественная оценка зависимости для от величин F, M и 1. По порядку величины найденная степенная комбинация дает правильное значение частоты. Оценка всегда интересует по порядку величины. В простых задачах часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числами порядка единицы. Это не есть строгое правило.

При изучении волн рассматриваю качественное прогнозирование скорости звука методом анализа размерностей. Скорость звука ищем как скорость распространения волны сжатия и разрежения в газе. У учащихся не возникает сомнений в зависимости скорости звука в газе от плотности газа и его давления p.

Ответ ищем в виде:

где С – безразмерный множитель, числовое значение которого из анализа размерности найти нельзя. Переходя в (1) к равенству размерностей.

м/c = (кг/м 3) x Па y ,

м/с = (кг/м 3) x (кг м/(с 2 м 2)) y ,

м 1 с -1 = кг x м -3x кг y м y c -2y м -2y ,

м 1 с -1 = кг x+y м -3x + y-2y c -2y ,

м 1 с -1 = кг x+y м -3x-y c -2y .

Равенство размерностей в левой и правой части равенства дает:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

Таким образом, скорость звука в газе

Формулу (2) при С=1 впервые получил И. Ньютон. Но количественные выводы этой формулы были весьма сложны.

Экспериментальное определение скорости звука в воздухе было выполнено в коллективной работе членов Парижской Академии наук в 1738 г., в которой измерялось время прохождения звуком пушечного выстрела расстояния 30 км.

Повторяя данный материал в 11-м классе, внимание учащихся обращается на то, что результат (2) можно получить для модели изотермического процесса распространения звука с использованием уравнения Менделеева - Клапейрона и понятия плотности:

– скорость распространения звука.

Познакомив учащихся с методом размерностей, даю им этим методом вывести основное уравнение МКТ для идеального газа.

Учащиеся понимают, что давление идеального газа зависит от массы отдельных молекул идеального газа, числа молекул в единице объема – n (концентрации молекул газа) и скорости движения молекул – .

Зная размерности величин, входящих в данное уравнение имеем:

Сравнивая размерности левой и правой части данного равенства, имеем:

Поэтому основное уравнение МКТ имеет такой вид:

- отсюда следует

Из заштрихованного треугольника видно, что

Ответ: В).

Это мы воспользовались методом размерности.

Метод размерностей кроме осуществления традиционной проверки правильности решения задач, выполнения некоторых заданий ЕГЭ, помогает находить функциональные зависимости между различными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. Таких зависимостей в природе много, и метод размерностей - хороший помощник при решении подобных задач.

В случаях, когда изучаемые процессы не описываются дифференциальными уравнениями, одним из путей их анализа является эксперимент, результаты которого наиболее целесообразно представлять в обобщенной форме (в виде безразмерных комплексов). Методом составления таких комплексов является метод анализа размерностей.

Размерность какой-либо физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты за основные (первичные). В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. Например, в Международной системе единиц измерения СИ за единицы измерения длины, массы и времени соответственно приняты метр (м), килограмм (кг), секунда (с). Единицы измерения остальных физических величин, так называемых производных величин (вторичных), принимаются на основании законов, устанавливающих связь между этими единицами. Эта связь может быть представлена в виде так называемой формулы размерности.

Теория размерностей основана на двух положениях.

1. Отношение двух числовых значений какой-либо величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения (например, отношение двух линейных размеров не зависит от того, в каких единицах они будут измеряться).
2. Любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это утверждение представляет так называемую П-теорему в теории размерностей.

Из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных зависимостей

где – размерности основных единиц.

Математическое выражение П-теоремы можно получить, исходя из следующих соображений. Пусть некоторая размерная величина а 1 является функцией нескольких независимых между собой размерных величин , т.е.

Отсюда следует, что

Допустим, что число основных размерных единиц, через которые могут быть выражены все п переменных величин, равно т. П-теорема устанавливает, что если все п переменных величин выразить через основные единицы, то их можно сгруппировать в безразмерных П-членов, т.е.

При этом каждый П-член будет содержатьпеременную величину.

В задачах гидромеханики число переменных, входящих в П-члены, должно равняться четырем. Три из них будут определяющими (обычно это характерная длина, скорость течения жидкости и ее плотность) – они входят в каждый из П-членов. Одна из этих переменных (четвертая) является различной при переходе от одного П-члена к другому. Показатели степени определяющих критериев (обозначим их через х, у , z) являются неизвестными. Показатель степени четвертой переменной для удобства примем равным -1.

Соотношения для П-члснов будут иметь вид

Входящие в П-члены переменные можно выразить через основные размерности. Так как эти члены являются безразмерными, то показатели степени каждой из основных размерностей должны быть равны нулю. В результате для каждого из П-членов можно составить по три независимых уравнения (по одному для каждой размерности), которые связывают показатели степени входящих в них переменных. Решение полученной системы уравнений дает возможность найти числовые значения неизвестных показателей степени х , у , z. В итоге каждый из П-членов определяется в виде формулы, составленной из конкретных величин (параметров среды) в соответствующей степени.

В качестве конкретного примера найдем решение задачи определения потерь напора на трение при турбулентном течении жидкости .

Из общих соображений можно заключить, что потеря давленияв трубопроводе зависит от следующих основных факторов: диаметра d , длины l , шероховатости стенок k, плотности ρ и вязкости µ среды, средней скорости течения v , начального напряжения сдвига, т.е.

(5.8)

Уравнение (5.8) содержит п=7 членов, а число основных размерных единиц. Согласно П-теореме получим уравнение, состоящее избезразмерных П-членов:

(5.9)

Каждый такой П-член содержит 4 переменные. Принимая в качестве основных переменных диаметр d , скорость v , плотность и комбинируя их с остальными входящими в уравнение (5.8) переменными, получаем

Составляя уравнение размерности для первого П-члена, будем иметь

Складывая показатели степени при одинаковых основаниях, находим

Для того чтобы размерность П 1 была равна 1 (П 1 – безразмерная величина), необходимо потребовать равенства нулю всех показателей степеней, т.е.

(5.10)

Система алгебраических уравнений (5.10) содержит три неизвестные величины x 1, у 1,z 1. Из решения этой системы уравнений находим x 1 = 1; у 1=1; z 1= 1.