Modely popsané systémy dvou autonomních diferenciální rovnice.

fázová rovina. Fázový portrét. izoklinová metoda. hlavní izokliny. Stabilní stav stability. Lineární systémy. Klíčové typy bodů: uzel, sedlo, ohnisko, střed. Příklad: chemické reakce první objednávka.

Nejzajímavější výsledky o kvalitativním modelování vlastností biologických systémů byly získány na modelech dvou diferenciálních rovnic, které umožňují kvalitativní studium pomocí metody fázová rovina. Uvažujme systém dvou autonomních obyčejných diferenciálních rovnic obecného tvaru

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- spojité funkce definované v nějaké doméně G euklidovská rovina ( x, y- Kartézské souřadnice) a mající v této oblasti spojité derivace řádu ne nižší než první.

Kraj G mohou být neomezené nebo omezené. Pokud proměnné x, y mají specifický biologický význam (koncentrace látek, početnost druhů), nejčastěji oblast G je kladný kvadrant pravé poloroviny:

0 £ X< ¥ ,0 £ y< ¥ .

Koncentrace látek nebo množství druhů mohou být také shora omezeny objemem nádoby nebo plochou stanoviště. Pak má rozsah proměnných tvar:

0 £ X< x 0 , 0 £ y< y 0 .

Proměnné x, y změna v čase v souladu se systémem rovnic (4.1), takže každý stav systému odpovídá dvojici hodnot proměnných ( x, y).

Naopak pro každou dvojici proměnných ( x, y) odpovídá určitému stavu systému.

Uvažujme rovinu se souřadnicovými osami, na kterých jsou vyneseny hodnoty proměnných x, y. Každý bod M tato rovina odpovídá určitému stavu systému. Taková rovina se nazývá fázová rovina a zobrazuje souhrn všech stavů systému. Bod M(x, y) se nazývá znázorňující nebo reprezentující bod.

Nechte v počátečním čase t=t 0 představující souřadnice bodu M 0 (X(t 0),y(t 0)). V každém dalším časovém okamžiku t zobrazovaný bod se bude pohybovat podle změn hodnot proměnných X(t),y(t). Sada bodů M(X(t), y(t)) na fázové rovině, jejíž poloha odpovídá stavům systému v procesu změny proměnných v čase x(t), y(t) podle rovnic (4.1), se nazývá fázové trajektorie.

Sada fázových trajektorií pro různé počáteční hodnoty proměnných poskytuje snadno viditelný "portrét" systému. Budova fázový portrét umožňuje vyvozovat závěry o povaze změn proměnných x, y aniž by znal analytická řešení původní soustavy rovnic(4.1).

Pro zobrazení fázového portrétu je nutné sestrojit vektorové pole směrů pro trajektorie systému v každém bodě fázové roviny. Zadáním přírůstkuD t>0,dostaneme odpovídající přírůstky D X A D y z výrazů:

D x=P(x,y)D t,

D y=Q(x,y)D t.

vektorový směr dy/dx v bodě ( x, y) závisí na znaménku funkcí P(x, y), Q(x, y) a může být dán tabulkou:

P(x,y)>0,Q(x,y)>0
P(x,y)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
P(x,y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

Řešení této rovnice y=y(x, c), nebo implicitně F(x, y)=c, Kde S je integrační konstanta, dává rodinu integrálních křivek rovnice (4.2) - fázové trajektorie systému (4.1) na rovině x, y.

Izoklinová metoda

Ke konstrukci fázového portrétu se používá izoklinová metoda -čáry jsou nakresleny na fázové rovině, které protínají integrální křivky pod jedním specifickým úhlem. Rovnici izokliny lze snadno získat z (4.2). Položme

Kde A– určitá konstanta. Význam A představuje tečnu sklonu tečny k fázové trajektorii a může nabývat hodnot od -¥ na + ¥ . Nahrazuje místo dy/dx v (4.2) množství A dostaneme rovnici izokliny:

.(4.3)

Rovnice (4.3) určuje v každém bodě roviny jedinou tečnu k odpovídající integrální křivce, kromě bodu, kde P(x,y)= 0, Q (x, y) = 0 , ve kterém se směr tečny stává neurčitým, protože hodnota derivace se stává neurčitou:

.

Tento bod je průsečíkem všech izoklin – speciální bod. Zároveň mizí časové derivace proměnných X A y.

V singulárním bodě jsou tedy rychlosti změny proměnných rovny nule. Proto singulární bod diferenciálních rovnic fázových trajektorií (4.2) odpovídá stacionární stav systému(4.1) a jeho souřadnice jsou stacionární hodnoty proměnných x, y.

Zvláště zajímavé jsou hlavní izokliny:

dy/dx=0, P(x, y)=0 – izoklina vodorovných tečen a

dy/dx=¥ , Q(x, y)=0 – izoklina vertikálních tečen.

Sestrojením hlavních izoklin a nalezením bodu jejich průsečíku (x,y), jehož souřadnice splňují podmínky:

najdeme tak průsečík všech izoklin fázové roviny, ve kterém je směr tečen k fázovým trajektoriím neurčitý. Tento - singulární bod, což odpovídá stacionární stav systému(obr. 4.2).

Systém (4.1) má tolik stacionárních stavů, kolik je průsečíků hlavních izoklin na fázové rovině.

Každá fázová trajektorie odpovídá množině pohybů dynamického systému procházejících stejnými stavy a lišících se od sebe pouze začátkem časové reference.

Pokud jsou splněny podmínky Cauchyho věty, pak přes každý bod prostoru x, y, t prochází jedinou integrální křivkou. Totéž platí, díky autonomii, pro fázové trajektorie: každým bodem fázové roviny prochází jedinečná fázová trajektorie.

Stabilní stav stability

Nechť je systém v rovnováze.

Potom je reprezentativní bod umístěn v jednom ze singulárních bodů systému, ve kterém podle definice:

.

Zda je singulární bod stabilní nebo ne, je určeno tím, zda reprezentativní bod opustí nebo neopustí s malou odchylkou od stacionárního stavu. Jak se aplikuje na systém dvou rovnic, definice stability v jazyceE, djak následuje.

Rovnovážný stav je stabilní, pokud pro jakoukoli danou oblast odchylek od rovnovážného stavu (E )oblast lze specifikovat d (E ), obklopující rovnovážný stav a mající vlastnost, že žádná trajektorie nezačíná uvnitř regionu d , nikdy nedosáhne hranice E . (obr. 4.4)

Pro velkou třídu systémů - hrubé systémy – charakter chování se nemění malou změnou typu rovnic, informace o typu chování v blízkosti stacionárního stavu lze získat studiem nikoli původního, ale zjednodušeného linearizované Systém.

Lineární systémy.

Zvažte systém dvou lineární rovnice:

.(4.4)

Tady abeceda- konstanty, x, y- Kartézské souřadnice na fázové rovině.

Obecné řešení bude hledáno ve tvaru:

.(4.5)

Dosaďte tyto výrazy v (4.4) a zmenšete o E l t:

(4.6)

Algebraický systém rovnic (4.6) s neznámými A, B má nenulové řešení pouze tehdy, je-li jeho determinant složený z koeficientů neznámých roven nule:

.

Rozšířením tohoto determinantu získáme charakteristickou rovnici systému:

.(4.7)

Řešení této rovnice dává hodnoty indikátorul 1,2 , pod kterým jsou možné nenulové hodnoty A A Břešení rovnice (4.6). Tyto hodnoty jsou

.(4.8)

Pokud je radikální výraz záporný, pakl 1,2 komplexně sdružená čísla. Předpokládejme, že oba kořeny rovnice (4.7) mají nenulové reálné části a že neexistují žádné vícenásobné kořeny. Potom lze obecné řešení soustavy (4.4) znázornit jako lineární kombinaci exponentů s exponentyl 1 , l 2 :

(4.9)

K analýze povahy možných trajektorií systému na fázové rovině používáme lineární homogenní transformace souřadnic, který systém přivede kanonická forma:

,(4.10)

což umožňuje pohodlnější znázornění na fázové rovině ve srovnání s původním systémem (4.4). Zavedeme nové souřadniceξ , η podle vzorců:

(4.1)

Z kurzu lineární algebry je známo, že pokud se reálné části nerovnají nulel 1 , l 2 původní systém (4.4) lze pomocí transformací (4.11) vždy převést do kanonické podoby (4.10) a studovat jeho chování ve fázové roviněξ , η . Zvažte různé případy, které se zde mohou vyskytnout.

Kořeny λ 1 , λ 2 – platné a stejného označení

V tomto případě jsou transformační koeficienty reálné, pohybujeme se z reálné rovinyx, yke skutečné rovině ξ, η. Vydělením druhé z rovnic (4.10) první dostaneme:

.(4.12)

Integrací této rovnice zjistíme:

Kde .(4.13)

Souhlasíme s tím, že rozumíme λ 2 kořen charakteristické rovnice s velkým modulem, což neporušuje obecnost naší úvahy. Potom, protože v posuzovaném případě kořeny λ 1 , λ2 – platné a stejného označení,A>1 a jedná se o integrální křivky parabolického typu.

Všechny integrální křivky (kromě osy η , což odpovídá ) dotkněte se v počátku osy ξ, což je také integrální křivka rovnice (4.11). Počátek souřadnic je singulární bod.

Pojďme nyní zjistit směr pohybu reprezentativního bodu podél fázových trajektorií. Pokud λ 1, X 2 jsou tedy záporné, jak je patrné z rovnic (4.10), |ξ|, |η| časem klesat. Reprezentující bod se blíží k počátku, ale nikdy jej nedosáhne. Jinak by to odporovalo Cauchyho teorému, který říká, že každým bodem fázové roviny prochází pouze jedna fázová trajektorie.

Takový singulární bod, kterým procházejí integrální křivky, stejně jako rodina parabol prochází počátkem, nazývá se uzel (obr. 4.5)

Rovnovážný stav uzlového typu při λ 1, X 2 < 0 je stabilní podle Ljapunova, protože reprezentující bod se pohybuje podél všech integrálních křivek směrem k počátku souřadnic. Tento stabilní uzel. Pokud λ 1, X 2 > 0, tedy |ξ|, |η| roste s časem a reprezentativní bod se vzdaluje od počátku. V tomto případě singulární bod– nestabilní uzel .

Na fázové rovině x, y obecný kvalitativní charakter chování integrálních křivek zůstane zachován, ale tečny k integrálním křivkám se nebudou shodovat se souřadnicovými osami. Úhel sklonu těchto tečen bude určen poměrem koeficientů α , β , γ , δ v rovnicích (4.11).

Kořeny λ 1 , λ 2 jsou platné a mají různé znaky.

Převést z souřadnice x, y na souřadnice ξ, η opět skutečné. Rovnice pro kanonické proměnné mají opět tvar (4.10), ale nyní znaménka λ 1, X 2 odlišný. Rovnice fázové trajektorie má tvar:

Kde ,(4.14)

Najdeme integraci (4.14).

(4.15)

Tento rovnice definuje rodinu křivek hyperbolického typu, kde jsou obě souřadné osy jsou asymptoty (at A=1 měli bychom rodinu rovnoramenných hyperbol). Souřadnicové osy jsou v tomto případě také integrální křivky– to budou jediné integrální křivky procházející počátkem. Každýkterý se skládá ze tří fázových trajektorií: dvou pohybů směrem k rovnovážnému stavu (nebo pryč z rovnovážného stavu) a ze stavu rovnováhy. Všechny ostatní integrální křivky– jsou hyperboly, které neprocházejí počátkem (obr. 4.6) Tento singulární bod se nazývá "sedlo ». Hladinové linie v blízkosti sedla se chovají jako fázové trajektorie v blízkosti sedla.

Uvažujme o povaze pohybu reprezentativního bodu po fázových trajektoriích v blízkosti rovnovážného stavu. Ať např. Ai >0, A2<0 . Potom reprezentativní bod umístěn na ose ξ , se posune od počátku a umístí se na osu η – se neomezeně přiblíží k počátku souřadnic, aniž by toho dosáhli v konečném čase. Kdekoli je reprezentující bod v počátečním okamžiku (s výjimkou singulárního bodu a bodů na asymptotě η =0), nakonec se bude vzdalovat od rovnovážného stavu, i když se na začátku pohybuje po jedné z integrálních křivek směrem k singulárnímu bodu.

To je zřejmé singulární bod sedlového typu je vždy nestabilní . Pouze za speciálně zvolených počátečních podmínek na asymptotěη =0 systém se přiblíží do stavu rovnováhy. To však není v rozporu s tvrzením, že systém je nestabilní. Pokud počítáte, že všechny počáteční stavy systému na fázové rovině jsou stejně pravděpodobné, pak pravděpodobnost takového počátečního stavu, který odpovídá pohybu ve směru Na singulární bod je roven nule. Proto jakýkoli skutečný pohyb odstraní systém z rovnovážného stavu.Návrat na souřadnicex,y,získáme stejný kvalitativní obrázek o povaze pohybu trajektorií kolem počátku.

Hranicí mezi uvažovanými případy uzlu a sedla je případ Když například jeden z charakteristických ukazatelů λ 1 , mizí, k čemuž dochází, když determinant systému- výraz adbc=0(viz vzorec 4.8 ). V tomto případě jsou koeficienty pravých stran rovnic (4.4) vzájemně úměrné:

a systém má pro své rovnovážné stavy všechny body přímky:

Zbývající integrální křivky jsou rodinou rovnoběžných čar se sklonem , podél kterého se reprezentativní body buď přibližují k rovnovážnému stavu, nebo se od něj vzdalují, v závislosti na znaménku druhého kořene charakteristické rovnice λ 2 = a+d.(Obr. 4. 7 ) V tomto případě souřadnice rovnovážného stavu závisí na počáteční hodnotě proměnných.

Kořeny λ 1 , λ 2 – komplexsdružené

V tomto případě doopravdyX A y budeme mají složité konjugáty ξ , η (4.10) . Zavedením další mezitransformace je však i v tomto případě možné zredukovat úvahu na skutečnou lineární homogenní transformaci. Položme:

(4.16)

Kde a, b, A u, v – skutečné hodnoty. Lze ukázat, že transformace zx, y Na u, v je podle našich předpokladů reálný, lineární, homogenní s nenulovým determinantem. Kvůli rovnicím(4.10, 4.16) máme:

kde

(4.17)

Dělení druhé z rovnic první, dostaneme:

který se snáze integruje, přepneme-li do polárního souřadnicového systému (r, φ ) . Po vystřídání odkud se dostaneme:

.(4.18)

Tedy na fázové roviněu, vmáme co do činění s rodinou logaritmických spirál, z nichž každá máasymptotický bod v počátku.Singulární bod, který je asymptotickým bodem všech integrálních křivek ve tvaru spirál, vnořený přítel vpřítel, zavolal soustředit se ( obr.4.8 ) .

Uvažujme o povaze pohybu reprezentujícího bodu po fázových trajektoriích. Vynásobení první z rovnic (4.17) číslemu a druhý k proti a přidáním získáme:

Kde

Nechat A 1 < 0 (A 1 = Reλ ) . Reprezentující bod se pak plynule přibližuje k počátku, aniž by ho dosáhl v konečném čase. To znamená, že fázové trajektorie jsou kroucené spirály a odpovídají tlumeným oscilacím proměnné. Tento - stálé zaměření .

V případě stabilního ohniska je stejně jako v případě stabilního uzlu splněna nejen Ljapunovova podmínka, ale i přísnější požadavek. Konkrétně pro jakékoli počáteční odchylky se systém nakonec vrátí tak blízko, jak je požadováno, k rovnovážné poloze. Taková stabilita, při které se počáteční odchylky nejen nezvětšují, ale klesají, mající tendenci k nule, se nazývá absolutní stabilita .

Pokud ve vzorci (4.18) A 1 >0 , pak se reprezentující bod vzdálí od počátku a máme co do činění s nestabilní zaměření . Při přesunu z letadlau, vdo fázové rovinyX, yspirály také zůstanou spirálami, ale budou deformované.

Zvažte nyní případ, kdyA 1 =0 . Fázové trajektorie v roviněu, vbudou kruhy které v letadlex, yfit elipsy:

Tedy při1=0 přes speciální bodx= 0,y= 0 neprochází žádná integrální křivka. Takový izolovaný singulární bod, v jehož blízkosti jsou integrální křivky uzavřenými křivkami, zejména elipsami vnořenými do sebe a obklopujícími singulární bod, se nazývá střed.

Je tedy možných šest typů rovnováhy v závislosti na povaze kořenů charakteristické rovnice (4.7). Pohled na fázové trajektorie v rovině x, y pro těchto šest případů je znázorněno na Obr. 4.9.

Rýže. 4.9.Typy fázových portrétů v okolí stacionárního stavu pro soustavu lineárních rovnic (4.4).

Pět typů rovnovážných stavů je hrubých, jejich povaha se nemění dostatečně malými změnami na pravé straně rovnic (4.4). Změny by v tomto případě měly být malé nejen na pravých stranách, ale i na jejich derivátech prvního řádu. Šestý stav rovnováhy – střed – není hrubý. S malými změnami v parametrech pravé strany rovnic přechází do stabilního nebo nestabilního ohniska.

Bifurkační diagram

Představme si notaci:

. (4.11)

Poté lze charakteristickou rovnici zapsat ve tvaru:

. (4.12)

Uvažujme rovinu s pravoúhlými kartézskými souřadnicemi s , D a vyznačit na něm oblasti odpovídající jednomu nebo druhému typu rovnovážného stavu, který je určen povahou kořenů charakteristické rovnice

.(4.13)

Podmínkou stability rovnovážného stavu bude přítomnost záporné reálné části yl 1 a l 2 . Nezbytnou a postačující podmínkou k tomu je splnění nerovnostís > 0, D > 0 . Na diagramu (4.15) tato podmínka odpovídá bodům umístěným v první čtvrtině roviny parametrů. Singulární bod bude ohniskem ifl 1 a l 2 komplex. Tato podmínka odpovídá těm bodům roviny, pro které , těch. body mezi dvěma větvemi parabolys 2 = 4 D. Poloosové body s = 0, D>0, odpovídají rovnovážným stavům středového typu. Rovněž,l 1 a l 2 - platné, ale různé znaky, tzn. singulární bod bude sedlo, jestliže D<0, atd. V důsledku toho získáme rozdělovací diagram roviny parametrů s, D, do oblastí odpovídajících různým typům rovnovážných stavů.

Rýže. 4.10. Bifurkační diagram

pro soustavu lineárních rovnic 4.4

Pokud koeficienty lineárního systému abeceda závisí na nějakém parametru, pak když se tento parametr změní, změní se také hodnotys , D . Při průchodu hranicemi se charakter fázového portrétu kvalitativně mění. Proto se takové hranice nazývají bifurkační hranice - na opačných stranách hranice má systém dva topologicky odlišné fázové portréty a podle toho dva různé typy chování.

Diagram ukazuje, jak takové změny mohou probíhat. Pokud vyloučíme speciální případy - počátek souřadnic - pak je snadné vidět, že sedlo může při křížení osy y přejít do uzlu, stabilního nebo nestabilního. Stabilní uzel se může přesunout do sedla nebo do stabilního ohniska a tak dále. Všimněte si, že přechody stabilní uzel – stabilní ohnisko a nestabilní uzel – nestabilní ohnisko nejsou bifurkační, protože topologie fázového prostoru se v tomto případě nemění. O topologii fázového prostoru a bifurkačních přechodech si povíme podrobněji v 6. přednášce.

Při bifurkačních přechodech se mění charakter stability singulárního bodu. Například stabilní ohnisko přes střed se může změnit na nestabilní ohnisko. Tato bifurkace se nazývá Andronov-Hopfova bifurkace podle jmen vědců, kteří to studovali. S touto bifurkací v nelineárních systémech se rodí limitní cyklus a systém se stává samokmitajícím (viz přednáška 8).

Příklad. Systém lineárních chemických reakcí

Látka X přitéká zvenčí konstantní rychlostí, mění se na látku Y a rychlostí úměrnou koncentraci látky Y, se vyjme z reakční koule. Všechny reakce jsou prvního řádu, s výjimkou přílivu hmoty zvenčí, která má nulový řád. Schéma reakce vypadá takto:

(4.14)

a je popsána soustavou rovnic:

(4.15)

Stacionární koncentrace získáme tak, že pravou stranu rovnáme nule:

.(4.16)

Zvažte fázový portrét systému. Vydělme druhou rovnici soustavy (4.16) první. Dostaneme:

.(4.17)

Rovnice (4.17) určuje chování proměnných ve fázové rovině. Vytvořme fázový portrét tohoto systému. Nejprve nakreslíme hlavní izokliny na fázové rovině. Rovnice izokliny vertikálních tečen:

Rovnice pro izoklinu vodorovných tečen:

Singulární bod (stacionární stav) leží v průsečíku hlavních izoklin.

Nyní určíme, pod jakým úhlem souřadnicové osy protínají integrální křivky.

Li x= 0, pak .

Tedy tečna sklonu tečny k integrálním křivkám y=y(x), křížení osy y x=0, je záporná v horní polorovině (připomeňme, že proměnné x, y mají hodnoty koncentrace, a proto nás zajímá pouze pravý horní kvadrant fázové roviny). V tomto případě hodnota tečny úhlu sklonu tečny roste se vzdáleností od počátku.

Zvažte osu y= 0. V průsečíku této osy jsou integrální křivky popsány rovnicí

Na tečna sklonu integrálních křivek protínajících osu úsečky je kladná a s rostoucím vzrůstem roste od nuly do nekonečna X.

Na .

Potom s dalším nárůstem tečna sklonu klesá v absolutní hodnotě, zůstává záporná a má tendenci k -1 při X ® ¥ . Když známe směr tečen k integrálním křivkám na hlavních izoklinách a na souřadnicových osách, je snadné sestavit celý obraz fázových trajektorií.

Charakter stability singulárního bodu bude stanoven pomocí Ljapunovovy metody. Charakteristický determinant systému má tvar:

.

Rozšířením determinantu získáme charakteristickou rovnici systému: , tj. kořeny charakteristické rovnice jsou oba záporné. Stacionární stav systému je proto stabilním uzlem. Zároveň i koncentrace látky X směřuje ke stacionárnímu stavu vždy monotónně, koncentrace látky Y může procházet min nebo max. Oscilační režimy v takovém systému jsou nemožné.

Nechat zq - singulární bod funkce f(z), t.s. f(z) ale je v tomto bodě analytický (zejména v něm nemusí být definován). Pokud existuje takové proražené okolí bodu zq (tj. množina O z - zq f(z) je tedy aliatický zo volal izolovaný singulární bod funkcí f(z). Tato definice je zachována i v případě zn = oo, pokud je jód proraženým okolím bodu zq = oo rozumět množině z > já - vzhled nějaké kružnice se středem v počátku. Jinými slovy, singulární bod zq se říká, že je izolovaný, pokud existuje okolí tohoto bodu, ve kterém jsou další singulární body odlišné od zq. Všude níže uvažujeme pouze singulární body jednohodnotového znaku (funkce f(z) předpokládá se, že je jedinečný).

V závislosti na chování funkce f(z) na z -> zq Existují tři typy singulárních bodů. Izolovaný singulární bod funkce zq f(z) volal:

1) odnímatelný singulární bod pokud existuje konečná mez

2) pól pokud existuje limit

3) podstatný bod, Li f(z) nemá ani konečnou ani nekonečnou limitu pro z-> zq.

PŘÍKLAD 26.1. Ukažme, že jsou realizovány všechny tři typy singulárních bodů. Zvážit F(z)= bod zq = 0 je izolován

singulární bod této funkce. Pomocí vzorce (22.12) získáme rozšíření

z čehož vyplývá, že existuje lim fi(z)= 1. Proto zq = 0 je

je odnímatelný singulární bod funkce fi(z).

Funkce f'j(z) =--- má tyč v bodě zo= 1 protože

2 r" X

Zvažte nyní funkci )z(z)= e 1 ^ r a ukázat, že zo = O je základním singulárním bodem této funkce. Při snaze z k nule podél reálné osy, levý a pravý limit funkce f (z) různé: lim S 1 / 1 = 0, lim s 1 /* = os. Z toho vyplývá,

x->0-0 x->0+O

Co f:i(z) nemá ani konečnou ani nekonečnou limitu pro 2 -> Oh, tj. zq = 0 je v podstatě singulární bod této funkce. (Všimněte si, že jak pointa napovídá z-iy na nulu na funkci pomyslné osy

nemá žádný limit.)

Samozřejmě existují i ​​neizolované singulární body. Například. funkce má póly v bodech z n = -, P= ±1, ±2,...

Proto, Zq = 0 je neizolovaný singulární bod této funkce: v libovolném (libovolně malém) okolí tohoto bodu jsou další singulární body g str.

Nechat zo- konečný izolovaný singulární bod funkce f(z). Pak f(z) je podobný v nějakém proraženém okolí 0 Zo bodu zo toto okolí lze považovat za prstenec s vnitřním poloměrem r = 0. Podle věty 25.1 v uvažovaném okolí funkce f(z) lze rozšířit v sérii Laurent (25.2). Ukážeme, že chování funkce pro 2 -> zq (tj. typ singulárního bodu zo) závisí na formě hlavní části rozkladu (25.2); tato okolnost vysvětluje původ termínu „hlavní část“.

VĚTA 2G.2. Izolovaný singulární bod zo funkce f(z) je odstranitelný tehdy a pouze tehdy, když Lorapova expanze v proraženém okolí tohoto bodu má oid

těch. se skládá pouze ze správné části, a všechny koeficienty hlavní části se rovnají odrážce.

Důkaz. 1. Nechat zo je snímatelný singulární bod. Dokažme, že Laurentova expanze funkce f(z) má tvar (26.1). Od singulárního bodu zo odnímatelné, pak je zde konečný limit lim f(z) = A. Proto, f(z) ohraničený v nějakém proraženém okolí 0 z - zq bodu zo, těch. )(z) pro všechny z z této čtvrti. Vezměte si jakýkoli R. U р /?| a pro koeficienty Laurentovy řady použijte vzorce (25.3):

Pro koeficienty hlavní části expanze n =- 1,-2,... Za takové hodnoty P my máme p~n-e 0 at R-> 0. Od hodnoty R lze tedy zvolit libovolně malé pane~" může být libovolně malá. Od |c t,| ^ pan~n a cn nezávisí na p, pak cn = 0 pro A= - 1, -2,..., což se mělo dokázat.

2. Předpokládejme nyní, že Laurentův expanze má tvar (26.1). Řada (26.1) je mocninná řada a. konverguje tedy nejen v proraženém, ale i v celém sousedství z-zq včetně tečky zo; jeho výši S(z) je analytický pro z a S(z) = )(z) při 0 z - zo R. Proto existuje konečná mez )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Proto singulární bod zq

Z->Zo Z-*Zo

jednorázový. Věta byla prokázána.

Komentář. Z důkazu věty vyplývá, že v proraženém okolí 0 z - zo odstranitelného singulárního bodu funkce f(z) se shoduje s funkcí S(r), která je analytická v celém okolí z - zo . Pokud tedy vložíme /(th) = S(zq), pak beze změny hodnot funkce f(z) v libovolném bodě punktovaného okolí uděláme tuto funkci v r analytickou, tj. „odstranit“ funkci. To vysvětluje termín „odstranitelná singularita“. Je přirozené, že takové body považujeme za regulární, nikoli za singulární body funkce f(z).

Vezměme si například funkci

V příkladu 26.1 se ukázalo, že Pm (n) = 1, tzn. singulární bod

zq = 0 je odstranitelné. Nastavením /i(0) = 1 odstraníme singularitu a získáme funkci, která je v bodě analytická zq = 0 (a v celé rovině C).

Pojďme nyní charakterizovat póly z hlediska Laurentových expanzí.

Věta 26.3. Izolovaný singulární bod Zo funkce f(z) je pól právě tehdy a jen tehdy, když hlavní část Laurentovy expanze se středem Zq má pouze konečný počet zřetelných

z nulových koeficientů s n:

Důkaz. 1. Nechat zq - pól, tzn. lim /( z) = oo.

Dokažme, že Laurentova expanze funkce f(z) má tvar (2G.2). Od lim f(z)= oo. pak existuje proražené okolí bodu

ki zq. kde f(z) je analytický a nemá žádné nuly. Pak funkce g(z) = 1 /f(z) bude také analytický v této proražené čtvrti a lim g(z)= 0. Proto Zo je na jedno použití *-? *0

singulární bod funkce g(z). Pojďme znovu definovat g(z) na místě zo, uvedení g(zo)= 0. Potom g(z) se stane analytickým v celém okolí (neproraženého) bodu z 0, a z0 bude jeho izolovaná nula. Označit podle N násobnost (pořadí) této nuly. Jak bylo uvedeno v §23, v sousedství bodu funkce zq g(z) reprezentovatelné ve formě (viz (23.2))

a (z $) f 0 a y>(z) je analytický v určitém sousedství bodu zo- Protože ip(z) spojitý v bodě zo A g>(zo) F 0" pak ip(z) nemá žádné nuly ani v některém sousedství tohoto bodu. Proto funkce 1 /-p(z) bude v tomto sousedství také analytický, a proto se v něm rozšíří v sérii Taylor:

Otevřením závorek a změnou označení koeficientů zapíšeme do formuláře poslední rozšíření

kde c_jv = 1>o f 0. Hlavní část Laurentova rozvoje f(r) tedy obsahuje pouze konečný počet členů; dospěli jsme k požadované rovnosti (26.2).

2. Nechte v proraženém okolí bodu čt funkce )(z) je reprezentován Laurentovým rozšířením (26.2) (v rozšířenější podobě viz (26.3)), jehož hlavní část obsahuje pouze konečný počet členů a S- d" F 0. To musíme dokázat Zq - funkční pól f(z). Vynásobení rovnosti (26.3) podle (G - G o) iV , dostaneme funkci

Řada v (26.4) je mocninná řada konvergující k analytické funkci nejen v proraženém, ale i v celém okolí bodu. Zq. Proto funkce Hz) se v tomto okolí stane analytickým, pokud jej rozšíříme v th nastavením h(zo)= s_dg F 0. Potom

Bod o je tedy pól a věta 26.3 je dokázána.

Násobnost (pořadí) nulové funkce g(z)= 1//(r) se nazývá pólový řád funkce /(r). Li N-řád pólu je tedy th g(z)= (r - Zo)N ip(z), a jít) F 0, a jak je ukázáno v první části důkazu věty 26.3, expanze f(r) má tvar (26.3), kde c_/v F 0. Naopak, expanduje-li f(r) do řady (26.3) a e-z F 0, tedy

t.s. N-řád pólu funkce f(r). Tím pádem, řád zq pólu funkce/(G) se rovná číslu vedoucího nenulového koeficientu hlavní části Laurentovy expanze v proraženém okolí bodu zq(tj. rovno takovému číslu N, co s_dg F 0 a sp= 0 at P > N).

Dokažme následující tvrzení, které je vhodné) pro aplikace.

Závěr 26.4. Bod zq je pól řádu N fikce/(G) tehdy a jen tehdy/(G) reprezentovat ve formě

kde h(z) je analytická funkce v okolí bodučt a h(zo) f 0.

Důkaz. Funkce cp(z) = l/h(z) je analytický v určitém okolí bodu r. Podmínka Důsledku 26.4 je ekvivalentní následujícímu:

Proto zq - násobnost nula N funkcí g(z). a odtud pól multiplicity N funkce /(2).

II příklad 26.5. Najděte izolované singulární body funkce a určit jejich typ.

D e u k ce n. Body, ve kterých (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Jestliže z 2 L- 1 = 0 pak 2 = ±r Li (z 4-H)2 = 0, pak z= -3. Funkce má tedy tři singulární body z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Zvažte z:

G - pól prvního řádu (použili jsme Corollary 26.4). Podobně lze dokázat, že 22 = -i také pól prvního řádu. Na 2h máme:

Přejděme k úvaze v podstatě singulárních bodů.

Věta 26.6. Izolovaný singulární bod zq funkce f(z) je v podstatě singulární právě tehdy, když hlavní část Laurentovy expanze se středem v zq má nekonečně mnoho odlišných od. nula, koeficienty s p.

Důkaz. Věta 26.6 přímo navazuje na věty 26.2 a 26.3. Opravdu, pokud bod zq je v podstatě singulární, pak hlavní část Laurentova rozšíření nemůže chybět ani obsahovat konečný počet členů (jinak bod Zq bude buď odnímatelný nebo tyčový). Proto musí být počet členů v hlavní části nekonečný.

A naopak, pokud hlavní část obsahuje nekonečně mnoho členů, pak Zq nemůže být ani odnímatelný bod, ani tyč. V důsledku toho je tento bod v podstatě ojedinělý.

V podstatě singulární bod se podle definice vyznačuje tím, že funkce f(2) nemá konečnou ani nekonečnou limitu pro z ->zq. Ucelenější představu o tom, jak nepravidelné je chování funkce v okolí v podstatě singulárního bodu, poskytuje následující věta.

Věta 26.7 (Sochockiho věta). Pokud je zq v podstatě singulární, pak bod funkce f(z), pak pro libovolné komplexní číslo L, včetně A = oo, existuje posloupnost bodů z n taková, že z n -> zo a lim f(zn) = A.

n->os

Důkaz. Nejprve zvažte případ A = oo V první části důkazu věty 2G.2 jsme zjistili, že pokud f(z) je ohraničena v nějakém proraženém okolí bodu r0, pak všechny koeficienty c, n = - 1, - 2,... hlavní části jsou rovny nule (a v důsledku toho je singularita v th odstranitelná). Protože podle předpokladu je r v podstatě singulární bod, funkce /(r) je neomezená v žádném proraženém okolí bodu r. Vezměme nějaké úzké okolí 0 Z takové, že f(zi) > 1 (pokud |/(r)| z - zo R/2 je tam bod z-2 , kde |/(dd)| > 2 atd.: v proraženém sousedství O 71. Je zřejmé, že rn -e jít a lim /(r«) = oo. Tedy v případě A = oo, Věta 26.7

osvědčený.

Nechte teď A f oo Předpokládejme nejprve, že existuje proražená oblast 0

= -yy---- bude analytický v této proražené čtvrti a následně

/(G) - A

následně je r izolovaný singulární bod funkce Φ(r). Pojďme se ukázat. že r0 je v podstatě singulární bod Φ(r). Ať je to špatně. Pak existuje limita lim Φ(r), buď konečná, nebo nekonečná. Protože

/(r) = A + , pak existuje i Hsh /(r), což je v rozporu s podmínkou

F(g)~ :-*z 0

pohled na větu. r0 je tedy v podstatě singulární bod funkce Φ(r). Podle toho, co bylo dokázáno výše, existuje posloupnost bodů r n taková, že r n o a lim Φ(r n) = oo. Odtud

Dokázali jsme požadované tvrzení za předpokladu, že f(r) F A v nějakém proraženém okolí bodu r. Předpokládejme nyní, že to není pravda, tzn. v libovolném libovolně malém proraženém okolí bodu th je takový bod G",že f(r") = A. Pak pro libovolné P v proraženém okolí 0 f(z u) = L. Požadované tvrzení je tedy pravdivé P-jo

ve všech případech a věta 26.7 je dokázána.

Podle (Sokhotského) věty 26.7 v jakémkoli (libovolně malém) punktovaném okolí v podstatě singulárního bodu nabývá funkce f(r) hodnoty libovolně blízké libovolnému číslu v rozšířené komplexní rovině C.

Ke studiu izolovaných singulárních bodů jsou často užitečné známé Taylorovy expanze základních elementárních funkcí.

PŘÍKLAD 2G.8. Určete typ singulárního bodu zq = 0 pro funkci

Řešeno a e. Rozšiřujeme čitatele a jmenovatele v Taylorově řadě v mocninách r. Dosazení do (22.11) 3 z místo r a odečtením 1 dostaneme

Pomocí (22.12) získáme rozšíření jmenovatele:

Série v těchto expanzích se sbíhají v celé komplexní rovině €. My máme

a /2(2) jsou analogické v okolí bodu zo = 0 (a dokonce v celé rovině) a /2(20) F 0, tedy Hz) je také analytický v určitém okolí bodu gF 0. Podle Důsledku 26.4 je bod Zo = 0 je pól pořadí N = 4.

II příklad 26.9. Najděte singulární body funkce f(z)= sin j - a určete jejich druh.

P e v e a e. Funkce má jediný konečný singulární bod zq = 1. V ostatních bodech od C funkce w =--- analytická; odtud funkce hříchu w bude analytický.

Dosazením v expanzi sinusu (22.12) - místo r dostaneme

Získali jsme expanzi sin funkce v Laurentově řadě v punktovaném okolí bodu 20 = 1. Protože výsledný rozvoj obsahuje nekonečně mnoho členů se zápornými mocninami (r - 1), pak zq = 1 je podstatný singulární bod (v tomto případě se Laurentova expanze skládá pouze z hlavní části a správná část chybí).

Všimněte si, že v tomto případě bylo také možné určit povahu singularity přímo z definice, aniž by se uchýlilo k rozšíření řady. Ve skutečnosti existují sekvence (r") a (2"), ke kterým se sbíhají zo= 1, a to f(z" n)= 1, /(2") = 0 (určete takové sekvence sami). Takže, f(z) nemá žádný limit kdy z -> 1 a odtud bod zq - 1 je v podstatě jednotné číslo.

Představme si koncept Laurentova rozšíření funkce v okolí bodu Zq = 00 a zvažte souvislost mezi expanzí a povahou singularity v tomto bodě. Všimněte si, že definice izolovaného singulárního bodu a jeho typ (odnímatelný, pólový nebo v podstatě singulární) se přenášejí do případu zq = oc beze změny. Ale věty 26.2. 26.3 a 26.6, související s povahou Laurentova rozšíření, je třeba změnit. Jde o to, že členové c n (z - 2o) str. P= -1,-2,..., hlavní část, definující „‘nesrovnalost“ funkce blízko koncového bodu Zq, protože 2 má tendenci k oo, budou se chovat „správně“ (sklon k 0). Naopak členové běžné části s P= 1,2,... bude mít tendenci oo; určují povahu singularity v Zq = oo. Hlavní součástí expanze v okolí oo tedy budou termíny s kladnými pravomocemi P, a správně - se záporem.

Představme si novou proměnnou w = 12. Funkce tv= 1/2, rozšířena tak, že u(oo) = 0, jedna ku jedné a konformně mapuje okolí z > R body zq = 00 v okolí |w| wq = 0. Pokud funkce f(z) analytiky v proražené čtvrti R z Zq = oc, pak funkce G(w) = f(l/w) bude analytický ve žlutém okolí 0 wo = 0. Protože pro 2 -> oo bude w-> 0 tedy

Proto G(w) má na místě wq = 0 je singularita stejného typu jako f(z) na místě Zq = 00. Rozšiřme funkci G(w) v Laurentově řadě v punktovaném okolí bodu wo = 0:

Součty na pravé straně (26.5) představují správné a hlavní části rozšíření. Přejděme k proměnné z, suplování w = 1/z:

označující P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d s p a všimnout si toho G(l/z) = f(z), dostaneme

Rozklad (2G.G) se nazývá Laurentův rozvoj funkce f(z) v punktovaném okolí bodu zq= oo. První součet v (2G.6) je volán pravá část, a druhý součet je hlavní část tento rozklad. Protože tyto součty odpovídají správným a hlavním částem rozšíření (26.5), vyhovuje rozšíření (26.6) analogům vět 26.2, 26.3 a 26.6. Následující věta je tedy analogií věty 26.2.

Věta 26.10. Izolovaný singulární bodZq - os (funkce/(G) je odstranitelná tehdy a pouze tehdy, když Laurentova expanze v proraženém okolí tohoto bodu má tvar

t.s. se skládá pouze ze správné části.

Vložíme /(oo) = co. Funkce definovaná řadou (26.7) konvergující v okolí z > R body 2o \u003d oc, tzv analytický v bodě z o = oo. (Všimněte si, že tato definice je ekvivalentní analytickosti funkce G(w) na místě wo = 0.)

Příklad 26.11. Prozkoumejte singulární bod zq = oo funkce

Protože limita je konečná zo = oo je odstranitelný singulární bod funkce f(r). Pokud dáme /(oo) = lim J(z)= 0, tedy f(z) bude

tik v bodě Zo= os. Ukážeme si, jak najít odpovídající rozšíření (26.7). Přejděme k proměnné w = 1 fz. Střídání z= 1 /?e, dostaneme

(poslední rovnost platí v proraženém okolí bodu w0 = 0, ale definici rozšíříme (7(0) = 0). Výsledná funkce má singulární body w =±i, w =-1/3 a na místě Wq = 0 je analytický. Rozšiřující funkce G(w) postupně w(jak bylo provedeno v příkladu 25.7) a dosazením do výsledné mocninné řady w = 1/z lze získat rozšíření (26.7) funkce f(z).

Věta 26.3 pro případ zo= oo bude přepsáno do následující podoby.

Věta 26.12. Izolovaný singulární bod jít = os funkce f(z) je pól právě tehdy, když hlavní část Laurentova rozšíření (26.6) má pouze konečný počet nenulových koeficientů S":

Zde je série běžnou částí a polynom v závorkách je hlavní částí rozšíření. Násobnost pólu v oc je definována jako násobnost pólu wq = 0 funkcí G(z). Je snadné vidět, že násobnost pólu se shoduje s číslem N v (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Úkol. Ukažte, že funkce f(z) =-- -- má v

směřovat zo = oo pořadí pólů 3.

Věta 26.6 o podstatném singulárním bodě je přepsána pro případ zo= os téměř doslovně a podrobně se jím nezabýváme.

Základní pojmy a definice:

Nula analytické funkce f(z) je bod „a“, pro který f(a)=0.

Nula řádu „n“ funkce f(z) je bod „a“, pokud ale fn(a)¹0.

Singulární bod "a" se nazývá izolovaný singulární bod funkce f(z), pokud existuje okolí tohoto bodu, kde nejsou žádné jiné singulární body než "a".

Izolované singulární body jsou tří typů: .

1 odnímatelné speciální body;

3 základní singulární body.

Typ singulárního bodu lze určit na základě chování dané funkce v nalezeném singulárním bodě a také z tvaru Laurentovy řady získané pro funkci v okolí nalezeného singulárního bodu.

Určení typu singulárního bodu chováním funkce v něm.

1. Odnímatelné singulární body.

Izolovaný singulární bod a funkce f(z) se nazývá odstranitelný, pokud existuje konečná limita .

2. Poláci.

Izolovaný singulární bod a funkce f(z) se nazývá pól if .

3. Významné singulární body.

Izolovaný singulární bod a funkce f(z) se nazývá esenciální singulární bod, pokud neexistuje ani konečný, ani nekonečný.

Mezi nulami a póly funkce se odehrává následující vztah.

Aby bod a byl pólem řádu n funkce f(Z), je nutné a postačující, aby tento bod byl nulou řádu n pro funkci .

Pokud n=1 pól se nazývá jednoduchý.

Definice: Izolovaný singulární bod jednohodnotového znaku se nazývá:

a) odstranitelné, pokud chybí hlavní část rozkladu;

b) pól, pokud hlavní část obsahuje konečný počet členů;

c) v podstatě singulární bod, pokud hlavní část obsahuje nekonečný počet členů.

a) V sousedství odstranitelného singulárního bodu má tedy expanze tvar:

vyjadřuje funkci ve všech bodech kružnice |z-a|

Ve středu z=a je rovnost nepravdivá, protože funkce v z=a má nespojitost a pravá strana je spojitá. Pokud se změní hodnota funkce ve středu a vezmeme ji rovnou hodnotě pravé strany, pak bude mezera odstraněna - odtud název - odstranitelná.

b) V okolí pólu řádu m má rozšíření Laurentovy řady tvar:

c) V sousedství jednoduchého pólu

Srážky a vzorce pro jejich výpočet.

Zbytek analytické funkce f(z) v izolovaném singulárním bodě z 0 je komplexní číslo rovné hodnotě integrálu , bráno v kladném směru podél kružnice L se středem v bodě z 0 , který leží v oblasti analytičnosti funkce f(z) (tj. v kruhu 0<|z-z0|

Zbytek funkce f(z) v izolovaném singulárním bodě z 0 je označen symbolem Res f(z 0) nebo Res (f(z); z 0). Tím pádem,

Resf(z0)= . (22.15.1)

Pokud do vzorce (22.15.1) dáme n=-1, dostaneme:

C-1=

nebo Res f(z 0)= C-1,

těch. zbytek funkce f(z) vzhledem k singulárnímu bodu z 0 je roven koeficientu prvního členu se záporným exponentem v expanzi funkce f(z) v Laurentově řadě.

Výpočet srážek.

Pravidelné nebo odnímatelné singulární body. Je zřejmé, že pokud z=z 0 je pravidelný nebo odstranitelný singulární bod funkce f(z), pak Res f(z 0)=0 (v těchto případech není žádná hlavní část v Laurentově rozkladu, takže c-1=0).

Pól. Nechť bod z 0 je jednoduchý pól funkce f(z). Pak má Laurentova řada pro funkci f(z) v okolí bodu z 0 tvar:

Odtud

Přejdeme-li tedy tuto rovnost do limity jako z --z 0 , dostaneme

Rozlišení f(z0)=

V podstatě zvláštní bod. Jestliže bod z 0 je v podstatě singulární bod funkce f(z), pak pro výpočet zbytku funkce v tomto bodě se obvykle přímo určí koeficient c-1 v expanzi funkce v Laurentově řadě.

Klasifikace událostí. Součet, součin událostí, jejich vlastnosti, grafické znázornění.

Akce se dělí na:

1. Náhodné

2. Důvěryhodné

3. Nemožné

Spolehlivý - jedná se o událost, která v těchto podmínkách nutně nastává (po noci následuje ráno).

Náhodný je událost, která může, ale nemusí nastat (absolvování zkoušky).

Nemožná je událost, která za daných podmínek nenastane (vytáhněte zelenou tužku z krabice pouze s červenými).

singulární bod

v matematice.

1) Singulární bod křivky daný rovnicí F ( x, y) = 0, - bod M 0 ( x 0, y 0), ve kterém obě parciální derivace funkce F ( x, y) zmizí:

Pokud navíc nejsou všechny druhé parciální derivace funkce F ( x, y) v bodě M 0 jsou rovny nule, pak se O. t. nazývá dvojitý. Jestliže spolu se zánikem prvních derivací v bodě M 0 zaniknou všechny druhé derivace, ale ne všechny třetí derivace jsou rovny nule, pak se O. t. nazývá trojitá atd. Při studiu struktury křivky v blízkosti dvojitého O. t. hraje důležitou roli znak výrazu

Jestliže Δ > 0, pak se O. t. nazývá izolovaný; například křivka y 2 - x 4 + 4x 2= 0 původ je izolovaný O. t. (viz rýže. 1 ). Pokud Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 počátkem souřadnic je uzel O. t. (viz rýže. 2 ). Pokud Δ = 0, pak je křivka O. t. buď izolovaná, nebo je charakterizována tím, že různé větve křivky mají v tomto bodě společnou tečnu, například: y 2 - x 3= 0 (viz rýže. 3 , a); b) vrchol 2. druhu - různé větve křivky jsou umístěny na stejné straně společné tečny jako křivka (y - x 2)2 - x 5= 0 (viz rýže. 3 , b); c) bod vlastního kontaktu (pro křivku y 2 - x 4= 0 původ je bod vlastního kontaktu; (cm. rýže. 3 , V). Spolu se specifikovanými O. t. existuje mnoho dalších O. t. se zvláštními jmény; například asymptotický bod je vrchol spirály s nekonečným počtem závitů (viz obr. rýže. 4 ), bod zlomu, rohový bod atd.

2) Singulární bod diferenciální rovnice je bod, ve kterém současně zmizí čitatel i jmenovatel pravé strany diferenciální rovnice (viz diferenciální rovnice)

kde P a Q jsou spojitě diferencovatelné funkce. Za předpokladu, že O. t. se nachází v počátku souřadnic a pomocí Taylorova vzorce (viz Taylorův vzorec), můžeme rovnici (1) znázornit ve tvaru

kde P 1 ( x, y) a Q 1 ( x, y) jsou s ohledem na nekonečně malé

Konkrétně, pokud λ 1 ≠ λ 2 a λ 1 λ 2 > 0 nebo λ 1 = λ 2, pak O. t. je uzel; vstupují do něj všechny integrální křivky procházející body dostatečně malého okolí uzlu. Jestliže λ 1 ≠ λ 2 a λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 a β ≠ ​​0, pak O. t. je ohnisko; všechny integrální křivky procházející body v dostatečně malém okolí ohniska jsou spirály s nekonečným počtem závitů v libovolném malém okolí ohniska. Pokud nakonec λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, pak charakter O. t. není určen lineárními členy v rozšířeních P ( x, y) a Q ( x, y), jak tomu bylo ve všech výše uvedených případech; zde O. t. může být ohniskem nebo středem, nebo může mít složitější charakter. V blízkosti středu jsou všechny integrální křivky uzavřené a obsahují střed uvnitř. Takže například bod (0, 0) je uzel pro rovnice na" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; viz rýže. 5 , a) a y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; viz rýže. 5 , b), sedlo pro rovnici y" = -y/x(A 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. rýže. 6 ), zaměření rovnice y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, A2 = 1 + i; cm. rýže. 7 ) a střed rovnice y" = -x/y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. rýže. 8 ).

Pokud x, y) a Q ( x, y) Analytické, okolí nejvyššího řádu se může rozpadnout do oblasti: D 1 - vyplněná integrálními křivkami, obě končící na O. T. (Eliptické oblasti), D 2 - vyplněné integrálními křivkami, jeden konec na O. T. (parabolické oblasti), a D 3 - oblasti ohraničené dvěma integrálními křivkami, které jsou součástí, mezi O. Integrální křivky (viz hyperbolické oblasti typu) jsou umístěny rýže. 9 ). Pokud do O. bodu nevstupují žádné integrální křivky, pak se O. bod nazývá bod stabilního typu. Okolí stabilního O. t. se skládá z uzavřených integrálních křivek obsahujících O. t. uvnitř sebe, mezi nimiž jsou umístěny spirály (viz obr. rýže. 10 ).

Studium O. t. diferenciálních rovnic, tedy v podstatě studium chování rodin integrálních křivek v okolí O. t., představuje jednu z větví kvalitativní teorie diferenciálních rovnic a hraje důležitou roli v aplikacích, zejména v otázkách stability pohybu (práce A. M. Ljapunova a A. Poincarého a dalších).

3) Singulární bod jednohodnotové analytické funkce je bod, ve kterém je porušena analyticita funkce (viz Analytické funkce). Je-li sousedství O. t. A, prostý jiných O. t., pak bod A se nazývá izolovaný O. t. Jestliže A je izolovaný O.T. a existuje konečný O.T. se nazývá odstranitelný O.T. Vhodnou změnou definice funkce v bodě a (nebo předefinováním v tomto bodě, pokud v něm funkce není definována vůbec), konkrétně nastavením F(A)= b, je možné dosáhnout A se stane běžným bodem opravené funkce. Například tečka z= 0 je vyměnitelná O.T. pro funkci f 1 ( z) = F(z), Pokud z≠ 0 a F 1(0),=1, tečka z= 0 je obyčejný bod [ F 1 (z) je v podstatě analytický z= 0]. Li A- izolovaný O. t. a a se nazývá pól nebo nepodstatně singulární bod funkce F(z), pokud Laurentova řada) funguje F(z) v sousedství izolovaného O. t. neobsahuje záporné síly z - a, Pokud A- odstranitelný O. t., obsahuje konečný počet záporných mocnin z - a, Pokud A- pól (v tomto případě pořadí pólu R je definována jako nejvyšší mocnina a - v podstatě singulárního bodu. Například pro funkci

p = 2, 3, …)

tečka z= 0 je pól řádu R, za funkci

tečka z= 0 je esenciální singulární bod.

Na hranici kružnice konvergence mocninné řady musí být alespoň jedna O. t. funkce reprezentované uvnitř této kružnice danou mocninnou řadou. Všechny hraniční body oboru existence jednohodnotové analytické funkce (přirozená hranice) jsou hraničními body této funkce. Tedy všechny body jednotkové kružnice | z| = 1 jsou pro funkci speciální

Pro vícehodnotovou analytickou funkci platí koncept „O. T." obtížnější. Kromě O. t. v jednotlivých listech Riemannovy plochy funkce (tj. O. t. jednohodnotových analytických prvků) je libovolný bod větvení také O. t. funkce. Izolované body rozvětvení Riemannovy plochy (tj. body rozvětvení takové, že v některých jejich sousedstvích nejsou žádné jiné O.t. funkce v žádném listu) jsou klasifikovány následovně. Jestliže a je izolovaný bod větvení konečného řádu a existuje konečné a, nazývá se kritický pól. Li A je izolovaný odbočný bod nekonečného řádu a a se nazývá transcendentální O. t. Všechny ostatní izolované odbočovací body se nazývají kritické v podstatě singulární body. Příklady: tečka z= 0 je obyčejný kritický bod funkce f ( z) = log z a kritický podstatný singulární bod funkce F (z) = protokol o hříchu z.

Jakákoli O. t., kromě odstranitelné, je překážkou analytického pokračování, tj. analytické pokračování podél křivky procházející neodstranitelnou O. t. je nemožné.

Velká sovětská encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. 1969-1978 .

Podívejte se, co je "Special Point" v jiných slovnících:

Body zde. Viz také singulární bod (diferenciální rovnice). Vlastnost nebo singularita v matematice je bod, ve kterém matematický objekt (obvykle funkce) není definován nebo má nepravidelné chování (například bod, ve kterém ... ... Wikipedia

Analytická funkce je bod, ve kterém jsou porušeny podmínky analytičnosti. Je-li analytická funkce f(z) definována v nějakém okolí bodu z0 všude … Fyzická encyklopedie

Analytická funkce je bod, ve kterém je porušena analyticita funkce... Velký encyklopedický slovník

singulární bod- — [Ja.N. Luginskij, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Anglický ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Elektrotechnická témata, základní pojmy EN singulární bod ... Technická příručka překladatele

1) OT analytické funkce f(z) je překážkou analytického pokračování prvku funkce f(z) komplexní proměnné z po nějaké dráze v rovině této proměnné. Nechť je analytická funkce f(z) definována nějakým ... ... Matematická encyklopedie

Analytická funkce, bod, ve kterém je porušena analyticita funkce. * * * SINGULÁRNÍ BOD JEDNOTNÝ BOD analytické funkce, bod, ve kterém je analyticita funkce narušena... encyklopedický slovník

singulární bod- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. jednotný bod vok. singularer Punkt, m rus. singulární bod, fpranc. bodová částice, m; bod singulier, m … Automatikos terminų žodynas

singulární bod- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. jednotný bod vok. singularer Punkt, m rus. singulární bod, fpranc. bod singulier, m … Fizikos terminų žodynas

Taylorovy řady slouží jako efektivní nástroj pro studium funkcí, které jsou analytické v kruhu zol Pro studium funkcí, které jsou analytické v prstencové oblasti, se ukazuje, že je možné sestrojit expanze v kladných a záporných mocninách (z - zq) formy, která zobecňuje Taylorovy expanze. Řada (1), chápaná jako součet dvou řad, se nazývá Laurentova řada. Je zřejmé, že oblast konvergence řady (1) je společnou částí oblastí konvergence každé z řad (2). Pojďme ji najít. Oblast konvergence první řady je kruh, jehož poloměr je určen Cauchyho-Hadamardovým vzorcem Uvnitř kruhu konvergence řada (3) konverguje k analytické funkci a v libovolném kruhu o menším poloměru konverguje absolutně a rovnoměrně. Druhá řada je mocninná řada vzhledem k proměnné. Řada (5) konverguje v rámci svého kruhu konvergence k analytické funkci komplexní proměnné m-*oo a v libovolném kruhu o menším poloměru konverguje absolutně a rovnoměrně, ^go znamená, že oblast konvergence řady (4) je vnějškem kruhu - Jestliže pak existuje společná kruhová oblast řady (1 a4) v řadě konvergence (3) na analytickou funkci. Navíc v každém prstenci konverguje absolutně a rovnoměrně. Příklad 1. Určete oblast konvergence rad Laurentovy řady Izolované singulární body a jejich klasifikaci M a m Uvnitř prstence R fixujme libovolný bod z. Sestrojíme kružnice se středy v bodě r0, jejichž poloměry vyhoví nerovnicím a uvažujeme nový kruh.Podle Cauchyho integrální věty pro násobně souvislou oblast máme Transformujme každý z integrálů v součtu (8) samostatně. Pro všechny body £ podél kružnice 7d* je vztah de součtem rovnoměrně konvergentní řady, ale podél kružnice 7/ dostáváme, že Všimněte si, že integrandy ve vzorcích (10) a (12) jsou analytické funkce v kruhovém kruhu. Proto se podle Cauchyho věty hodnoty odpovídajících integrálů nemění, pokud jsou kruhy 7/r a 7r/ nahrazeny jakoukoli kružnicí. To umožňuje kombinování vzorců (10) a (12). Nahrazením integrálů na pravé straně vzorce (8) jejich výrazy (9) a (11) získáme požadovaný rozvoj. Protože z je libovolný bod kruhu, vyplývá z toho, že řada (14) konverguje k funkci f(z) všude v tomto kruhu a v libovolném kruhu tato řada absolutně konverguje. Dokažme nyní, že rozklad tvaru (6) je jedinečný. Předpokládejme, že dojde k ještě jednomu rozkladu, pak všude uvnitř prstence R máme Na obvodu řada (15) rovnoměrně konverguje. Vynásobte obě části rovnosti (kde m je pevné celé číslo a integrujte oba členy řady členy. Výsledkem je, že se dostaneme na levou stranu a na pravou stranu - Csh. Tedy (4, \u003d St. Protože m je libovolné číslo, poslední rovnost dokazuje jedinečnost rozšíření. Řada (6), jejíž koeficienty f7) se počítají ve vzorcích řady. tato řada s nezápornými mocninami se nazývá regulérní část Laurentovy řady a se zápornou její hlavní částí. Vzorce (7) pro koeficienty Laurentovy řady se v praxi používají jen zřídka, protože zpravidla vyžadují těžkopádné výpočty. Obvykle se, pokud je to možné, používají hotové Taylorovy expanze elementárních funkcí. Na základě jedinečnosti expanze uvažujme libovolnou zákonnou řadu expanzí ve stejných Laurentových řadách. ing Fuiscius / (r) má dva singulární body: Proto existují tři prstencové oblasti se středem v bodě r = 0. v každé z nich je funkce f(r) analytická: a) kruh je vnějškem kruhu (obr. 27). Najdeme Laurentovy expanze funkce /(z) v každé z těchto oblastí. Reprezentujeme /(z) jako součet elementárních zlomků a) Kružnice Transformační vztah (16) takto Pomocí vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti získáme b) Okruh pro funkci -z zůstává v tomto kruhu konvergentní, protože řada (19) pro funkci j^j pro |z| > 1 se liší. Proto transformujeme funkci /(z) následovně: opětovným použitím vzorce (19) dostaneme, že Tato řada konverguje pro. Dosazením rozšíření (18) a (21) do vztahu (20) získáme c) Exteriérnost kružnice pro funkci -z s |z| > 2 divergence a řada (21) pro funkci Představme funkci /(z) v následujícím tvaru: /<*>Pomocí vzorců (18) a (19) získáme OR 1 Tento příklad ukazuje, že pro stejnou funkci f(z) má obecně Laurentův rozvoj jiný druh pro různé prsteny. Příklad 3. Najděte rozšíření 8 Laurentovy řady funkce Laurentova řada Izolované singulární body a jejich klasifikace v prstencové oblasti A Použijeme reprezentaci funkce f(z) v následujícím tvaru: a transformujeme druhý člen Pomocí vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti získáme Dosazením nalezených výrazů do vzorce (22), který máme, platí pro libovolný bod celá rovina z 0, celá rovina z tohoto bodu Ф je 0. out. Tato oblast může být definována následujícím vztahem: je-li funkce f(z) omezena na kružnici, kde M je konstanta, pak Izolované singulární body Bod zo se nazývá izolovaný singulární bod funkce f(z), pokud existuje prstencové okolí bodu (této množině se někdy také říká punktované okolí bodu 20), ve kterém je funkce f(z) jednohodnotová a analytická. V samotném bodě zo funkce buď není definována, nebo není jednohodnotová a analytická. Rozlišují se tři typy singulárních bodů v závislosti na chování funkce /(z) při najetí na bod zo. Izolovaný singulární bod se nazývá: 1) odstranitelný, pokud existuje konečný 2) pmusach, pokud 3) v podstatě singulární bod, pokud funkce f(z) nemá limitu pro Věta 16. Izolovaný singulární bod z0 funkce f(z) je odstranitelný singulární bod právě tehdy, když Laurentova expanze funkce f(z) v okolí bodu zo neobsahuje hlavní část, tj. má tvar Nechť zo je odstranitelný singulární bod. Pak je konečná, následovaná, funkce F (Z) je omezena nepřístupem okolí bodu GO, kočky dáme kvůli nerovnostem Kosha, protože p je zvoleno malé, pak všechny koeficienty se zápornými stupni (z - 20) jsou nulové: nechť Laurenův rozklad funkce /(d) v blízkosti bodu ZQ a (který má 3, typ a obsahuje tedy pouze, je to správná část, typ 2 a obsahuje pouze, 2). 3), a proto je to forma, a proto je to forma Lorovského. Není těžké vidět, že pro z -* z0 má funkce /(r) limitní hodnotu: Věta 17. Izolovaný singulární bod zq funkce f(z) je odstranitelný právě tehdy, když je funkce J(z) ohraničena v nějakém punktovaném okolí bodu zq, a nikoli. Nechť r0 je odstranitelný singulární bod f(r). Za předpokladu, že dostaneme, že funkce f(r) je analytická v nějaké kružnici se středem v bodě tl. Tím je definován název bodu – jednorázový. Věta 18. Izolovaný singulární bod zq funkce f(z) je pólem právě tehdy, když hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v okolí bodu obsahuje konečný (a kladný) počet nenulových členů, tj. má tvar 4 Nechť z0 je pól. Od té doby existuje punktované okolí bodu z0, ve kterém je funkce f(z) analytická a nenulová. Potom je v tomto okolí definována analytická funkce a proto je bod zq odstranitelný singulární bod (nula) funkce nebo kde h(z) je analytická funkce, h(z0) 4 0. Potom je h(zo) 4 0 také analytická, pak je funkce u analytická v okolí bodu zq, a odtud tedy dostáváme tvar (rozklad f2) nyní v okolí bodu z4 bod zo. To znamená, že v tomto okolí je funkce f(z) analytická společně s funkcí. Pro funkci g(z) platí rozšíření, ze kterého je zřejmé, že zq je odstranitelný singulární bod funkce g(z) a existuje. Pak funkce inklinuje k 0 - pól funkce Je zde ještě jeden jednoduchý fakt. Bod Zq je pólem funkce f(z) právě tehdy, když lze funkci g(z) = yy rozšířit na analytickou funkci v okolí bodu zq nastavením g(z0) = 0. Řád pólu funkce f(z) je nulový řád funkce jfa. Věty 16 a 18 implikují následující tvrzení. Věta 19. Izolovaný singulární tenký je v podstatě singulární právě tehdy, když hlavní část Laurentova rozšíření v proraženém okolí tohoto bodu obsahuje nekonečně mnoho nenulových členů. Příklad 5. Singulární bod funkce je zo = 0. Máme izolované singulární body Laurentovy řady a jejich klasifikaci Proto je zo = 0 odstranitelný singulární bod. Rozšíření funkce /(z) v Laurentově řadě v blízkosti nulového bodu obsahuje pouze správnou část: Příklad7. f(z) = Singulární bod funkce f(z) je zq = 0. Uvažujme chování této funkce na reálné a imaginární ose: na reálné ose v x 0, na imaginární ose Proto neexistuje žádná konečná ani nekonečná limita f(z) v z -* 0. Bod r0 = 0 je tedy v podstatě singulární bod funkce f(z). Najděte Laurentův rozvoj funkce f(z) v okolí nulového bodu. Pro jakýkoli komplexní C máme nastaveno We. Pak Laurentova expanze obsahuje nekonečný počet členů se zápornými mocninami z.