схема за разлика
схема за разликае крайна система от алгебрични уравнения, свързана с някакъв диференциален проблем, съдържащ диференциално уравнение и допълнителни условия (например гранични условия и/или начално разпределение). По този начин диференциалните схеми се използват за редуциране на диференциален проблем, който има непрекъснат характер, до крайна система от уравнения, чието числено решение е принципно възможно на компютри. Алгебрични уравнения, свързани с диференциално уравнение, се получават с помощта на диференциалния метод, който отличава теорията на диференциалните схеми от други числени методи за решаване на диференциални проблеми (например проекционни методи, като метода на Галеркин).
Решението на диференциалната схема се нарича приближено решение на диференциалната задача.
Въпреки че формалната дефиниция не налага значителни ограничения върху формата на алгебричните уравнения, на практика има смисъл да се разглеждат само онези схеми, които по някакъв начин съответстват на диференциална задача. Важни концепции на теорията на диференциалните схеми са концепциите за конвергенция, апроксимация, стабилност и консерватизъм.
Приближение
Казва се, че диференциален оператор, дефиниран върху функции, дефинирани в домейна, се апроксимира върху определен клас функции от оператор с крайна разлика, дефиниран върху функции, дефинирани върху решетка, в зависимост от стъпката, ако
Казва се, че приближението има ред, ако
където е константа, която зависи от конкретната функция, но не зависи от стъпката. Нормата, използвана по-горе, може да бъде различна и концепцията за приближение зависи от нейния избор. Често се използва дискретен аналог на нормата за равномерна непрекъснатост:
понякога се използват дискретни аналози на интегрални норми.
Пример. Апроксимация на оператор чрез оператор с крайна разлика
на ограничен интервал е втори ред в класа на гладките функции.
Проблем с крайни разлики приближава диференциален проблем и приближението е от порядък , ако както самото диференциално уравнение, така и граничните (и началните) условия са апроксимирани чрез съответните оператори за крайни разлики и приближенията са от порядък .
Състояние на курант
Условието на Курант (в англоезичната литература англ. Състояние на Курант-Фридрихс-Леви , CFL) - скоростта на разпространение на смущенията в диференциалната задача не трябва да бъде по-малка от тази в диференциалната. Ако това условие не е изпълнено, тогава резултатът от диференциалната схема може да не е склонен да реши диференциалното уравнение. С други думи, в една времева стъпка частицата не трябва да „преминава“ през повече от една клетка.
В случай на вериги, чиито коефициенти не зависят от решението на диференциалното уравнение, условието на Курант следва от стабилността.
Схеми на наклонени мрежи
В тези мрежови схеми, където резултатът е зададен и данните са изместени един спрямо друг. Например точките с резултат са в средата между точките с данни. В някои случаи това позволява използването на по-прости гранични условия.
Вижте също
Връзки
- „Различни схеми“ – глава на Wikibooks за „Различни схеми за хиперболични уравнения“
- Демянов А. Ю., Чижиков Д. В.Неявна хибридна монотонна диференциална схема от втори ред на точност
- В. С. Рябенький, А. Ф. Филипов.За устойчивостта на диференциалните уравнения. - М .: Гостехиздат, 1956.
- С. К. Годунов, В. С. Рябенки.Въведение в теорията на разностните схеми. - М .: Физматгиз, 1962.
- К. И. Бабенко.Основи на числения анализ. - М .: Наука, 1986.
- Березин И.С., Жидков Н.П.Методи за изчисление, - Всякакво издание.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобелков Г.М.Числени методи, - Всякакво издание.
- Г. И. Марчук.Методи на изчислителната математика. - М .: Наука, 1977.
Бележки
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво е "Схема за разлика" в други речници:
Система от диференциални уравнения, апроксимираща диференциално уравнение и допълнителни (начални, гранични и др.) условия. Апроксимация на оригиналната диференциална задача Р. с. това е един от начините за приблизителна дискретизация на първоначалния проблем... Математическа енциклопедия
разностна схема с крайни елементи- метод на крайните елементи - [A.S. Goldberg. Английско-руски енергиен речник. 2006] Теми Енергия като цяло Синоними Метод на крайните елементи EN График на разликата в крайния обем …
Разликова схема е крайна система от алгебрични уравнения, свързана с всеки диференциален проблем, съдържащ диференциално уравнение и допълнителни условия (например гранични условия и / или начален ... ... Wikipedia
схема за изчисляване на крайни разлики, базирана на контролни обеми- (напр. пренос на топлина и маса, топлопроводимост) [A.S. Goldberg. Английско-руски енергиен речник. 2006] Енергийни теми като цяло EN контролен обем базиран график с крайна разлика … Наръчник за технически преводач
Схема: графичен документ; представяне, изображение, представяне на нещо в най-общ вид, опростено (например схема на доклад); електронно устройство, съдържащо много компоненти (интегрална схема). Графичен документ ... ... Wikipedia
Диференциална схема, базирана на вариационна задача, съответстваща на гранична задача за диференциално уравнение. Основната идея за изграждане на R. in. с. е, че със специален избор на координатни функции в метода на Риц ... ... Математическа енциклопедия
Числени методи за решаване Методи за решаване на уравненията на Герболпх. тип, базиран на изчислителни алгоритми. Различни математически моделите в много случаи водят до хиперболични диференциални уравнения. Тип. Такива уравнения имат точна аалитична ... ... Математическа енциклопедия
Клон от изчислителната математика, който изучава методи за приблизително решаване на диференциални уравнения чрез замяната им с уравнения с крайни разлики (диференциални схеми). R. s. т. изучава методи за конструиране на диференциални схеми, ... ... Математическа енциклопедия
Числените методи за решаване на частични диференциални уравнения са приближени методи за решаване, в резултат на които решението на задачата се представя чрез таблица с числа. Точно решения (под формата на изрични формули, серии и т.н.) може да се вгради само в редки ... ... Математическа енциклопедия
Методи за решаване на задачи от газовата динамика на базата на изчислителни алгоритми. Нека разгледаме основните аспекти на теорията на числените методи за решаване на проблеми с газовата динамика, записвайки уравненията на газовата динамика под формата на закони за запазване в инерционни ... ... Математическа енциклопедия електронна книга
Използвайки шаблон за всеки вътрешен възел на зоната на решение, топлинното уравнение се апроксимира
От тук намираме:
Използвайки началните и граничните условия, стойностите на мрежовата функция се намират във всички възли на ниво нулево време.
След това, използвайки съотношенията
стойностите на тези функции се намират във всички вътрешни възли на първото времево ниво, след което намираме стойността в граничните възли
В резултат на това намираме стойността на функциите във всички възли на първото времево ниво. След това, използвайки тези отношения, намираме всички други стойности и т.н.
В разглежданата схема на разликата стойностите на желаната функция на следващото времево ниво се намират директно, изрично с помощта на формулата
Следователно разглежданата схема за разлика, използваща този шаблон, се извиква явна схема за разлика . Точността му е на ниво.
Тази схема за разлика е лесна за използване, но има значителен недостатък. Оказва се, че изричната схема за разлика има стабилно решение само в случай че, ако условието е изпълнено :
Изрична схема за разлика е условно стабилен . Ако условието не е изпълнено, тогава малки грешки в изчисленията, например, свързани със закръгляване на компютърни данни, водят до рязка промяна в решението. Разтворът става неизползваем. Това условие налага много строги ограничения върху времевата стъпка, което може да се окаже неприемливо поради значително увеличаване на времето за изчисление за решаване на този проблем.
Помислете за схема на разлика, използвайки различен модел
Метод 36
Неявна диференциална схема за топлинното уравнение.
Заместете в топлинното уравнение:
Това съотношение се записва за всеки вътрешен възел на ниво време и се допълва от две съотношения, които определят стойностите в граничните възли. Резултатът е система от уравнения за определяне на неизвестните стойности на функцията на ниво време.
Схемата за решаване на проблема е следната:
Използвайки началните и граничните условия, стойността на функцията се намира на ниво нулево време. След това, използвайки тези отношения и гранични условия, се конструира система от линейни алгебрични уравнения, за да се намери стойността на функцията на първото времево ниво, след което системата се изгражда отново с помощта на тези отношения и стойностите се намират на ниво второ време и т.н.
Разлика от изричната схема- стойностите на следващото времево ниво не се изчисляват директно с помощта на готова формула, а се намират чрез решаване на система от уравнения, т.е. стойностите на неизвестните се намират имплицитно чрез решаване на SLAE. Следователно различната схема се нарича имплицитна. За разлика от явния, неявният е абсолютно стабилен.
Тема #9
Проблеми с оптимизацията.
Тези проблеми са сред най-важните проблеми в приложната математика. Оптимизация означава избор на най-добрия вариант от всички възможни решения на даден проблем. За да направите това, е необходимо да формулирате решавания проблем като математически, като по-добре или по-лошо придадете количествено значение на понятията. Обикновено в процеса на решаване е необходимо да се намерят оптимизирани стойности на параметрите. Тези опции се наричат дизайн. И броят на проектните параметри определя измерение на задачата.
Решението се определя количествено с помощта на някаква функция, която зависи от проектните параметри. Тази функция се нарича мишена . Той е изграден по такъв начин, че най-оптималната стойност да съответства на максималната (минимума).
- целева функция.
Най-простите случаи са, когато целевата функция зависи от един параметър и се задава с явна формула. Може да има няколко целеви функции.
Например, когато се проектира самолет, се изисква едновременно да се осигури максимална надеждност, минимално тегло и цена и др. В такива случаи влезте приоритетна система . На всяка целева функция се присвоява определен целеви множител, в резултат на което се получава обобщена целева функция (компромисна функция).
Обикновено оптималното решение е ограничено от редица условия, свързани с физическата функция на проблема. Тези условия могат да бъдат под формата на равенства или неравенства
Теорията и методите за решаване на оптимизационни проблеми при наличие на ограничения са обект на изследване в един от разделите на приложната математика - математическо програмиране.
Ако целевата функция е линейна по отношение на проектните параметри и ограниченията, наложени върху параметрите, също са линейни, тогава проблем с линейно програмиране . Разгледайте методите за решаване на едномерен оптимизационен проблем.
Необходимо е да се намерят стойности, при които целевата функция има максимална стойност. Ако целевата функция е дадена аналитично и може да се намери израз за нейните производни, тогава оптималното решение ще бъде постигнато или в краищата на отсечката, или в точки, в които производната се равнява на нула. Това са критичните точки и . Необходимо е да се намерят стойностите на целевата функция във всички критични точки и да се избере максимумът.
В общия случай се използват различни методи за търсене за намиране на решение. В резултат на това сегментът, съдържащ оптималното решение, се стеснява.
Нека да разгледаме някои от методите за търсене. Да приемем, че целевата функция има един максимум на интервала. В този случай, разделяйки се по възлови точки, чийто брой е , целевата функция се изчислява в тези възлови точки. Да предположим, че максималната стойност на целевата функция ще бъде във възел, тогава можем да приемем, че оптималното решение е на интервала. В резултат на това сегментът, съдържащ оптималното решение, се стеснява. Полученият нов сегмент отново се разделя на части и т.н. С всяко разделяне сегментът, съдържащ оптималното решение, се намалява с фактор.
Да приемем, че са произведени стесняващи стъпала. Тогава първоначалният сегмент се намалява с коефициент.
Тоест правете докато бягате (*)
В този случай се изчислява целевата функция.
Изисква се да се намери такава стойност, че изразът (*) да се получи с най-малко
брой изчисления.
Метод 37
метод на разделяне на половина.
Помислете за метода за търсене на. Нарича се метод на половин разделяне, тъй като на всяка стъпка сегментът, съдържащ оптималното решение, се разполовява.
Ефективността на търсенето може да бъде увеличена чрез специален избор на точки, при които целевата функция се изчислява на определена стъпка на стесняване.
Метод 38
Метод на златното сечение.
Един от ефективните методи е методът на златното сечение. Златното сечение на отсечка е точка, за която условието е изпълнено
Има две такива точки: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
Отсечката е разделена на точки и след това има точка, в която целевата функция е максимална. В резултат на това се намира модифициран сегмент с дължина 0,618 ( - ).
Една стойност на златното сечение за стеснения сегмент вече е известна, следователно при всяка следваща стъпка се изисква изчисляването на целевата функция само в една точка (втората точка на златното сечение).
Метод 39
Метод на координатно изкачване (слизане).
Нека да преминем към разглеждането на проблема за оптимизация в случая, когато целевата функция зависи от няколко стойности на параметъра. Най-простият метод за търсене е методът на координатно изкачване (спускане).
Раздел 10. Числено решаване на частични диференциални уравнения
Разностни схеми за уравнения от елиптичен тип |
|
Различни гранични задачи и апроксимация на гранични условия |
|
Построяване на диференциална схема в случай на задача на Дирихле за уравнението на Поасон |
|
Метод на матрично почистване |
|
Итеративен метод за решаване на диференциална схема за проблема на Дирихле |
|
Уравнение от параболичен тип. Явни и неявни методи с крайни разлики |
|
Методи за почистване за уравнение от параболичен тип |
|
Предметен индекс |
Схеми за разлика. Основни понятия
Нека D е някаква област на промяна на независими променливи x, y, ограничена от контур. Казва се, че в областта D е дадено линейно диференциално уравнение от втори ред за функцията U(x, y), ако за която и да е точка от областта D е валидна връзката
∂2 U |
∂2 U |
∂2 U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)U = f(x, y), |
|||||||||||
където a(x, y), b(x, y), . . . - коефициенти, f(x, y) - свободен член на уравнението. Тези функции са известни и обикновено се считат за дефинирани в затворена област D = D + .
Графиката на решението е повърхност в пространството Oxyz.
Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропускане на индекс
Означаваме δ(x, y) = b2 − ac. Уравнението L(U) = f се нарича елиптично, параболично или |
хиперболичен в D, ако условията δ(x, y)< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 за |
всички (x, y) D. |
В зависимост от вида на диференциалното уравнение, граничните начални стойности се задават по различен начин. |
(10.1): |
Уравнение на Поасон (уравнение от елиптичен тип) |
∂2 U ∂2 U |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропускане на индекс |
Топлинно уравнение (уравнение от параболичен тип)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Вълново уравнение (уравнение от хиперболичен тип)
∂2 U ∂2 U
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Сходимост, апроксимация и устойчивост на разностни схеми
Нека U е решението на диференциалното уравнение
даден в D. Да разгледаме някакво множество Dh = (Mh ), състоящо се от изолирани точки Mh, принадлежащи на затворената област D = D + . Броят на точките в Дh ще се характеризира със стойността h; колкото по-малко е h, толкова по-голям ще бъде броят на точките в Dh. Множеството Dh се нарича мрежа, а точките Mh Dh се наричат възли на мрежата. Функция, дефинирана във възли, се нарича мрежова функция. Означаваме с U пространството на функциите V (x, y), непрекъснати в D. Означаваме с Uh пространството, образувано от набора от мрежови функции Vh (x, y), дефинирани върху Дh . При метода на мрежата пространството U се заменя с пространството Uh.
Нека U(x, y) е точното решение на уравнението ((10.2 )) и U(x, y) принадлежи на U. Нека поставим задачата за намиране на стойностите Uh (x, y). Тези стойности заедно образуват таблица, в която броят на стойностите
Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропускане на индекс
е равен на броя точки в Dh. Рядко е възможно да се реши точен проблем. Като правило могат да се изчислят някои стойности на мрежата U(h), спрямо които може да се приеме, че
U(h) ≈ Uh(x, y).
Величините U(h) се наричат приблизителни стойности на мрежата на решението U(x, y). За изчисляването им се изгражда система от числени уравнения, които ще запишем във формата
Lh (U(h)) = fh, |
||||||||||||||
има оператор за разлика, |
съответстващ на оператора |
|||||||||||||
се определя от F по същия начин като U |
се формира съгласно U. Формула (10.3) ще се нарича разлика |
|||||||||||||
схема. Нека нормите k · kU h и k · kF h съответно бъдат въведени в линейните пространства Uh и Fh , които са мрежови аналози на нормите k · kU и k · kF в оригиналните пространства. Ще кажем, че диференциалната схема (10.3) е конвергентна, ако при h → 0 условието
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Ако условието е изпълнено
kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,
където c е константа, независима от h и s > 0, тогава казваме, че има конвергенция със скорост от порядъка на s по отношение на h.
Казва се, че диференциалната схема (10.3) приближава задача (10.2) върху решението U(x, y), ако
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) и |
δf(h) F h → 0 като h → 0. |
|
Назад Първи Предишен Следващ Последен Пропускане на индекс
Стойността δf(h) се нарича апроксимационна грешка или невисцидна диференциална схема. Ако
δf (h) F h 6 Mh σ , където M е константа, независима от h и σ > 0, тогава казваме, че е дадена диференциална схема ( 10.3 ) върху решението U(x, y) с грешка от порядъка на σ по отношение на h.
Диференциална схема (3) се нарича стабилна, ако съществува h0 > 0, така че за всички h< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
Различната схема (10.3) има единствено решение; |
||||
U (h) Ъъъ |
f(h) F h , където M е константа, независима от h и f(h) . |
|||
С други думи, една диференциална схема е стабилна, ако нейното решение зависи непрекъснато от входните данни. Стабилността характеризира чувствителността на схемата към различни видове грешки, тя е вътрешно свойство на проблема с разликите и това свойство не е пряко свързано с първоначалния диференциален проблем, за разлика от конвергенцията и апроксимацията. Съществува връзка между понятията конвергенция, апроксимация и стабилност. Състои се в това, че сходимостта следва от апроксимацията и устойчивостта.
Теорема 1 Нека разликата схема L h (U h (x, y)) = f (h) приближава проблема L(U) = f върху решението U(x, y) с ред s по отношение на h и стабилен. Тогава тази схема ще се сближи и редът на нейното сближаване ще съвпадне с реда на сближаване, т.е. оценката ще бъде справедлива
Uh (x, y) − Uh U h 6 khs , |
||
където k е константа, независима от h.
доказателство По дефиниция на приближението имаме
Втората част на книгата е посветена на конструирането и изследването на диференциални схеми за обикновени диференциални уравнения. В същото време въвеждаме основните понятия за конвергенция, апроксимация и устойчивост в теорията на разностните схеми, които са от общ характер. Запознаването с тези понятия, получени във връзка с обикновените диференциални уравнения, ще позволи в бъдеще, когато се изучават диференциални схеми за частични диференциални уравнения, да се съсредоточи върху многобройните характеристики и трудности, характерни за този много разнообразен клас проблеми.
ГЛАВА 4. ЕЛЕМЕНТАРНИ ПРИМЕРИ ЗА РАЗЛИЧНИ СХЕМИ
В тази глава ще разгледаме уводни примери за диференциални схеми, предназначени само за предварително запознаване с основните понятия на теорията.
§ 8. Концепцията за реда на точност и приближение
1. Ред на точност на диференциалната схема.
Този раздел е посветен на въпроса за сходимостта на решенията на диференциалните уравнения, когато мрежата е прецизирана до решенията на диференциалните уравнения, които те апроксимират. Тук се ограничаваме до изследването на две разностни схеми за численото решение на задачата
Нека започнем с най-простата диференциална схема, базирана на използването на диференциалното уравнение
Нека разделим сегмента на стъпки с дължина h. Удобно е да изберете къде N е цяло число. Точките на разделяне са номерирани отляво надясно, така че. Стойността и, получена от диференциалната схема в точката, ще бъде означена с Нека зададем началната стойност. Позволявам . Уравнението на разликата (2) предполага връзката
откъдето намираме решението на уравнение (2) при началното условие:
Точното решение на задача (1) има вида . Приема стойността в точката
Нека сега намерим оценка за грешката в приблизителното решение (3). Тази точкова грешка ще бъде
Интересуваме се как намалява с увеличаване на броя на разделителните точки или, което е същото, с намаляване на стъпката на диференциалната мрежа. За да разберем това, нека го поставим във формуляра
Така равенството (3) приема формата
грешка (5) клони към нула при и стойността на грешката е от порядъка на първата степен на стъпката.
На тази основа казваме, че диференциалната схема има първи ред на точност (да не се бърка с реда на диференциалното уравнение, дефинирано в § 1).
Сега решаваме задача (1) с помощта на диференциалното уравнение
Това не е толкова просто, колкото може да изглежда на пръв поглед. Въпросът е, че разглежданата схема е диференциално уравнение от втори ред, т.е. изисква да бъдат зададени две начални условия, докато интегрируемото уравнение (1) е уравнение от първи ред и за него посочваме само . Естествено е да се сложи и схемата на разликата.
Не е ясно как да ги питаме. За да разберем това, използваме изричната форма на решаване на уравнение (7) (вижте § 3 формули):
Разширенията (9) съгласно формулата на Тейлър на корените на характеристичното уравнение ни позволяват да дадем приблизителни представяния за Нека проведем подробно извеждането на такова представяне -
От тогава
Няма да извършваме напълно подобно изчисление за , но незабавно напишете резултата:
Замествайки приблизителните изрази за във формула (8), получаваме
Ще получим всички по-нататъшни заключения, като изучаваме тази формула.
Обърнете внимание, че ако коефициентът клони към крайната граница b, тогава първият член от дясната страна на равенство (12) клони към желаното решение на задача (1).
конфигурация на възли, стойностите на функцията на мрежата, в която определят формата на уравненията на разликата във вътрешни (не гранични) точки на мрежата. По правило във фигури с изображения на шаблони точките, участващи в изчисляването на производните, са свързани с линии.Схема на Courant-Isakson-Ries(КИР), което понякога се свързва и с името на С.К. Годунов, оказва се, 
. Редът му на приближение. Схемата KIR е условно стабилна, т.е. при условието на Курант 
. Нека представим диференциалните уравнения за схемата на Courant-Isakson-Ries във вътрешните точки на изчислителната област:
Тези схеми, които също имат името upwind difference scheme (в англоезичната литература - upwind) могат да бъдат записани като
Предимството им е в по-точното отчитане на областта на зависимостта на решението. Ако въведем нотацията
тогава и двете схеми могат да бъдат записани в следните форми:
(поточна форма на диференциалното уравнение);
(тук терминът с втората разлика е изрично разграничен, което придава устойчивост на схемата);
(уравнение в крайни нараствания).
Помислете също метод на неопределените коефициентиза конструиране на диференциална схема, десния ъгъл от първия ред на точност за транспортното уравнение
Схемата може да бъде представена като
Схемата на Courant-Isakson-Ries е тясно свързана с числените методи на характеристиките. Даваме кратко описание на идеята за такива методи.
Последните две получени схеми (за различни знаци на скоростта на трансфер) могат да се интерпретират по следния начин. Нека изградим характеристика, минаваща през възела (t n + 1, x m), чиято стойност трябва да бъде определена, и пресичаща слоя t n в точката 
. За категоричност приемаме, че скоростта на пренос c е положителна.
След като извършихме линейна интерполация между възлите x m - 1 и x m на долния времеви слой, получаваме
След това прехвърляме стойността u n (x") по протежение на характеристиката без промяна към горния слой t n + 1, т.е. задаваме 
. Естествено е последната стойност да се разглежда като приблизително решение хомогенно уравнениетрансфер. В такъв случай
или, преминавайки от числото на Курант отново към параметрите на мрежата,
тези. По друг начин стигнахме до добре познатата схема "ляв ъгъл", която е стабилна при . Когато точката на пресичане на характеристиката, излизаща от възела (t n + 1, x m, с n -тия слой във времето, се намира вляво от възела (t n, x m - 1). По този начин, за да се намери решение , не се използва интерполация, а екстраполация, която се оказва нестабилна .
Нестабилността на схемата "десен ъгъл" при c > 0 също е очевидна. За да се докаже това, може да се използва или спектралният критерий, или условието на Курант, Фридрихс и Леви. Подобно разсъждение може да се направи за случая c< 0 и схемы "правый уголок".
нестабилен четириточкова схемаполучени когато 
, неговият ред на приближение е . Мрежовите уравнения за диференциалната схема ще имат следната форма:
Схема на Лакс-Вендрофвъзниква, когато 
. Редът на приближаване на схемата на Лакс-Вендроф е 
. Схемата е стабилна при условието на Курант .
Тази схема може да бъде получена или чрез метода на неопределените коефициенти, или чрез по-точно отчитане на водещия член на апроксимационната грешка. Нека разгледаме по-подробно процеса на извеждане на схемата на Лакс-Вендроф. Извършвайки изследването на предишната четириточкова схема за приближение (и това изследване е доста елементарно и се свежда до разлагането на проекционната функция върху мрежата на точното решение на диференциалната задача в серия на Тейлър), получаваме за основен термин на грешката
При извеждането на израза за основния член на апроксимационната грешка е използвано следствие от оригиналното диференциално транспортно уравнение
Което се получава чрез диференциране на първоначалното уравнение (3.3) първо по отношение на времето t, след това по отношение на координатата x и изваждане на едно от получените съотношения от другото.
След това замяна втора производнавъв втория член от дясната страна до O(h 2) , получаваме нова диференциална схема, приближаваща оригиналната диференциално уравнениес прецизност . Уравненията на мрежата за схемата на Лакс-Вендроф във вътрешните възли на изчислителните мрежи са
Неявна схема от шест точкивъзниква при q = 0; с неговия ред на приближение , при .
