20-е изд. - М.: 2010.- 416 с.

В книге изложены основы механики материальной точки, системы материальных точек и твердого тела в объеме, соответствующем программам технических вузов. Приведено много примеров и задач, решения которых сопровождаются соответствующими методическими указаниями. Для студентов очных и заочных технических вузов.

Формат: pdf

Размер: 14 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к тринадцатому изданию 3
Введение 5
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава I. Основные понятия исходные положения статей 9
41. Абсолютно твердое тело; сила. Задачи статики 9
12. Исходные положения статики » 11
$ 3. Связи и их реакции 15
Глава II. Сложение сил. Система сходящихся сил 18
§4. Геометрически! Способ сложения сил. Равнодействующая сходящихся сил, разложение сил 18
f 5. Проекции силы на ось и на плоскость, Аналитический способ задания и сложения сил 20
16. Равновесие системы сходящихся сил_ . . . 23
17. Решение задач статики. 25
Глава III. Момент силы относительно центра. Пара сил 31
i 8. Момент силы относительно центра (или точки) 31
| 9. Пара сил. Момент пары 33
f 10*. Теоремы об эквивалентности и о сложении пар 35
Глава IV. Приведение системы сил к центру. Условия равновесия... 37
f 11. Теорема о параллельном переносе силы 37
112. Приведение системы сил к данному центру - . , 38
§ 13. Условия равновесия системы сил. Теорема о моменте равнодействующей 40
Глава V. Плоская система сил 41
§ 14. Алгебраические моменты силы и пары 41
115. Приведение плоской системы сил к простейшему виду.... 44
§ 16. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил. 46
§ 17. Решение задач 48
118. Равновесие систем тел 63
§ 19*. Статически определимые н статически неопределимые системы тел (конструкции) 56"
f 20*. Определение внутренних усилий. 57
§ 21*. Распределенные силы 58
Э22*. Расчет плоских ферм 61
Глава VI. Трение 64
! 23. Законы трения скольжения 64
: 24. Реакции шероховатых связей. Угол трения 66
: 25. Равновесие при наличии трения 66
(26*. Трение нити о цилиндрическую поверхность 69
1 27*. Трение качения 71
Глава VII. Пространственная система сил 72
§28. Момент силы относительно оси. Вычисление главного вектора
и главного момента системы сил 72
§ 29*. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду 77
§30. Равновесие произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил
Глава VIII. Центр тяжести 86
§31. Центр параллельных сил 86
§ 32. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела 88
§ 33. Координаты центров тяжести однородных тел 89
§ 34. Способы определения координат центров тяжести тел. 90
§ 35. Центры тяжести некоторых однородных тел 93
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава IX. Кинематика точки 95
§ 36. Введение в кинематику 95
§ 37. Способы задания движения точки. . 96
§38. Вектор скорости точки,. 99
§ 39. Вектор "ткорения точки 100
§40. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения 102
§41. Решение задач кинематики точки 103
§ 42. Оси естественного трехгранника. Числовое значение скорости 107
§ 43. Касательное и нормальное ускорения точки 108
§44. Некоторые частные случаи движения точки ПО
§45. Графики движения, скорости и ускорения точки 112
§ 46. Решение задач < 114
§47*. Скорость и ускорение точки в полярных координатах 116
Глава X. Поступательное и вращательное движения твердого тела. . 117
§48. Поступательное движение 117
§ 49. Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение 119
§50. Равномерное и равнопеременное вращения 121
§51. Скорости и ускорения точек вращающегося тела 122
Глава XI. Плоскопараллельное движение твердого тела 127
§52. Уравнения плоскопараллельного движения (движения плоской фигуры). Разложение движения на поступательное и вращательное 127
§53*. Определение траекторий точек плоской фигуры 129
§54. Определение скоростей точек плоской фигуры 130
§ 55. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела 131
§ 56. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Понятие о центроидах 132
§57. Решение задач 136
§58*. Определение ускорений точек плоской фигуры 140
§59*. Мгновенный центр ускорений "*«*
Глава XII*. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твердого тела 147
§ 60. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. 147
§61. Кинематические уравнения Эйлера 149
§62. Скорости и ускорения точек тела 150
§ 63. Общий случай движения свободного твердого тела 153
Глава XIII. Сложное движение точки 155
§ 64. Относительное, переносное и абсолютное движения 155
§ 65, Теорема о сложении скоростей » 156
§66. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолнса) 160
§67. Решение задач 16*
Глава XIV*. Сложное движение твердого тела 169
§68. Сложение поступательных движений 169
§69. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей 169
§70. Цилиндрические зубчатые передачи 172
§ 71. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей 174
§72. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение 176
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ДИНАМИКА ТОЧКИ
Глава XV: Введение в динамику. Законы динамики 180
§ 73. Основные понятия и определения 180
§ 74. Законы динамики. Задачи динамики материальной точки 181
§ 75. Системы единиц 183
§76. Основные виды сил 184
Глава XVI. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки 186
§ 77. Дифференциальные уравнения, движения материальной точки №6
§ 78. Решение первой задачи динамики (определение сил по заданному движению) 187
§ 79. Решение основной задачи динамики при прямолинейном движении точки 189
§ 80. Примеры решения задач 191
§81*. Падение тела в сопротивляющейся среде (в воздухе) 196
§82. Решение основной задачи динамики, при криволинейном движении точки 197
Глава XVII. Общие теоремы динамики точки 201
§83. Количество движения точки. Импульс силы 201
§ S4. Теорема об изменении количества движения точки 202
§ 85. Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов) " 204
§86*. Движение под действием центральной силы. Закон площадей.. 266
§ 8-7. Работа силы. Мощность 208
§88. Примеры вычисления работы 210
§89. Теорема об изменении кинетической энергии точки. ". . . 213J
Глава XVIII. Несвободное и относительнее движения точки 219
§90. Несвободное движение точки. 219
§91. Относительнбе движение точки 223
§ 92. Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел... 227
§ 93*. Отклонение падающей точки от вертикали вследствие вращения Земли " 230
Глава XIX. Прямолинейные колебания точки. . . 232
§ 94. Свободные колебания без учета сил сопротивления 232
§ 95. Свободные колебания при вязком сопротивлении (затухающие колебания) 238
§96. Вынужденные колебания. Резонаяс 241
Глава XX*. Движение тела в поле земного тяготения 250
§ 97. Движение брошенного тела в поле тяготения Земли " 250
§98. Искусственные спутники Земли. Эллиптические траектории. 254
§ 99. Понятие о невесомости."Местные системы отсчета 257
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Г я а в а XXI. Введение в динамику системы. Моменты инерции. 263
§ 100. Механическая система. Силы внешние ж внутренние 263
§ 101. Масса системы. Центр масс 264
§ 102. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции. . 265
$ 103. Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса 268
§ 104*. Центробежные моменты инерции. Понятия о главных осях инерции тела 269
$ 105*. Момент инерции тела относительно произвольной оси. 271
Глава XXII. Теорема о движении центра масс системы 273
$ 106. Дифференциальные уравнения движения системы 273
§ 107. Теорема о движении центра масс 274
$ 108. Закон сохранения движения центра масс 276
§ 109. Решение задач 277
Глава XXIII. Теорема об изменении количества движимая системы. . 280
$ НО. Количество движения системы 280
§111. Теорема об изменении количества движения 281
§ 112. Закон сохранения количества движения 282
$ 113*. Приложение теоремы к движению жидкости (газа) 284
§ 114*. Тело переменной массы. Движение ракеты 287
Гдава XXIV. Теорема об изменении момента количеств движения системы 290
§ 115. Главный момент количеств движения системы 290
$ 116. Теорема об изменения главного момента количеств движения системы (теорема моментов) 292
$117. Закон сохранения главного момента количеств движения. . 294
$ 118. Решение задач 295
$ 119*. Приложение теоремы моментов к движению жидкости (газа) 298
§ 120. Условия равновесия механической системы 300
Глава XXV. Теорема об изменении кинетической энергии системы. . 301.
§ 121. Кинетическая энергия системы 301
$122. Некоторые случаи вычисления работы 305
$ 123. Теорема об изменении кинетической энергии системы 307
$ 124. Решение задач 310
$ 125*. Смешанные задачи "314
$ 126. Потенциальное силовое поле и силовая функция 317
$ 127, Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии 320
Глава XXVI. "Приложение общих теорем к динамике твердого тела 323
$ 12&. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси ". 323"
$ 129. Физический маятник. Экспериментальное определение моментов инерции. 326
$130. Плоскопаралдедыюе движение твердого тела 328
$ 131*. Элементарная теория гироскопа 334
$ 132*. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твердого тела 340
Глава XXVII. Принцип Даламбера 344
$ 133. Принцип Даламбера для точки и механической системы. . 344
$ 134. Главный вектор и главный момент сил инерции 346
$ 135. Решение задач 348
$136*, Дидемяческне реакции, действующие на ось вращающегося тела. Уравновешшвяпне вращающихся тел 352
Глава XXVIII. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики 357
§ 137. Классификация связей 357
§ 138. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. . 358
§ 139. Принцип возможных перемещений 360
§ 140. Решение задач 362
§ 141. Общее уравнение динамики 367
Глава XXIX. Условия равновесия и уравнения движения системы в обобщенных координатах 369
§ 142. Обобщенные координаты и обобщенные скорости. . . 369
§ 143. Обобщенные силы 371
§ 144. Условия равновесия системы в обобщенных координатах 375
§ 145. Уравнения Лагранжа 376
§ 146. Решение задач 379
Глава XXX*. Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия 387
§ 147. Понятие об устойчивости равновесия 387
§ 148. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы 389
§ 149. Малые затухающие и вынужденные колебания системы с одной степенью свободы 392
§ 150. Малые сводные колебания системы с двумя степенями свободы 394
Глава XXXI. Элементарная теория удара 396
§ 151. Основное уравнение теории удара 396
§ 152. Общие теоремы теории удара 397
§ 153. Коэффициент восстановления при ударе 399
§ 154. Удар тела о неподвижную преграду 400
§ 155. Прямой центральный удар двух тел (удар шаров) 401
§ 156. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе двух тел. Теорема Карно 403
§ 157*. Удар по вращающемуся телу. Центр удара 405
Предметный указатель 409

В рамках любого учебного курса изучение физики начинается с механики. Не с теоретической, не с прикладной и не вычислительной, а со старой доброй классической механики. Эту механику еще называют механикой Ньютона. По легенде, ученый гулял по саду, увидел, как падает яблоко, и именно это явление подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения. Конечно, закон существовал всегда, а Ньютон лишь придал ему понятную для людей форму, но его заслуга – бесценна. В данной статье мы не будем расписывать законы Ньютоновской механики максимально подробно, но изложим основы, базовые знания, определения и формулы, которые всегда могут сыграть Вам на руку.

Механика – раздел физики, наука, изучающая движение материальных тел и взаимодействия между ними.

Само слово имеет греческое происхождение и переводится как «искусство построения машин» . Но до построения машин нам еще как до Луны, поэтому пойдем по стопам наших предков, и будем изучать движение камней, брошенных под углом к горизонту, и яблок, падающих на головы с высоты h.

Почему изучение физики начинается именно с механики? Потому что это совершенно естественно, не с термодинамического же равновесия его начинать?!

Механика – одна из старейших наук, и исторически изучение физики началось именно с основ механики. Помещенные в рамки времени и пространства, люди, по сути, никак не могли начать с чего-то другого, при всем желании. Движущиеся тела – первое, на что мы обращаем свое внимание.

Что такое движение?

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Именно после этого определения мы совершенно естественно приходим к понятию системы отсчета. Изменение положения тел в пространстве относительно друг друга. Ключевые слова здесь: относительно друг друга . Ведь пассажир в машине движется относительно стоящего на обочине человека с определенной скоростью, и покоится относительно своего соседа на сиденье рядом, и движется с какой-то другой скоростью относительно пассажира в машине, которая их обгоняет.

Именно поэтому, для того, чтобы нормально измерять параметры движущихся объектов и не запутаться, нам нужна система отсчета - жестко связанные между собой тело отсчета, система координат и часов. Например, земля движется вокруг солнца в гелиоцентрической системе отсчета. В быту практически все свои измерения мы проводим в геоцентрической системе отсчета, связанной с Землей. Земля – тело отсчета, относительно которого движутся машины, самолеты, люди, животные.

Механика, как наука, имеет свою задачу. Задача механики – в любой момент времени знать положение тела в пространстве. Иными словами, механика строит математическое описание движения и находит связи между физическими величинами, его характеризующими.

Для того, чтобы двигаться далее, нам понадобится понятие “материальная точка ”. Говорят, физика – точная наука, но физикам известно, сколько приближений и допущений приходится делать, чтобы согласовать эту самую точность. Никто никогда не видел материальной точки и не нюхал идеального газа, но они есть! С ними просто гораздо легче жить.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого в контексте данной задачи можно пренебречь.

Разделы классической механики

Механика состоит из нескольких разделов

Кинематика
Динамика
Статика

Кинематика с физической точки зрения изучает, как именно тело движется. Другими словами, этот раздел занимается количественными характеристиками движения. Найти скорость, путь – типичные задачи кинематики

Динамика решает вопрос, почему оно движется именно так. То есть, рассматривает силы, действующие на тело.

Статика изучает равновесие тел под действием сил, то есть отвечает на вопрос: а почему оно вообще не падает?

Границы применимости классической механики

Классическая механика уже не претендует на статус науки, объясняющей все (в начале прошлого века все было совершенно иначе), и имеет четкие рамки применимости. Вообще, законы классической механики справедливы привычном нам по размеру мире (макромир). Они перестают работать в случае мира частиц, когда на смену классической приходит квантовая механика. Также классическая механика неприменима к случаям, когда движение тел происходит со скоростью, близкой к скорости света. В таких случаях ярко выраженными становятся релятивистские эффекты. Грубо говоря, в рамках квантовой и релятивистской механики – классическая механика, это частный случай, когда размеры тела велики, а скорость – мала.

Вообще говоря, квантовые и релятивистские эффекты никогда никуда не деваются, они имеют место быть и при обычном движении макроскопических тел со скоростью, много меньшей скорости света. Другое дело, что действие этих эффектов так мало, что не выходит за рамки самых точных измерений. Классическая механика, таким образом, никогда не потеряет своей фундаментальной важности.

Мы продолжим изучение физических основ механики в следующих статьях. Для лучшего понимания механики Вы всегда можете обратиться к нашим авторам , которые в индивидуальном порядке прольют свет на темное пятно самой сложной задачи.

В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики.

В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.

Информационные ресурсы

Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2001.
Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. – М.: Физматлит, 2008.
Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Москва – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.

Требования

Курс рассчитан на студентов владеющих аппаратом аналитической геометрии и линейной алгебры в объеме программы первого курса технического вуза.

Программа курса

1. Кинематика точки
1.1. Задачи кинематики. Декартова система координат. Разложение вектора по ортонормированному базису. Радиус-вектор и координаты точки. Скорость и ускорение точки. Траектория движения.
1.2. Естественный трёхгранник. Разложение скорости и ускорения в осях естественного трехгранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволинейные координаты точки, примеры: полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Составляющие скорости и проекции ускорения на оси криволинейной системы координат.

2. Способы задания ориентации твердого тела
2.1. Твердое тело. Неподвижная и связанная с телом системы координат.
2.2. Ортогональные матрицы поворота и их свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте.
2.3. Активная и пассивная точки зрения на ортогональное преобразование. Сложение поворотов.
2.4. Углы конечного вращения: углы Эйлера и "самолетные" углы. Выражение ортогональной матрицы через углы конечного вращения.

3. Пространственное движение твердого тела
3.1. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение.
3.2. Распределение скоростей (формула Эйлера) и ускорений (формула Ривальса) точек твердого тела.
3.3. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

4. Плоскопараллельное движение
4.1. Понятие плоскопараллельного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение в случае плоскопараллельного движения. Мгновенный центр скоростей.

5. Сложное движение точки и твердого тела
5.1. Неподвижная и движущаяся системы координат. Абсолютное, относительное и переносное движения точки.
5.2. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки, относительная и переносная скорости точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки, относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
5.3. Абсолютные, относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела.

6. Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение)
6.1. Понятие о комплексных и гиперкомплексных числах. Алгебра кватернионов. Кватернионное произведение. Сопряженный и обратный кватернион, норма и модуль.
6.2. Тригонометрическое представление единичного кватерниона. Кватернионный способ задания поворота тела. Теорема Эйлера о конечном повороте.
6.3. Связь между компонентами кватерниона в разных базисах. Сложение поворотов. Параметры Родрига-Гамильтона.

7. Экзаменационная работа

8. Основные понятия динамики.
8.1 Импульс, момент импульса (кинетический момент), кинетическая энергия.
8.2 Мощность сил, работа сил, потенциальная и полная энергия.
8.3 Центр масс (центр инерции) системы. Момент инерции системы относительно оси.
8.4 Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса–Штейнера.
8.5 Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Свойства осевых моментов инерции.
8.6 Вычисление момента импульса и кинетической энергии тела с помощью тензора инерции.

9. Основные теоремы динамики в инерциальных и неинерциальных системах отсчёта.
9.1 Теорема об изменении импульса системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.
9.2 Теорема об изменении момента импульса системы в инерциальной системе отсчета.
9.3 Теорема об изменении кинетической энергии системы в инерциальной системе отсчета.
9.4 Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы.
9.5 Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.

10. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции.
10.1 Динамические уравнения Эйлера.
10.2 Случай Эйлера, первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения.
10.3 Интерпретации Пуансо и Маккулага.
10.4 Регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела.

11. Движение тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой.
11.1 Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг.
неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера и их первые интегралы.
11.2 Качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа.
11.3 Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела.
11.4 Основная формула гироскопии.
11.5 Понятие об элементарной теории гироскопов.

12. Динамика точки в центральном поле.
12.1 Уравнение Бине.
12.2 Уравнение орбиты. Законы Кеплера.
12.3 Задача рассеяния.
12.4 Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей, интеграл энергии, интеграл Лапласа.

13. Динамика систем переменного состава.
13.1 Основные понятия и теоремы об изменении основных динамических величин в системах переменного состава.
13.2 Движение материальной точки переменной массы.
13.3 Уравнения движения тела переменного состава.

14. Теория импульсивных движений.
14.1 Основные понятия и аксиомы теории импульсивных движений.
14.2 Теоремы об изменении основных динамических величин при импульсивном движении.
14.3 Импульсивное движение твёрдого тела.
14.4 Соударение двух твёрдых тел.
14.5 Теоремы Карно.

15. Контрольная работа

Результаты обучения

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:
- основные понятия и теоремы механики и вытекающие из них методы изучения движения механических систем;
Уметь:
- корректно формулировать задачи в терминах теоретической механики;
- разрабатывать механико-математические модели, адекватно отражающие основные свойства рассматриваемых явлений;
- применять полученные знания для решения соответствующих конкретных задач;
Владеть:
- навыками решения классических задач теоретической механики и математики;
- навыками исследования задач механики и построения механико-математических моделей, адекватно описывающих разнообразные механические явления;
- навыками практического использования методов и принципов теоретической механики при решении задач: силового расчета, определения кинематических характеристик тел при различных способах задания движения, определения закона движения материальных тел и механических систем под действием сил;
- навыками самостоятельно овладевать новой информацией в процессе производственной и научной деятельности, используя современные образовательные и информационные технологии;

Общие теоремы динамики системы тел. Теоремы о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количества движения, об изменении кинетической энергии. Принципы Даламбера, и возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.

Содержание

Работа, которую совершает сила , равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения :
,
то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, которую совершает момент сил , равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота :
.

Принцип Даламбера

Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения. Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения

Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции:
.
После этого задача динамики:
.
;
.

Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z и на него действуют внешние моменты сил M e zk . Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение ε z . Далее мы вводим момент сил инерции M И = - J z ε z . После этого задача динамики:
.
Превращается в задачу статики:
;
.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел

Принцип возможных перемещений .
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Возможное перемещение системы - это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.

Идеальные связи - это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа)

Принцип Даламбера - Лагранжа - это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип Даламбера - Лагранжа .
При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики .

Уравнения Лагранжа

Обобщенные координаты q 1 , q 2 , ..., q n - это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.

Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.

Обобщенные скорости - это производные от обобщенных координат по времени t .

Обобщенные силы Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата q k получит перемещение δq k . Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δA k - это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда
δA k = Q k δq k , или
.

Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n .
Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:
.

Для потенциальных сил с потенциалом Π ,
.

Уравнения Лагранжа - это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Здесь T - кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени. Поэтому ее частная производная также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени. Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции:
.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Кинематика точки.

1. Предмет теоретической механики. Основные абстракции.

Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел

Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и во времени.

Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет характер их механического движения.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, независимо от действующих на них сил.

Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.

Объекты изучения в теоретической механике:

материальная точка,

система материальных точек,

Абсолютно твердое тело.

Абсолютное пространство и абсолютное время независимы одно от другого. Абсолютное пространство - трехмерное, однородное, неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время - течет от прошлого к будущему непрерывно, оно однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.

2. Предмет кинематики.

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (т.е. массы) и действующих на них сил

Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение данного тела, жестко, связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение (скорость и ускорение).

3. Способы задания движения точки

· Естественный способ

Должно быть известно:

Траектория движения точки;

Начало и направление отсчета;

Закон движения точки по заданной траектории в форме (1.1)

· Координатный способ

Уравнения (1.2) – уравнения движения точки М.

Уравнение траектории точки М можно получить, исключив параметр времени « t » из уравнений (1.2)

· Векторный способ

(1.3)

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки

(1.4)

Связь между координатным и естественным способами задания движения точки

Определить траекторию точки, исключив время из уравнений (1.2);

-- найти закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)

После интегрирования получим закон движения точки по заданной траектории:

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки определяется уравнением (1.4)

4. Определение скорости точки при векторном способе задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент времени t 1 – радиусом-вектором , тогда за промежуток времени точка совершит перемещение .

(1.5)

средняя скорость точки,

направлен вектор также как и вектор

Скорость точки в данный момент времени

Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход

(1.6)

(1.7)

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке.

(единица измерения ¾ м/с, км/час)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δ v , то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

(еденица измерения - )

Как располагается вектор по отношению к траектории точки?

При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 . В пределе, когда точка М 1 стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.