Ang pagkalkula ng mga distansya sa pagitan ng mga punto ayon sa kanilang mga coordinate sa isang eroplano ay elementarya, sa ibabaw ng Earth ay medyo mas kumplikado: isasaalang-alang namin ang pagsukat ng distansya at paunang azimuth sa pagitan ng mga punto nang walang mga pagbabago sa projection. Una, unawain natin ang terminolohiya.

Panimula

Mahusay na bilog na haba ng arko- ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng alinmang dalawang punto na matatagpuan sa ibabaw ng globo, na sinusukat sa kahabaan ng linya na nagkokonekta sa dalawang puntong ito (ang nasabing linya ay tinatawag na orthodrome) at dumadaan sa ibabaw ng globo o iba pang ibabaw ng rebolusyon. Ang spherical geometry ay naiiba sa karaniwang Euclidean at ang mga equation ng distansya ay mayroon ding ibang anyo. Sa Euclidean geometry, ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng dalawang punto ay isang tuwid na linya. Sa isang globo, walang mga tuwid na linya. Ang mga linyang ito sa globo ay bahagi ng malalaking bilog - mga bilog na ang mga sentro ay nag-tutugma sa gitna ng globo. Paunang azimuth- ang azimuth, kung saan, kapag nagsisimula mula sa punto A, sumusunod sa malaking bilog para sa pinakamaikling distansya sa punto B, ang dulong punto ay magiging punto B. Kapag lumilipat mula sa punto A hanggang sa punto B kasama ang malaking linya ng bilog, ang azimuth mula sa kasalukuyang posisyon sa dulo point B ay pare-pareho ay nagbabago. Ang paunang azimuth ay iba mula sa isang pare-pareho, kasunod kung saan ang azimuth mula sa kasalukuyang punto hanggang sa huling isa ay hindi nagbabago, ngunit ang ruta ay hindi ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng dalawang punto.

Sa pamamagitan ng alinmang dalawang punto sa ibabaw ng globo, kung hindi sila direktang tapat sa isa't isa (iyon ay, hindi sila mga antipode), isang natatanging mahusay na bilog ang maaaring iguguhit. Hinahati ng dalawang puntos ang malaking bilog sa dalawang arko. Ang haba ng isang maikling arko ay ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng dalawang puntos. Ang isang walang katapusang bilang ng mga malalaking bilog ay maaaring iguhit sa pagitan ng dalawang antipodal na punto, ngunit ang distansya sa pagitan ng mga ito ay magiging pareho sa anumang bilog at katumbas ng kalahati ng circumference ng bilog, o π*R, kung saan ang R ay ang radius ng globo.

Sa isang eroplano (sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate), ang mga malalaking bilog at ang kanilang mga fragment, tulad ng nabanggit sa itaas, ay mga arko sa lahat ng mga projection, maliban sa isang gnomonik, kung saan ang mga malalaking bilog ay mga tuwid na linya. Sa pagsasagawa, nangangahulugan ito na ang mga eroplano at iba pang sasakyang panghimpapawid ay palaging gumagamit ng ruta ng pinakamababang distansya sa pagitan ng mga punto upang makatipid ng gasolina, iyon ay, ang paglipad ay isinasagawa kasama ang distansya ng isang mahusay na bilog, sa eroplano ay mukhang isang arko.

Ang hugis ng Earth ay maaaring ilarawan bilang isang globo, kaya ang mga equation ng malaking bilog na distansya ay mahalaga para sa pagkalkula ng pinakamaikling distansya sa pagitan ng mga punto sa ibabaw ng Earth at kadalasang ginagamit sa pag-navigate. Ang pagkalkula ng distansya sa pamamagitan ng pamamaraang ito ay mas mahusay at sa maraming mga kaso ay mas tumpak kaysa sa pagkalkula nito para sa mga inaasahang coordinate (sa mga rectangular coordinate system), dahil, una, para dito hindi kinakailangan na isalin ang mga geographical na coordinate sa isang rectangular coordinate system (magsagawa ng projection pagbabagong-anyo) at, pangalawa, maraming mga projection, kung maling napili, ay maaaring humantong sa mga makabuluhang pagbaluktot sa haba dahil sa likas na katangian ng mga pagbaluktot ng projection. Ito ay kilala na hindi isang globo, ngunit isang ellipsoid na naglalarawan sa hugis ng Earth nang mas tumpak, gayunpaman, tinatalakay ng artikulong ito ang pagkalkula ng mga distansya sa isang globo, para sa mga kalkulasyon ng isang globo na may radius na 6372795 metro ay ginagamit, na maaaring humantong sa isang error sa pagkalkula ng mga distansya ng pagkakasunud-sunod ng 0.5%.

Mga formula

Mayroong tatlong mga paraan upang makalkula ang spherical na distansya ng isang malaking bilog. 1. Spherical cosine theorem Sa kaso ng maliliit na distansya at maliit na kalkulasyon ng bit depth (bilang ng mga decimal na lugar), ang paggamit ng formula ay maaaring humantong sa mga makabuluhang error sa pag-ikot. φ1, λ1; φ2, λ2 - latitude at longitude ng dalawang puntos sa radians Δλ - coordinate difference sa longitude Δδ - angular difference Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Upang i-convert ang angular distance sa multiply, kailangan mong i-multiply ang angular na pagkakaiba ng radius ng Earth (6372795 metro), ang mga yunit ng huling distansya ay magiging katumbas ng mga yunit kung saan ang radius ay ipinahayag (sa kasong ito, metro). 2. Formula ng Haversine Ginagamit upang maiwasan ang mga problema sa maikling distansya. 3. Pagbabago para sa mga antipode Ang nakaraang formula ay napapailalim din sa problema ng mga antipode, upang malutas ito, ang sumusunod na pagbabago ay ginagamit.

Ang aking pagpapatupad sa PHP

// Earth radius define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distansya sa pagitan ng dalawang punto * $φA, $λA - latitude, longitude ng 1st point, * $φB, $λB - latitude, longitude ng 2nd point * Batay sa http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ function na kalkulahinTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // i-convert ang mga coordinate sa radians $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosine at sine ng mga pagkakaiba sa latitude at longitude $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // kalkulasyon malaking bilog na haba $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Halimbawa ng function na tawag: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; echo calculateTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metro"; // Ibinabalik ang "17166029 metro"

Ang paglutas ng mga problema sa matematika para sa mga mag-aaral ay kadalasang sinasamahan ng maraming kahirapan. Upang matulungan ang mag-aaral na makayanan ang mga paghihirap na ito, pati na rin turuan siya kung paano ilapat ang kanyang teoretikal na kaalaman sa paglutas ng mga tiyak na problema sa lahat ng mga seksyon ng kurso ng paksang "Matematika" ay ang pangunahing layunin ng aming site.

Simula sa paglutas ng mga problema sa paksa, ang mga mag-aaral ay dapat na makabuo ng isang punto sa isang eroplano ayon sa mga coordinate nito, pati na rin mahanap ang mga coordinate ng isang naibigay na punto.

Ang pagkalkula ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos na kinuha sa eroplano A (x A; y A) at B (x B; y B) ay isinasagawa ng formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), kung saan ang d ay ang haba ng segment na nag-uugnay sa mga puntong ito sa eroplano.

Kung ang isa sa mga dulo ng segment ay tumutugma sa pinagmulan, at ang isa ay may mga coordinate M (x M; y M), kung gayon ang formula para sa pagkalkula ng d ay kukuha ng form na OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Pagkalkula ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos na ibinigay sa mga coordinate ng mga puntong ito

Halimbawa 1.

Hanapin ang haba ng segment na nag-uugnay sa mga puntos na A(2; -5) at B(-4; 3) sa coordinate plane (Fig. 1).

Solusyon.

Ang kondisyon ng problema ay ibinigay: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 at y B = 3. Hanapin d.

Ang paglalapat ng formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), nakukuha namin:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Pagkalkula ng mga coordinate ng isang punto na equidistant mula sa tatlong ibinigay na puntos

Halimbawa 2

Hanapin ang mga coordinate ng punto O 1, na katumbas ng layo mula sa tatlong puntos na A(7; -1) at B(-2; 2) at C(-1; -5).

Solusyon.

Mula sa pagbabalangkas ng kondisyon ng problema ay sumusunod na O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Hayaang ang nais na punto O 1 ay may mga coordinate (a; b). Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nakita namin:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Binubuo namin ang isang sistema ng dalawang equation:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pagkatapos kuwadrado ang kaliwa at tamang bahagi isinulat namin ang mga equation:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Pinapasimple, nagsusulat kami

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Ang pagkakaroon ng malutas ang sistema, makuha namin ang: a = 2; b = -1.

Point O 1 (2; -1) ay katumbas ng layo mula sa tatlong puntos na ibinigay sa kondisyon na hindi namamalagi sa isang tuwid na linya. Ang puntong ito ay ang sentro ng bilog na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto. (Larawan 2).

3. Pagkalkula ng abscissa (ordinate) ng isang punto na nasa abscissa (ordinate) axis at nasa isang partikular na distansya mula sa puntong ito

Halimbawa 3

Ang distansya mula sa punto B(-5; 6) hanggang sa punto A na nakahiga sa x-axis ay 10. Hanapin ang punto A.

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa pagbabalangkas ng kondisyon ng problema na ang ordinate ng point A ay zero at AB = 10.

Tinutukoy ang abscissa ng punto A hanggang a, isinusulat namin ang A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Nakukuha namin ang equation √((a + 5) 2 + 36) = 10. Pagpapasimple nito, mayroon kaming

isang 2 + 10a - 39 = 0.

Ang mga ugat ng equation na ito a 1 = -13; at 2 = 3.

Nakukuha namin ang dalawang puntos A 1 (-13; 0) at A 2 (3; 0).

Pagsusuri:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Ang parehong nakuhang puntos ay umaangkop sa kalagayan ng problema (Larawan 3).

4. Pagkalkula ng abscissa (ordinate) ng isang punto na nasa abscissa (ordinate) axis at nasa parehong distansya mula sa dalawang ibinigay na mga punto

Halimbawa 4

Maghanap ng isang punto sa Oy axis na nasa parehong distansya mula sa mga puntong A (6; 12) at B (-8; 10).

Solusyon.

Hayaan ang mga coordinate ng punto na kinakailangan ng kondisyon ng problema, na nakahiga sa Oy axis, ay O 1 (0; b) (sa puntong nakahiga sa Oy axis, ang abscissa ay katumbas ng zero). Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na O 1 A \u003d O 1 V.

Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nakita namin:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Mayroon tayong equation na √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) o 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Pagkatapos ng pagpapasimple, makukuha natin ang: b - 4 = 0, b = 4.

Kinakailangan ng kondisyon ng problemang punto O 1 (0; 4) (Larawan 4).

5. Pagkalkula ng mga coordinate ng isang punto na nasa parehong distansya mula sa mga coordinate axes at ilang ibinigay na punto

Halimbawa 5

Hanapin ang point M na matatagpuan sa coordinate plane sa parehong distansya mula sa coordinate axes at mula sa point A (-2; 1).

Solusyon.

Ang kinakailangang punto M, tulad ng punto A (-2; 1), ay matatagpuan sa pangalawang coordinate na sulok, dahil ito ay katumbas ng layo mula sa mga puntong A, P 1 at P 2 (Larawan 5). Ang mga distansya ng punto M mula sa mga coordinate axes ay pareho, samakatuwid, ang mga coordinate nito ay magiging (-a; a), kung saan ang a > 0.

Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

mga. |-a| = a.

Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nakita namin:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Gumawa tayo ng equation:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Pagkatapos ng pag-squaring at pagpapasimple, mayroon tayong: a 2 - 6a + 5 = 0. Nalulutas natin ang equation, nakahanap tayo ng 1 = 1; at 2 = 5.

Nakukuha namin ang dalawang puntos na M 1 (-1; 1) at M 2 (-5; 5), na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema.

6. Pagkalkula ng mga coordinate ng isang punto na nasa parehong tinukoy na distansya mula sa abscissa (ordinate) axis at mula sa puntong ito

Halimbawa 6

Maghanap ng isang punto M na ang distansya nito mula sa y-axis at mula sa puntong A (8; 6) ay magiging katumbas ng 5.

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa kondisyon ng problema na ang MA = 5 at ang abscissa ng punto M ay katumbas ng 5. Hayaang ang ordinate ng puntong M ay katumbas ng b, pagkatapos ay M(5; b) (Larawan 6).

Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mayroon kami:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Gumawa tayo ng equation:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Pagpapasimple nito, makukuha natin ang: b 2 - 12b + 20 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito ay b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Samakatuwid, mayroong dalawang puntos na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema: M 1 (5; 2) at M 2 (5; 10).

Alam na maraming mga mag-aaral, kapag nilutas ang mga problema sa kanilang sarili, ay nangangailangan ng patuloy na konsultasyon sa mga diskarte at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Kadalasan, ang isang mag-aaral ay hindi makakahanap ng isang paraan upang malutas ang isang problema nang walang tulong ng isang guro. Maaaring makuha ng mag-aaral ang kinakailangang payo sa paglutas ng mga problema sa aming website.

May tanong ka ba? Hindi sigurado kung paano hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang eroplano?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga paraan upang matukoy ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang punto ayon sa teorya at sa halimbawa ng mga partikular na gawain. Magsimula tayo sa ilang mga kahulugan.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Distansya sa pagitan ng mga puntos- ito ang haba ng segment na nagkokonekta sa kanila, sa kasalukuyang sukat. Kinakailangang itakda ang sukat upang magkaroon ng isang yunit ng haba para sa pagsukat. Samakatuwid, karaniwang ang problema ng paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga punto ay malulutas sa pamamagitan ng paggamit ng kanilang mga coordinate sa coordinate line, sa coordinate plane o three-dimensional na espasyo.

Paunang data: ang coordinate line O x at isang arbitrary point A na nakahiga dito. Ang isang tunay na numero ay likas sa anumang punto ng linya: hayaan itong maging isang tiyak na numero para sa punto A xA, ito ang coordinate ng point A.

Sa pangkalahatan, maaari nating sabihin na ang pagtatantya ng haba ng isang partikular na segment ay nangyayari kumpara sa segment na kinuha bilang isang yunit ng haba sa isang naibigay na sukat.

Kung ang point A ay tumutugma sa isang integer real number, na magkakasunod na magtabi mula sa punto O hanggang sa isang punto sa kahabaan ng isang tuwid na linya O A na mga segment - mga yunit ng haba, matutukoy natin ang haba ng segment O A sa pamamagitan ng kabuuang bilang ng mga nakabinbing mga segment ng unit.

Halimbawa, ang punto A ay tumutugma sa numero 3 - upang makarating dito mula sa punto O, kakailanganing magtabi ng tatlong mga segment ng yunit. Kung ang punto A ay may coordinate na - 4, ang mga solong segment ay naka-plot sa katulad na paraan, ngunit sa ibang negatibong direksyon. Kaya, sa unang kaso, ang distansya O A ay 3; sa pangalawang kaso, O A \u003d 4.

Kung ang point A ay may rational number bilang isang coordinate, pagkatapos ay mula sa pinanggalingan (point O) magtabi kami ng isang integer na bilang ng mga segment ng unit, at pagkatapos ay ang kinakailangang bahagi nito. Ngunit sa geometriko na ito ay hindi laging posible na gumawa ng isang pagsukat. Halimbawa, tila mahirap isantabi ang coordinate direct fraction 4 111 .

Sa paraan sa itaas, ganap na imposibleng ipagpaliban ang isang hindi makatwirang numero sa isang tuwid na linya. Halimbawa, kapag ang coordinate ng point A ay 11 . Sa kasong ito, posible na lumipat sa abstraction: kung ang ibinigay na coordinate ng point A ay mas malaki kaysa sa zero, pagkatapos ay O A \u003d x A (ang numero ay kinuha bilang isang distansya); kung ang coordinate ay mas mababa sa zero, pagkatapos ay O A = - x A . Sa pangkalahatan, ang mga pahayag na ito ay totoo para sa anumang tunay na numero x A .

Pagbubuod: ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto, na tumutugma sa isang tunay na numero sa linya ng coordinate, ay katumbas ng:

• 0 kung ang punto ay kapareho ng pinagmulan;

• x A kung x A > 0 ;

• - x A kung x A< 0 .

Sa kasong ito, malinaw na ang haba ng segment mismo ay hindi maaaring negatibo, samakatuwid, gamit ang modulus sign, isinusulat namin ang distansya mula sa puntong O hanggang sa puntong A kasama ang coordinate. x A: O A = x A

Ang tamang pahayag ay: ang distansya mula sa isang punto patungo sa isa pa ay magiging katumbas ng modulus ng pagkakaiba sa mga coordinate. Yung. para sa mga puntos na A at B na nakahiga sa parehong linya ng coordinate sa anumang lokasyon at pagkakaroon, ayon sa pagkakabanggit, ang mga coordinate x A At x B: A B = x B - x A .

Paunang data: mga punto A at B na nakahiga sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na may ibinigay na mga coordinate: A (x A , y A) at B (x B , y B) .

Gumuhit tayo ng mga patayo sa coordinate axes O x at O ​​y sa pamamagitan ng mga puntos A at B at makuha ang mga projection point bilang resulta: A x , A y , B x , B y . Batay sa lokasyon ng mga punto A at B, ang mga sumusunod na opsyon ay higit pang posible:

Kung ang mga puntos A at B ay nag-tutugma, kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga ito ay zero;

Kung ang mga punto A at B ay nasa isang tuwid na linya na patayo sa O x axis (abscissa axis), kung gayon ang mga puntos at nag-tutugma, at | A B | = | A y B y | . Dahil ang distansya sa pagitan ng mga puntos ay katumbas ng modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate, pagkatapos ay A y B y = y B - y A , at, samakatuwid, A B = A y B y = y B - y A .

Kung ang mga punto A at B ay nasa isang tuwid na linya na patayo sa O y axis (y-axis) - ayon sa pagkakatulad sa nakaraang talata: A B = A x B x = x B - x A

Kung ang mga punto A at B ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya na patayo sa isa sa mga coordinate axes, makikita natin ang distansya sa pagitan ng mga ito sa pamamagitan ng pagkuha ng formula ng pagkalkula:

Nakikita natin na ang tatsulok na A B C ay right-angled sa pamamagitan ng konstruksiyon. Sa kasong ito, A C = A x B x at B C = A y B y . Gamit ang Pythagorean theorem, binubuo natin ang pagkakapantay-pantay: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , at pagkatapos ay ibahin ang anyo nito: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Bumuo tayo ng isang konklusyon mula sa resulta na nakuha: ang distansya mula sa punto A hanggang sa punto B sa eroplano ay tinutukoy ng pagkalkula gamit ang formula gamit ang mga coordinate ng mga puntong ito

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Kinukumpirma rin ng resultang formula ang mga naunang nabuong pahayag para sa mga kaso ng pagkakataon ng mga punto o sitwasyon kapag ang mga punto ay nasa mga tuwid na linya na patayo sa mga palakol. Kaya, para sa kaso ng coincidence ng mga puntos A at B, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Para sa sitwasyon kapag ang mga punto A at B ay nasa isang tuwid na linya na patayo sa x-axis:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Para sa kaso kapag ang mga punto A at B ay nasa isang tuwid na linya na patayo sa y-axis:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Paunang data: rectangular coordinate system O x y z na may mga arbitrary na puntos na nakalagay dito na may ibinigay na coordinate A (x A , y A , z A) at B (x B , y B , z B) . Ito ay kinakailangan upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga puntong ito.

Isipin mo pangkalahatang kaso, kapag ang mga puntong A at B ay hindi nakahiga sa isang eroplanong parallel sa isa sa mga coordinate na eroplano. Gumuhit sa mga puntong A at B na mga eroplano na patayo sa mga coordinate axes, at kunin ang kaukulang mga projection point: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Ang distansya sa pagitan ng mga punto A at B ay ang dayagonal ng resultang kahon. Ayon sa pagkakagawa ng sukat ng kahong ito: A x B x , A y B y at A z B z

Mula sa kurso ng geometry ay kilala na ang parisukat ng dayagonal ng isang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito. Batay sa pahayag na ito, nakuha namin ang pagkakapantay-pantay: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Gamit ang mga konklusyon na nakuha kanina, isinusulat namin ang sumusunod:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Ibahin natin ang expression:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Pangwakas formula para sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga punto sa espasyo magiging ganito ang hitsura:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ang resultang formula ay may bisa din para sa mga kaso kung saan:

Ang mga tuldok ay tumutugma;

Nakahiga sila sa parehong coordinate axis o sa isang tuwid na linya na kahanay sa isa sa mga coordinate axes.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema para sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga punto

Halimbawa 1

Paunang data: isang linya ng coordinate at mga puntong nakahiga dito na may ibinigay na mga coordinate A (1 - 2) at B (11 + 2) ay ibinigay. Kinakailangang hanapin ang distansya mula sa reference point O hanggang point A at sa pagitan ng mga puntos A at B.

Solusyon

1. Ang distansya mula sa reference point hanggang sa punto ay katumbas ng module ng coordinate ng puntong ito, ayon sa pagkakabanggit O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Ang distansya sa pagitan ng mga puntong A at B ay tinukoy bilang ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntong ito: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Sagot: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Halimbawa 2

Paunang data: binigyan ng isang hugis-parihaba na coordinate system at dalawang puntos na nakahiga dito A (1 , - 1) at B (λ + 1 , 3) ​​​​. Ang λ ay ilang tunay na numero. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng numerong ito kung saan ang distansya A B ay magiging katumbas ng 5.

Solusyon

Upang mahanap ang distansya sa pagitan ng mga punto A at B, dapat mong gamitin ang formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Ang pagpapalit ng mga tunay na halaga ng mga coordinate, nakukuha natin: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

At ginagamit din namin ang umiiral na kundisyon na A B = 5 at pagkatapos ay magiging totoo ang pagkakapantay-pantay:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Sagot: A B \u003d 5 kung λ \u003d ± 3.

Halimbawa 3

Paunang data: isang three-dimensional na espasyo sa isang rectangular coordinate system O x y z at ang mga puntos na A (1 , 2 , 3) ​​​​at B - 7 , - 2 , 4 na nakahiga dito ay ibinigay.

Solusyon

Upang malutas ang problema, ginagamit namin ang formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ang pagpapalit sa mga tunay na halaga, makukuha natin: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Sagot: | A B | = 9

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang eroplano.
Mga sistema ng coordinate

Ang bawat punto A ng eroplano ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga coordinate nito (x, y). Nag-tutugma sila sa mga coordinate ng vector 0А , na lumalabas sa puntong 0 - ang pinagmulan.

Hayaang ang A at B ay mga arbitrary na punto ng eroplano na may mga coordinate (x 1 y 1) at (x 2, y 2), ayon sa pagkakabanggit.

Kung gayon ang vector AB ay malinaw na may mga coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Ito ay kilala na ang parisukat ng haba ng isang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito. Samakatuwid, ang distansya d sa pagitan ng mga puntos A at B, o, kung ano ang pareho, ang haba ng vector AB, ay tinutukoy mula sa kondisyon

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Ang resultang formula ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang distansya sa pagitan ng anumang dalawang punto ng eroplano, kung ang mga coordinate lamang ng mga puntong ito ay kilala.

Sa bawat oras, nagsasalita tungkol sa mga coordinate ng isa o ibang punto ng eroplano, nasa isip namin ang isang mahusay na tinukoy na sistema ng coordinate x0y. Sa pangkalahatan, ang sistema ng coordinate sa eroplano ay maaaring mapili sa iba't ibang paraan. Kaya, sa halip na x0y coordinate system, maaari nating isaalang-alang ang x"0y" coordinate system, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng lumang coordinate axes sa paligid ng panimulang punto 0 counter-clockwise mga arrow sa sulok α .

Kung ang ilang punto ng eroplano sa x0y coordinate system ay may mga coordinate (x, y), pagkatapos ay sa bagong x"0y" coordinate system magkakaroon ito ng iba pang mga coordinate (x", y").

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang punto M, na matatagpuan sa axis 0x" at may pagitan mula sa puntong 0 sa layo na katumbas ng 1.

Malinaw, sa x0y coordinate system, ang puntong ito ay may mga coordinate (cos α , kasalanan α ), at sa coordinate system x"0y" ang mga coordinate ay (1,0).

Ang mga coordinate ng alinmang dalawang punto ng eroplanong A at B ay nakasalalay sa kung paano nakatakda ang coordinate system sa eroplanong ito. Ngunit ang distansya sa pagitan ng mga puntong ito ay hindi nakasalalay sa kung paano tinukoy ang sistema ng coordinate. Gagamitin natin ang mahalagang pangyayaring ito sa susunod na seksyon.

Mga ehersisyo

I. Maghanap ng mga distansya sa pagitan ng mga punto ng eroplano na may mga coordinate:

1) (3.5) at (3.4); 3) (0.5) at (5, 0); 5) (-3.4) at (9, -17);

2) (2, 1) at (- 5, 1); 4) (0.7) at (3.3); 6) (8, 21) at (1, -3).

II. Hanapin ang perimeter ng isang tatsulok na ang mga panig ay ibinibigay ng mga equation:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 at y = 1.

III. Sa x0y coordinate system, ang mga puntos na M at N ay may mga coordinate (1, 0) at (0,1), ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang mga coordinate ng mga puntong ito sa bagong coordinate system, na nakukuha rin sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga lumang axes sa paligid ng panimulang punto sa pamamagitan ng isang anggulo na 30 ° counterclockwise.

IV. Sa x0y coordinate system, ang mga puntong M at N ay may mga coordinate (2, 0) at (\ / 3/2, - 1/2) ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang mga coordinate ng mga puntong ito sa bagong coordinate system, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga lumang axes sa paligid ng panimulang punto sa pamamagitan ng isang anggulo na 30° clockwise.

Ang paglutas ng mga problema sa matematika para sa mga mag-aaral ay kadalasang sinasamahan ng maraming kahirapan. Upang matulungan ang mag-aaral na makayanan ang mga paghihirap na ito, pati na rin turuan siya kung paano ilapat ang kanyang teoretikal na kaalaman sa paglutas ng mga tiyak na problema sa lahat ng mga seksyon ng kurso ng paksang "Matematika" ay ang pangunahing layunin ng aming site.

Simula sa paglutas ng mga problema sa paksa, ang mga mag-aaral ay dapat na makabuo ng isang punto sa isang eroplano ayon sa mga coordinate nito, pati na rin mahanap ang mga coordinate ng isang naibigay na punto.

Ang pagkalkula ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos na kinuha sa eroplano A (x A; y A) at B (x B; y B) ay isinasagawa ng formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), kung saan ang d ay ang haba ng segment na nag-uugnay sa mga puntong ito sa eroplano.

Kung ang isa sa mga dulo ng segment ay tumutugma sa pinagmulan, at ang isa ay may mga coordinate M (x M; y M), kung gayon ang formula para sa pagkalkula ng d ay kukuha ng form na OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Pagkalkula ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos na ibinigay sa mga coordinate ng mga puntong ito

Halimbawa 1.

Hanapin ang haba ng segment na nag-uugnay sa mga puntos na A(2; -5) at B(-4; 3) sa coordinate plane (Fig. 1).

Solusyon.

Ang kondisyon ng problema ay ibinigay: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 at y B = 3. Hanapin d.

Ang paglalapat ng formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), nakukuha namin:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Pagkalkula ng mga coordinate ng isang punto na equidistant mula sa tatlong ibinigay na puntos

Halimbawa 2

Hanapin ang mga coordinate ng punto O 1, na katumbas ng layo mula sa tatlong puntos na A(7; -1) at B(-2; 2) at C(-1; -5).

Solusyon.

Mula sa pagbabalangkas ng kondisyon ng problema ay sumusunod na O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Hayaang ang nais na punto O 1 ay may mga coordinate (a; b). Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nakita namin:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Binubuo namin ang isang sistema ng dalawang equation:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Matapos i-square ang kaliwa at kanang bahagi ng mga equation, isusulat namin:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Pinapasimple, nagsusulat kami

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Ang pagkakaroon ng malutas ang sistema, makuha namin ang: a = 2; b = -1.

Point O 1 (2; -1) ay katumbas ng layo mula sa tatlong puntos na ibinigay sa kondisyon na hindi namamalagi sa isang tuwid na linya. Ang puntong ito ay ang sentro ng bilog na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto. (Larawan 2).

3. Pagkalkula ng abscissa (ordinate) ng isang punto na nasa abscissa (ordinate) axis at nasa isang partikular na distansya mula sa puntong ito

Halimbawa 3

Ang distansya mula sa punto B(-5; 6) hanggang sa punto A na nakahiga sa x-axis ay 10. Hanapin ang punto A.

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa pagbabalangkas ng kondisyon ng problema na ang ordinate ng point A ay zero at AB = 10.

Tinutukoy ang abscissa ng punto A hanggang a, isinusulat namin ang A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Nakukuha namin ang equation √((a + 5) 2 + 36) = 10. Pagpapasimple nito, mayroon kaming

isang 2 + 10a - 39 = 0.

Ang mga ugat ng equation na ito a 1 = -13; at 2 = 3.

Nakukuha namin ang dalawang puntos A 1 (-13; 0) at A 2 (3; 0).

Pagsusuri:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Ang parehong nakuhang puntos ay umaangkop sa kalagayan ng problema (Larawan 3).

4. Pagkalkula ng abscissa (ordinate) ng isang punto na nasa abscissa (ordinate) axis at nasa parehong distansya mula sa dalawang ibinigay na mga punto

Halimbawa 4

Maghanap ng isang punto sa Oy axis na nasa parehong distansya mula sa mga puntong A (6; 12) at B (-8; 10).

Solusyon.

Hayaan ang mga coordinate ng punto na kinakailangan ng kondisyon ng problema, na nakahiga sa Oy axis, ay O 1 (0; b) (sa puntong nakahiga sa Oy axis, ang abscissa ay katumbas ng zero). Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na O 1 A \u003d O 1 V.

Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nakita namin:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Mayroon tayong equation na √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) o 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Pagkatapos ng pagpapasimple, makukuha natin ang: b - 4 = 0, b = 4.

Kinakailangan ng kondisyon ng problemang punto O 1 (0; 4) (Larawan 4).

5. Pagkalkula ng mga coordinate ng isang punto na nasa parehong distansya mula sa mga coordinate axes at ilang ibinigay na punto

Halimbawa 5

Hanapin ang point M na matatagpuan sa coordinate plane sa parehong distansya mula sa coordinate axes at mula sa point A (-2; 1).

Solusyon.

Ang kinakailangang punto M, tulad ng punto A (-2; 1), ay matatagpuan sa pangalawang coordinate na sulok, dahil ito ay katumbas ng layo mula sa mga puntong A, P 1 at P 2 (Larawan 5). Ang mga distansya ng punto M mula sa mga coordinate axes ay pareho, samakatuwid, ang mga coordinate nito ay magiging (-a; a), kung saan ang a > 0.

Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema na MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

mga. |-a| = a.

Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nakita namin:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Gumawa tayo ng equation:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Pagkatapos ng pag-squaring at pagpapasimple, mayroon tayong: a 2 - 6a + 5 = 0. Nalulutas natin ang equation, nakahanap tayo ng 1 = 1; at 2 = 5.

Nakukuha namin ang dalawang puntos na M 1 (-1; 1) at M 2 (-5; 5), na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema.

6. Pagkalkula ng mga coordinate ng isang punto na nasa parehong tinukoy na distansya mula sa abscissa (ordinate) axis at mula sa puntong ito

Halimbawa 6

Maghanap ng isang punto M na ang distansya nito mula sa y-axis at mula sa puntong A (8; 6) ay magiging katumbas ng 5.

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa kondisyon ng problema na ang MA = 5 at ang abscissa ng punto M ay katumbas ng 5. Hayaang ang ordinate ng puntong M ay katumbas ng b, pagkatapos ay M(5; b) (Larawan 6).

Ayon sa formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mayroon kami:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Gumawa tayo ng equation:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Pagpapasimple nito, makukuha natin ang: b 2 - 12b + 20 = 0. Ang mga ugat ng equation na ito ay b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Samakatuwid, mayroong dalawang puntos na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng problema: M 1 (5; 2) at M 2 (5; 10).

Alam na maraming mga mag-aaral, kapag nilutas ang mga problema sa kanilang sarili, ay nangangailangan ng patuloy na konsultasyon sa mga diskarte at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Kadalasan, ang isang mag-aaral ay hindi makakahanap ng isang paraan upang malutas ang isang problema nang walang tulong ng isang guro. Maaaring makuha ng mag-aaral ang kinakailangang payo sa paglutas ng mga problema sa aming website.

May tanong ka ba? Hindi sigurado kung paano hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang eroplano?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.