มีหลายชิ้นส่วนที่ไม่สามารถถ่ายทอดข้อมูลรูปร่างได้ด้วยการวาดเส้นโครงสองครั้ง เพื่อให้ข้อมูลเกี่ยวกับรูปร่างที่ซับซ้อนของชิ้นส่วนสามารถนำเสนอได้อย่างเพียงพอ การฉายภาพจะใช้บนระนาบการฉายภาพที่ตั้งฉากกันสามระนาบ: ส่วนหน้า - V, แนวนอน - H และโปรไฟล์ - W (อ่านว่า "double ve")
การวาดภาพที่ซับซ้อน การวาดภาพที่นำเสนอในสามมุมมองหรือการฉายภาพ ในกรณีส่วนใหญ่จะให้ภาพที่สมบูรณ์ของรูปร่างและการออกแบบของชิ้นส่วน (รายการและวัตถุ) และเรียกอีกอย่างว่าการวาดภาพที่ซับซ้อน ภาพวาดหลัก หากภาพวาดถูกสร้างขึ้นด้วยแกนพิกัด จะเรียกว่าการวาดแกน ไร้แกน หากภาพวาดถูกสร้างขึ้นโดยไม่มีแกนพิกัด เรียกว่าโปรไฟล์ไร้แกน หากระนาบ W ตั้งฉากกับระนาบส่วนหน้าและแนวนอนของเส้นโครง เรียกว่าโปรไฟล์
วัตถุวางอยู่ในมุมสามเหลี่ยมเพื่อให้ขอบและฐานที่ก่อตัวนั้นขนานกับระนาบการฉายภาพด้านหน้าและแนวนอนตามลำดับ จากนั้น รังสีฉายจะถูกส่งผ่านทุกจุดของวัตถุ ซึ่งตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพทั้งสามระนาบ ซึ่งจะได้รับการฉายภาพด้านหน้า แนวนอน และโปรไฟล์ของวัตถุ หลังจากการฉายภาพ วัตถุจะถูกลบออกจากมุมสามเหลี่ยม จากนั้นระนาบการฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์จะหมุน 90° ตามลำดับ รอบแกน Ox และ Oz จนกระทั่งอยู่ในแนวเดียวกันกับระนาบการฉายภาพด้านหน้า และการวาดภาพของชิ้นส่วนที่มีการฉายภาพสามภาพคือ ได้รับ
การฉายภาพทั้งสามแบบเชื่อมโยงถึงกัน การฉายภาพด้านหน้าและแนวนอนจะรักษาการเชื่อมต่อของการฉายภาพของภาพ เช่น การเชื่อมต่อการฉายภาพถูกสร้างขึ้นระหว่างด้านหน้าและแนวนอน หน้าผากและโปรไฟล์ รวมถึงการฉายภาพในแนวนอนและโปรไฟล์ เส้นฉายจะกำหนดตำแหน่งของแต่ละเส้นฉายบนสนามวาด รูปร่างของวัตถุส่วนใหญ่เป็นการผสมผสานระหว่างตัวเรขาคณิตต่างๆ หรือชิ้นส่วนต่างๆ ดังนั้นในการอ่านและดำเนินการเขียนแบบคุณจำเป็นต้องรู้ว่ารูปทรงเรขาคณิตในระบบของการฉายภาพทั้งสามแบบในการผลิตนั้นเป็นอย่างไร
1. ใบหน้าที่ขนานกับระนาบการฉายภาพจะถูกฉายลงบนเครื่องบินโดยไม่มีการบิดเบือนในขนาดธรรมชาติ 2. ใบหน้าที่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพจะถูกฉายในส่วนของเส้นตรง 3. ใบหน้าที่ตั้งเฉียงไปยังระนาบการฉาย ภาพบนนั้นมีความบิดเบี้ยว (ลดลง)
& 3. คำถาม pg ในงานเขียน 4.1. หน้า pp, & 5, หน้า 37-45 คำถามการมอบหมายงานเป็นลายลักษณ์อักษร
กำหนดตำแหน่งของเครื่องบินในอวกาศ:
- สามแต้มที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน
- เส้นตรงและจุดที่อยู่นอกเส้นตรง
- เส้นตัดกันสองเส้น
- เส้นขนานสองเส้น
- รูปร่างแบน
ตามนี้เครื่องบินสามารถระบุได้ในแผนภาพ:
- การฉายภาพสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน (รูปที่ 3.1, ก)
- เส้นโครงของจุดและเส้น (รูปที่ 3.1,b)
- เส้นโครงของเส้นตัดกันสองเส้น (รูปที่ 3.1ค)
- เส้นโครงของเส้นขนานสองเส้น (รูปที่ 3.1d)
- รูปร่างแบน (รูปที่ 3.1, d);
- ร่องรอยของเครื่องบิน
- เส้นความชันสูงสุดของเครื่องบิน
รูปที่ 3.1 – วิธีการกำหนดระนาบ
เครื่องบินทั่วไปเป็นระนาบที่ไม่ขนานหรือตั้งฉากกับระนาบฉายใดๆ
ตามเครื่องบินเป็นเส้นตรงที่ได้มาจากจุดตัดของระนาบที่กำหนดกับระนาบฉายภาพอันใดอันหนึ่ง
ระนาบทั่วไปสามารถมีร่องรอยได้สามแบบ: แนวนอน – απ 1, หน้าผาก – απ 2 และ ประวัติโดยย่อ – απ 3 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อตัดกับระนาบการฉายภาพที่รู้จัก: แนวนอน π 1, หน้าผาก π 2 และโปรไฟล์ π 3 (รูปที่ 3.2)
รูปที่ 3.2 – ร่องรอยของระนาบทั่วไป
3.2. เครื่องบินบางส่วน
เครื่องบินบางส่วน– ระนาบตั้งฉากหรือขนานกับระนาบของเส้นโครง
ระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพเรียกว่าการฉายภาพ และจะฉายภาพเป็นเส้นตรงบนระนาบการฉายภาพนี้
คุณสมบัติของระนาบการฉายภาพ: ทุกจุด เส้น รูปทรงแบนของระนาบที่ฉายมีเส้นโครงบนแนวลาดเอียงของระนาบ(รูปที่ 3.3)
รูปที่ 3.3 – ระนาบที่ฉายด้านหน้า ซึ่งรวมถึง: จุด ก, ใน, กับ; เส้น เครื่องปรับอากาศ, เอบี, ดวงอาทิตย์; เครื่องบินสามเหลี่ยม เอบีซี
เครื่องบินฉายภาพด้านหน้า – ระนาบตั้งฉากกับระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง(รูปที่ 3.4 ก)
เครื่องบินฉายภาพแนวนอน – ระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบแนวนอนของการฉายภาพ(รูปที่ 3.4 ข)
ระนาบการฉายโปรไฟล์ – ระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพ.
ระนาบที่ขนานกับระนาบฉายภาพเรียกว่า เครื่องบินระดับหรือเครื่องบินฉายคู่.
เครื่องบินระดับแนวหน้า – ระนาบขนานกับระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง(รูปที่ 3.4 ค)
ระนาบระดับแนวนอน – ระนาบขนานกับระนาบแนวนอนของเส้นโครง(รูปที่ 3.4,ง).
ระนาบโปรไฟล์ของระดับ – ระนาบขนานกับระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพ(รูปที่ 3.4 จ)
รูปที่ 3.4 – แผนผังของระนาบของตำแหน่งเฉพาะ
3.3. จุดและเส้นตรงในระนาบ อยู่ในจุดและระนาบตรง
จุดจะเป็นของระนาบหากเป็นของเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้(รูปที่ 3.5)
เส้นตรงเป็นของระนาบหากมีจุดร่วมอย่างน้อยสองจุดกับระนาบ(รูปที่ 3.6)
รูปที่ 3.5 – เป็นจุดของระนาบ
α = ม // n
ดี∈ n⇒ ดี∈ α
รูปที่ 3.6 – อยู่ในระนาบตรง
ออกกำลังกาย
ให้ระนาบที่กำหนดโดยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (รูปที่ 3.7, ก) จำเป็นต้องฉายภาพแนวนอนด้านบนให้เสร็จสิ้น กับ.
 |
|
| ก | ข |
รูปที่ 3.7 – แนวทางแก้ไขปัญหา
สารละลาย :
- เอบีซีดี– รูปสี่เหลี่ยมแบนซึ่งกำหนดระนาบ
- มาวาดเส้นทแยงมุมในนั้นกัน เอ.ซี.และ บีดี(รูปที่ 3.7, b) ซึ่งกำลังตัดกันเป็นเส้นตรงและกำหนดระนาบเดียวกันด้วย
- ตามเกณฑ์ของเส้นตัดกัน เราจะสร้างเส้นโครงแนวนอนของจุดตัดกันของเส้นเหล่านี้ - เคตามการฉายภาพด้านหน้าที่ทราบ: ก 2 ค 2 ∩ บี 2 ดี 2 =เค 2 .
- ให้เราคืนค่าเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพจนกว่ามันจะตัดกับการฉายภาพแนวนอนของเส้นตรง บีดี: บนการฉายภาพแนวทแยง บี 1 ดี 1 เรากำลังสร้าง ถึง 1 .
- ผ่าน ก 1 ถึง 1 เราทำการฉายภาพในแนวทแยง ก 1 กับ 1 .
- หยุดเต็ม กับ 1 ได้มาจากเส้นเชื่อมต่อเส้นโครงจนกระทั่งตัดกับเส้นโครงแนวนอนของเส้นทแยงมุมที่ขยาย ก 1 ถึง 1 .
3.4. เส้นเครื่องบินหลัก
เส้นตรงจำนวนอนันต์สามารถสร้างขึ้นได้ในระนาบ แต่มีเส้นตรงพิเศษที่วางอยู่บนระนาบที่เรียกว่า เส้นหลักของเครื่องบิน (รูปที่ 3.8 – 3.11)
ระดับตรงหรือ ขนานไปกับเครื่องบินเป็นเส้นตรงที่อยู่ในระนาบที่กำหนดและขนานกับระนาบฉายภาพระนาบใดระนาบหนึ่ง
แนวนอนหรือ เส้นระดับแนวนอน ชม.(ขนานแรก) คือเส้นตรงที่อยู่ในระนาบที่กำหนดและขนานกับระนาบแนวนอนของเส้นโครง (π 1)(รูปที่ 3.8 ก; 3.9)
ด้านหน้าหรือ ระดับด้านหน้าตรง ฉ(ขนานที่สอง) เป็นเส้นตรงที่อยู่ในระนาบที่กำหนดและขนานกับระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง (π 2)(รูปที่ 3.8,b; 3.10)
เส้นโปรไฟล์ระดับ พี(ขนานที่สาม) เป็นเส้นตรงที่อยู่ในระนาบที่กำหนดและขนานกับระนาบโปรไฟล์ของเส้นโครง (π 3)(รูปที่ 3.8 ค; 3.11)
รูปที่ 3.8 ก – เส้นตรงแนวนอนของระดับในระนาบที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม
รูปที่ 3.8 ข – เส้นตรงด้านหน้าของระดับในระนาบที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม
รูปที่ 3.8 ค – เส้นโปรไฟล์ระดับในระนาบที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยม
รูปที่ 3.9 – เส้นตรงแนวนอนของระดับในระนาบที่กำหนดโดยราง
รูปที่ 3.10 – เส้นตรงด้านหน้าของระดับในระนาบที่กำหนดโดยราง
รูปที่ 3.11 – เส้นโปรไฟล์ระดับในระนาบที่กำหนดโดยราง
3.5. ตำแหน่งร่วมกันของเส้นตรงและระนาบ
เส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับระนาบที่กำหนดสามารถขนานกันได้และมีจุดร่วมด้วย นั่นคือ ตัดกัน
3.5.1. ความขนานของระนาบตรง
สัญญาณของความขนานของระนาบตรง: เส้นตรงจะขนานกับระนาบหากขนานกับเส้นใดๆ ที่เป็นของระนาบนี้(รูปที่ 3.12)
รูปที่ 3.12 – ความขนานของระนาบตรง
3.5.2. จุดตัดของเส้นกับระนาบ
ในการสร้างจุดตัดของเส้นตรงด้วยระนาบทั่วไป (รูปที่ 3.13) คุณต้อง:
- สรุปตรงๆ. กไปยังระนาบเสริม β (ควรเลือกระนาบของตำแหน่งเฉพาะเป็นระนาบเสริม)
- ค้นหาเส้นตัดของระนาบเสริม β กับระนาบที่กำหนด α
- ค้นหาจุดตัดของเส้นที่กำหนด กกับเส้นตัดกันของระนาบ มน.
รูปที่ 3.13 – การสร้างจุดบรรจบของเส้นตรงกับระนาบ
ออกกำลังกาย
ให้ไว้: ตรง เอบีตำแหน่งทั่วไป ระนาบ σ⊥π 1 (รูปที่ 3.14) สร้างจุดตัดของเส้น เอบีด้วยระนาบ σ
สารละลาย :
- ระนาบ σ ฉายในแนวนอน ดังนั้น ระนาบแนวนอนของระนาบ σ จึงเป็นเส้นตรง σ 1 (เส้นแนวแนวนอนของระนาบ)
- จุด ถึงจะต้องอยู่ในสาย เอบี ⇒ ถึง 1 ∈ก 1 ใน 1 และระนาบที่กำหนด σ ⇒ ถึง 1 ∈σ 1 ดังนั้น ถึง 1 ตั้งอยู่ที่จุดตัดของเส้นโครง ก 1 ใน 1 และ σ 1 ;
- การฉายภาพด้านหน้าของจุด ถึงเราพบผ่านสายสื่อสารการฉายภาพ: ถึง 2 ∈ก 2 ใน 2 .
รูปที่ 3.14 – จุดตัดของเส้นทั่วไปกับระนาบใดระนาบหนึ่ง
ออกกำลังกาย
ให้ไว้: ระนาบ σ = Δ เอบีซี– ตำแหน่งทั่วไป ตรง อีเอฟ(รูปที่ 3.15)
จำเป็นต้องสร้างจุดตัดของเส้น อีเอฟด้วยระนาบ σ
 |
|
| ก | ข |
รูปที่ 3.15 – จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ
- มาสรุปเป็นเส้นตรงกัน อีเอฟลงในระนาบเสริม ซึ่งเราจะใช้ระนาบฉายแนวนอน α (รูปที่ 3.15, a)
- ถ้า α⊥π 1 แล้วระนาบ α ฉายลงบนระนาบฉายภาพ π 1 จะเป็นเส้นตรง (เส้นแนวนอนของระนาบ απ 1 หรือ α 1) ตรงกับ อี 1 เอฟ 1 ;
- มาหาเส้นตัดกัน (1-2) ของระนาบที่ฉาย α กับระนาบ σ (จะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาที่คล้ายกัน)
- เส้นตรง (1-2) และเส้นตรงที่ระบุ อีเอฟอยู่ในระนาบเดียวกัน α แล้วตัดกันที่จุดนั้น เค.
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา (รูปที่ 3.15, b):
ผ่าน อีเอฟมาวาดระนาบเสริม α กัน:
3.6. การกำหนดทัศนวิสัยโดยใช้วิธีจุดแข่งขัน
เมื่อประเมินตำแหน่งของเส้นที่กำหนด จำเป็นต้องพิจารณาว่าจุดใดของเส้นที่อยู่ใกล้เรามากขึ้น (ไกลออกไป) ในฐานะผู้สังเกตการณ์เมื่อดูที่ระนาบการฉายภาพ π 1 หรือ π 2
คะแนนที่เป็นของวัตถุที่แตกต่างกันและบนระนาบการฉายภาพใดระนาบหนึ่งการฉายภาพจะตรงกัน (นั่นคือสองจุดถูกฉายเป็นหนึ่งเดียว) เรียกว่าการแข่งขันบนระนาบการฉายภาพนี้.
จำเป็นต้องกำหนดทัศนวิสัยบนระนาบการฉายภาพแต่ละอันแยกจากกัน
ทัศนวิสัยที่ π 2 (รูปที่ 3.15)
ให้เราเลือกแต้มที่แข่งขันกันที่ π 2 – แต้ม 3 และ 4 ให้แต้ม 3∈ VS∈σ, จุดที่ 4∈ อีเอฟ.
ในการกำหนดการมองเห็นของจุดบนระนาบการฉายภาพ π 2 จำเป็นต้องกำหนดตำแหน่งของจุดเหล่านี้บนระนาบการฉายภาพแนวนอนเมื่อดูที่ π 2
ทิศทางการมองเห็นไปทาง π 2 จะแสดงด้วยลูกศร
จากการฉายภาพแนวนอนของจุดที่ 3 และ 4 เมื่อดูที่ π 2 จะเห็นได้ชัดว่าจุดที่ 4 1 อยู่ใกล้ผู้สังเกตมากกว่า 3 1
4 1 ∈อี 1 เอฟ 1 ⇒ 4∈อีเอฟ⇒ บน π 2 จุด 4 จะมองเห็นได้ โดยนอนอยู่บนเส้นตรง อีเอฟดังนั้นตรง อีเอฟในพื้นที่จุดแข่งขันที่พิจารณาจะอยู่ด้านหน้าระนาบ σ และจะมองเห็นได้จนถึงจุดนั้น เค
ทัศนวิสัยที่ π 1
เพื่อกำหนดการมองเห็น เราเลือกจุดที่แข่งขันกันที่ π 1 - จุดที่ 2 และ 5
ในการกำหนดการมองเห็นของจุดบนระนาบการฉายภาพ π 1 จำเป็นต้องกำหนดตำแหน่งของจุดเหล่านี้บนระนาบการฉายภาพด้านหน้าเมื่อดูที่ π 1
ทิศทางการมองเห็นไปทาง π 1 จะแสดงด้วยลูกศร
จากการฉายหน้าผากของจุดที่ 2 และ 5 เมื่อดูที่ π 1 จะเห็นได้ชัดว่าจุดที่ 2 2 อยู่ใกล้ผู้สังเกตมากกว่า 5 2
2 1 ∈ก 2 ใน 2 ⇒ 2∈เอบี⇒ บน π 1 จุด 2 จะมองเห็นได้ โดยนอนอยู่บนเส้นตรง เอบีดังนั้นตรง อีเอฟในพื้นที่จุดแข่งขันที่พิจารณาจะอยู่ใต้ระนาบ σ และจะมองไม่เห็นจนถึงจุดนั้น เค– จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ σ
จุดแข่งขันที่มองเห็นได้หนึ่งในสองจุดคือจุดที่มีพิกัด "Z" และ/หรือ "Y" มากกว่า
3.7. ความตั้งฉากกับระนาบตรง
สัญญาณของการตั้งฉากของระนาบตรง: เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบถ้ามันตั้งฉากกับเส้นตัดกันสองเส้นที่อยู่ในระนาบที่กำหนด
 |
|
| ก | ข |
รูปที่ 3.16 – การกำหนดเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ
ทฤษฎีบท. ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ จากนั้นในแผนภาพ: การฉายภาพแนวนอนของเส้นตรงตั้งฉากกับการฉายภาพแนวนอนของแนวนอนของเครื่องบิน และการฉายภาพด้านหน้าของเส้นตรงจะตั้งฉากกับการฉายภาพด้านหน้าของ หน้าผาก (รูปที่ 3.16, b)
ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ผ่านทฤษฎีบทเรื่องการฉายภาพมุมฉากในกรณีพิเศษ
หากระนาบถูกกำหนดโดยเส้นโครง เส้นโครงของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบจะตั้งฉากกับเส้นโครงที่สอดคล้องกันของระนาบ (รูปที่ 3.16, a)
ให้มันตรงไป พีตั้งฉากกับระนาบ σ=Δ เอบีซีและผ่านจุดนั้นไป เค.
- มาสร้างเส้นแนวนอนและเส้นหน้าในระนาบ σ=Δ กัน เอบีซี : เอ-1∈σ; เอ-1//π 1 ; เอส-2∈σ; เอส-2//π2 .
- มาฟื้นฟูจากจุดกันเถอะ เคตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด: หน้า 1⊥ชั่วโมง 1และ หน้า 2⊥ฉ 2, หรือ หน้า 1⊥απ 1 และ หน้า 2⊥απ 2
3.8. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเครื่องบินสองลำ
3.8.1. ความเท่าเทียมของเครื่องบิน
ระนาบสองระนาบสามารถขนานและตัดกันได้
สัญลักษณ์ของความขนานกันของเครื่องบินสองลำ: ระนาบสองระนาบจะขนานกันถ้าเส้นที่ตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกันกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นของระนาบอื่น
ออกกำลังกาย
ระนาบตำแหน่งทั่วไปจะได้รับ α=Δ เอบีซีและช่วงเวลา เอฟ∉α (รูปที่ 3.17)
ผ่านจุด เอฟวาดระนาบ β ขนานกับระนาบ α
รูปที่ 3.17 – การสร้างระนาบขนานกับระนาบที่กำหนด
สารละลาย :
ในฐานะที่เป็นเส้นตัดกันของระนาบ α ให้เรายกตัวอย่าง ด้านของสามเหลี่ยม AB และ BC
- ผ่านจุด เอฟเราดำเนินการโดยตรง มขนาน เช่น เอบี.
- ผ่านจุด เอฟหรือผ่านจุดใด ๆ ที่เป็นของ มให้เราวาดเส้นตรง nขนาน เช่น ดวงอาทิตย์, และ ม∩น=ฉ.
- β = ม∩nและ β//α ตามคำจำกัดความ
3.8.2. จุดตัดของเครื่องบิน
ผลการตัดกันของระนาบ 2 ระนาบเป็นเส้นตรง เส้นตรงใดๆ บนเครื่องบินหรือในอวกาศสามารถกำหนดได้โดยไม่ซ้ำกันด้วยจุดสองจุด ดังนั้น เพื่อสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ คุณควรหาจุดสองจุดร่วมกันในระนาบทั้งสอง แล้วจึงเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน
ลองพิจารณาตัวอย่างจุดตัดกันของระนาบสองระนาบที่มีวิธีกำหนดระนาบต่างกัน: ตามรอย; สามแต้มที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน เส้นขนาน; เส้นตัดกัน ฯลฯ
ออกกำลังกาย
ระนาบ α และ β สองระนาบถูกกำหนดโดยการติดตาม (รูปที่ 3.18) สร้างเส้นตัดกันของเครื่องบิน
รูปที่ 3.18 – จุดตัดของระนาบทั่วไปที่กำหนดโดยร่องรอย
ขั้นตอนการสร้างแนวตัดกันของระนาบ:
- ค้นหาจุดตัดของร่องรอยแนวนอน - นี่คือจุด ม(การคาดการณ์ของเธอ ม 1 และ ม 2 ในขณะที่ ม 1 =ม, เพราะ เอ็ม –จุดส่วนตัวของเครื่องบิน π 1)
- ค้นหาจุดตัดของรอยทางด้านหน้า - นี่คือจุด เอ็น(การคาดการณ์ของเธอ เอ็น 1 และ เอ็น 2 ในขณะที่ เอ็น 2 = เอ็น, เพราะ เอ็น –จุดส่วนตัวของเครื่องบิน π 2)
- สร้างเส้นตัดกันของเครื่องบินโดยเชื่อมต่อการฉายภาพของจุดผลลัพธ์ที่มีชื่อเดียวกัน: ม 1 เอ็น 1 และ ม 2 เอ็น 2 .
มเอ็น– เส้นตัดกันของเครื่องบิน
ออกกำลังกาย
ให้ระนาบ σ = Δ เอบีซี, ระนาบ α – การฉายในแนวนอน (α⊥π 1) ⇒α 1 – การเคลื่อนที่ตามแนวนอนของระนาบ (รูปที่ 3.19)
สร้างเส้นตัดกันของระนาบเหล่านี้
สารละลาย :
เนื่องจากระนาบ α ตัดกับด้านข้าง เอบีและ เครื่องปรับอากาศสามเหลี่ยม เอบีซีแล้วจุดตัดกัน เคและ ลด้านเหล่านี้ที่มีระนาบ α เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับระนาบทั้งสองที่ให้มา ซึ่งจะช่วยให้สามารถหาเส้นตัดที่ต้องการได้โดยการเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน
จุดสามารถพบได้เป็นจุดตัดกันของเส้นตรงกับระนาบที่ฉาย: เราพบจุดฉายในแนวนอน เคและ ล, นั่นคือ เค 1 และ ล 1 ที่จุดตัดของเส้นแนวนอน (α 1) ของระนาบที่กำหนด α โดยมีเส้นโครงแนวนอนของด้านข้าง Δ เอบีซี: ก 1 ใน 1 และ ก 1 ค 1. จากนั้น เมื่อใช้สายสื่อสารแบบฉายภาพ เราจะพบส่วนที่ฉายด้านหน้าของจุดเหล่านี้ K2และ ล 2 บนเส้นโครงด้านหน้าของเส้นตรง เอบีและ เครื่องปรับอากาศ. มาเชื่อมโยงการฉายภาพที่มีชื่อเดียวกัน: เค 1 และ ล 1 ; K2และ ล 2. เส้นตัดกันของระนาบที่กำหนดจะถูกวาดขึ้น
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา:
เคแอล– เส้นตัด Δ เอบีซีและ σ (α∩σ = เคแอล).
รูปที่ 3.19 – จุดตัดของระนาบทั่วไปและระนาบเฉพาะ
ออกกำลังกาย
ให้ระนาบ α = m//n และระนาบ β = Δ เอบีซี(รูปที่ 3.20)
สร้างเส้นตัดกันของระนาบที่กำหนด
สารละลาย :
- ในการค้นหาจุดร่วมของระนาบทั้งสองที่กำหนดและกำหนดเส้นตัดกันของระนาบ α และ β จำเป็นต้องใช้ระนาบเสริมของตำแหน่งเฉพาะ
- ดังเช่นระนาบดังกล่าว เราจะเลือกระนาบเสริมสองระนาบในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง เช่น σ // τ; ซิ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
- ระนาบที่เพิ่งเปิดตัวตัดกันกับระนาบที่กำหนด α และ β ตามแนวเส้นตรงขนานกันเนื่องจาก σ // τ:
— ผลลัพธ์ของจุดตัดของระนาบ α, σ และ τ เป็นเส้นตรง (4-5) และ (6-7)
— ผลลัพธ์ของจุดตัดของระนาบ β, σ และ τ คือเส้นตรง (3-2) และ (1-8)
- เส้นตรง (4-5) และ (3-2) อยู่ในระนาบ σ; จุดตัดของพวกเขา มพร้อมกันนั้นอยู่ในระนาบ α และ β นั่นคือบนเส้นตรงของจุดตัดของระนาบเหล่านี้
- ในทำนองเดียวกันเราก็พบประเด็น เอ็นทั่วไปในระนาบ α และ β
- การเชื่อมต่อจุดต่างๆ มและ เอ็นลองสร้างเส้นตรงของจุดตัดของระนาบ α และ β กัน
รูปที่ 3.20 – จุดตัดกันของระนาบสองระนาบในตำแหน่งทั่วไป (กรณีทั่วไป)
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา:
ออกกำลังกาย
กำหนดระนาบ α = Δ เอบีซีและ β = ก//ข. สร้างเส้นตัดกันของระนาบที่กำหนด (รูปที่ 3.21)
รูปที่ 3.21 การแก้ปัญหาทางแยกเครื่องบิน
สารละลาย :
ให้เราใช้ระนาบซีแคนต์เสริมของตำแหน่งเฉพาะ ให้เราแนะนำพวกเขาในลักษณะที่จะลดจำนวนการก่อสร้าง ตัวอย่างเช่น เรามาแนะนำระนาบ σ⊥π 2 โดยล้อมเส้นตรงไว้ กเข้าไปในระนาบเสริม σ (σ∈ ก). ระนาบ σ ตัดกับระนาบ α ตามเส้นตรง (1-2) และ σ∩β= ก. ดังนั้น (1-2)∩ ก=เค.
จุด ถึงเป็นของทั้งระนาบ α และ β
เพราะฉะนั้นประเด็น เค, เป็นหนึ่งในจุดที่จำเป็นเพื่อให้เส้นตัดของระนาบ α และ β ที่กำหนดผ่านไป
หากต้องการค้นหาจุดที่สองที่เป็นของเส้นตัดกันของ α และ β เราจะสรุปเส้นนี้ ขเข้าไปในระนาบเสริม τ⊥π 2 (τ∈ ข).
การเชื่อมต่อจุดต่างๆ เคและ ลเราได้เส้นตรงของจุดตัดของระนาบ α และ β
3.8.3. ระนาบตั้งฉากซึ่งกันและกัน
ระนาบจะตั้งฉากกันถ้ามีอันใดอันหนึ่งผ่านตั้งฉากกับอีกอันหนึ่ง
ออกกำลังกาย
ให้ระนาบ σ⊥π 2 และเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไป – เด(รูปที่ 3.22)
จำเป็นต้องสร้างผ่าน เดเครื่องบิน τ⊥σ
สารละลาย .
ลองวาดเส้นตั้งฉากกัน ซีดีไปยังระนาบ σ – ค 2 ดี 2 ⊥σ 2 (ขึ้นอยู่กับ )
รูปที่ 3.22 – การสร้างระนาบตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด
โดยทฤษฎีบทการฉายภาพมุมขวา ค 1 ดี 1 จะต้องขนานกับแกนฉายภาพ เส้นตัดกัน ซีดี∩เดกำหนดระนาบ τ ดังนั้น τ⊥σ
เหตุผลที่คล้ายกันในกรณีเครื่องบินทั่วไป
ออกกำลังกาย
ให้ระนาบ α = Δ เอบีซีและช่วงเวลา เคนอกระนาบ α
จำเป็นต้องสร้างระนาบ β⊥α ที่ผ่านจุดนั้น เค.
อัลกอริธึมโซลูชัน(รูปที่ 3.23):
- มาสร้างเส้นแนวนอนกัน ชม.และด้านหน้า ฉในระนาบที่กำหนด α = Δ เอบีซี;
- ผ่านจุด เคลองวาดเส้นตั้งฉากกัน ขไปยังระนาบ α (ตาม ตั้งฉากกับทฤษฎีบทระนาบ: ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้นเส้นโครงของมันจะตั้งฉากกับเส้นโครงเอียงของเส้นแนวนอนและแนวหน้าที่วางอยู่ในระนาบ:ข 2⊥ฉ 2; ข 1⊥ชั่วโมง 1;
- เรากำหนดระนาบ β ด้วยวิธีใดก็ตาม เช่น β = ก∩ขดังนั้น ระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจึงถูกสร้างขึ้น: α⊥β
รูปที่ 3.23 – การสร้างระนาบตั้งฉากกับ Δ ที่กำหนดให้ เอบีซี
3.9. ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1. ระนาบที่กำหนด α = ม//n(รูปที่ 3.24) เป็นที่ทราบกันว่า เค∈α.
สร้างภาพฉายด้านหน้าของจุด ถึง.
รูปที่ 3.24
2. สร้างร่องรอยของเส้นที่กำหนดโดยส่วน ซี.บี.และระบุจตุภาคที่มันผ่านไป (รูปที่ 3.25)
รูปที่ 3.25
3. สร้างเส้นโครงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นของระนาบ α⊥π 2 หากเป็นเส้นทแยงมุม มน//π 2 (รูปที่ 3.26)
รูปที่ 3.26
4. สร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดีด้วยด้านที่ใหญ่กว่า ดวงอาทิตย์บนเส้นตรง มโดยขึ้นอยู่กับเงื่อนไขว่าอัตราส่วนของด้านเป็น 2 (รูปที่ 3.27)
รูปที่ 3.27
5. ระนาบที่กำหนด α= ก//ข(รูปที่ 3.28) สร้างระนาบ β ขนานกับระนาบ α และอยู่ห่างจากระนาบนั้นที่ระยะ 20 มม.
รูปที่ 3.28
6. ระนาบที่กำหนด α=∆ เอบีซีและช่วงเวลา ดี ดีเครื่องบิน β⊥α และ β⊥π 1 .
7. ระนาบที่กำหนด α=∆ เอบีซีและช่วงเวลา ดีออกจากเครื่องบิน สร้างผ่านจุด ดีโดยตรง เด//αและ เด//π 1 .
ระบบระนาบสามระนาบตั้งฉากกัน
การก่อตัวของภาพวาดที่ซับซ้อน (แผนภาพ)
เพื่อความสะดวกในการใช้ภาพที่เป็นผลจากระบบอวกาศของเครื่องบิน เรามาดูภาพแบบระนาบกันดีกว่า
สำหรับสิ่งนี้:
1. ให้เราใช้วิธีการหมุนระนาบ p 1 รอบแกน X จนกระทั่งมันอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ p 2 (รูปที่ 1)
2. รวมระนาบ p 1 และ p 2 ไว้ในระนาบการวาดภาพเดียว (รูปที่ 2)
| ภาพที่ 1 | รูปที่ 2 |
เส้นโครง A 1 และ A 2 อยู่บนเส้นเชื่อมต่อเดียวกันซึ่งตั้งฉากกับแกน X เส้นนี้มักเรียกว่าเส้นเชื่อมต่อเส้นโครง (รูปที่ 3)
รูปที่ 3
เนื่องจากระนาบการฉายภาพถือว่าไม่มีที่สิ้นสุดในอวกาศ จึงไม่จำเป็นต้องอธิบายขอบเขตของระนาบ p 1, p 2 (รูปที่ 4)
รูปที่ 4
อันเป็นผลมาจากการรวมระนาบ p 1 และ p 2 จะได้รูปวาดหรือแผนภาพที่ซับซ้อน (จากรูปวาด epure ของฝรั่งเศส) องศา. วาดในระบบ p 1 และ p 2 หรือในระบบของระนาบการฉายภาพสองลำ หลังจากแทนที่ภาพที่มองเห็นด้วยแผนภาพ เราได้สูญเสียภาพเชิงพื้นที่ของตำแหน่งของระนาบและจุดที่ฉายภาพ แต่ไดอะแกรมให้ภาพที่แม่นยำและง่ายต่อการวัดพร้อมโครงสร้างที่เรียบง่ายอย่างมาก
จุดที่กำหนดในอวกาศสามารถมีตำแหน่งที่แตกต่างกันโดยสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ
การสร้างภาพจุดสามารถทำได้หลายวิธี:
- คำพูด (วาจา);
- กราฟิก (ภาพวาด);
- ภาพ (ปริมาตร);
- ระนาบ (การวาดภาพที่ซับซ้อน)
ตารางที่ 1
ตัวอย่างภาพจุดที่อยู่ในระนาบ p 1 และ p 2
| ตำแหน่งจุด | การแสดงภาพ | การวาดภาพที่ซับซ้อน | สัญญาณลักษณะ |
| จุด A เป็นของระนาบ p 1 | A 1 – ต่ำกว่าแกน X, A 2 – บนแกน X | ||
| จุด B เป็นของระนาบ p 1 | B 1 – เหนือแกน X, B 2 – บนแกน X | ||
| จุด C เป็นของระนาบ p 2 | C 2 – เหนือแกน X, C 1 – บนแกน X | ||
| จุด D เป็นของระนาบ p 2 | D 1 – บนแกน X, D 2 – ต่ำกว่าแกน X | ||
| จุด E อยู่ในแกน X | E 1 เกิดขึ้นพร้อมกับ E 2 และอยู่ในแกน X |
ภาพที่ 1
พิจารณาระนาบสามระนาบตั้งฉากกันหน้า 1 , หน้า 2 , หน้า 3 (ข้าว. 1). ระนาบแนวตั้ง p 3 เรียกว่า ฉันเครื่องบินฉายโปรไฟล์ ตัดกันระนาบที่ 1 , หน้า 2 , p 3 สร้างแกนฉายภาพ ในขณะที่ช่องว่างแบ่งออกเป็น 8 ออคแทนต์
พี 1 พี 2 = x; -x
พี 1 พี 3 = ย; -y
พี 2 พี 3 = z; -z
0 – จุดตัดของแกนฉาย
ระนาบการฉายซึ่งตัดกันเป็นคู่กำหนดแกนสามแกน x, y, z ซึ่งถือได้ว่าเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน: แกน เอ็กซ์มักเรียกว่าแกนแอบซิสซา (แกนแอบซิสซา) ย– กำหนดแกน, แกน ซี– ใช้แกนซึ่งเป็นจุดตัดของแกนแสดงด้วยตัวอักษร เกี่ยวกับ,เป็นที่มาของพิกัด
เพื่อให้ได้ภาพวาดที่ซับซ้อน เราใช้วิธีการหมุนระนาบ p 1 และ p 3 จนกระทั่งพวกมันอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ p 2 มุมมองสุดท้ายของระนาบทั้งหมดในออคเทนต์แรกแสดงไว้ในรูปที่ 1 2.
รูปที่ 2
นี่คือแกน โอ้และ ออนซ์นอนอยู่ในระนาบคงที่ p 2 จะแสดงแกนเพียงครั้งเดียว โอ้แสดงสองครั้ง สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อหมุนด้วยระนาบ p 1 ซึ่งเป็นแกน ยบนแผนภาพจะรวมกับแกน ออนซ์และหมุนด้วยระนาบ p 3 แกนเดียวกันนี้เกิดขึ้นพร้อมกับแกน โอ้.
จุดใดๆ ในอวกาศจะถูกระบุโดยพิกัด ด้วยเครื่องหมายของพิกัด คุณสามารถกำหนดเลขฐานแปดซึ่งมีจุดที่กำหนดอยู่ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะใช้ตาราง 1 ซึ่งพิจารณาเครื่องหมายของพิกัดในเลขฐานแปด 1–4 (ไม่ได้นำเสนอเลขฐานแปด 5–8 พวกมันมีค่าเป็นลบ เอ็กซ์, ก ยและ zซ้ำ)
ตารางที่ 1
| x | ย | z | ออกเทนต์ |
| + | + | + | ฉัน |
| + | _ | + | ครั้งที่สอง |
| + | _ | _ | สาม |
| + | + | _ | IV |
10.1 มุมไดฮีดรัล มุมระหว่างระนาบ
เส้นตัดกันสองเส้นประกอบกันเป็นมุมแนวตั้งสองคู่ เช่นเดียวกับที่เส้นตัดกันสองเส้นบนระนาบก่อให้เกิดมุมแนวตั้งคู่หนึ่ง (รูปที่ 89, a) ดังนั้น ระนาบที่ตัดกันสองเส้นในอวกาศจึงสร้างมุมไดฮีดรัลแนวตั้งสองคู่ (รูปที่ 89, b)
ข้าว. 89
มุมไดฮีดรัลคือรูปที่ประกอบด้วยระนาบครึ่งระนาบสองอันซึ่งมีเส้นตรงที่มีขอบเขตร่วมกันและไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน (รูปที่ 90) ระนาบครึ่งระนาบนั้นเรียกว่าใบหน้าของมุมไดฮีดรัล และเส้นตรงขอบเขตร่วมของพวกมันเรียกว่าขอบ
ข้าว. 90
มุมไดฮีดรัลมีการวัดดังนี้
ให้เราใช้จุด O บนขอบ p ของมุมไดฮีดรัลที่มีหน้า α และ β วาดรังสี a และ b จากจุด O ที่ใบหน้า โดยตั้งฉากกับขอบ p: a - ในหน้า α และ b - ในหน้า β (รูปที่ 91 , ก)
ข้าว. 91
มุมที่มีด้าน a, b เรียกว่า มุมไดฮีดรัลเชิงเส้น
ขนาดของมุมเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดยอดบนขอบของมุมไดฮีดรัล
อันที่จริง ลองใช้จุดอื่น O 1 ของขอบ p แล้ววาดรังสี a 1 ⊥ p และ b 1 ⊥ p ในหน้า α และ β (รูปที่ 91, b)
ให้เราพล็อตรังสี a ส่วน OA บนรังสี a 1 ส่วน O 1 A 1 เท่ากับส่วน OA บนเรย์ b ส่วน OB และบนเรย์ b 1 ส่วน O 1 B 1 เท่ากับส่วน OB (รูปที่ 91, c)
ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า OAA 1 O 1 และ 0BB 1 0 1 ด้าน AA 1 และ BB 1 จะเท่ากับด้านร่วม OO 1 และขนานกับด้านนั้น ดังนั้น AA 1 = BB 1 และ AA 1 || บีบี 1.
ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยม ABV 1 A 1 จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 91, d) ซึ่งหมายถึง AB = A 1 B 1 ดังนั้น สามเหลี่ยม ABO และ A 1 B 1 O 1 เท่ากัน (สามด้าน) และมุม ab เท่ากับมุม a 1 b 1
ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความได้ดังนี้ ขนาดของมุมไดฮีดรัลคือขนาดของมุมเชิงเส้น
มุมระหว่างระนาบที่ตัดกันคือขนาดของมุมไดฮีดรัลที่เล็กกว่าที่เกิดจากระนาบเหล่านั้น ถ้ามุมนี้คือ 90° ระนาบจะเรียกว่าตั้งฉากกัน มุมระหว่างระนาบขนานจะถือว่าเป็น 0°
มุมระหว่างระนาบ α และ β รวมถึงค่าของมุมไดฮีดรัลที่มีใบหน้า α และ β จะแสดงแทน ∠αβ
มุมระหว่างหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบร่วมคือค่าของมุมไดฮีดรัลที่สอดคล้องกับหน้าเหล่านี้
10.2 คุณสมบัติของระนาบตั้งฉากกัน
คุณสมบัติ 1. เส้นตรงที่วางอยู่ในระนาบหนึ่งในสองระนาบที่ตั้งฉากกันและตั้งฉากกับเส้นตรงร่วมนั้นจะตั้งฉากกับระนาบอีกอัน
การพิสูจน์. ปล่อยให้ระนาบ α และ β ตั้งฉากกันและตัดกันเป็นเส้นตรง c ปล่อยให้เส้นตรงอยู่ในระนาบ α และ ⊥ с (รูปที่ 92) เส้น a ตัดกับ c ที่จุด O ให้เราวาดเส้น b ในระนาบ β ถึงจุด O ซึ่งตั้งฉากกับเส้น c เนื่องจาก α ⊥ β แล้ว a ⊥ b เนื่องจาก a ⊥ b และ a ⊥ c ดังนั้น α ⊥ β ขึ้นอยู่กับความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ
ข้าว. 92
ทรัพย์ที่ 2 เป็นการกลับกันของทรัพย์ที่ 1
คุณสมบัติ 2. เส้นตรงที่มีจุดร่วมกับระนาบหนึ่งในสองระนาบตั้งฉากกันและตั้งฉากกับระนาบอีกระนาบหนึ่งจะอยู่ที่ระนาบแรก
การพิสูจน์. ปล่อยให้ระนาบ α และ β ตั้งฉากกันและตัดกันเป็นเส้นตรง c เส้นตรง a ⊥ β และ a มีจุด A ร่วมด้วย (รูปที่ 93) ผ่านจุด A เราวาดเส้นตรง p ในระนาบ α ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง c ตามคุณสมบัติ 1 p ⊥ β เส้น a และ p ผ่านจุด A และตั้งฉากกับระนาบ β ดังนั้นจึงเกิดขึ้นพร้อมกันเนื่องจากมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุดหนึ่งซึ่งตั้งฉากกับระนาบหนึ่ง เนื่องจากเส้นตรง p อยู่ในระนาบ α ดังนั้นเส้นตรง a จึงอยู่ในระนาบ α
ข้าว. 93
ผลที่ตามมาของคุณสมบัติ 2 คือสัญญาณของการตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบต่อไปนี้: หากระนาบสองระนาบตั้งฉากกับระนาบที่สามตัดกัน เส้นของจุดตัดกันจะตั้งฉากกับระนาบที่สาม
การพิสูจน์. ให้ระนาบ α และ β สองระนาบตัดกันเป็นเส้นตรง a ตั้งฉากกับระนาบ γ (รูปที่ 94) จากนั้นลากเส้นตั้งฉากกับระนาบ γ ผ่านจุดใดๆ ของเส้น a ตามคุณสมบัติ 2 เส้นนี้อยู่ในระนาบ α และในระนาบ β กล่าวคือ มันเกิดขึ้นพร้อมกับเส้น a ดังนั้น ⊥ γ
ข้าว. 94
10.3 สัญลักษณ์ของความตั้งฉากของระนาบ
เริ่มจากตัวอย่างเชิงปฏิบัติกันก่อน ระนาบของประตูที่แขวนอยู่บนวงกบที่ตั้งฉากกับพื้นจะตั้งฉากกับระนาบของพื้นในตำแหน่งใด ๆ ของประตู (รูปที่ 95) เมื่อต้องการตรวจสอบว่ามีการติดตั้งพื้นผิวเรียบ (ผนัง รั้ว ฯลฯ) ในแนวตั้งหรือไม่ ให้ดำเนินการโดยใช้สายดิ่ง - เชือกที่รับน้ำหนัก เส้นดิ่งอยู่ในแนวตั้งเสมอและผนังตั้งอยู่ในแนวตั้งหากเส้นดิ่งที่อยู่ตามแนวนั้นไม่เบี่ยงเบน ตัวอย่างเหล่านี้บอกเราถึงสัญญาณง่ายๆ ต่อไปนี้ของความตั้งฉากของระนาบ: ถ้าระนาบผ่านตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉากกัน
ข้าว. 95
การพิสูจน์. ปล่อยให้ระนาบ α มีเส้นตั้งฉากกับระนาบ β (ดูรูปที่ 92) จากนั้นให้เส้นตรงที่ระนาบ β ตัดกัน ณ จุด O จุด O อยู่บนเส้น c ตามแนวที่ระนาบ α และ β ตัดกัน ให้เราวาดเส้น b ในระนาบ β ผ่านจุด O ซึ่งตั้งฉากกับเส้น c เนื่องจาก a ⊥ β แล้วก็ a ⊥ b และ a ⊥ c ซึ่งหมายความว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบ α และ β ที่ตัดกันนั้นเป็นเส้นตรง ดังนั้น ระนาบ α และ β จึงตั้งฉากกัน
โปรดทราบว่าเส้นตรง a, b และ c แต่ละสองในสามเส้นที่พิจารณาในขณะนี้ (ดูรูปที่ 92) นั้นตั้งฉากกัน ถ้าเราสร้างเส้นอีกเส้นหนึ่งที่ผ่านจุด O และตั้งฉากกับเส้นสองในสามเส้นนี้ เส้นนั้นจะตรงกับเส้นที่สาม ข้อเท็จจริงนี้พูดถึงความเป็นสามมิติของพื้นที่รอบตัวเรา ไม่มีเส้นที่สี่ตั้งฉากกับแต่ละเส้น a, b และ c
คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง
- มุมไดฮีดรัลคำนวณอย่างไร?
- จะคำนวณมุมระหว่างระนาบได้อย่างไร?
- ระนาบใดที่เรียกว่าตั้งฉากกัน?
- คุณรู้คุณสมบัติอะไรของระนาบตั้งฉากซึ่งกันและกัน?
- คุณรู้สัญญาณอะไรของการตั้งฉากของเครื่องบิน?
ภารกิจที่ 4
ภารกิจที่ 3
ภารกิจที่ 2
ภารกิจที่ 1
การก่อตัวของภาพวาดที่ซับซ้อน (แผนภาพ)
เพื่อความสะดวกในการใช้ภาพที่เป็นผลจากระบบอวกาศของเครื่องบิน เรามาดูภาพแบบระนาบกันดีกว่า
สำหรับสิ่งนี้:
1. ใช้วิธีการหมุนระนาบ p 1 รอบแกน X จนอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ p 2 (รูปที่ 2.7)
2. รวมระนาบ p 1 และ p 2 ไว้ในระนาบการวาดภาพเดียว (รูปที่ 2.8)
 |
|
| ข้าว. 2.7 | ข้าว. 2.8 |
เส้นโครง A 1 และ A 2 อยู่บนเส้นเชื่อมต่อเดียวกันซึ่งตั้งฉากกับแกน X เส้นนี้เรียกว่าเส้นเชื่อมต่อเส้นโครง (รูปที่ 2.9)
เนื่องจากระนาบการฉายภาพถือว่าไม่มีที่สิ้นสุดในอวกาศ จึงไม่จำเป็นต้องอธิบายขอบเขตของระนาบ p 1, p 2 (รูปที่ 2.10)
อันเป็นผลมาจากการรวมระนาบ p 1 และ p 2 จะได้รูปวาดหรือแผนภาพที่ซับซ้อน (จากรูปวาด epure ของฝรั่งเศส) เช่น วาดในระบบ p 1 และ p 2 หรือในระบบของระนาบการฉายภาพสองลำ หลังจากแทนที่ภาพที่มองเห็นด้วยแผนภาพ เราได้สูญเสียภาพเชิงพื้นที่ของตำแหน่งของระนาบและจุดที่ฉายภาพ แต่ไดอะแกรมให้ภาพที่แม่นยำและง่ายต่อการวัดพร้อมโครงสร้างที่เรียบง่ายอย่างมาก การจินตนาการภาพเชิงพื้นที่จากแผนภาพต้องใช้จินตนาการ เช่น ตามรูปที่ 1 2.11 คุณต้องจินตนาการถึงภาพที่แสดงในรูปที่ 1 2.12.
หากมีแกนฉายภาพในภาพวาดที่ซับซ้อนตามแนวฉาย A 1 และ A 2 คุณสามารถสร้างตำแหน่งของจุด A ที่สัมพันธ์กับ p 1 และ p 2 (ดูรูปที่ 2.5 และ 2.6) เปรียบเทียบรูป 2.11 และ 2.12 เป็นเรื่องง่ายที่จะระบุว่าส่วน A 2 A X คือระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ p 1 และส่วน A 1 A X คือระยะห่างจากจุด A ถึง p 2 ตำแหน่งของ A 2 เหนือแกนฉายหมายความว่าจุด A อยู่เหนือระนาบ p 1 หาก A 1 บนแผนภาพอยู่ใต้แกนฉายภาพ ดังนั้นจุด A จะอยู่ด้านหน้าระนาบ p 2 ดังนั้น การฉายภาพในแนวนอนของภาพเรขาคณิตจะกำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับระนาบส่วนหน้าของการฉายภาพ p 2 และการฉายภาพด้านหน้าของภาพเรขาคณิต ซึ่งสัมพันธ์กับระนาบแนวนอนของการฉายภาพ p 1 .
 |  |
| ข้าว. 2.11 | ข้าว. 2.12 |
§ 4. ลักษณะของตำแหน่งของจุดในระบบ p 1 และ p 2
จุดที่กำหนดในอวกาศสามารถมีตำแหน่งที่แตกต่างกันโดยสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ (รูปที่ 2.13)
พิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับตำแหน่งของจุดในช่องว่างของควอเตอร์แรก:
1. จุดหนึ่งตั้งอยู่ในช่องว่างของควอเตอร์แรกที่ระยะห่างจากแกน X และระนาบ p 1 p 2 เช่นจุด A, B (จุดดังกล่าวเรียกว่าจุดของตำแหน่งทั่วไป) (รูปที่ 2.14 และรูปที่ . 2.15).
3. จุด K เป็นของทั้งระนาบ p 1 และ p 2 พร้อมกันนั่นคือมันเป็นของแกน X (รูปที่ 2.18):
จากข้อมูลข้างต้นเราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:
1. หากจุดอยู่ในช่องว่างของควอเตอร์แรก เส้นโครง A 2 จะอยู่เหนือแกน X และ A 1 อยู่ต่ำกว่าแกน X A 2 A 1 – นอนอยู่บนเส้นตั้งฉากเดียวกัน (เส้นเชื่อมต่อ) กับแกน X (รูปที่ 2.14)
2. หากจุดนั้นเป็นของระนาบ p 2 ดังนั้นเส้นโครงของมัน C 2 C (ตรงกับจุด C เอง) และการฉายภาพ C 1 X (เป็นของแกน X) และเกิดขึ้นพร้อมกับ C X: C 1 C X
3. หากจุดนั้นเป็นของระนาบ p 1 ดังนั้นการฉายภาพ D 1 บนระนาบนี้จะตรงกับจุด D D 1 เองและการฉายภาพ D 2 นั้นเป็นของแกน X และเกิดขึ้นพร้อมกับ D X: D 2 D X
4. หากจุดเป็นของแกน X ดังนั้นเส้นโครงทั้งหมดจะตรงกันและอยู่ในแกน X: K K 1 K 2 K X
ออกกำลังกาย:
1. กำหนดลักษณะตำแหน่งของจุดในช่องว่างของควอเตอร์แรก (รูปที่ 2.19)
2. สร้างภาพและการวาดภาพจุดที่ครอบคลุมตามคำอธิบาย:
ก) จุด C อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และอยู่ห่างจากระนาบ p 1 และ p 2 เท่าๆ กัน
b) จุด M เป็นของระนาบ p 2
c) จุด K อยู่ในควอเตอร์แรกและระยะทางถึง p 1 นั้นใหญ่เป็นสองเท่าของระนาบ p 2
d) จุด L อยู่ในแกน X
3. สร้างภาพวาดจุดที่ซับซ้อนตามคำอธิบาย:
ก) จุด P อยู่ในควอเตอร์แรก และระยะห่างจากระนาบ p 2 มากกว่าจากระนาบ p 1
b) จุด A ตั้งอยู่ในควอเตอร์แรกและระยะห่างจากระนาบ p 1 มากกว่าระนาบ p 2 ถึง 3 เท่า
c) จุด B อยู่ในควอเตอร์แรกและระยะห่างจากเครื่องบินคือ p 1 = 0
4. เปรียบเทียบตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ p 1 และ p 2 และระหว่างกัน การเปรียบเทียบจะขึ้นอยู่กับลักษณะหรือคุณลักษณะ สำหรับจุด คุณลักษณะเหล่านี้คือระยะห่างจากระนาบ p 1 หน้า 2 (รูปที่ 2.20)
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีข้างต้นเมื่อสร้างภาพของจุดสามารถทำได้หลายวิธี:
- คำพูด (วาจา);
- กราฟิก (ภาพวาด);
- ภาพ (ปริมาตร);
- ระนาบ (การวาดภาพที่ซับซ้อน)
ความสามารถในการแปลข้อมูลจากวิธีหนึ่งไปอีกวิธีหนึ่งมีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่เช่น จากคำพูดเป็นภาพ (ปริมาตร) จากนั้นเป็นระนาบและในทางกลับกัน
ลองดูตัวอย่างนี้ (ตารางที่ 2.1 และตารางที่ 2.2)
ตารางที่ 2.1
ตัวอย่างภาพจุด
ในระบบระนาบฉายภาพสองลำ
| พื้นที่ไตรมาส | การแสดงภาพ | การวาดภาพที่ซับซ้อน | สัญญาณลักษณะ |
| ฉัน |  | การฉายภาพด้านหน้าของจุด A เหนือแกน X, การฉายภาพแนวนอนของจุด A ใต้แกน X | |
| ครั้งที่สอง |  |  | การฉายภาพด้านหน้าและแนวนอนของจุด B เหนือแกน X |
| สาม |  |  | การฉายภาพด้านหน้าของจุด C ใต้แกน X, การฉายภาพแนวนอนของจุด C เหนือแกน X |
| IV |  | การฉายภาพด้านหน้าและแนวนอนของจุด D ใต้แกน X |
ตารางที่ 2.2
ตัวอย่างภาพจุดที่อยู่ในระนาบ p 1 และ p 2
| ตำแหน่งจุด | การแสดงภาพ | การวาดภาพที่ซับซ้อน | สัญญาณลักษณะ |
| จุด A เป็นของระนาบ p 1 |  |  | A 1 – ต่ำกว่าแกน X, A 2 – บนแกน X |
| จุด B เป็นของระนาบ p 1 |  |  | B 1 – เหนือแกน X, B 2 – บนแกน X |
| จุด C เป็นของระนาบ p 2 |  |  | C 2 – เหนือแกน X, C 1 – บนแกน X |
| จุด D เป็นของระนาบ p 2 |  |  | D 1 – บนแกน X, D 2 – ต่ำกว่าแกน X |
| จุด E อยู่ในแกน X |  | E 1 เกิดขึ้นพร้อมกับ E 2 และอยู่ในแกน X |
สร้างภาพวาดที่ซับซ้อนของจุด A หาก:
1. จุดนั้นตั้งอยู่ในควอเตอร์ที่ 2 และอยู่ห่างจากระนาบ p 1 และ p 2 เท่าๆ กัน
2. จุดนั้นตั้งอยู่ในควอเตอร์ที่สาม และระยะทางถึงระนาบ p 1 นั้นมากกว่าสองเท่าของระนาบ p 2
3. จุดตั้งอยู่ในควอเตอร์ที่ 4 และระยะห่างจากระนาบ p1 มากกว่าระนาบ p2
พิจารณาว่าจุดใดอยู่ในไตรมาสใด (รูปที่ 2.21)
1. สร้างภาพที่มองเห็นได้ของจุดต่างๆ ในไตรมาส:
ก) A – ตำแหน่งทั่วไปในไตรมาสที่สาม
b) B – ตำแหน่งทั่วไปในไตรมาสที่สี่;
c) C – ในไตรมาสที่สอง ถ้าระยะห่างจาก p 1 เป็น 0
d) D – ในควอเตอร์แรก ถ้าระยะห่างจาก p 2 เป็น 0
สร้างภาพวาดที่ซับซ้อนของจุด A, B, C, D (ดูภารกิจที่ 3)
ในทางปฏิบัติ การวิจัย และการสร้างภาพ ระบบของระนาบสองระนาบตั้งฉากกันไม่ได้ให้ความเป็นไปได้ของวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากคุณย้ายจุด A ไปตามแกน X รูปภาพจะไม่เปลี่ยนแปลง
ตำแหน่งของจุดในอวกาศ (รูปที่ 2.22) มีการเปลี่ยนแปลง (รูปที่ 2.24) แต่รูปภาพในภาพวาดที่ซับซ้อนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (รูปที่ 2.23 และรูปที่ 2.25)
 |  |
| ข้าว. 2.22 | ข้าว. 2.23 |
 |  |
| ข้าว. 2.24 | ข้าว. 2.25 |
เพื่อแก้ปัญหานี้ ได้มีการนำระบบของระนาบตั้งฉากกันสามระนาบมาใช้ เนื่องจากเมื่อวาดภาพ เช่น เครื่องจักรและชิ้นส่วน ไม่ใช่สอง แต่จำเป็นต้องมีรูปภาพเพิ่มเติม บนพื้นฐานนี้ในการก่อสร้างบางอย่างเมื่อแก้ไขปัญหาจำเป็นต้องแนะนำ p 1, p 2 และระนาบการฉายภาพอื่น ๆ เข้าสู่ระบบ
ระนาบเหล่านี้แบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นส่วน VIII ซึ่งเรียกว่าออคแทนต์ (จากภาษาละติน Okto แปด) ระนาบไม่มีความหนา ทึบแสง และไม่มีที่สิ้นสุด ผู้สังเกตจะอยู่ในควอเตอร์แรก (สำหรับระบบ p 1, p 2) หรือออคแทนต์แรก (สำหรับระบบ p 1, p 2, p 3) ที่ระยะทางอนันต์จากระนาบฉายภาพ
§ 6. จุดในระบบ p 1, p 2, p 3
การสร้างเส้นโครงของจุด A ซึ่งอยู่ในออคแทนต์แรกบนระนาบตั้งฉากกันสามระนาบ p 1, p 2, p 3 แสดงในรูปที่ 1 2.27. ด้วยการใช้การรวมกันของระนาบการฉายภาพกับระนาบ p 2 และการใช้วิธีการหมุนระนาบเราได้ภาพวาดที่ซับซ้อนของจุด A (รูปที่ 2.28):
เอเอ 1 ^ หน้า 1 ; เอเอ 2 ^ หน้า 2 ; เอเอ 3 ^ หน้า 3,
โดยที่ A 3 – การฉายโปรไฟล์ของจุด A; А х, А y, А Z – เส้นโครงแนวแกนของจุด A
การฉายภาพ A 1, A 2, A 3 เรียกว่าการฉายภาพด้านหน้าแนวนอนและโปรไฟล์ของจุด A ตามลำดับ
 |  |
| ข้าว. 2.27 | ข้าว. 2.28 |
ระนาบการฉายซึ่งตัดกันเป็นคู่กำหนดแกนสามแกน x, y, z ซึ่งถือได้ว่าเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน: แกน เอ็กซ์เรียกว่าแกนแอบซิสซา, แกน ย– กำหนดแกน, แกน ซี– ใช้แกนซึ่งเป็นจุดตัดของแกนแสดงด้วยตัวอักษร เกี่ยวกับ,เป็นที่มาของพิกัด
ดังนั้นผู้ดูที่กำลังดูวัตถุจึงอยู่ในอัคแทนแรก
เพื่อให้ได้ภาพวาดที่ซับซ้อน เราใช้วิธีหมุนระนาบ p 1 และ p 3 (ดังแสดงในรูปที่ 2.27) จนกระทั่งอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ p 2 มุมมองสุดท้ายของระนาบทั้งหมดในออคเทนต์แรกแสดงไว้ในรูปที่ 1 2.29.
นี่คือแกน โอ้และ ออนซ์นอนอยู่ในระนาบคงที่ p 2 จะแสดงแกนเพียงครั้งเดียว โอ้แสดงสองครั้ง สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อหมุนด้วยระนาบ p 1 ซึ่งเป็นแกน ยบนแผนภาพจะรวมกับแกน ออนซ์และหมุนด้วยระนาบ p 3 แกนเดียวกันนี้เกิดขึ้นพร้อมกับแกน โอ้.
ลองดูที่รูป. 2.30 น. จุดในอวกาศอยู่ที่ไหน กกำหนดโดยพิกัด (5,4,6) พิกัดเหล่านี้เป็นค่าบวก และตัวเธอเองอยู่ในอัฒภาคแรก การสร้างภาพของจุดนั้นและการฉายภาพบนแบบจำลองเชิงพื้นที่นั้นดำเนินการโดยใช้พิกัดสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในการดำเนินการนี้ เราจะวาดส่วนต่างๆ บนแกนพิกัด ซึ่งสอดคล้องกับส่วนความยาว: โอ้ = 5, โอ้ย = 4, โอเอซ= 6. ในส่วนเหล่านี้ ( ОАx, ОАy, ОАz) ที่ขอบเราสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน จุดยอดจุดใดจุดหนึ่งจะกำหนดจุดที่กำหนด ก.
เมื่อพูดถึงระบบของระนาบการฉายภาพสามลำในรูปแบบที่ซับซ้อน (รูปที่ 2.30) จำเป็นต้องสังเกตสิ่งต่อไปนี้
