Из более 500 тыс. глиняных табличек, найденных археологами при раскопках в Древней Месопотамии, около 400 содержат математические сведения. Большинство из них расшифрованы и позволяют составить довольно ясное представление о поразительных алгебраических и геометрических достижениях вавилонских учёных.

О времени и месте рождения математики мнения разнятся. Многочисленные исследователи этого вопроса приписывают создание её различным народам и приурочивают к разным эпохам. Единой точки зрения на этот счёт не было ещё у древних греков, среди которых особенно была распространена версия, что геометрию придумали египтяне, а арифметику — финикийские купцы, которые нуждались в подобных знаниях для торговых расчётов. Геродот в «Истории» и Страбон в «Географии» отдавали приоритет финикийцам. Платон и Диоген Лаэрций родиной и арифметики, и геометрии считали Египет. Таково же и мнение Аристотеля, полагавшего, что математика зародилась благодаря наличию досуга у тамошних жрецов.

Это замечание следует за пассажем о том, что в каждой цивилизации сначала рождаются практические ремёсла, затем искусства, служащие удовольствию, и лишь затем науки, направленные на познание. Евдем, ученик Аристотеля, как и большинство его предшественников, также считал родиной геометрии Египет, а причиной её появления — практические потребности землемерия. В своём совершенствовании геометрия проходит, по Евдему, три этапа: зарождение практических навыков землемерия, появление практически ориентированной прикладной дисциплины и превращение её в теоретическую науку. Судя по всему, два первых этапа Евдем относил к Египту, а третий — к греческой математике. Правда, он всё же признавал, что теория вычисления площадей возникла из решения квадратных уравнений, имевших вавилонское происхождение.

Небольшие глиняные бляшки, найденные в Иране, предположительно использовались для записи мер зерна 8 тыс. до н.э. Норвежский институт палеографии и истории,
Осло.

У историка Иосифа Флавия («Древняя Иудея», кн. 1, гл. 8) своё мнение. Он хоть и называет египтян первыми, но уверен, что арифметике и астрономии их обучил праотец евреев Авраам, скрывшийся в Египет во время голода, постигшего Ханаанскую землю. Что ж, египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам подобное мнение, которое с их лёгкой руки имеет хождение в исторической литературе до сих пор. Хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые клинописными текстами, найденные в Месопотамии и датируемые от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э., свидетельствуют как о несколько ином положении дел, так и о том, что представляла собой математика в древнем Вавилоне. Это был довольно сложный сплав арифметики, алгебры, геометрии и даже начатков тригонометрии.

Математике учили в писцовых школах, и каждый выпускник обладал довольно серьёзным для того времени объёмом знаний. Видимо, именно об этом говорит Ашшурбанипал, царь Ассирии в 7 в. до н.э., в одной из своих надписей, сообщая, что научился находить «сложные обратные дроби и умножать». Прибегать к вычислениям, жизнь заставляла вавилонян на каждом шагу. Арифметика и нехитрая алгебра нужны были в ведении хозяйства, при обмене денег и расчётах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Математических расчётов, причём довольно сложных, требовали масштабные архитектурные проекты, инженерные работы при строительстве ирригационной системы, баллистика, астрономия, астрология.

Важной задачей математики было определение сроков сельскохозяйственных работ, религиозных праздников, другие календарные нужды. Сколь высоки в древних городах-государствах междуречья Тигра и Евфрата были достижения в том, что греки позже назовут так удивительно точно mathema («познание»), позволяют судить расшифровки месопотамских глиняных клинописей. К слову, у греков термин mathema поначалу обозначал перечень четырёх наук: арифметику, геометрию, астрономию и гармонику, собственно математику он начал обозначать много позже. В Месопотамии археологи уже нашли и продолжают находить клинописные таблички с записями математического характера частью на аккадском, частью на шумерском языках, а также справочные математические таблицы. Последние сильно облегчали вычисления, которые приходилось производить повседневно, поэтому в ряде расшифрованных текстов довольно часто содержится исчисление процентов.

Сохранились названия арифметических действий более раннего, шумерского периода месопотамской истории. Так, операция сложения называлась «накопление» или «прибавление», при вычитании употреблялся глагол «вырывать», а термин для умножения означал «скушать». Интересно, что в Вавилоне пользовались более обширной таблицей умножения — от 1 до 180 000, чем та, которую пришлось учить в школе нам, т.е. рассчитанная на числа от 1 до 100. В Древней Месопотамии были созданы единообразные правила арифметических действий не только с целыми числами, но и с дробями, в искусстве оперирования которыми вавилоняне значительно превосходили египтян. В Египте, например, операции с дробями долгое время продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем, равным 1). Со времён шумеров в Месопотамии основной счётной единицей во всех хозяйственных делах было число 60, хотя была известна и десятеричная система счисления, которая была в ходу у аккадцев.

Самая знаменитая из математических табличек Старовавилонского периода, хранящаяся в библиотеке Колумбийского университета (США). Содержит перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то есть троек пифагоровых чисел x2 + y2 = z2 и свидетельствует о том, что теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до рождения её автора. 1900 — 1600 гг. до н.э.

В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина — «глубина», а произведение трёх неизвестных именовалось «объёмом». В дальнейшем, с развитием алгебраического мышления, неизвестные стали пониматься более абстрактно. Иногда в качестве иллюстрации алгебраических соотношений в Вавилоне использовались геометрические чертежи. Позже, в Древней Греции они стали основным элементом алгебры, тогда как для вавилонян, мысливших, прежде всего, алгебраически, чертежи были лишь средством наглядности, и под терминами «линия» и «площадь» чаще всего понимались безразмерные числа. Потому-то и встречались решения задач, где «площадь» складывалась со «стороной» или отнималась от «объёма» и т.п. Особое значение имело в древности точное измерение полей, садов, строений — ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев частенько приходилось вновь перемеривать наделы. В клинописных архивах сохранилось немало таких землемерных карт, составленных свыше 4 тыс. лет тому назад.

Первоначально единицы измерения были не очень точными, ведь длину измеряли пальцами, ладонями, локтями, которые у разных людей разные. Получше обстояло дело с большими величинами, для измерения которых пользовались тростником и верёвкой определённых размеров. Но и здесь результаты измерений нередко различались между собой, в зависимости от того, кто мерил и где. Поэтому в разных городах Вавилонии были приняты разные меры длины. Например, в городе Лагаше «локоть» был равен 400 мм, а в Ниппуре и самом Вавилоне — 518 мм. Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Неясно, правда, решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком на земле — на табличках записаны только условия математических задач и их решение.

Геометрические задачи с рисунками трапеций и треугольников и решением теоремы Пифагора. Размеры таблички: 21,0x8,2. 19 в. до н.э. Британский музей

Основную часть курса математики в школе занимало решение арифметических, алгебраических и геометрических задач, при формулировке которых было принято оперировать конкретными предметами, площадями и объёмами. На одной из клинописных табличек сохранилась такая задачка: «За сколько дней можно изготовить кусок ткани определённой длины, если мы знаем, что ежедневно изготовляется столько-то локтей (мера длины) этой ткани?» На другой приведены задачи, связанные со строительными работами. Например, «Сколько земли потребуется для насыпи, размеры которой известны, и сколько грунта должен перетаскать каждый рабочий, если известно их общее число?» или «Сколько глины должен заготовить каждый рабочий для возведения стены определённых размеров?»

Школьник также должен был уметь вычислять коэффициенты, подсчитывать итоги, решать задачи по измерению углов, вычислению площадей и объёмов прямолинейных фигур — это был обычный набор для элементарной геометрии. Интересны сохранившиеся с шумерских времён названия геометрических фигур. Треугольник назывался «клин», трапеция — «лоб быка», круг — «обруч», ёмкость обозначалась термином «вода», объём — «земля, песок», площадь именовалась «поле». Один из клинописных текстов содержит 16 задач с решениями, которые относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Одна задача снабжена чертежом, относящимся к круговому валу, ещё одна рассматривает усечённый конус, определяя его объём умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований.

Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора. Помимо планиметрических задач, решали и стереометрические, связанные с определением объёма различного рода пространств, тел, широко практиковали черчение планов полей, местностей, отдельных зданий, но обычно не в масштабе. Наиболее значительным достижением математики было открытие того факта, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом или простой дробью. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.

Считается, что открытие одного из важнейших иррациональных чисел — числа π, выражающего отношение длины окружности к её диаметру и равняющееся бесконечной дроби ≈ 3,14..., принадлежит Пифагору. По другой версии, для числа π значение 3,14 впервые предложил Архимед на 300 лет позже, в 3 в. до н.э. Ещё по одной, первым вычислившим его был Омар Хайям, это вообще 11 — 12 в. н.э. Достоверно известно лишь, что греческой буквой π это отношение впервые обозначил в 1706 г. английский математик Уильям Джонс, и лишь после того как в 1737 г. это обозначение позаимствовал швейцарский математик Леонард Эйлер, оно стало общепринятым. Число π — древнейшая математическая загадка, это открытие следует искать также в Древней Месопотамии.

Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей. Исследователи считают, что шестидесятеричная система была выбрана в Древнем Вавилоне из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей. Шестидесятеричная запись целых чисел распространения за пределами Месопотамии не получила, но в Европе вплоть до 17 в. широко применялись и шестидесятеричные дроби, и привычное нам деление окружности на 360 градусов. Час и минуты, делящиеся на 60 частей, также берут начало в Вавилоне.

Замечательна остроумная придумка вавилонян использовать для записи чисел минимальное количество цифровых знаков. Римлянам, например, даже в голову не пришло, что одной и той же цифрой можно обозначить разные величины! Для этого они использовали буквы своего алфавита. В итоге четырёхзначное число, к примеру, 2737 содержало аж одиннадцать букв: MMDCCXXXVII. И хотя и в наше время найдутся экстремалы-математики, которые сумеют разделить в столбик LXXVIII на CLXVI или перемножить CLIX на LXXIV, остаётся только пожалеть тех жителей Вечного города, которым приходилось производить при помощи подобной математической эквилибристики сложные календарные и астрономические расчёты или рассчитывались масштабные архитектурные проекты и различные инженерные объекты.

На использовании букв алфавита была основана и греческая система счисления. Вначале в Греции была принята аттическая система, использовавшая для обозначения единицы вертикальную черту, а для чисел 5, 10, 100, 1000, 10 000 (по существу это была десятичная система) — начальные буквы их греческих названий. Позже, примерно в 3 в. до н.э., получила широкое распространение ионическая система счисления, в которой для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. А чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. В этом смысле вавилонская математическая наука стояла выше позднейших греческой или римской, так как именно ей принадлежит одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел — принцип позиционности, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. К слову, уступала вавилонской и современная ей египетская система счисления.

Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные иероглифические символы. Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках — небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый символ — широкий клиновидный знак с остриём, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах — небольшой кружок). Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Большинство современных историков считает, что древние научные познания носили чисто эмпирический характер.

В отношении физики, химии, натурфилософии, в основе которых лежали наблюдения, вроде и верно. Но представления о чувственном опыте, как источнике знаний, сталкиваются с неразрешимым вопросом, когда речь идёт о такой абстрактной науке, как оперирующая символами математика. Особенно значительными были достижения вавилонской математической астрономии. Но внезапный ли скачок поднял месопотамских математиков от уровня утилитарной практики до обширных познаний, позволяющих применять математические методы для предвычисления положений Солнца, Луны и планет, затмений и других небесных явлений, или развитие шло постепенно, мы, к сожалению, не знаем. История математических знаний вообще выглядит странновато.

Нам известно, как наши предки учились считать на пальцах рук и ног, делали примитивные числовые записи в виде зарубок на палке, узелков на верёвке или выложенных в ряд камешков. А далее — без всякого переходного звена — вдруг сведения о математических достижениях вавилонян, египтян, китайцев, индусов и других древних учёных, настолько солидных, что их математические методы выдерживали испытание временем вплоть до середины недавно закончившегося II тысячелетия, т. е. на протяжении более чем трёх тысяч лет…

Что скрыто между этими звеньями? Почему древние мудрецы, помимо практического значения, почитали математику как священное знание, а числам и геометрическим фигурам давали имена богов? Только ли за этим стоит трепетное отношение к Знанию, как таковому? Возможно, придёт время, когда археологи найдут ответы на эти вопросы. А пока ждём, не будем забывать, что ещё 700 лет назад сказал оксвордец Томас Брадвардин: «Тот, кто имеет бесстыдство отрицать математику, должен был бы знать с самого начала, что никогда не войдёт во врата мудрости».

С арифметики, науки о числе, начинается наше знакомство с математикой. Один из первых русских учебников арифметики, написанный Л. Ф. Магницким в 1703 г., начинался словами: «Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобнопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное». С арифметикой мы входим, как говорил М. В. Ломоносов, во «врата учености» и начинаем наш долгий и нелегкий, но увлекательный путь познания мира.

Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы – алгебру, анализ математический и т.д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел. Такой взгляд на арифметику, конечно, имеет основания – она действительно остается «азбукой счета», но азбукой «многополезнейшей» и «удобнопонятной».

Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г. Ринда) относится к XX в. до н.э. Среди прочих сведений он содержит разложения дроби на сумму дробей с числителем, равным единице, например:

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции. Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история - Анаксагор и Зенон, Евклид (см. Евклид и его «Начала»), Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (VI в. до н.э.). Пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) преклонялись перед числами, считая, что в них заключена вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа и т. п.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления; от аль-Каши (XV в.), работавшего в Самаркандской обсерватории Улугбека, - десятичные дроби.

Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Следует вспомнить имя итальянского ученого Леонардо Пизанского (Фибоначчи), сочинение которого «Книга абака» знакомило европейцев с основными достижениями математики Востока и явилось началом многих исследований в арифметике и алгебре.

Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные математические книги. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования.

Примерно с XVI в. развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры – в качестве значительной вехи можно отметить появление работ ученого из Франции Ф. Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, т.е. числа 1, 2, 3, 4, ... и т.д., возникли из счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем человек усвоил, что два фазана, две руки, два человека и т.д. можно назвать одним и тем же словом «два». Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и т. п. Уже у Фибоначчи есть задача: «Семь старух идут в Рим. У каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в 7 ножнах. Сколько всех?» Для решения задачи придется складывать вместе и старух, и мулов, и мешки, и хлеба.

Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.

«Под наукой чисел понимаются две науки: практическая и теоретическая. Практическая изучает числа постольку, поскольку речь идет о числах считаемых. Эту науку применяют в рыночных и гражданских делах. Теоретическая наука чисел изучает числа в абсолютном смысле, отвлеченные разумом от тел и всего, что поддается в них счету». аль-Фараби

В арифметике числа складывают, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно производить эти действия над любыми числами долгое время считалось важнейшей задачей арифметики. Сейчас в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу микрокалькуляторам, которые постепенно приходят на смену таким устройствам, как счеты, арифмометр (см. Вычислительная техника), логарифмическая линейка. Однако в основе работы всех вычислительных машин - простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз. Но здесь мы вторгаемся в другую область математики, которая берет начало в арифметике, - вычислительную математику.

Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Эти свойства можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется», можно записать буквами: , можно выразить специальными терминами.

Например, указанное свойство сложения называют переместительным или коммутативным законом. Мы применяем законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого. Часто ученики в школе спрашивают: «Зачем учить все эти переместительные и сочетательные законы, ведь и так ясно, как складывать и умножать числа?» В XIX в. математика сделала важный шаг – она стала систематически складывать и умножать не только числа, но также векторы, функции, перемещения, таблицы чисел, матрицы и многое другое и даже просто буквы, символы, не очень заботясь об их конкретном смысле. И вот здесь оказалось, что самым важным является то, каким законам подчиняются эти операции. Изучение операций, заданных над произвольными объектами (не обязательно над числами), - это уже область алгебры, хотя эта задача основана на арифметике и ее законах.

Арифметика содержит много правил решения задач. В старых книгах можно встретить задачи на «тройное правило», на «пропорциональное деление», на «метод весов», на «фальшивое правило» и т.п. Большинство этих правил сейчас устарело, хотя задачи, которые решались с их помощью, никак нельзя считать устаревшими. Знаменитая задача про бассейн, который наполняется несколькими трубами, имеет возраст не менее двух тысяч лет, и до сих пор она не легка для школьников. Но если раньше для решения этой задачи нужно было знать специальное правило, то в наши дни уже младших школьников обучают решать такую задачу, вводя буквенное обозначение искомой величины. Таким образом, арифметические задачи привели к необходимости решать уравнения, а это уже снова задача алгебры.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, надо отметить пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основано на сравнении различных зависимостей между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков.

Можно отчетливо проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс – перевод зрительной, геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Р. Декарта об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, и до него эта идея уже использовалась, например в морском деле, когда нужно было определить местонахождение корабля, а также в астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат в математике. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, которые и обрабатывает вычислительная машина. При необходимости машина помогает человеку перевести на язык рисунка накопленную числовую информацию.

Вы видите, что, говоря об арифметике, мы все время выходим за ее пределы - в алгебру, геометрию, другие разделы математики.

Как же очертить границы самой арифметики?

В каком смысле употребляется это слово?

Под словом «арифметика» можно понимать:

учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;

часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;

«теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);

«формальную арифметику» - часть математической логики (см. Логика математическая), занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;

«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.

18

в Избранное в Избранном из Избранного 7

Предисловие редакции: Из более 500 тыс. глиняных табличек, найденных археологами при раскопках в Древней Месопотамии, около 400 содержат математические сведения. Большинство из них расшифрованы и позволяют составить довольно ясное представление о поразительных алгебраических и геометрических достижениях вавилонских учёных.

О времени и месте рождения математики мнения разнятся. Многочисленные исследователи этого вопроса приписывают создание её различным народам и приурочивают к разным эпохам. Единой точки зрения на этот счёт не было ещё у древних греков, среди которых особенно была распространена версия, что геометрию придумали египтяне, а арифметику – финикийские купцы, которые нуждались в подобных знаниях для торговых расчётов.

Геродот в «Истории» и Страбон в «Географии» отдавали приоритет финикийцам. Платон и Диоген Лаэрций родиной и арифметики, и геометрии считали Египет. Таково же и мнение Аристотеля, полагавшего, что математика зародилась благодаря наличию досуга у тамошних жрецов. Это замечание следует за пассажем о том, что в каждой цивилизации сначала рождаются практические ремёсла, затем искусства, служащие удовольствию, и лишь затем науки, направленные на познание.

Евдем, ученик Аристотеля, как и большинство его предшественников, также считал родиной геометрии Египет, а причиной её появления – практические потребности землемерия. В своём совершенствовании геометрия проходит, по Евдему, три этапа: зарождение практических навыков землемерия, появление практически ориентированной прикладной дисциплины и превращение её в теоретическую науку. Судя по всему, два первых этапа Евдем относил к Египту, а третий – к греческой математике. Правда, он всё же признавал, что теория вычисления площадей возникла из решения квадратных уравнений, имевших вавилонское происхождение.

У историка Иосифа Флавия («Древняя Иудея», кн. 1, гл. 8) своё мнение. Он хоть и называет египтян первыми, но уверен, что арифметике и астрономии их обучил праотец евреев Авраам, скрывшийся в Египет во время голода, постигшего Ханаанскую землю. Что ж, египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам подобное мнение, которое с их лёгкой руки имеет хождение в исторической литературе до сих пор. Хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые клинописными текстами, найденные в Месопотамии и датируемые от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э., свидетельствуют как о несколько ином положении дел, так и о том, что представляла собой математика в древнем Вавилоне. Это был довольно сложный сплав арифметики, алгебры, геометрии и даже начатков тригонометрии.

Математике учили в писцовых школах, и каждый выпускник обладал довольно серьёзным для того времени объёмом знаний. Видимо, именно об этом говорит Ашшурбанипал, царь Ассирии в 7 в. до н.э., в одной из своих надписей, сообщая, что научился находить

«сложные обратные дроби и умножать».

Прибегать к вычислениям, жизнь заставляла вавилонян на каждом шагу. Арифметика и нехитрая алгебра нужны были в ведении хозяйства, при обмене денег и расчётах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Математических расчётов, причём довольно сложных, требовали масштабные архитектурные проекты, инженерные работы при строительстве ирригационной системы, баллистика, астрономия, астрология. Важной задачей математики было определение сроков сельскохозяйственных работ, религиозных праздников, другие календарные нужды. Сколь высоки в древних городах-государствах междуречья Тигра и Евфрата были достижения в том, что греки позже назовут так удивительно точно μαθημα («познание»), позволяют судить расшифровки месопотамских глиняных клинописей. К слову, у греков термин μαθημα поначалу обозначал перечень четырёх наук: арифметику, геометрию, астрономию и гармонику, собственно математику он начал обозначать много позже.

В Месопотамии археологи уже нашли и продолжают находить клинописные таблички с записями математического характера частью на аккадском, частью на шумерском языках, а также справочные математические таблицы. Последние сильно облегчали вычисления, которые приходилось производить повседневно, поэтому в ряде расшифрованных текстов довольно часто содержится исчисление процентов. Сохранились названия арифметических действий более раннего, шумерского периода месопотамской истории. Так, операция сложения называлась «накопление» или «прибавление», при вычитании употреблялся глагол «вырывать», а термин для умножения означал «скушать».

Интересно, что в Вавилоне пользовались более обширной таблицей умножения – от 1 до 180 000, чем та, которую пришлось учить в школе нам, т.е. рассчитанная на числа от 1 до 100.

В Древней Месопотамии были созданы единообразные правила арифметических действий не только с целыми числами, но и с дробями, в искусстве оперирования которыми вавилоняне значительно превосходили египтян. В Египте, например, операции с дробями долгое время продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем, равным 1). Со времён шумеров в Месопотамии основной счётной единицей во всех хозяйственных делах было число 60, хотя была известна и десятеричная система счисления, которая была в ходу у аккадцев. Вавилонские математики широко пользовались шестидесятеричной позиционной(!) системой счёта. На её основе и были составлены различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел.

Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать некоторые специальные задачи, включавшие до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. Квадратные уравнения вначале служили, в основном, сугубо практическим целям – измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое – «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». Как и сейчас! В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина – «глубина», а произведение трёх неизвестных именовалось «объёмом». В дальнейшем, с развитием алгебраического мышления, неизвестные стали пониматься более абстрактно.

Иногда в качестве иллюстрации алгебраических соотношений в Вавилоне использовались геометрические чертежи. Позже, в Древней Греции они стали основным элементом алгебры, тогда как для вавилонян, мысливших, прежде всего, алгебраически, чертежи были лишь средством наглядности, и под терминами «линия» и «площадь» чаще всего понимались безразмерные числа. Потому-то и встречались решения задач, где «площадь» складывалась со «стороной» или отнималась от «объёма» и т.п..

Особое значение имело в древности точное измерение полей, садов, строений – ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев частенько приходилось вновь перемеривать наделы. В клинописных архивах сохранилось немало таких землемерных карт, составленных свыше 4 тыс. лет тому назад.

Первоначально единицы измерения были не очень точными, ведь длину измеряли пальцами, ладонями, локтями, которые у разных людей разные. Получше обстояло дело с большими величинами, для измерения которых пользовались тростником и верёвкой определённых размеров. Но и здесь результаты измерений нередко различались между собой, в зависимости от того, кто мерил и где. Поэтому в разных городах Вавилонии были приняты разные меры длины. Например, в городе Лагаше «локоть» был равен 400 мм, а в Ниппуре и самом Вавилоне – 518 мм.

Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Неясно, правда, решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком на земле – на табличках записаны только условия математических задач и их решение.

Основную часть курса математики в школе занимало решение арифметических, алгебраических и геометрических задач, при формулировке которых было принято оперировать конкретными предметами, площадями и объёмами. На одной из клинописных табличек сохранилась такая задачка: «За сколько дней можно изготовить кусок ткани определённой длины, если мы знаем, что ежедневно изготовляется столько-то локтей (мера длины) этой ткани?» На другой приведены задачи, связанные со строительными работами. Например, «Сколько земли потребуется для насыпи, размеры которой известны, и сколько грунта должен перетаскать каждый рабочий, если известно их общее число?» или «Сколько глины должен заготовить каждый рабочий для возведения стены определённых размеров?»

Школьник также должен был уметь вычислять коэффициенты, подсчитывать итоги, решать задачи по измерению углов, вычислению площадей и объёмов прямолинейных фигур – это был обычный набор для элементарной геометрии.

Интересны сохранившиеся с шумерских времён названия геометрических фигур. Треугольник назывался «клин», трапеция – «лоб быка», круг – «обруч», ёмкость обозначалась термином «вода», объём – «земля, песок», площадь именовалась «поле».

Один из клинописных текстов содержит 16 задач с решениями, которые относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Одна задача снабжена чертежом, относящимся к круговому валу, ещё одна рассматривает усечённый конус, определяя его объём умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований. Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора.

Помимо планиметрических задач, решали и стереометрические, связанные с определением объёма различного рода пространств, тел, широко практиковали черчение планов полей, местностей, отдельных зданий, но обычно не в масштабе.

Наиболее значительным достижением математики было открытие того факта, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом или простой дробью. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.

Считается, что открытие одного из важнейших иррациональных чисел – числа π, выражающего отношение длины окружности к её диаметру и равняющееся бесконечной дроби = 3,14…, принадлежит Пифагору. По другой версии, для числа π значение 3,14 впервые предложил Архимед на 300 лет позже, в 3 в. до н.э. Ещё по одной, первым вычислившим его был Омар Хайям, это вообще 11-12 в. н.э.. Достоверно известно лишь, что греческой буквой π это отношение впервые обозначил в 1706 г. английский математик Уильям Джонс, и лишь после того как в 1737 г. это обозначение позаимствовал швейцарский математик Леонард Эйлер, оно стало общепринятым.

Число π – древнейшая математическая загадка, это открытие следует искать также в Древней Месопотамии. Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей. Исследователи считают, что шестидесятеричная система была выбрана в Древнем Вавилоне из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей. Шестидесятеричная запись целых чисел распространения за пределами Месопотамии не получила, но в Европе вплоть до 17 в. широко применялись и шестидесятеричные дроби, и привычное нам деление окружности на 360 градусов. Час и минуты, делящиеся на 60 частей, также берут начало в Вавилоне. Замечательна остроумная придумка вавилонян использовать для записи чисел минимальное количество цифровых знаков. Римлянам, например, даже в голову не пришло, что одной и той же цифрой можно обозначить разные величины! Для этого они использовали буквы своего алфавита. В итоге четырёхзначное число, к примеру, 2737 содержало аж одиннадцать букв: MMDCCXXXVII. И хотя и в наше время найдутся экстремалы-математики, которые сумеют разделить в столбик LXXVIII на CLXVI или перемножить CLIX на LXXIV, остаётся только пожалеть тех жителей Вечного города, которым приходилось производить при помощи подобной математической эквилибристики сложные календарные и астрономические расчёты или рассчитывались масштабные архитектурные проекты и различные инженерные объекты.

На использовании букв алфавита была основана и греческая система счисления. Вначале в Греции была принята аттическая система, использовавшая для обозначения единицы вертикальную черту, а для чисел 5, 10, 100, 1000, 10000 (по существу это была десятичная система) – начальные буквы их греческих названий. Позже, примерно в 3 в. до н.э., получила широкое распространение ионическая система счисления, в которой для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. А чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту.

В этом смысле вавилонская математическая наука стояла выше позднейших греческой или римской, так как именно ей принадлежит одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен.

К слову, уступала вавилонской и современная ей египетская система счисления. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные иероглифические символы. Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый символ – широкий клиновидный знак с остриём, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – небольшой кружок). Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50.

Большинство современных историков считает, что древние научные познания носили чисто эмпирический характер. В отношении физики, химии, натурфилософии, в основе которых лежали наблюдения, вроде и верно. Но представления о чувственном опыте, как источнике знаний, сталкиваются с неразрешимым вопросом, когда речь идёт о такой абстрактной науке, как оперирующая символами математика.

Особенно значительными были достижения вавилонской математической астрономии. Но внезапный ли скачок поднял месопотамских математиков от уровня утилитарной практики до обширных познаний, позволяющих применять математические методы для предвычисления положений Солнца, Луны и планет, затмений и других небесных явлений, или развитие шло постепенно, мы, к сожалению, не знаем.

История математических знаний вообще выглядит странновато. Нам известно, как наши предки учились считать на пальцах рук и ног, делали примитивные числовые записи в виде зарубок на палке, узелков на верёвке или выложенных в ряд камешков. А далее – без всякого переходного звена – вдруг сведения о математических достижениях вавилонян, египтян, китайцев, индусов и других древних учёных, настолько солидных, что их математические методы выдерживали испытание временем вплоть до середины недавно закончившегося II тысячелетия, т. е. на протяжении более чем трёх тысяч лет…

Что скрыто между этими звеньями? Почему древние мудрецы, помимо практического значения, почитали математику как священное знание, а числам и геометрическим фигурам давали имена богов? Только ли за этим стоит трепетное отношение к Знанию, как таковому?

Возможно, придёт время, когда археологи найдут ответы на эти вопросы. А пока ждём, не будем забывать, что ещё 700 лет назад сказал оксвордец Томас Брадвардин:

«Тот, кто имеет бесстыдство отрицать математику, должен был бы знать с самого начала, что никогда не войдёт во врата мудрости».

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1. Начало математики в первобытном обществе

2. Зарождение математики на древнем Востоке

2.1 Египет

2.2 Вавилон

Заключение

Список литературы

Введение

Математика (греч. -- знание, наука) -- наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Др. Греции в 6--5 вв. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математик и, а к 6--5 вв. до н.э. приурочить начало периода элементарной математики, продолжавшегося до 16 в. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело преимущественно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т.п. Первые задачи механики и физики за исключением отдельных исследований Архимеда (3 в. до н.э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых, могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17--18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т.п.). С употребления переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание Н.И. Лобачевским его “воображаемой геометрии”, получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные черты, что математика в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.

1. Начало математики в первобытном обществе

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века -- палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом-собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Возможно, рисунки в пещерах Франции и Испании (давности порядка 15 тысяч лет) имели ритуальное значение, но несомненно в них обнаруживается замечательное чувство формы.

Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит.

Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники все больше вытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте, пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанные на более долгие сроки. Стали возникать деревни для защиты от непогоды и от врагов-хищников. Немало таких неолитических поселений раскопано. По их остаткам видно, как постепенно развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, ткацкое и плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Выпекали хлеб, варили пиво, в эпоху позднего неолита плавили и обрабатывали медь и бронзу. Совершались открытия, были изобретены гончарный круг и тележное колесо, совершенствовались лодки и жилища. Все эти замечательные новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны и не всегда распространялись вне ее. Например, американские индейцы узнали о существовании тележного колеса лишь после прихода белых. Тем не менее темп технического прогресса в колоссальной мере ускорился по сравнению с древним каменным веком.

Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в таких условиях, так что есть возможность изучить их оби-чаи и способы выражения мыслей.

Числовые термины, выражающие некоторые из «наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум», как сказал Адам Смит Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики.- М, 1984 .- С.23. , медленно входили в употребление. Впервые они появляются скорее как качественные, чем количественные термины, выражая различие лишь между одним (или, вернее, «каким-то» -- «какой-то» скорее, чем «один человек») и двумя и многими. Древнее качественное происхождение числовых понятий и сейчас еще выявляется в тех особых двоичных терминах, которые имеются в некоторых языках, как, например, в греческом и кельтском. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения: 3 путем сложения 2 и 1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 путем сложения 2 и 3.

Вот примеры счета некоторых австралийских племен:

Племя реки Муррей: 1 = энэа, 2 = петчевал, 3 = петчевал-энэа, 4 = петчевал-петчевал.

Камиларои: 1 = мал, 2 = булан, 3 = гулиба, 4 = булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6 = гулиба-гулиба.

Развитие ремесла и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки или обеих рук -- обычный в торговле прием. Это вело к счету сначала с основанием пять, потом с основанием десять, который дополнялся сложением, а иногда вычитанием, так что двенадцать воспринималось как 10+2, а девять -- как 10-- I2). Иногда за основу принимали 20 -- число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов, исследованных Илсом, 146 были десятичными, 106 -- пятичными и пятичными-десятичньми, остальные -- двадцатичными и пятично-двадцатичными. В наиболее характерной форме система с основанием двадцать существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на палках, узлов на веревках, камешков или ракушек, сложенных по пять в кучки, приемами, весьма схожими с теми, к каким в давние времена прибегал хозяин постоялого двора, пользовавшийся бирками. Для перехода от таких приемов к специальным символам для 5, 10, 20 и т.д. надо было сделать лишь один шаг, и именно такие символы мы обнаруживаем в пользовании в начале писанной истории, на так называемой заре цивилизации.

Древнейший пример пользования бирками приходится на эпоху палеолита. Это -- обнаруженная в 1937 г. в Вестонице (Моравия) лучевая кость молодого волка длиной около 17 сантиметров с 55 глубокими зарубками. Первые двадцать пять зарубок размещены группами по пять, за ними идет зарубка двойной длины, заканчивающая этот ряд, а затем с новой зарубки двойной длины начинается новый ряд из зарубок). Итак, очевидно, что неправильно старое утверждение, которое мы находим у Якоба Гримма и которое часто повторяли, будто счет возник как счет на пальцах. Пальцевый счет, то есть счет пятками и десятками, возник только на известной ступени общественного развития. Но раз до этого дошли, появилась возможность выражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большие числа. Так возникла примитивная разновидность арифметики. Четырнадцать выражали как 10 + 4, иногда как 15--1. Умножение зародилось тогда, когда 20 выразили не как 10 + 10, а как 2 х 10. Подобные двоичные действия выполнялись в течение тысячелетий, представляя собой нечто среднее между сложением и умножением, в частности в Египте и в доарийской культуре Мохенджо-Даро на Инде. Деление началось с того, что 10 стали выражать как «половину тела», хотя сознательное применение дробей оставалось крайне редким явлением. Например, у североамериканских племен известны только немногие случаи применения дробей, и почти всегда это только дробь хотя иногда встречаются

Любопытно, что увлекались очень большими числами, к чему, может быть, побуждало общечеловеческое желание преувеличить численность стада или убитых врагов; пережитки такого уклона заметны в библии и в других религиозных книгах.

Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом. Английское слово «straight» (прямой) родственно глаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки). Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии. Таков был один из путей, по которому шло развитие математических интересов.

Человек неолита обладал также острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже -- обработка металлов вырабатывали представление о плоскостных и пространственных соотношениях.

Должны были сыграть свою роль и танцевальные фигуры. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию и подобие фигур. В этих фигурах могут проявляться и числовые соотношения, как в некоторых доисторических орнаментах, изображающих треугольные числа; в других орнаментах мы обнаруживаем «священные» числа. Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена. Прекрасные образцы мы видим на дипилоновых вазах минойского и раннегреческого периода, позже -- в византийской и арабской мозаике, в персидских и китайских коврах. Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое назначение.

В религии каменного века мы можем уловить первые попытки вступить в борьбу с силами природы. Религиозные обряды были насквозь пронизаны магией, магический элемент входил в состав существовавших тогда числовых и геометрических представлений, проявляясь также в скульптуре, музыке, рисунке.

Существовали магические числа такие, как 3, 4, 7, и магические фигуры, как, например, пятиконечная звезда и свастика; некоторые авторы даже считают, что эта сторона математики были решающим фактором в ре развитии1), но, хотя общественные корни математики в новейшие времена, быть может, стали менее заметим, они вполне очевидны в раннем периоде истории человечества. Современная «нумерология»--пережиток магических обрядов, восходящих к неолитической, а может быть, даже к палеолитической эпохе.

Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и, следовательно, какие-то сведения о движении Солнца, Луны и звезд. Сведения этого рода впервые приобрели более научный характер, когда стали развиваться земледелие и торговля. Пользование лунным календарем относится к очень давней эпохе в истории человечества, так как изменение в ходе произрастания растений связывали с фазами Луны. Примитивные народы обратили внимание и на солнестояние, и на восход Плеяд в сумерках. Самые древние цивилизованные народы относили астрономические сведения к наиболее отдаленному, доисторическому периоду своего существования. Другие первобытные народы пользовались при плавании созвездиями как ориентирами. Эта астрономия дала некоторые сведения о свойствах сферы, окружностей, об углах.

Эти краткие сведения из эпохи математики первобытного общества показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур такие, как узлы или орнаменты. С другой стороны, некоторые более элементарные ветви нашей математики, как построение графиков или элементарная статика, сравнительно недавнего происхождения. А. Шпайзер заметил с известной едкостью: «За позднее происхождение элементарной математики говорит хотя бы то, что она явно склонна быть скучной,-- свойство, видимо, ей присущее,-- тогда как творческий математик всегда предпочтет заниматься задачами интересными и красивыми» Колмогоров А.Н. Математика //Большая Российская энциклопедия /Под ред. Б.А. Введенского.- М, 1998 .- С.447. .

2. Зарождение математики на древнем Востоке

2.1 Египет

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т.п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку -- арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее -- астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Др. Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии начатки тригонометрии.

Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к началу 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах; эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т.к. математическая теория в смысле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й пол. 2-го тыс. до н.э. состояние египетской математики того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев трудности действий с целыми числами на основе непозиционной десятичной системы счисления, понятной из примера.

Египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Основную роль при этом играли операции удвоения и раздвоения целых чисел, а также представление дробей в виде сумм долей единицы и, кроме того, дроби 2/3. Удвоение и раздвоение, как особого рода действия, через ряд промежуточных звеньев дошли до Европы средних веков. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, которые были бы теперь записаны в виде уравнения с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, соответствующего формуле

Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению числа р = 3, иногда же значительно более точному

Наличие правила вычисления объёма усечённой пирамиды, указания, как вычислить, напр., площадь равнобочной трапеции с помощью её преобразования в равновеликий прямоугольник, и ряд других обстоятельств свидетельствуют о том, что в египетской математике уже намечалось формирование математического дедуктивного мышления. Сами древние папирусы имели учебное назначение и не отражали в полной мере суммы знаний и методов египетских математиков. математика числовой дробь

2.2 Вавилон

Математических текстов, позволяющих судить о математике в Вавилоне, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от начала 2-го тыс. до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греческой математики. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской математики, дальнейшие тексты, несмотря на наличие некоторых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о её застое. Вавилоняне времён династии Хаммурапи получили ещё от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятеричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип со знаками для 1 и 60, а также 10 (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Например:

Аналогично обозначались и шестидесятеричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятеричными дробями по единообразным правилам. В более позднее время появляется и особый знак для обозначения отсутствия в данном числе промежуточных разрядов. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению (такой приём встречается иногда и в египетских текстах). В более поздних текстах вычисление обратных чисел, отличных от 2 a , З b , 5 g , т.е. не выражающихся конечной шестидесятеричной дробью, иногда доводится до восьмого шестидесятеричного знака; возможно, что при этом была обнаружена периодичность таких дробей; например, в случае 1 / 7 . Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, кубов и др. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степеней. Задачи на квадратные уравнения возникли, вероятно, путём обращения чисто практических геометрических задач, которые во многих случаях свидетельствует о существенном развитии отвлечённой математической мысли. Такова, например, задача на определение стороны прямоугольника по его площади и периметру. Впрочем, эта задача не приводилась к трёхчленному квадратному уравнению, а решалась, по-видимому, с помощью преобразования, которое мы бы записали (x+y)2=(x-y)2+4xy, что приводит почти сразу к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Другая задача, связанная с так называемой теоремой Пифагора, известной в Вавилоне с древнейших времён, на определение катетов по данным гипотенузе и площади, представлялась трёхчленным уравнением с единственным положительным корнем. Задачи подбираются так, чтобы корни были всегда целые положительные и по большей части одни и те же. Это показывает, что сохранившиеся глиняные таблички -- учебные упражнения; преподавание было, по-видимому, устным. Но вавилоняне знали и приёмы приближённого вычисления квадратного корня, например длины диагонали квадрата с данной стороной. Таким образом, алгебраическая компонента вавилонской математики была значительной и достигла высокого уровня. Наряду с этим вавилоняне умели суммировать арифметические прогрессии, по крайней мере простейшие конечные геометрические прогрессии и даже знали правило суммирования последовательных квадратных чисел, начиная с 1. Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивающиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраических методов решения задач, возникли в “школах писцов”, где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тыс. до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в которых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математическая традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистическую эпоху вплоть до 1 в. до н.э. Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии; позднее в клинописных текстах появляются некоторые правильные многоугольники, вписанные в круг.

Если же сравнивать математические науки Египта и Вавилона по способу мышления, то нетрудно будет установить их общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная эволюция знаний. Эти же черты обнаруживаются и в философии, мифологии, религии Востока. Как писал по этому поводу Э. Кольман, «в этом месте, где воля деспота считалась законом, не было места для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения» Колмогоров А.Н. Математика //Большая Российская энциклопедия /Под ред. Б.А. Введенского.- М, 1998 .- С.447. .

Заключение

Как уже говорилось, математика -- наука о пространственных формах (геометрический аспект) и количественных соотношениях (числовой аспект) изучаемых объектов. При этом она абстрагируется от качественной определенности объектов, поэтому математические результаты являются универсальными, применимыми к любым объектам и любым научным задачам. Число "20" может означать число основных аминокислот (биохимия); возраст Вселенной, миллиарды лет (космология); продолжительность геологической эпохи, миллионы лет (геология); возраст человека, лет (антропология); число сотрудников фирмы (менеджмент); число нейронов мозга человека; миллиарды (физиология); процент рентабельности производства (экономика) и т.д. Именно в силу универсальности своего применения, а также в связи с исследованием важнейших количественных аспектов любых процессов роль математики в прогрессе всех наук чрезвычайно высока. Это давно стало очевидно выдающимся ученым.

Именно поэтому уровень развития любой известной науки может быть установлен в первую очередь по степени использования в ней математики. При этом речь идет не просто об использовании чисел (тогда история могла бы считаться самой развитой наукой), а об уровне математизации конкретных научных достижений.

Отечественные методологи (Акчурин А.И.) выделяют три уровня математизации знаний:

1. Первый (низший) уровень -- использование математики в обработке результатов количественных опытов.

2. Второй (средний) уровень -- разработка теоретико-математических моделей.

3. Третий (высший) уровень -- создание математической теории изучаемых объектов.

Разные науки, как естественные, так и гуманитарные, и даже разделы отдельных наук имеют различный уровень математизации:

1. Низший уровень характерен для таких наук, как правоведение, лингвистика (исключая математическую лингвистику), историография, педагогика, психология, социология и некоторые другие.

2. Средний уровень характерен для таких наук, как биофизика, генетика, экология, военные науки, экономика, менеджмент, геология, химия и др.

3. Высший уровень характерен для таких наук, как астрономия, геодезия, физика (особенно механика, акустика, гидродинамика, электродинамика, оптика) и др.

Науки, имеющие в настоящее время высший уровень математизации, называются точными. Разумеется, сама по себе математика также является точной наукой.

Таким образом, математическое моделирование -- эффективный метод познания, но он применим не во всех науках и их разделах, а только в тех, где использование математики достаточно продвинулось.

Список литературы

1. Бесов К. История науки и техники с древнейших времен до конца ХХ века.- М: ЮНИТИ, 1997 .- С.14-16.

2. Колмогоров А.Н. Математика //Большая Российская энциклопедия /Под ред. Б.А. Введенского.- М: БСЭ, 1998 .- С.446-449.

3. Концепция современного естествознания /Под ред. С.И. Самыгина.- Ростов-на-Дону: Феникс, 1997 .- С.8-12.

4. Липовко П.О. Концепция современного естествознания.- Ростов н/Д: Феникс, 2004 .- С.41-45.

5. Поликарпов В.С. История науки и техники.- Ростов-на-Дону: Феникс, 1999 .- С.56-59.

6. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики.- М: Главная редакция физико-математической науки, 1984 .- С.21-53.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Изучение исторического развития математики в Российской Империи в период 18-19 веков как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Анализ уровня математического образования и его развитие российскими учеными.

реферат , добавлен 26.01.2012


Предпосылки зарождения математики в Древнем Египте. Задачи на вычисление "аха". Наука древних египтян. Задача из папируса Райнда. Геометрия в Древнем Египте. Высказывания великих ученых о важности математики. Значение египетской математики в наше время.

реферат , добавлен 24.05.2012


Возникновение и основные этапы развития математики как науки о структурах, порядке и отношениях на основе операций подсчета, измерения и описания форм реальных объектов. Развитие знаний арифметики и геометрии в Древнем Востоке, Вавилоне и Древней Греции.

презентация , добавлен 17.12.2010


Изучение возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае. Особенности задач китайцев по численному решению уравнений и геометрических задач, приводящих к уравнениям третьей степени. Выдающиеся математики Древнего Китая.

реферат , добавлен 11.09.2010


Общая характеристика математической культуры древних цивилизаций. Основные хронологические периоды зарождения и развития математики. Особенности математики в Египте, Вавилоне, Индии и Китае в древности. Математическая культура индейцев Мезоамерики.

презентация , добавлен 20.09.2015


История становления математики как науки. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрельного исчисления. Развитие математики в России в XVIII-XIX столетиях.

реферат , добавлен 09.10.2008


Особенности возникновения и использования дробей в Египте. Особенности применения шестидесятеричных дробей в Вавилоне, греческими и арабскими математиками и астрономами. Отличительные черты дробей в Древнем Риме и Руси. Дробные числа в современном мире.

презентация , добавлен 29.04.2014


Робота присвячена важливісті математики, їх використанню у різних галузях науки. Інформація, яка допоможе зацікавити учнів при вивченні математики. Етапи розвитку математики. Філософія числа піфагорійців. Математичні формули у фізиці, хімії, психології.

курсовая работа , добавлен 12.09.2009


Период зарождения математики (до VII-V вв. до н.э.). Время математики постоянных величин (VII-V вв. до н.э. – XVII в. н.э.). Математика переменных величин (XVII-XIX вв.). Современный период развития математики. Особенности компьютерной математики.

презентация , добавлен 20.09.2015


Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.

С арифметики начинается знакомство с математикой. С арифметикой мы входим, как говорил М. В. Ломоносов, во «врата учености».

Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы-алгебру, анализ математический и т.д Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г. Ринда) относится к XX в. до н. э.

Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции. Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история - Анаксагор и Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (VI в. до н. э.). Пифагорейцы преклонялись перед числами, считая, что в них заключена вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа и т. п.

В средние века развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, странами арабского мира и Средней Азии. От индийцев пришли к нам цифры, которыми мы пользуемся, нуль и позиционная система счисления; от аль-Каши (XV в.), Улугбека - десятичные дроби.

Благодаря развитию торговли и влиянию восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Следует вспомнить имя итальянского ученого Леонардо Пизанского (Фибоначчи), сочинение которого «Книга абака» знакомило европейцев с основными достижениями математики Востока и явилось началом многих исследований в арифметике и алгебре.

Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные математические книги. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования.

Примерно с XVI в. развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры, в качестве значительной вехи можно отметить появление работ ученого из Франции Ф. Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основное арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Основной объект арифметики - число. Натуральные числа, т.е. числа 1, 2, 3, 4, ... и т.д., возникли из счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем человек усвоил, что два фазана, две руки, два человека и т.д. можно назвать одним и тем же словом «два». Важная задача арифметики - научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и т.п. В арифметике числа складывают, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро безошибочно производить эти действия над любыми числами долгое время считалось важнейшей задачей арифметики. Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Эти свойства можйо описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется», можно записать буквами: a + b = b + а, можно выразить специальными терминами.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, надо отметить пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основано на сравнении различных зависимостей между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков.

Под словом «арифметика» можно понимать:

учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;


часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;


«теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);


«формальную арифметику» - часть математической логики, занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;


«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математик и

/Энциклопедический словарь юного математика, 1989/