Fórmulas de poder utilizado en el proceso de reducción y simplificación de expresiones complejas, en la resolución de ecuaciones y desigualdades.

Número C es norte-ésima potencia de un número a Cuando:

Operaciones con grados.

1. Multiplicando grados con la misma base, sus indicadores suman:

soyun norte = un metro + norte .

2. En la división de titulaciones con la misma base se restan sus indicadores:

3. El grado del producto de 2 o más factores es igual al producto de los grados de estos factores:

(abc…) n = a n b n c n …

4. El grado de una fracción es igual a la razón entre los grados del dividendo y el divisor:

(a/b) norte = an / b norte .

5. Elevando una potencia a una potencia, se multiplican los exponentes:

(soy) norte = un metro norte .

Cada fórmula anterior es correcta en las direcciones de izquierda a derecha y viceversa.

Por ejemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaciones con raíces.

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de la razón es igual a la razón entre el dividendo y el divisor de las raíces:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número de raíz a esta potencia:

4. Si aumentamos el grado de la raíz en norte una vez y al mismo tiempo subir a norte La potencia es un número raíz, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si disminuimos el grado de la raíz en norte raíz al mismo tiempo norteésimo grado del número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Grado con exponente negativo. El grado de un número con un exponente no positivo (entero) se define como uno dividido por el grado del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente no positivo:

Fórmula soy:un norte = un metro - norte se puede utilizar no sólo para metro> norte, pero también en metro< norte.

Por ejemplo. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

a formular soy:un norte = un metro - norte se volvió justo en m=n, necesitas la presencia del grado cero.

Grado con exponente cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es igual a uno.

Por ejemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real A en un grado Minnesota, necesitas extraer la raíz norte grado de metroésima potencia de este número A.

Cuando el numero se multiplica a mí mismo, trabajar llamado grado.

Entonces 2.2 = 4, cuadrado o segunda potencia de 2
2.2.2 = 8, cubo o tercera potencia.
2.2.2.2 = 16, cuarto grado.

Además, 10,10 = 100, la segunda potencia es 10.
10.10.10 = 1000, tercer grado.
10.10.10.10 = 10000 cuarto grado.

Y a.a = aa, la segunda potencia de a
a.a.a = aaa, la tercera potencia de a
a.a.a.a = aaaa, cuarta potencia de a

El número original se llama. raíz grados de ese número, porque ese es el número a partir del cual se crearon los grados.

Sin embargo, no es muy conveniente, sobre todo en el caso de potencias altas, anotar todos los factores que componen las potencias. Por tanto, se utiliza un método de notación abreviada. La raíz del grado se escribe solo una vez, a la derecha y un poco más arriba al lado, pero en una fuente un poco más pequeña se escribe cuántas veces. la raíz actúa como factor. Este número o letra se llama exponente o grado números. Entonces, a 2 es igual a a.a o aa, porque la raíz de a debe multiplicarse por sí misma dos veces para obtener la potencia de aa. Además un 3 significa aaa, es decir, aquí se repite a tres veces como multiplicador.

El exponente de la primera potencia es 1, pero normalmente no se escribe. Entonces, un 1 se escribe como a.

No debes confundir grados con coeficientes. El coeficiente muestra con qué frecuencia se toma el valor como Parte entero. El exponente indica con qué frecuencia se toma el valor como factor en el trabajo.
Entonces, 4a = a + a + a + a. Pero un 4 = a.a.a.a

La notación exponencial tiene la peculiar ventaja de permitirnos expresar desconocido grado. Para ello, en lugar de un número, se escribe el exponente. carta. En el proceso de resolución del problema, podemos obtener un valor que, como sabemos, es alguno grado de otra magnitud. Pero hasta el momento no sabemos si se trata de un cuadrado, un cubo u otro grado superior. Entonces, en la expresión a x , el exponente significa que esta expresión tiene alguno grado, aunque no definido qué grado. Entonces, b m y d n se elevan a las potencias de my n. Cuando se encuentra el exponente, número sustituido por una letra. Entonces, si m=3, entonces b m = b 3 ; pero si m = 5 entonces b m =b 5 .

El método de escribir valores con exponentes también es una gran ventaja a la hora de utilizar expresiones. Así, (a + b + d) 3 es (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), es decir, el cubo del trinomio (a + b + d) . Pero si escribimos esta expresión después del cubo, se verá así
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Si tomamos una serie de potencias cuyos exponentes aumentan o disminuyen en 1, encontramos que el producto aumenta en factor común o reducido por común divisor, y este factor o divisor es el número original que se eleva a una potencia.

Entonces, en la serie aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
o un 5, un 4, un 3, un 2, un 1;
los indicadores, si se cuentan de derecha a izquierda, son 1, 2, 3, 4, 5; y la diferencia entre sus valores es 1. Si empezamos a la derecha multiplicar en a, obtendremos con éxito múltiples valores.

Entonces a.a = a 2 , el segundo término. Y un 3 .a = un 4
a 2 .a = a 3 , el tercer término. un 4 .a = un 5 .

si empezamos izquierda dividir en un,
obtenemos a 5:a = a 4 y a 3:a = a 2 .
un 4: un = un 3 un 2: un = un 1

Pero ese proceso de división puede continuar y obtener un nuevo conjunto de valores.

Entonces, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

La fila completa será: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

O un 5, un 4, un 3, un 2, un, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Aquí valores a la derecha de la unidad es contrarrestar valores a la izquierda de uno. Por lo tanto, estos grados pueden denominarse potencias inversas a. También se puede decir que las potencias de la izquierda son la inversa de las potencias de la derecha.

Entonces, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Y 1:(1/a 3) = a 3 .

El mismo plan de grabación se puede aplicar a polinomios. Entonces, para a + b, obtenemos un conjunto,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Por conveniencia, se utiliza otra forma de escribir potencias inversas.

Según esta forma, 1/a o 1/a 1 = a -1. Y 1/aaa o 1/a 3 = a -3.
1/aa o 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa o 1/a 4 = a -4 .

Y para hacer que los exponentes completen series con 1 como diferencia total, a/a o 1, se considera como tal que no tiene grado y se escribe como un 0.

Luego, teniendo en cuenta las potencias directa e inversa
en lugar de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
puedes escribir un 4, un 3, un 2, un 1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
O un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.

Y una serie de títulos tomados únicamente por separado tendrá la forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

La raíz del grado puede expresarse con más de una letra.

Así, aa.aa o (aa)2 es la segunda potencia de aa.
Y aa.aa.aa o (aa)3 es la tercera potencia de aa.

Todos los grados del número 1 son iguales: 1.1 o 1.1.1. será igual a 1.

La exponenciación consiste en encontrar el valor de cualquier número multiplicándolo por sí mismo. Regla de exponenciación:

Multiplica el valor por sí mismo tantas veces como indica la potencia del número.

Esta regla es común a todos los ejemplos que puedan surgir en el proceso de exponenciación. Pero será correcto explicar cómo se aplica a casos particulares.

Si sólo se eleva un término a una potencia, entonces se multiplica por sí mismo tantas veces como indique el exponente.

La cuarta potencia a es un 4 o aaaa. (Artículo 195.)
La sexta potencia de y es y 6 o yyyyyy.
La enésima potencia de x es x n o xxx..... n veces repetidas.

Si es necesario elevar a una potencia una expresión de varios términos, se aplicará el principio de que el grado del producto de varios factores es igual al producto de estos factores elevado a una potencia.

Entonces (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Pero ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Entonces, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Por lo tanto, para encontrar el grado de un producto, podemos operar con todo el producto a la vez o podemos operar con cada factor por separado y luego multiplicar sus valores por grados.

Ejemplo 1. La cuarta potencia de dhy es (dhy) 4 , o d 4 h 4 y 4 .

Ejemplo 2. La tercera potencia de 4b es (4b) 3, o 4 3 b 3, o 64b 3.

Ejemplo 3. La enésima potencia de 6ad es (6ad) n o 6 n y d n.

Ejemplo 4. La tercera potencia de 3m.2y es (3m.2y) 3 , o 27m 3 .8y 3 .

El grado de un binomio, formado por términos conectados por + y -, se calcula multiplicando sus términos. Sí,

(a + b) 1 = a + b, la primera potencia.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , segunda potencia (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tercer grado.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, cuarto grado.

Cuadrado a - b, hay a 2 - 2ab + b 2 .

El cuadrado a + b + h es a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Ejercicio 1. Encuentra el cubo a + 2d + 3

Ejercicio 2. Encuentra la cuarta potencia b + 2.

Ejercicio 3. Encuentra la quinta potencia de x + 1.

Ejercicio 4. Encuentra el sexto grado 1 - b.

Suma de cuadrados cantidades Y diferencia Los binomios son tan comunes en álgebra que es necesario conocerlos muy bien.

Si multiplicamos a + h por sí mismo o a - h por sí mismo,
obtenemos: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 también, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Esto muestra que en cada caso, el primer y último término son los cuadrados de ayh, y el término medio es el doble del producto de ayh. Por tanto, el cuadrado de la suma y la diferencia de los binomios se puede encontrar utilizando la siguiente regla.

El cuadrado de un binomio, ambos positivos, es igual al cuadrado del primer término + el doble del producto de ambos términos, + el cuadrado del último término.

Cuadrado diferencia binomio es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo 1. Al cuadrado 2a + b, quedan 4a 2 + 4ab + b 2 .

Ejemplo 2. El cuadrado ab + cd es a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Ejemplo 3. El cuadrado 3d - h es 9d 2 + 6dh + h 2 .

Ejemplo 4. El cuadrado a - 1 es a 2 - 2a + 1.

Para conocer un método para encontrar potencias superiores de binomios, consulte las siguientes secciones.

En muchos casos es eficiente escribir grado sin multiplicación.

Entonces, el cuadrado a + b es (a + b) 2 .
La enésima potencia bc + 8 + x es (bc + 8 + x) n

En tales casos, los corchetes cubren Todo miembros bajo grado.

Pero si la raíz del grado consta de varios multiplicadores, los paréntesis pueden cubrir la expresión completa o pueden aplicarse por separado a los factores, según su conveniencia.

Por lo tanto, el cuadrado (a + b)(c + d) es [(a + b).(c + d)] 2 o (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Para la primera de estas expresiones, el resultado es el cuadrado del producto de dos factores, y para la segunda, el producto de sus cuadrados. Pero son iguales entre sí.

El cubo a.(b + d), es 3 , o a 3 .(b + d) 3 .

También es necesario tener en cuenta el cartel que tienen delante los miembros implicados. Es muy importante recordar que cuando la raíz de un poder es positiva, todos sus poderes positivos también lo son. Pero cuando la raíz es negativa, los valores de extraño las potencias son negativas, mientras que los valores incluso Los grados son positivos.

La segunda potencia (- a) es +a 2
El tercer grado (-a) es -a 3
La cuarta potencia (-a) es +a 4
La quinta potencia (-a) es -a 5

Por lo tanto cualquier extraño el exponente tiene el mismo signo que el número. Pero incluso el grado es positivo, independientemente de si el número tiene signo positivo o negativo.
Entonces, +a.+a = +a 2
Y -a.-a = +a 2

Un valor ya elevado a una potencia se eleva nuevamente a una potencia multiplicando los exponentes.

La tercera potencia de un 2 es un 2,3 = un 6.

Para un 2 = aa; el cubo aa es aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; que es la sexta potencia de a, pero la tercera potencia de a 2 .

La cuarta potencia a 3 b 2 es a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

La tercera potencia de 4a 2 x es 64a 6 x 3 .

La quinta potencia de (a + b) 2 es (a + b) 10 .

La enésima potencia de un 3 es un 3n

La enésima potencia de (x - y) m es (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 segundo 2 h 4) 3 = a 9 segundo 6 h 12

La regla se aplica igualmente a negativo grados.

Ejemplo 1. La tercera potencia de a -2 es a -3,3 =a -6.

Para a -2 = 1/aa, y la tercera potencia de este
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

La cuarta potencia a 2 b -3 es a 8 b -12 o a 8 / b 12 .

El cuadrado b 3 x -1 es b 6 x -2 .

La enésima potencia ax -m es x -mn o 1/x .

Sin embargo, hay que recordar aquí que si un signo anterior el grado es "-", entonces se debe cambiar a "+" siempre que el grado sea un número par.

Ejemplo 1. El cuadrado -a 3 es +a 6 . El cuadrado de -a 3 es -a 3 .-a 3 , que, según las reglas de los signos de multiplicación, es +a 6 .

2. Pero el cubo -a 3 es -a 9 . Para -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. La enésima potencia de -a 3 es 3n.

Aquí el resultado puede ser positivo o negativo dependiendo de si n es par o impar.

Si fracción elevado a una potencia, el numerador y el denominador se elevan a la potencia.

El cuadrado a/b es a 2 /b 2 . Según la regla de multiplicación de fracciones,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Las potencias segunda, tercera y enésima de 1/a son 1/a 2, 1/a 3 y 1/a n.

Ejemplos binomios donde uno de los términos es una fracción.

1. Encuentra el cuadrado x + 1/2 y x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. El cuadrado a + 2/3 es a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Cuadrado x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 El cuadrado x - b/m es x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Anteriormente se demostró que coeficiente fraccionario se puede pasar del numerador al denominador o del denominador al numerador. Utilizando el esquema de escritura de potencias inversas, se puede ver que cualquier multiplicador también se puede mover si se cambia el signo del grado.

Entonces, en la fracción ax -2 /y, podemos mover x del numerador al denominador.
Entonces ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

En la fracción a/por 3 podemos mover y del denominador al numerador.
Entonces a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

De la misma forma, podemos mover un factor que tiene exponente positivo al numerador, o un factor con exponente negativo al denominador.

Entonces, ax 3 / b = a / bx -3 . Para x 3, la inversa es x -3, que es x 3 = 1/x -3.

Por lo tanto, el denominador de cualquier fracción se puede eliminar por completo o el numerador se puede reducir a uno sin cambiar el significado de la expresión.

Entonces, a/b = 1/ba -1 o ab -1.

se puede encontrar usando la multiplicación. Por ejemplo: 5+5+5+5+5+5=5x6. Dicen de tal expresión que la suma de términos iguales se ha sumado a un producto. Y viceversa, si leemos esta igualdad de derecha a izquierda, obtenemos que hemos ampliado la suma de términos iguales. De manera similar, puedes sumar el producto de varios factores iguales 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Es decir, en lugar de multiplicar seis factores idénticos 5x5x5x5x5x5, escriben 5 6 y dicen "cinco elevado a la sexta potencia".

La expresión 5 6 es una potencia de un número, donde:

5 - base de grado;

6 - exponente.

Las operaciones mediante las cuales el producto de factores iguales se suma a una potencia se llaman exponenciación.

En general, una potencia con base "a" y exponente "n" se escribe como

Elevar el número a a la potencia de n significa encontrar el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a

Si la base del grado "a" es 1, entonces el valor del grado para cualquier n natural será igual a 1. Por ejemplo, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Si elevas el número "a" sube a primer grado, entonces obtenemos el número a en sí: un 1 = un

Si elevas cualquier número a grado cero, luego, como resultado de los cálculos, obtenemos uno. un 0 = 1

La segunda y tercera potencia de un número se consideran especiales. Se les ocurrieron nombres: el segundo grado se llama el cuadrado de un numero, tercero - cubo este número.

Cualquier número se puede elevar a una potencia: positivo, negativo o cero. Sin embargo, no se utilizan las siguientes reglas:

Al encontrar el grado de un número positivo, se obtiene un número positivo.

Al calcular el cero en especie, obtenemos cero.

xm х n = x m + n

por ejemplo: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

A dividir poderes con la misma base no cambiamos la base, sino que restamos los exponentes:

xm /xn \u003d x metro - norte , Dónde, metro > norte

ej.: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Al calcular exponenciación No cambiamos la base, pero multiplicamos los exponentes entre sí.

(Cajero automático )norte = y m norte

por ejemplo: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) norte = x norte · metro ,

por ejemplo: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Al realizar cálculos para exponenciación de una fracción elevamos el numerador y denominador de la fracción a la potencia dada

(x/y)n = x norte / s n

por ejemplo: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3.

La secuencia de realización de cálculos cuando se trabaja con expresiones que contienen un título.

Al realizar cálculos de expresiones sin paréntesis, pero que contienen potencias, en primer lugar se realiza la exponenciación, luego las operaciones de multiplicación y división, y solo luego las operaciones de suma y resta.

Si es necesario evaluar una expresión que contiene paréntesis, primero, en el orden indicado anteriormente, hacemos los cálculos entre paréntesis y luego las acciones restantes en el mismo orden de izquierda a derecha.

Muy ampliamente en cálculos prácticos, para simplificar los cálculos, se utilizan tablas de grados ya preparadas.

La exponenciación es una operación muy relacionada con la multiplicación, esta operación es el resultado de la multiplicación múltiple de un número por sí mismo. Representemos la fórmula: a1 * a2 * ... * an = an.

Por ejemplo, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8.

En general, la exponenciación se utiliza a menudo en diversas fórmulas de matemáticas y física. Esta función tiene un propósito más científico que las cuatro básicas: Suma, Resta, Multiplicación, División.

Elevar un número a una potencia.

Elevar un número a una potencia no es una operación difícil. Está relacionado con la multiplicación como la relación entre multiplicación y suma. Registro an: un breve registro del enésimo número de números "a" multiplicados entre sí.

Consideremos la exponenciación en los ejemplos más simples y pasemos a los complejos.

Por ejemplo, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Cuatro al cuadrado (a la segunda potencia) es igual a dieciséis. Si no comprende la multiplicación 4 * 4, lea nuestro artículo sobre la multiplicación.

Veamos otro ejemplo: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinco al cubo (a la tercera potencia) es igual a ciento veinticinco.

Otro ejemplo: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nueve al cubo equivale a setecientos veintinueve.

Fórmulas de exponenciación

Para elevar correctamente a una potencia, debes recordar y conocer las fórmulas siguientes. No hay nada más que natural en esto, lo principal es comprender la esencia y entonces no solo serán recordados, sino que también parecerán fáciles.

Elevar un monomio a una potencia.

¿Qué es un monomio? Este es el producto de números y variables en cualquier cantidad. Por ejemplo, dos es un monomio. Y este artículo trata sobre cómo elevar esos monomios a una potencia.

Utilizando fórmulas de exponenciación, no será difícil calcular la exponenciación de un monomio a una potencia.

Por ejemplo, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Si elevas un monomio a una potencia, entonces cada componente del monomio se eleva a una potencia.

Al elevar a una potencia una variable que ya tiene un grado, los grados se multiplican. Por ejemplo, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Elevando a una potencia negativa

Un exponente negativo es el recíproco de un número. ¿Qué es un recíproco? Para cualquier número X, el recíproco es 1/X. Eso es X-1=1/X. Ésta es la esencia del grado negativo.

Considere el ejemplo (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

¿Porqué es eso? Como hay un signo menos en el grado, simplemente transferimos esta expresión al denominador y luego la elevamos a la tercera potencia. ¿Solo bien?

Elevando a una potencia fraccionaria

Comencemos con un ejemplo específico. 43/2. ¿Qué significa potencia 3/2? 3 - numerador, significa elevar un número (en este caso 4) a un cubo. El número 2 es el denominador, es la extracción de la segunda raíz del número (en este caso 4).

Luego obtenemos la raíz cuadrada de 43 = 2^3 = 8. Respuesta: 8.

Entonces, el denominador de un grado fraccionario puede ser 3 o 4, y hasta el infinito cualquier número, y este número determina el grado de la raíz cuadrada extraída de un número dado. Por supuesto, el denominador no puede ser cero.

Elevando una raíz a un poder

Si la raíz se eleva a una potencia igual a la potencia de la raíz misma, entonces la respuesta es la expresión radical. Por ejemplo, (√x)2 = x. Y así en cualquier caso de igualdad del grado de raíz y del grado de elevación de la raíz.

Si (√x)^4. Entonces (√x)^4=x^2. Para verificar la solución, traducimos la expresión a una expresión con un grado fraccionario. Como la raíz es cuadrada, el denominador es 2. Y si la raíz se eleva a la cuarta potencia, entonces el numerador es 4. Obtenemos 4/2=2. Respuesta: x = 2.

En cualquier caso, la mejor opción es simplemente convertir la expresión a un exponente fraccionario. Si la fracción no se reduce, entonces esa respuesta lo será, siempre que no se resalte la raíz del número dado.

Exponenciación de un número complejo

¿Qué es un número complejo? Un número complejo es una expresión que tiene la fórmula a + b * i; a, b son números reales. i es el número que, elevado al cuadrado, da el número -1.

Considere un ejemplo. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

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Exponenciación en línea

Con la ayuda de nuestra calculadora, puedes calcular la exponenciación de un número a una potencia:

Exponenciación Grado 7

Los escolares comienzan a alcanzar el poder solo en séptimo grado.

La exponenciación es una operación muy relacionada con la multiplicación, esta operación es el resultado de la multiplicación múltiple de un número por sí mismo. Representemos la fórmula: a1 * a2 * … * an=an .

Por ejemplo, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Ejemplos de soluciones:

presentación de exponenciación

Presentación sobre exponenciación, diseñada para alumnos de séptimo grado. La presentación puede aclarar algunos puntos incomprensibles, pero probablemente no los habrá gracias a nuestro artículo.

Resultado

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Descubrimos cuál es el grado de un número en general. Ahora necesitamos entender cómo calcularlo correctamente, es decir. elevar los números a potencias. En este material analizaremos las reglas básicas para calcular el grado en el caso de un exponente entero, natural, fraccionario, racional e irracional. Todas las definiciones se ilustrarán con ejemplos.

El concepto de exponenciación.

Comencemos con la formulación de definiciones básicas.

Definición 1

exponenciación es el cálculo del valor de la potencia de algún número.

Es decir, las palabras "cálculo del valor del grado" y "exponenciación" significan lo mismo. Entonces, si la tarea es "Elevar el número 0, 5 a la quinta potencia", esto debe entenderse como "calcular el valor de la potencia (0, 5) 5".

Ahora damos las reglas básicas que se deben seguir en dichos cálculos.

Recuerda qué es una potencia de un número con exponente natural. Para una potencia de base a y exponente n, este será el producto del enésimo número de factores, cada uno de los cuales es igual a a. Esto se puede escribir así:

Para calcular el valor del grado, es necesario realizar la operación de multiplicación, es decir, multiplicar las bases del grado el número especificado de veces. El concepto mismo de un título con un indicador natural se basa en la capacidad de multiplicarse rápidamente. Pongamos ejemplos.

Ejemplo 1

Condición: Elevar - 2 a la potencia de 4.

Solución

Usando la definición anterior, escribimos: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . A continuación, sólo tenemos que seguir estos pasos y obtener 16.

Tomemos un ejemplo más complicado.

Ejemplo 2

Calcula el valor 3 2 7 2

Solución

Esta entrada se puede reescribir como 3 2 7 · 3 2 7 . Anteriormente vimos cómo multiplicar correctamente los números mixtos mencionados en la condición.

Realice estos pasos y obtenga la respuesta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Si la tarea indica la necesidad de elevar números irracionales a una potencia natural, primero necesitaremos redondear sus bases a un dígito que nos permita obtener una respuesta con la precisión deseada. Tomemos un ejemplo.

Ejemplo 3

Realiza la elevación al cuadrado del número π.

Solución

Primero redondeémoslo a centésimas. Entonces π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Si π ≈ 3 . 14159, entonces obtendremos un resultado más preciso: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tenga en cuenta que en la práctica la necesidad de calcular las potencias de números irracionales surge relativamente raramente. Luego podemos escribir la respuesta como la potencia misma (ln 6) 3 o convertirla si es posible: 5 7 = 125 5.

Por separado conviene indicar cuál es la primera potencia de un número. Aquí puedes recordar que cualquier número elevado a la primera potencia seguirá siendo él mismo:

Esto se desprende claramente del expediente. .

No depende de la titulación.

Ejemplo 4

Entonces, (− 9) 1 = − 9 , y 7 3 elevado a la primera potencia sigue siendo igual a 7 3 .

Por conveniencia, analizaremos tres casos por separado: si el exponente es un número entero positivo, si es cero y si es un número entero negativo.

En el primer caso, esto es lo mismo que elevar a una potencia natural: después de todo, los números enteros positivos pertenecen al conjunto de los números naturales. Ya hemos descrito cómo trabajar con dichos títulos anteriormente.

Ahora veamos cómo elevar correctamente a la potencia cero. Con una base distinta de cero, este cálculo siempre produce un resultado de 1. Anteriormente hemos explicado que la potencia 0 de a se puede definir para cualquier número real distinto de 0, y a 0 = 1.

Ejemplo 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - no definido.

Nos queda sólo el caso de un grado con exponente entero negativo. Ya hemos comentado que dichos grados se pueden escribir como una fracción 1 a z, donde a es cualquier número y z es un número entero negativo. Vemos que el denominador de esta fracción no es más que un grado ordinario con un número entero positivo, y ya hemos aprendido a calcularlo. Demos ejemplos de tareas.

Ejemplo 6

Eleva 2 a la potencia -3.

Solución

Usando la definición anterior, escribimos: 2 - 3 = 1 2 3

Calculamos el denominador de esta fracción y obtenemos 8: 2 3 = 2 2 2 = 8.

Entonces la respuesta es: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Ejemplo 7

Sube 1, 43 a la potencia -2.

Solución

Reformular: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Calculamos el cuadrado en el denominador: 1,43 1,43. Los decimales se pueden multiplicar de esta forma:

Como resultado, obtuvimos (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Nos queda escribir este resultado en forma de una fracción ordinaria, para lo cual es necesario multiplicarlo por 10 mil (consulte el material sobre la conversión de fracciones).

Respuesta: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caso aparte es elevar un número a la primera potencia menos. El valor de dicho grado es igual al número opuesto al valor original de la base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Ejemplo 8

Ejemplo: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cómo elevar un número a una potencia fraccionaria

Para realizar tal operación, debemos recordar la definición básica de un grado con un exponente fraccionario: a m n \u003d a m n para cualquier a positivo, entero m y n natural.

Definición 2

Por tanto, el cálculo de un grado fraccionario debe realizarse en dos pasos: elevar a una potencia entera y encontrar la raíz del enésimo grado.

Tenemos la igualdad a m n = a m n , que dadas las propiedades de las raíces, se suele utilizar para resolver problemas de la forma a m n = a n m . Esto significa que si elevamos un número a a una potencia fraccionaria m / n, primero extraemos la raíz de enésimo grado de a, luego elevamos el resultado a una potencia con un exponente entero m.

Ilustremos con un ejemplo.

Ejemplo 9

Calcula 8 - 2 3 .

Solución

Método 1. Según la definición básica, podemos representar esto como: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Ahora calculemos el grado debajo de la raíz y extraigamos la tercera raíz del resultado: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Método 2. Transformemos la igualdad básica: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Después de eso, extraemos la raíz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 y elevamos al cuadrado el resultado: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vemos que las soluciones son idénticas. Puedes usarlo como quieras.

Hay casos en que el título tiene un indicador expresado como número mixto o fracción decimal. Para facilitar el cálculo, es mejor reemplazarla con una fracción ordinaria y contar como se indicó anteriormente.

Ejemplo 10

Eleve 44,89 a la potencia de 2,5.

Solución

Convirtamos el valor del indicador en una fracción ordinaria: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Y ahora realizamos todas las acciones indicadas anteriormente en orden: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Respuesta: 13501, 25107.

Si hay números grandes en el numerador y denominador de un exponente fraccionario, entonces calcular dichos exponentes con exponentes racionales es un trabajo bastante difícil. Generalmente requiere tecnología informática.

Por separado, nos detendremos en el grado con base cero y exponente fraccionario. A una expresión de la forma 0 m n se le puede dar el siguiente significado: si m n > 0, entonces 0 m n = 0 m n = 0 ; si mn< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cómo elevar un número a una potencia irracional

La necesidad de calcular el valor de un grado en cuyo indicador hay un número irracional no surge con tanta frecuencia. En la práctica, la tarea suele limitarse a calcular un valor aproximado (hasta un determinado número de decimales). Esto generalmente se calcula en una computadora debido a la complejidad de dichos cálculos, por lo que no nos detendremos en esto en detalle, solo indicaremos las disposiciones principales.

Si necesitamos calcular el valor del grado a con un exponente irracional a, entonces tomamos la aproximación decimal del exponente y contamos a partir de ahí. El resultado será una respuesta aproximada. Cuanto más precisa sea la aproximación decimal tomada, más precisa será la respuesta. Demostrémoslo con un ejemplo:

Ejemplo 11

Calcula el valor aproximado de 2 elevado a 1,174367....

Solución

Nos limitamos a la aproximación decimal an = 1, 17. Hagamos los cálculos usando este número: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Si tomamos, por ejemplo, la aproximación an = 1, 1743, entonces la respuesta será un poco más precisa: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

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