esquema de diferencia
esquema de diferencia es un sistema finito de ecuaciones algebraicas asociado con algún problema diferencial que contiene una ecuación diferencial y condiciones adicionales (por ejemplo, condiciones de contorno y/o distribución inicial). Así, los esquemas en diferencias se utilizan para reducir un problema diferencial, que tiene un carácter continuo, a un sistema finito de ecuaciones, cuya solución numérica es fundamentalmente posible en computadoras. Las ecuaciones algebraicas asociadas con una ecuación diferencial se obtienen mediante el método de diferencias, que distingue la teoría de esquemas en diferencias de otros métodos numéricos para resolver problemas diferenciales (por ejemplo, métodos de proyección, como el método de Galerkin).
La solución del esquema de diferencias se llama solución aproximada del problema diferencial.
Aunque la definición formal no impone restricciones significativas sobre la forma de las ecuaciones algebraicas, en la práctica tiene sentido considerar sólo aquellos esquemas que de alguna manera corresponden a un problema diferencial. Los conceptos importantes de la teoría de los esquemas de diferencias son los conceptos de convergencia, aproximación, estabilidad y conservadurismo.
Aproximación
Se dice que un operador diferencial definido en funciones definidas en el dominio se aproxima en una determinada clase de funciones mediante un operador de diferencias finitas definido en funciones definidas en una cuadrícula dependiendo del paso si
Se dice que una aproximación tiene orden si
donde es una constante que depende de la función específica, pero no depende del paso. La norma utilizada anteriormente puede ser diferente y el concepto de aproximación depende de su elección. A menudo se utiliza un análogo discreto de la norma de continuidad uniforme:
a veces se utilizan análogos discretos de normas integrales.
Ejemplo. Aproximación de un operador por un operador de diferencias finitas
en un intervalo acotado es de segundo orden en la clase de funciones suaves.
Un problema de diferencias finitas se aproxima a un problema diferencial, y la aproximación es de orden, si tanto la ecuación diferencial en sí como las condiciones de frontera (e iniciales) son aproximadas por los operadores de diferencias finitas correspondientes, y las aproximaciones son de orden.
condición de corriente
La condición de Courant (en la literatura en lengua inglesa, Eng. Condición de Courant-Friedrichs-Levy , CFL): la velocidad de propagación de las perturbaciones en el problema de diferencias no debe ser menor que en el problema diferencial. Si no se cumple esta condición, entonces el resultado del esquema de diferencias puede no tender a resolver la ecuación diferencial. En otras palabras, en un paso de tiempo la partícula no debe “atravesar” más de una celda.
En el caso de circuitos cuyos coeficientes no dependen de la solución de la ecuación diferencial, la condición de Courant se deriva de la estabilidad.
Esquemas sobre grillas sesgadas.
En estos esquemas de cuadrícula, donde se establece el resultado y los datos se compensan entre sí. Por ejemplo, los puntos de resultados están en el medio entre los puntos de datos. En algunos casos, esto permite el uso de condiciones de contorno más simples.
ver también
Enlaces
- "Esquemas de diferencias" - Capítulo de Wikilibros sobre "Esquemas de diferencias para ecuaciones hiperbólicas"
- Demyanov A. Yu., Chizhikov D. V. Esquema de diferencia monótona híbrida implícita de segundo orden de precisión
- V. S. Ryaben'kii, A. F. Filippov. Sobre la estabilidad de ecuaciones en diferencias. - M.: Gostekhizdat, 1956.
- S. K. Godunov, V. S. Ryabenky. Introducción a la teoría de los esquemas en diferencias. - M.: Fizmatgiz, 1962.
- K. I. Babenko. Fundamentos del análisis numérico. - M.: Nauka, 1986.
- Berezin I.S., Zhidkov N.P. Métodos de cálculo, - Cualquier edición.
- Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Métodos numéricos, - Cualquier edición.
- G. I. Marchuk. Métodos de matemáticas computacionales. - M.: Nauka, 1977.
Notas
Fundación Wikimedia. 2010.
Vea qué es "Esquema de diferencia" en otros diccionarios:
Un sistema de ecuaciones en diferencias que se aproxima a una ecuación diferencial y condiciones adicionales (iniciales, de frontera, etc.). Aproximación del problema diferencial original R. s. esta es una forma de discretización aproximada del problema original... Enciclopedia Matemática
esquema de diferencias de elementos finitos- método de elementos finitos - [A.S. Goldberg. Diccionario de energía inglés ruso. 2006] Temas Energía en general Sinónimos método de elementos finitos EN tabla de diferencias de volumen finito…
Un esquema en diferencias es un sistema finito de ecuaciones algebraicas asociado con cualquier problema diferencial que contenga una ecuación diferencial y condiciones adicionales (por ejemplo, condiciones de contorno y / o iniciales ... ... Wikipedia
esquema de cálculo de diferencias finitas basado en volúmenes de control- (por ejemplo, transferencia de calor y masa, conductividad térmica) [A.S. Goldberg. Diccionario de energía inglés ruso. 2006] Temas de energía en general EN control de volumen basado en programa de diferencias finitas... Manual del traductor técnico
Esquema: documento gráfico; presentación, imagen, presentación de algo en los términos más generales, simplificado (por ejemplo, un esquema de informe); un dispositivo electrónico que contiene muchos componentes (circuito integrado). Documento gráfico ... ... Wikipedia
Esquema de diferencias basado en un problema variacional correspondiente a un problema de valores en la frontera para una ecuación diferencial. La idea principal de construir R. en. Con. es que con una elección especial de funciones de coordenadas en el método de Ritz... ... Enciclopedia Matemática
Métodos numéricos para resolver métodos para resolver las ecuaciones de Gierbolpch. tipo basado en algoritmos computacionales. Varios matemáticos En muchos casos, los modelos conducen a ecuaciones diferenciales hiperbólicas. tipo. Tales ecuaciones tienen aialítica exacta. ... ... Enciclopedia Matemática
Rama de las matemáticas computacionales que estudia métodos para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales reemplazándolas con ecuaciones en diferencias finitas (esquemas en diferencias). R. s. t.estudia métodos para construir esquemas de diferencias, ... ... Enciclopedia Matemática
Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales parciales son métodos de resolución aproximados, como resultado de lo cual la solución del problema se representa mediante una tabla de números. Soluciones exactas (en forma de fórmulas explícitas, series, etc.) sólo se puede construir en raras ocasiones... ... Enciclopedia Matemática
Métodos de resolución de problemas de dinámica de gases basados en algoritmos computacionales. Consideremos los aspectos principales de la teoría de los métodos numéricos para resolver problemas de dinámica de gases, escribiendo las ecuaciones de dinámica de gases en forma de leyes de conservación en inercial ... ... Enciclopedia Matemática libro electronico
Usando una plantilla para cada nodo interno del área de solución, se aproxima la ecuación de calor
Desde aquí encontramos:
Utilizando las condiciones inicial y de contorno, los valores de la función de cuadrícula se encuentran en todos los nodos en el nivel de tiempo cero.
Luego, usando las razones
los valores de estas funciones se encuentran en todos los nodos internos en el primer nivel de tiempo, después de lo cual encontramos el valor en los nodos límite
Como resultado, encontramos el valor de las funciones en todos los nodos en el primer nivel de tiempo. Después de eso, usando estas relaciones, encontramos todos los demás valores, etc.
En el esquema de diferencias considerado, los valores de la función deseada en el siguiente nivel de tiempo se encuentran directamente, explícitamente usando la fórmula
Por lo tanto, el esquema de diferencias considerado utilizando esta plantilla se llama esquema de diferencia explícito . Su precisión está en orden.
Este esquema de diferencia es fácil de usar, pero tiene un inconveniente importante. Resulta que el esquema de diferencia explícita tiene una solución estable sólo en caso de que, si se cumple la condición :
Esquema de diferencia explícita es condicionalmente estable . Si no se cumple la condición, pequeños errores de cálculo, por ejemplo, asociados con el redondeo de datos de computadora, provocan un cambio brusco en la solución. La solución se vuelve inutilizable. Esta condición impone restricciones muy severas en el paso de tiempo, lo que puede ser inaceptable debido a un aumento significativo en el tiempo de cálculo para resolver este problema.
Considere un esquema diferente usando un patrón diferente
Método 36
Esquema de diferencias implícitas para la ecuación del calor.
Sustituir en la ecuación del calor:
Esta relación se escribe para cada nodo interno en el nivel de tiempo y se complementa con dos relaciones que determinan los valores en los nodos límite. El resultado es un sistema de ecuaciones para determinar los valores desconocidos de la función en el nivel de tiempo.
El esquema para resolver el problema es el siguiente:
Utilizando las condiciones inicial y de contorno, el valor de la función se encuentra en el nivel de tiempo cero. Luego, usando estas relaciones y condiciones de contorno, se construye un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para encontrar el valor de la función en el primer nivel de tiempo, después de lo cual el sistema se construye nuevamente usando estas relaciones, y los valores se encuentran en el segundo nivel de tiempo, etc.
Diferencia del esquema explícito- los valores en el siguiente nivel de tiempo no se calculan directamente utilizando una fórmula ya preparada, sino que se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones, es decir los valores de las incógnitas se encuentran implícitamente resolviendo el SLAE. Por tanto, el esquema de diferencias se denomina implícito. A diferencia del explícito, el implícito es absolutamente estable.
Tema #9
Problemas de optimización.
Estos problemas se encuentran entre los problemas más importantes de las matemáticas aplicadas. Medios de optimización elegir la mejor opción entre todas las posibles soluciones a un problema determinado. Para ello es necesario formular el problema a resolver como matemático, dando mejor o peor significado cuantitativo a los conceptos. Generalmente, en el proceso de resolución, es necesario encontrar valores de parámetros optimizados. Estas opciones se llaman diseño. Y el número de parámetros de diseño determina. dimensión de la tarea.
La solución se cuantifica mediante alguna función que depende de los parámetros de diseño. Esta función se llama objetivo . Está construido de tal manera que el valor más óptimo corresponde al máximo (mínimo).
- función objetivo.
Los casos más simples son cuando la función objetivo depende de un parámetro y viene dada por una fórmula explícita. Puede haber varias funciones objetivo.
Por ejemplo, al diseñar un avión, es necesario garantizar simultáneamente la máxima fiabilidad, el mínimo peso y coste, etc. En tales casos, ingrese sistema de prioridad . A cada función objetivo se le asigna un determinado multiplicador objetivo; como resultado, se obtiene una función objetivo generalizada (función de compromiso).
Generalmente la solución óptima está limitada por una serie de condiciones asociadas con la función física del problema. Estas condiciones pueden tomar la forma de igualdades o desigualdades.
La teoría y los métodos para resolver problemas de optimización en presencia de restricciones son objeto de investigación en una de las secciones de matemáticas aplicadas: programación matemática.
Si la función objetivo es lineal con respecto a los parámetros de diseño y las restricciones impuestas a los parámetros también son lineales, entonces problema de programación lineal . Considere métodos para resolver un problema de optimización unidimensional.
Se requiere encontrar valores para los cuales la función objetivo tenga un valor máximo. Si la función objetivo se da analíticamente y se puede encontrar una expresión para sus derivadas, entonces la solución óptima se logrará en los extremos del segmento o en los puntos en los que la derivada desaparece. Estos son los puntos críticos y. Es necesario encontrar los valores de la función objetivo en todos los puntos críticos y elegir el máximo.
En el caso general, se utilizan varios métodos de búsqueda para encontrar una solución. Como resultado, el segmento que contiene la solución óptima se estrecha.
Veamos algunos de los métodos de búsqueda. Supongamos que la función objetivo tiene un máximo en el intervalo. En este caso, dividiendo por puntos nodales, cuyo número es , la función objetivo se calcula en estos puntos nodales. Supongamos que el valor máximo de la función objetivo estará en el nodo, entonces podemos asumir que la solución óptima está en el intervalo. Como resultado, el segmento que contiene la solución óptima se estrecha. El nuevo segmento resultante se vuelve a dividir en partes, etc. Con cada partición, el segmento que contiene la solución óptima se reduce en un factor.
Supongamos que se producen pasos de estrechamiento. Entonces el segmento original se reduce en un factor.
Es decir, hacerlo mientras se ejecuta (*)
En este caso, se calcula la función objetivo.
Se requiere encontrar un valor tal que la expresión (*) se obtenga con el menor
número de cálculos.
Método 37
método de media división.
Considere el método de búsqueda de . Se llama método de la media división, ya que en cada paso el segmento que contiene la solución óptima se reduce a la mitad.
La eficiencia de la búsqueda se puede aumentar mediante una elección especial de puntos en los que se calcula la función objetivo en un cierto paso de estrechamiento.
Método 38
Método de la sección áurea.
Uno de los métodos eficaces es el método de la sección áurea. La sección áurea de un segmento es un punto para el cual se cumple la condición.
Hay dos de esos puntos: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
El segmento se divide por puntos y luego hay un punto donde la función objetivo es máxima. Como resultado, se encuentra un segmento modificado con una longitud de 0,618 (-).
Ya se conoce un valor de la sección áurea para el segmento estrechado, por lo tanto, en cada paso posterior, se requiere el cálculo de la función objetivo solo en un punto (el segundo punto de la sección áurea).
Método 39
Coordinar el método de ascenso (descenso).
Pasemos a considerar el problema de optimización en el caso de que la función objetivo dependa de varios valores de parámetros. El método de búsqueda más simple es el método de ascenso (descenso) de coordenadas.
Sección 10. Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.
Esquemas de diferencias para ecuaciones de tipo elíptico. |
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Varios problemas de valores en la frontera y aproximación de las condiciones de frontera |
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Construcción de un esquema en diferencias en el caso del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson |
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Método de barrido matricial |
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Un método iterativo para resolver un esquema en diferencias para el problema de Dirichlet. |
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Ecuación de tipo parabólico. Métodos explícitos e implícitos de diferencias finitas. |
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Métodos de barrido para una ecuación de tipo parabólica. |
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Índice de materias |
Esquemas de diferencia. Conceptos básicos
Sea D un área de cambio de variables independientes x, y, delimitada por un contorno. Se dice que en la región D se da una ecuación diferencial lineal de segundo orden para la función U(x, y) si para cualquier punto de la región D se cumple la relación
∂2U |
∂2U |
∂2U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)U = f(x, y), |
|||||||||||
donde a(x, y), b(x, y), . . . - coeficientes, f(x, y) - término libre de la ecuación. Estas funciones son conocidas y generalmente se consideran definidas en una región cerrada D = D + .
La gráfica solución es una superficie en el espacio Oxyz.
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Denotemos δ(x, y) = b2 − ac. La ecuación L(U) = f se llama elíptica, parabólica o |
hiperbólico en D si las condiciones δ(x, y)< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 para |
todos (x, y) D. |
Dependiendo del tipo de ecuación diferencial, los valores iniciales de los límites se establecen de manera diferente. |
(10.1): |
Ecuación de Poisson (ecuación de tipo elíptica) |
∂2 U ∂2 U |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
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Ecuación de calor (ecuación de tipo parabólica)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Ecuación de onda (ecuación de tipo hiperbólico)
∂2 U ∂2 U
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Convergencia, aproximación y estabilidad de esquemas en diferencias.
Sea U la solución de la ecuación diferencial.
dado en D. Considere un conjunto Dh = (Mh) que consta de puntos aislados Mh que pertenecen a la región cerrada D = D +. El número de puntos en Дh se caracterizará por el valor h; cuanto menor sea h, mayor será el número de puntos en Dh. El conjunto Dh se llama cuadrícula y los puntos Mh Dh se llaman nodos de cuadrícula. Una función definida en nodos se llama función de cuadrícula. Denota por U el espacio de funciones V (x, y) continuas en D. Denotamos por Uh el espacio formado por el conjunto de funciones de cuadrícula Vh (x, y) definidas en Дh. En el método de la cuadrícula, el espacio U se reemplaza por el espacio Uh.
Sea U(x, y) la solución exacta de la ecuación ((10.2 )) y U(x, y) pertenece a U. Planteemos el problema de encontrar los valores Uh (x, y). Estos valores juntos forman una tabla en la que el número de valores
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es igual al número de puntos en Dh. Rara vez es posible resolver un problema exacto. Como regla general, se pueden calcular algunos valores de cuadrícula U(h) , en relación con los cuales se puede suponer que
U(h) ≈ Uh(x, y).
Las cantidades U(h) se denominan valores de cuadrícula aproximados de la solución U(x, y). Para calcularlos se construye un sistema de ecuaciones numéricas, que escribiremos en la forma
Lh (U(h)) = fh, |
||||||||||||||
hay un operador diferencia, |
correspondiente al operador |
|||||||||||||
está definido por F de la misma manera que U |
se formó de acuerdo con U. La fórmula (10.3) se llamará diferencia |
|||||||||||||
esquema. Dejemos que las normas k · kU h y k · kF h, respectivamente, se introduzcan en los espacios lineales Uh y Fh, que son análogos en cuadrícula de las normas k · kU y k · kF en los espacios originales. Diremos que el esquema en diferencias (10.3) es convergente si, cuando h → 0, se cumple la condición
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Si se cumple la condición
kUh (x, y) − Uh kU h 6 canales ,
donde c es una constante independiente de h y s > 0, entonces decimos que hay convergencia a una tasa de orden s con respecto a h.
Se dice que el esquema de diferencias (10.3) se aproxima al problema (10.2) en la solución U(x, y) si
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) y |
δf(h) F h → 0 cuando h → 0. |
|
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El valor δf(h) se denomina error de aproximación o esquema de diferencia no viscosa. Si
δf (h) F h 6 Mh σ , donde M es una constante independiente de h y σ > 0, entonces decimos que está dado un esquema en diferencias ( 10.3 ) sobre la solución U(x, y) con un error del orden de σ con respecto a h.
El esquema de diferencias (3) se llama estable si existe h0 > 0 tal que para todo h< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
El esquema de diferencias (10.3) tiene una solución única; |
||||
U (h) Uh |
f(h) F h , donde M es una constante independiente de h y f(h) . |
|||
En otras palabras, un esquema de diferencias es estable si su solución depende continuamente de los datos de entrada. La estabilidad caracteriza la sensibilidad del esquema a varios tipos de errores, es una propiedad interna del problema de diferencias y esta propiedad no está directamente relacionada con el problema diferencial original, a diferencia de la convergencia y la aproximación. Existe una conexión entre los conceptos de convergencia, aproximación y estabilidad. Consiste en el hecho de que la convergencia se deriva de la aproximación y la estabilidad.
Teorema 1 Deja que el esquema de diferencia L h (U h (x, y)) = f (h) se aproxima al problema L(U) = f en la solución U(x, y) de orden s con respecto a h y estable. Entonces este esquema convergerá y el orden de su convergencia coincidirá con el orden de aproximación, es decir la evaluación será justa
Uh (x, y) − Uh U h 6 khs, |
||
donde k es una constante independiente de h.
Prueba . Por definición de aproximación, tenemos
La segunda parte del libro está dedicada a la construcción y estudio de esquemas en diferencias para ecuaciones diferenciales ordinarias. Al mismo tiempo, introducimos los conceptos básicos de convergencia, aproximación y estabilidad en la teoría de esquemas en diferencias, que son de carácter general. La familiaridad con estos conceptos, obtenida en relación con las ecuaciones diferenciales ordinarias, permitirá en el futuro, al estudiar esquemas en diferencias para ecuaciones diferenciales parciales, centrarse en las numerosas características y dificultades características de esta clase tan diversa de problemas.
CAPÍTULO 4. EJEMPLOS ELEMENTALES DE ESQUEMAS DE DIFERENCIA
En este capítulo, consideraremos ejemplos introductorios de esquemas de diferencias, destinados únicamente a un conocimiento preliminar de los conceptos básicos de la teoría.
§ 8. El concepto de orden de precisión y aproximación.
1. Orden de precisión del esquema de diferencias.
Esta sección está dedicada a la cuestión de la convergencia de soluciones de ecuaciones en diferencias cuando la cuadrícula se refina a las soluciones de ecuaciones diferenciales que se aproximan. Nos limitamos aquí al estudio de dos esquemas en diferencias para la solución numérica del problema.
Comencemos con el esquema de diferencias más simple basado en el uso de la ecuación en diferencias.
Dividamos el segmento en pasos de longitud h. Es conveniente elegir donde N es un número entero. Los puntos de división están numerados de izquierda a derecha, de modo que . El valor y obtenido por el esquema de diferencia en el punto se denotará por Establezcamos el valor inicial. Dejar . La ecuación en diferencias (2) implica la relación
de donde encontramos la solución de la ecuación (2) bajo la condición inicial:
La solución exacta del problema (1) tiene la forma. Toma el valor en el punto.
Encontremos ahora una estimación del error en la solución aproximada (3). Este error de punto será
Nos interesa saber cómo disminuye al aumentar el número de puntos de partición, o, lo que es lo mismo, al disminuir el paso de la cuadrícula de diferencia. Para averiguarlo, pongámoslo en el formulario.
Por tanto, la igualdad (3) toma la forma
es decir, el error (5) tiende a cero en y el valor del error es del orden de la primera potencia del paso.
Sobre esta base, decimos que el esquema en diferencias tiene el primer orden de precisión (no debe confundirse con el orden de la ecuación en diferencias definida en el § 1).
Ahora resolvemos el problema (1) usando la ecuación en diferencias.
Esto no es tan sencillo como podría parecer a primera vista. El hecho es que el esquema considerado es una ecuación en diferencias de segundo orden, es decir, requiere que se especifiquen dos condiciones iniciales, mientras que la ecuación integrable (1) es una ecuación de primer orden y solo especificamos para ella. Es natural incluir también el esquema de diferencias.
No está claro cómo preguntarles. Para entender esto, utilizamos la forma explícita de resolver la ecuación (7) (ver fórmulas del § 3):
Las expansiones (9) según la fórmula de Taylor de las raíces de la ecuación característica nos permiten dar representaciones aproximadas de Llevemos a cabo en detalle la derivación de dicha representación:
Desde entonces
No realizaremos un cálculo completamente similar para , pero escribiremos el resultado inmediatamente:
Sustituyendo expresiones aproximadas en la fórmula (8), obtenemos
Todas las conclusiones adicionales las obtendremos estudiando esta fórmula.
Tenga en cuenta que si el coeficiente tiende al límite finito b, entonces el primer término del lado derecho de la igualdad (12) tiende a la solución deseada del problema (1).
configuración de nodos, los valores de la función de cuadrícula en los que determinan la forma de ecuaciones en diferencias en puntos internos (no límite) de la cuadrícula. Como regla general, en figuras con imágenes de plantillas, los puntos involucrados en el cálculo de derivadas están conectados por líneas.Esquema Courant-Isakson-Ries(KIR), que a veces también se asocia con el nombre de S.K. Godunov, resulta en , 
. Su orden de aproximación. El esquema KIR es condicionalmente estable, es decir bajo la condición de Courant 
. Presentemos las ecuaciones en diferencias para el esquema de Courant-Isakson-Ries en puntos internos del dominio computacional:
Estos esquemas, que también tienen el nombre de esquema de diferencia contra el viento (en la literatura inglesa, contra el viento) se pueden escribir como
Su ventaja radica en la consideración más precisa del dominio de dependencia de la solución. Si introducimos la notación
entonces ambos esquemas se pueden escribir de las siguientes formas:
(forma de flujo de la ecuación en diferencias);
(aquí se distingue explícitamente el término con la segunda diferencia, lo que da estabilidad al esquema);
(ecuación en incrementos finitos).
Considere también método de coeficientes indeterminados para construir un esquema de diferencias, la esquina derecha del primer orden de precisión para la ecuación de transporte
El esquema se puede representar como
El esquema de Courant-Isakson-Ries está estrechamente relacionado con los métodos numéricos de características. Damos una breve descripción de la idea de tales métodos.
Los dos últimos esquemas obtenidos (para diferentes signos de la tasa de transferencia) se pueden interpretar de la siguiente manera. Construyamos una característica que pasa por el nodo (t n + 1 , x m ), cuyo valor debe determinarse, y que cruza la capa t n en el punto 
. Para ser más precisos, suponemos que la tasa de transferencia c es positiva.
Habiendo realizado una interpolación lineal entre los nodos x m - 1 y x m en la capa de tiempo inferior, obtenemos
A continuación, transferimos el valor u n (x") a lo largo de la característica sin cambios a la capa superior t n + 1, es decir, configuramos 
. Es natural considerar el último valor como una solución aproximada. ecuación homogénea transferir. En este caso
o, pasando nuevamente del número de Courant a los parámetros de la red,
aquellos. De otra manera llegamos al conocido esquema de la "esquina izquierda", que es estable en . Cuando el punto de intersección de la característica que sale del nodo (t n + 1, x m, con la n -ésima capa en el tiempo se ubica a la izquierda del nodo (t n, x m - 1). Por lo tanto, para encontrar una solución , no se utiliza interpolación, sino extrapolación, que resulta inestable .
La inestabilidad del esquema de la "esquina derecha" para c > 0 también es obvia. Para demostrar esto, se puede utilizar el criterio espectral o la condición de Courant, Friedrichs y Levi. Se puede realizar un razonamiento similar para el caso c< 0 и схемы "правый уголок".
inestable esquema de cuatro puntos obtenido cuando 
, su orden de aproximación es . Las ecuaciones de cuadrícula para el esquema de diferencias tendrán la siguiente forma:
Esquema Lax-Wendroff ocurre cuando 
. El orden de aproximación del esquema de Lax-Wendroff es 
. El esquema es estable bajo la condición de Courant. .
Este esquema se puede obtener mediante el método de coeficientes indeterminados o teniendo en cuenta con mayor precisión el término principal del error de aproximación. Consideremos con más detalle el proceso de derivación del esquema de Lax-Wendroff. Realizando el estudio del esquema de aproximación de cuatro puntos anterior (y este estudio es bastante elemental y se reduce a la descomposición de la función de proyección en la cuadrícula de la solución exacta del problema diferencial en una serie de Taylor), obtenemos para el término principal del error
Al derivar la expresión para el término principal del error de aproximación, se utilizó una consecuencia de la ecuación de transporte diferencial original.
El cual se obtiene derivando la ecuación original (3.3) primero con respecto al tiempo t, luego con respecto a la coordenada x y restando una de las razones resultantes de la otra.
A continuación, reemplazando segunda derivada en el segundo término del lado derecho hasta O(h 2), obtenemos un nuevo esquema de diferencias que se aproxima al original ecuación diferencial con precision . Las ecuaciones de cuadrícula para el esquema de Lax-Wendroff en los nodos internos de las cuadrículas computacionales son
Esquema implícito de seis puntos ocurre en q = 0; con su orden de aproximación , en .
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