Buelengden til en cykloid ble først beregnet av den engelske arkitekten og matematikeren Wren i 1658. Wren gikk ut fra mekaniske betraktninger som minner om det tidlige arbeidet til Torricelli og Roberval. Han vurderte rotasjonen av en rullende sirkel gjennom en veldig liten vinkel nær det "nedre" punktet på den genererende sirkelen. For å gi Wrens suggestive betraktninger beviskraft, ville man måtte vurdere en rekke hjelpesetninger, og følgelig måtte man bruke for mye arbeid.

Det er mye mer praktisk å bruke en lengre, men mildere vei. For å gjøre dette, må du vurdere en spesiell kurve som hver flat kurve har - sin sveip.

Betrakt en konveks bue AB av en buet linje (fig. 4.1). La oss forestille oss at en fleksibel ubøyelig tråd av samme lengde som selve buen AB er festet til buen AB i punkt A, og denne tråden er "viklet" på kurven og slutter tett til den, slik at dens ende faller sammen med punkt B. Vi vil "rulle ut" - rette ut tråden, holde den stram, slik at den frie delen av CM-tråden alltid vil være rettet tangentielt til buen AB. Under disse forholdene vil enden av tråden beskrive en eller annen kurve. Det er denne kurven som kalles et sveip, eller på latin, involvere original kurve.

Hvis buen til kurven ikke er konveks overalt i én retning, hvis den, som kurven AB i fig. 4.2 har et punkt C der tangenten til kurven går fra den ene siden til den andre (et slikt punkt kalles bøyningspunktet), da kan vi i dette tilfellet også snakke om utviklingen av kurven, men resonnementet vil ha for å være litt mer komplisert.

Tenk deg at tråden er festet akkurat ved bøyningspunktet C (fig. 4.2). Tråden, som slynger seg fra buen BC, vil beskrive BMP-kurven - et sveip.

Forestill deg nå en tråd viklet rundt buen AC til den opprinnelige kurven, men denne tråden er allerede forlenget: ved punkt C er et trådstykke CP festet til den. Vikle den langstrakte ACP-tråden med SA-kurven, vil vi få en RNA-bue, som sammen med VMRC-buen danner en enkelt kontinuerlig kurve - kontinuerlig, men ikke overalt glatt: avbøyningspunktet C til den opprinnelige kurven vil tilsvare spissen ( returpunkt) til VMRNA-kurven: VMRNA-kurven vil være evolventen (sveipen) til ICA-kurven.

Disse eksemplene hjalp oss med å bli vant til de nye konseptene evolusjon og utvikling. La oss nå studere utfoldelsen av cykloidale kurver.

Ved å studere denne eller den kurven bygde vi ofte en hjelpekurve - en "ledsager" av denne kurven. Så vi koster en sinusoid - en følgesvenn av en cycloid. Nå, med utgangspunkt i den gitte cykloiden, konstruerer vi en hjelpesykloid som er uløselig knyttet til den. Det viser seg at fellesstudiet av et slikt cykloidpar på noen måter er enklere enn studiet av en enkelt cykloid. Vi vil kalle en slik hjelpesykloid for en medfølgende sykloid.

Betrakt halvparten av buen til cykloid AMB (fig. 4.3). Vi bør ikke være flaue over at denne sykloiden er plassert på en uvanlig måte ("opp ned"). La oss tegne 4 linjer parallelt med retningslinjen AK på avstander en, 2en, 3en og 4 en. La oss bygge en genererende sirkel i posisjonen som tilsvarer punktet M (i fig. 4.3 er sentrum av denne sirkelen indikert med bokstaven O). Rotasjonsvinkelen til MON vil bli betegnet med c. Da vil segmentet AN være lik bc (vinkelen u uttrykkes i radianer).

Vi fortsetter diameteren HT til den genererende sirkelen utover punktet T til den skjærer (i punktet E) med den rette linjen PP. På TE som diameter konstruerer vi en sirkel (med sentrum O 1). La oss konstruere en tangent i punktet M til cykloiden AMB. For å gjøre dette må punktet M som kjent kobles til punktet T. Vi fortsetter tangenten MT utover punktet T til skjæringspunktet med hjelpesirkelen, og vi vil kalle skjæringspunktet M 1. Det er dette punktet M 1 vi nå ønsker å forholde oss til.

Vi betegnet vinkelen MON med c. Derfor vil vinkelen MTH være lik (innskrevet vinkel basert på samme bue). Trekant TIL 1 M 1, åpenbart likebenet. Derfor vil ikke bare vinkelen O 1 TM 1, men også vinkelen TM 1 O 1 hver være lik. Dermed forblir andelen av vinkelen TO 1 M 1 i trekanten TO 1 M 1 nøyaktig p - q radianer (husk at vinkelen 180? er lik p radianer). Vi legger også merke til at segmentet NK åpenbart er lik b (p - c).

Betrakt nå en sirkel med sentrum O 2, vist i figur 4.3 med en stiplet linje. Fra tegningen er det tydelig hva slags sirkel det er. Hvis du ruller den uten å gli langs den rette linjen CB, vil punktet B beskrive cykloiden BB. Når den stiplede sirkelen roterer gjennom vinkelen p - c, vil sentrum O 2 komme til punktet O 1, og radius O 2 B vil ta posisjonen O 1 M 1. Dermed viser punktet M 1 konstruert av oss seg å være et punkt i cykloiden BB.

Den beskrevne konstruksjonen tilordner hvert punkt M av cykloiden AMB et punkt M1 av cykloiden VM1B. I fig. 4.4 denne korrespondansen vises tydeligere. Sykloiden oppnådd på denne måten kalles den medfølgende sykloiden. På fig. 4.3 og 4.4, er cykloidene avbildet med fete stiplede linjer ledsaget med hensyn til cycloidene avbildet med fete, heltrukne linjer.

Fra fig. 4.3 kan det sees at linjen MM 1 er normalen i punktet M 1 til den medfølgende cykloiden. Denne linjen går faktisk gjennom punktet M 1 til cykloiden og gjennom tangenspunktet T mellom generasjonssirkelen og retningslinjen (det "laveste" punktet i generasjonssirkelen, som vi pleide å si; nå viste det seg at være den "høyeste", fordi tegningen er rotert). Men denne samme linjen, etter konstruksjon, tangerer "basen" til cykloid AMB. Dermed berører den originale sykloiden hver normal av den medfølgende sykloiden. Det er konvolutten for normalene til den medfølgende sykloiden, dvs. hennes utvikling. Og den "medfølgende" sykloiden viser seg å være ganske enkelt en involutt av den originale sykloiden!

Ved å jobbe med denne tungvinte, men i hovedsak enkle konstruksjonen, beviste vi et bemerkelsesverdig teorem oppdaget av den nederlandske forskeren Huygens. Her er teoremet: utviklingen av en sykloid er nøyaktig den samme sykloiden, bare forskjøvet.

Etter å ha konstruert en evolusjon ikke til en bue, men til hele sykloiden (som selvfølgelig bare kan gjøres mentalt), deretter en evolusjon til denne evolusjonen osv., får vi Fig. 4.5, som ligner fliser.

La oss ta hensyn til det faktum at når vi beviste Huygens' teorem, brukte vi verken uendelige, udelelige eller omtrentlige estimater. Vi brukte ikke engang mekanikk, selv om vi noen ganger brukte uttrykk lånt fra mekanikk. Dette beviset er helt i ånden til resonnementet som ble brukt av 1600-tallets vitenskapsmenn når de ønsket å grundig underbygge resultatene som ble oppnådd ved hjelp av ulike suggestive betraktninger.

En viktig konsekvens følger umiddelbart av Huygens' teorem. Tenk på segmentet AB i fig. 4.4. Lengden på dette segmentet er åpenbart lik 4 en. Tenk deg nå at en tråd er viklet på buen til AMB-sykloiden, festet i punkt A og utstyrt med en blyant i punkt B. Hvis vi "spoler" tråden, vil blyanten bevege seg langs utviklingen av AMB-sykloiden, dvs. langs sykloiden BM 1 B. Lengden på tråden, lik lengden på halvbuen til sykloiden, vil åpenbart være lik segmentet AB, dvs. som vi har sett, 4 en. Derfor vil lengden L av hele buen til cykloiden være lik 8 en og formel L=8 en kan nå anses som tilstrekkelig strengt bevist.

Vi beregner buelengden ved hjelp av differensialgeometri. Løsningen oppnådd på denne måten vil være mye kortere og enklere:

Hvor t?

| r(t)|===2sin

5. Parametrisk ligning for cykloiden og ligningen i kartesiske koordinater

Anta at vi har en cykloid dannet av en sirkel med radius a sentrert i punktet A.

Hvis vi velger som en parameter som bestemmer posisjonen til punktet, vinkelen t=∟NDM som radiusen klarte å dreie seg gjennom, som hadde en vertikal posisjon AO ved begynnelsen av rulleringen, så blir x- og y-koordinatene til punktet M vil uttrykkes som følger:

x \u003d OF \u003d ON - NF \u003d NM - MG \u003d at-a sin t,

y= FM = NG = ND - GD = a - a cos t

Så de parametriske ligningene til cykloiden har formen:

Når du endrer t fra -∞ til +∞, får du en kurve som består av et utallig sett med slike grener, som er vist i denne figuren.

I tillegg til den parametriske ligningen til sykloiden, er det også ligningen i kartesiske koordinater:

Hvor r er radiusen til sirkelen som danner cykloiden.

6. Problemer med å finne deler av en cykloid og figurer dannet av en cykloid

Oppgave nummer 1. Finn arealet til en figur avgrenset av en bue av en cykloid hvis ligning er gitt parametrisk

og akse Oh.

Løsning. For å løse dette problemet bruker vi fakta kjent for oss fra teorien om integraler, nemlig:

Området til den krumlinjede sektoren.

Tenk på en funksjon r = r(ϕ) definert på [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] tilsvarer r 0 = r(ϕ 0) og derfor punktet M 0 (ϕ 0 , r 0), hvor ϕ 0 ,

r 0 - polare koordinater til punktet. Hvis ϕ endres, "løper gjennom" hele [α, β], så vil det variable punktet M beskrive en kurve AB gitt av

ligningen r = r(ϕ).

Definisjon 7.4. En kurvelinjet sektor er en figur avgrenset av to stråler ϕ = α, ϕ = β og en kurve AB gitt i polar

koordinater ved ligningen r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Følgende

Teorem. Hvis funksjonen r(ϕ) > 0 og er kontinuerlig på [α, β], så er arealet

buet sektor beregnes med formelen:

Denne teoremet ble bevist tidligere i temaet om en bestemt integral.

Basert på teoremet ovenfor, vårt problem med å finne arealet til en figur avgrenset av en bue av cykloiden, hvis likning er gitt av den parametriske x= a (t - sin t), y= a ( 1 - cos t), og Ox-aksen, reduseres til følgende løsning .

Løsning. Fra kurveligningen dx = a(1−cos t) dt. Den første buen til sykloiden tilsvarer endringen i parameteren t fra 0 til 2π. Derfor,

Oppgave nummer 2. Finn lengden på en bue av sykloiden

Følgende teorem og dens konsekvens ble også studert i integralregning.

Teorem. Hvis kurven AB er gitt av ligningen y = f(x), hvor f(x) og f ’ (x) er kontinuerlige på , så er AB likterbar og

Konsekvens. La AB gis parametrisk

L AB = (1)

La funksjonene x(t), y(t) være kontinuerlig differensierbare på [α, β]. Deretter

formel (1) kan skrives som

La oss gjøre en endring av variabler i dette integralet x = x(t), deretter y'(x)= ;

dx= x'(t)dt og dermed:

La oss nå gå tilbake til å løse problemet vårt.

Løsning. Vi har og derfor

Oppgave nummer 3. Det er nødvendig å finne overflatearealet S dannet fra rotasjonen av en bue av cykloiden

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - kostnad), 0≤ t ≤ 2π)

I integralregning er det følgende formel for å finne overflatearealet til et omdreiningslegeme rundt x-aksen til en kurve gitt parametrisk på et segment: x=φ(t), y=ψ(t) (t) 0 ≤t ≤t 1)

Ved å bruke denne formelen på cykloidligningen vår får vi:

Oppgave nummer 4. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere buen til sykloiden

Langs aksen Ox.

I integralregning, når man studerer volumer, er det følgende bemerkning:

Hvis kurven som avgrenser den krumlinjede trapesformen er gitt av parametriske ligninger og funksjonene i disse ligningene tilfredsstiller betingelsene for teoremet om endring av variabel i et visst integral, vil volumet til rotasjonslegemet til trapeset rundt okseaksen beregnes med formelen

La oss bruke denne formelen for å finne volumet vi trenger.

Problem løst.

Konklusjon

Så i løpet av dette arbeidet ble hovedegenskapene til cykloiden avklart. De lærte også hvordan man bygger en sykloid, fant ut den geometriske betydningen av sykloiden. Som det viste seg, har sykloiden en enorm praktisk anvendelse, ikke bare i matematikk, men også i teknologiske beregninger, i fysikk. Men sykloiden har andre fordeler. Det ble brukt av forskere på 1600-tallet for å utvikle metoder for å studere buede linjer, de metodene som til slutt førte til oppfinnelsen av differensial- og integralregning. Det var også en av "berøringssteinene" som Newton, Leibniz og deres første forskere testet kraften til kraftige nye matematiske metoder. Til slutt førte problemet med brachistochrone til oppfinnelsen av variasjonsregningen, som er så nødvendig for dagens fysikere. Dermed var cykloiden uløselig knyttet til en av de mest interessante periodene i matematikkens historie.

Litteratur

1. Berman G.N. Cycloid. - M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, eller en annen hemmelighet av cycloid // Kvant. - 1975. - Nr. 5

3. Verov S.G. Secrets of the cycloid// Kvant. - 1975. - Nr. 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Anvendelser av en bestemt integral. Retningslinjer og individuelle oppgaver for 1.årsstudenter ved Det fysiske fakultet. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Star age of a cycloid // Kvant. - 1985. - Nr. 6.

6. Fikhtengolts G.M. Forløp for differensial- og integralregning. T.1. - M., 1969

En slik linje kalles en "konvolutt". Hver buet linje er konvolutten til dens tangenter.

Materie og bevegelse, og metoden de utgjør, gjør det mulig for alle å realisere sitt potensial i kunnskap om sannhet. Utviklingen av en metodikk for utvikling av en dialektisk-materialistisk form for tenkning og mestring av en lignende erkjennelsesmetode er det andre trinnet mot å løse utviklingsproblemet og realisere menneskets muligheter. Fragment XX muligheter...

Situasjonen kan bli syk med nevrasteni - nevrose, grunnlaget for det kliniske bildet som er en astenisk tilstand. Både når det gjelder nevrasteni og når det gjelder dekompensasjon av nevrastenisk psykopati, manifesteres essensen av åndelig (psykologisk) beskyttelse ved en avgang fra vanskeligheter til irritabel svakhet med vegetative dysfunksjoner: enten en person ubevisst "kjemper tilbake" mer fra et angrep ...

Ulike typer aktiviteter; utvikling av romlig fantasi og romlige representasjoner, figurativ, romlig, logisk, abstrakt tenkning av skolebarn; dannelsen av ferdigheter for å anvende geometrisk og grafisk kunnskap og ferdigheter for å løse ulike anvendte problemer; kjennskap til innholdet og rekkefølgen av stadier av prosjektaktiviteter innen teknisk og ...

Buer. Spiraler er også involutter av lukkede kurver, for eksempel involutten til en sirkel. Navnene på noen spiraler er gitt av likheten mellom deres polare ligninger med kurvelikningene i kartesiske koordinater, for eksempel: parabolsk spiral (a - r)2 = bj, hyperbolsk spiral: r = a/j. · Wand: r2 = a/j · si-ci-spiral, hvis parametriske ligninger ser ut som: , er en konstant b 2 .

Kurve som i figurene under når b a hhv.

Hvis b = a, er kurven lemniscate

Pascals snegl
Polar ligning: r = b + acosθ

La OQ være en linje som forbinder sentrum O med et hvilket som helst punkt Q på en sirkel med diameter a som går gjennom O. Da er kurven fokus for alle punktene P slik at PQ = b.

Kurven vist i figurene nedenfor når b > a eller b

CISSOID OF DIOCLE
Ligning i rektangulære koordinater: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametriske ligninger:

Det er en kurve beskrevet av et punkt P slik at avstanden OP = avstanden RS. Brukes i oppgave doblingskube, dvs. finne siden av en terning som har det dobbelte av volumet av en gitt kube

ARCHIMEDES SPIRAL
Polar ligning: r = aθ

De analyserte eksemplene hjalp oss med å bli vant til de nye konseptene evolusjon og utvikling. Nå er vi tilstrekkelig forberedt til å studere utviklingen av cykloidale kurver.

Ved å studere denne eller den kurven bygde vi ofte en hjelpekurve - en "ledsager" av denne kurven.

Ris. 89. Cycloid og hennes følgesvenn.

Så vi bygde conchoider av en rett linje og en sirkel, en utvikling av en sirkel, en sinusoid - en følgesvenn av en cycloid. Nå, med utgangspunkt i denne sykloiden, vil vi konstruere en hjelpesykloid som er uløselig knyttet til den. Det viser seg at fellesstudiet av et slikt cykloidpar på noen måter er enklere enn studiet av en enkelt cykloid. Vi vil kalle en slik hjelpesykloid for en medfølgende sykloid.

Tenk på halvparten av buen til AMB-sykloiden (fig. 89). Vi bør ikke være flaue over at denne sykloiden er plassert på en uvanlig måte ("opp ned").

La oss tegne 4 rette linjer parallelt med ledelinjen AK i avstandene a, 2a, 3a og 4a. La oss konstruere en genererende sirkel i posisjonen som tilsvarer punktet M (i fig. 89 er sentrum av denne sirkelen angitt med bokstaven O). La oss betegne rotasjonsvinkelen til MOH med . Da vil segmentet AN være likt (vinkelen uttrykkes i radianer).

Vi fortsetter diameteren HT til den genererende sirkelen utover punktet T til den skjærer (i punktet E) med den rette linjen PP. La oss bygge en sirkel på TE som en diameter (med sentrum ). La oss konstruere en tangent i punktet M til cykloiden AMB. For å gjøre dette må punktet M som kjent kobles til punktet T (s. 23). Vi fortsetter tangenten MT utover punktet T til skjæringspunktet med hjelpesirkelen, og vi vil kalle skjæringspunktet . Det er dette punktet vi nå ønsker å forholde oss til.

Vi betegnet vinkelen MON med Derfor vil vinkelen MTH være lik (den innskrevne vinkelen basert på samme bue). Trekanten er åpenbart likebenet. Derfor vil ikke bare vinkelen, men også vinkelen hver være lik. Dermed gjenstår nøyaktig radianer for brøkdelen av vinkelen i trekanten (husk at vinkelen på 180° er lik radianer). Vi legger også merke til at segmentet NK åpenbart er lik a ().

Tenk nå på sirkelen med sentrum, vist i fig. 89 stiplet linje. Fra tegningen er det tydelig hva slags sirkel det er. Hvis du ruller den uten å gli langs den rette linjen CB, vil punktet B beskrive cykloiden BB.

Den beskrevne konstruksjonen tildeler hvert punkt M i cykloiden AMB et punkt i cykloiden. 90 denne korrespondansen vises tydeligere. Den således oppnådde cykloiden kalles den medfølgende cykloiden. På fig. 89 og 90, er cykloidene avbildet med fete stiplede linjer ledsaget med hensyn til cycloidene avbildet med fete, heltrukne linjer.

Fra fig. 89 kan det sees at linjen er normalen i et punkt til den medfølgende sykloiden. Faktisk går denne linjen gjennom punktet til cykloiden og gjennom kontaktpunktet T mellom generasjonssirkelen og retningslinjen (det "laveste" punktet i generasjonssirkelen, som vi pleide å si; nå viste det seg å være " høyest", fordi tegningen er rotert).

Men denne samme linjen, etter konstruksjon, tangerer "hoved" sykloiden AMB. Dermed berører den originale sykloiden hver normal av den medfølgende sykloiden. Det er konvolutten for normalene til den medfølgende cykloiden, dvs. dens evolusjon. Og den "medfølgende" sykloiden viser seg å være ganske enkelt en involutt (sveip) av den originale sykloiden!

Ris. 91 Korrespondanse mellom punktene til sykloiden og dens medfølgende.

Ved å jobbe med denne tungvinte, men i hovedsak enkle konstruksjonen, beviste vi et bemerkelsesverdig teorem oppdaget av den nederlandske forskeren Huygens. Her er teoremet: utviklingen av en sykloid er nøyaktig den samme sykloiden, bare forskjøvet.

Etter å ha konstruert en evolusjon ikke til én bue, men til hele sykloiden (som selvfølgelig bare kan gjøres mentalt), ved å ta en evolusjon til denne evoluten osv., får vi Fig. 91, som ligner fliser.

La oss ta hensyn til det faktum at når vi beviste Huygens' teorem, brukte vi verken uendelige, udelelige eller omtrentlige estimater. Vi brukte ikke engang mekanikk, selv om vi noen ganger brukte uttrykk lånt fra mekanikk. Dette beviset er helt i ånden til resonnementet som ble brukt av 1600-tallets vitenskapsmenn når de ønsket å grundig underbygge resultatene som ble oppnådd ved hjelp av ulike suggestive betraktninger.

En viktig konsekvens følger umiddelbart av Huygens' teorem. Tenk på segmentet AB i fig. 89. Lengden på dette segmentet er åpenbart 4a. Se for deg nå at en tråd er viklet på buen til AMB-sykloiden, festet i punkt A og utstyrt med en blyant i punkt B. Hvis vi "spoler" tråden, vil blyanten bevege seg langs utviklingen av AMB-sykloiden, dvs. , langs BMB-sykloiden.

Ris. 91 Påfølgende utviklinger av en cykloid.

Lengden på tråden, lik lengden på halvbuen til cykloiden, vil åpenbart være lik segmentet AB, dvs. som vi har sett, 4a. Følgelig vil lengden på hele buen til cykloiden være lik 8a, og formelen kan nå anses som tilstrekkelig strengt bevist.

Fra fig. 89 kan du se mer: en formel ikke bare for lengden av hele buen til cykloiden, men også for lengden på hvilken som helst av dens buer. Det er faktisk åpenbart at lengden på buen MB er lik lengden på segmentet, dvs. to ganger segmentet til tangenten ved det tilsvarende punktet av cykloiden, innelukket i den genererende sirkelen.