Изработка на час по алгебра во 11-ти профил час

Часот го спроведе наставникот по математика МБОУ средно училиште бр.6 Тупицина О.В.

Тема и број на лекција во темата:„Примена на неколку трансформации кои водат до равенка-последица“, лекција бр.7, 8 на тема: „Равенка-последица“

Предмет:Алгебра и почетоците на математичката анализа - 11 одделение (профилна обука според учебникот на С.М. Николски)

Тип на лекција: „систематизација и генерализација на знаењата и вештините“

Тип на лекција: работилница

Улогата на наставникот: да ја насочи когнитивната активност на учениците кон развој на вештини за самостојно примена на знаењата во комплекс за избор на саканиот метод или методи на трансформација, што доведува до равенка - последица и примена на методот во решавањето на равенката, во нови услови.

Потребна техничка опрема:мултимедијална опрема, веб камера.

Употребената лекција:

1. дидактички модел на учење- создавање на проблематична ситуација,
2. педагошки средства- листови што укажуваат на модули за обука, избор на задачи за решавање равенки,
3. вид на активност на ученикот- групна (на часовите се формираат групи - „откритија“ на нови знаења, лекции бр. 1 и 2 од ученици со различен степен на учење и учење), заедничко или индивидуално решавање на проблеми,
4. образовни технологии ориентирани кон личноста: модуларна обука, учење базирано на проблеми, методи на пребарување и истражување, колективен дијалог, метод на активност, работа со учебник и различни извори,
5. технологии за заштеда на здравјето- за ублажување на стресот, се спроведува физичко образование,
6. компетенции:

- образовни и когнитивни на основно ниво- учениците го знаат концептот на равенка - последица, коренот на равенката и методите на трансформација што доведува до равенка - последица, тие се способни да ги најдат корените на равенките и да ја извршат нивната верификација на продуктивно ниво;

- на напредно ниво- учениците можат да решаваат равенки користејќи добро познати методи на трансформации, да ги проверат корените на равенките користејќи ја областа на недозволените вредности на равенките; пресметај логаритми користејќи својства засновани на истражување;информативни - учениците самостојно ги пребаруваат, извлекуваат и избираат информациите неопходни за решавање на образовните проблеми во извори од различни видови.

Дидактичка цел:

создавање услови за:

Формирање идеи за равенки - последици, корени и методи на трансформација;

Формирање на искуството на создавањето значење врз основа на логичка последица на претходно проучуваните методи на трансформација на равенките: подигање на равенката до рамномерна моќност, потенцирање на логаритамските равенки, ослободување на равенката од именители, доведување слични поими;

Консолидација на вештините при определување на изборот на методот на трансформација, понатамошно решавање на равенката и избор на корените на равенката;

Совладување на вештините за поставување проблем врз основа на познати и научени информации, формирање барања за откривање на она што сè уште не е познато;

Формирање на когнитивни интереси, интелектуални и креативни способности на учениците;

Развој на логично размислување, креативна активност на учениците, проектни вештини, способност да ги изразат своите мисли;

Формирање чувство на толеранција, взаемна помош при работа во група;

Будење интерес за самостојно решавање на равенките;

Задачи:

Организирајте го повторувањето и систематизацијата на знаењата за тоа како да се трансформираат равенките;

- да се обезбеди совладување на методите за решавање равенки и проверка на нивните корени;

- да го промовира развојот на аналитичкото и критичкото размислување на учениците; споредува и избира оптимални методи за решавање равенки;

- создаваат услови за развој на вештини за истражување, вештини за работа во групи;

Мотивирајте ги студентите да го користат изучениот материјал за да се подготват за испитот;

Анализирајте и проценете ја вашата работа и работата на вашите другари во извршувањето на оваа работа.

Планирани резултати:

*лично:

Вештини за поставување задача врз основа на познати и научени информации, генерирање барања за откривање на она што сè уште не е познато;

Способност да се изберат извори на информации неопходни за решавање на проблемот; развој на когнитивни интереси, интелектуални и креативни способности на учениците;

Развојот на логично размислување, креативна активност, способност за изразување на мислите, способност за градење аргументи;

Самооценување на резултатите од перформансите;

вештини за тимска работа;

*метасубјект:

Способност да се нагласи главната работа, да се споредат, генерализираат, да се извлечат аналогија, да се применат индуктивни методи на расудување, да се изнесат хипотези при решавање равенки,

Способност за толкување и примена на стекнатото знаење во подготовка за испит;

*предмет:

Познавање како да се трансформираат равенките,

Способност да се воспостави шема поврзана со различни видови равенки и да се користи при решавање и избирање корени,

Интегрирање на целите на лекцијата:

1. (за наставникот) Формирање кај учениците на холистички поглед на начините на трансформација на равенките и методи за нивно решавање;
2. (за ученици) Развивање на способност за набљудување, споредување, генерализирање, анализа на математички ситуации поврзани со типови равенки кои содржат различни функции. Подготовка за испитот.

Фаза I од лекцијата:

Ажурирање на знаењата за зголемување на мотивацијата во областа на примена на различни методи на трансформација на равенки (влезна дијагностика)

Фаза на ажурирање на знаењетоспроведена во форма на тест работа со само-тестирање. Предложени се развојни задачи, врз основа на знаењата стекнати во претходните часови, кои бараат активна ментална активност од учениците и неопходни за завршување на задачата на овој час.

Работа за верификација

1. Изберете равенки кои бараат ограничување на непознати на множеството од сите реални броеви:

а) = X-2; б) 3 \u003d X-2; в) =1;

г) ( = (; д) = ; д) +6 =5;

е) = ; ж) = .

(2) Наведете го опсегот на валидни вредности на секоја равенка, каде што има ограничувања.

(3) Изберете пример за таква равенка, каде што трансформацијата може да предизвика губење на коренот (користете ги материјалите од претходните лекции на оваа тема).

Секој ги проверува одговорите независно според готовите означени на екранот. Се анализираат најтешките задачи и учениците посветуваат посебно внимание на примерите a, c, g, h, каде што постојат ограничувања.

Заклучено е дека при решавање на равенките, потребно е да се одреди опсегот на вредностите што ги дозволува равенката или да се проверат корените за да се избегнат надворешни вредности. Се повторуваат претходно проучените методи за трансформирање на равенките кои водат до равенка - последица. Односно, учениците на тој начин се мотивирани да го најдат вистинскиот начин да ја решат равенката предложена од нив во понатамошната работа.

II фаза од часот:

Практична примена на нивните знаења, вештини и способности при решавање равенки.

На групите им се даваат листови со модул составен за прашањата од оваа тема. Модулот вклучува пет елементи за учење, од кои секоја е насочена кон извршување на одредени задачи. Учениците со различни степени на учење и учење самостојно го одредуваат обемот на нивните активности на часот, но бидејќи сите работат во групи, постои континуиран процес на прилагодување на знаењата и вештините, повлекување на оние кои заостануваат на задолжително, другите на напредни и креативни нивоа.

Во средината на часот се одржува задолжителна физичка минута.

број на образовен елемент	Едукативен елемент со задачи	Водич за изработка на едукативен материјал
УЕ-1	Цел: Да се ​​утврдат и оправдаат главните методи за решавање равенки врз основа на својствата на функциите. Вежба: Наведете го методот на трансформација за решавање на следните равенки: А) )= -8); б) = в) (=( г) ctg + x 2 -2x = ctg +24; д) = ; ѓ) = синкс. 2) Задача: Решете најмалку две од предложените равенки. Опишете кои методи се користени во решените равенки.	Клаузула 7.3 стр.212 Клаузула 7.4 стр.214 Клаузула 7.5 стр.217 Клаузула 7.2 стр. 210
УЕ-2	Цел: Да ги совлада рационалните техники и методи на решавање Вежба: Наведете примери од горенаведените или самоизбрани (користете материјали од претходните лекции) равенки кои можат да се решат со помош на рационални методи на решение, кои се тие? (акцент на начинот на проверка на корените на равенката)
УЕ-3	Цел: Користење на стекнатото знаење при решавање равенки од високо ниво на сложеност Вежба: = (или ( = (	Клаузула 7.5
УЕ-4	Поставете го нивото на владеење на темата: ниско - решение на не повеќе од 2 равенки; Медиум - решение на не повеќе од 4 равенки; високо - решение на не повеќе од 5 равенки
УЕ-5	Контрола на излезот: Направете табела во која ќе ги претставите сите начини што ги користите за трансформирање равенки и за секој начин запишете примери од равенките што сте ги решиле, почнувајќи од лекција 1 од темата: „Равенки - последици“	Апстракти во тетратки

III фаза од часот:

Излезна дијагностичка работа, претставувајќи го одразот на учениците, што ќе покаже подготвеност не само да напише тест, туку и подготвеност за испит во овој дел.

На крајот од часот, сите ученици, без исклучок, се оценуваат себеси, потоа доаѓа оценувањето на наставникот. Доколку настанат несогласувања меѓу наставникот и ученикот, наставникот може да му понуди дополнителна задача на ученикот за објективно да може да ја оцени. Домашна работанасочени кон преглед на материјалот пред контролната работа.

Оваа презентација може да се користи при изведување лекција за алгебра и започнување на анализа во 11 одделение при изучување на темата „Равенки - последици“ според наставните материјали на авторите С.М.Николски, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин

Погледнете ја содржината на документот
„Равенки на последица. Други трансформации кои водат до последица на равенката“

РАВЕНКИ - ПОСЛЕДИЦИ

УСНА РАБОТА

• Кои равенки се нарекуваат последователни равенки?
• Она што се нарекува транзиција кон равенката на последица
• Кои трансформации водат до последователната равенка?

УСНА РАБОТА

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Нема решенија

Нема решенија

УСНА РАБОТА

Нема решенија

Трансформации кои водат до последователната равенка

трансформација

Влијание врз корените на равенката

Подигнување на равенка до РАМНА моќност

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Потенцијација на логаритамските равенки, т.е. замена:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= е(x)

Може да доведе до надворешни корени

Ослободување на равенката од именители:

Може да доведе до појава на надворешни корени, т.е. тие броеви x i за кои или

Замена на разликата f(x)-f(x) со нула, т.е. намалување на слични членови

Може да доведе до појава на надворешни корени, т.е. оние броеви за секој од кои не е дефинирана функцијата f(x).

Ако при решавањето на оваа равенка се направи премин кон равенката на последиците, тогаш потребно е да се провери дали сите корени на равенката на последиците се корени на првобитната равенка.

Проверката на добиените корени е задолжителен дел од решавањето на равенката.

№ 8.2 2 (а) Решете ја равенката :

2) Бр. 8.23 ​​(а)

№ 8.24 (а, в) Решете ја равенката :

№ 8.25 (а, в) Решете ја равенката :

№ 8.28 (а, в) Решете ја равенката :

№ 8.29 (а, в) Решете ја равенката :

ДОМАШНА РАБОТА

• Работ бр. 8.24 (б, г), стр. 236
• Бр. 8.25 (б, г)
• 8.28 (б, г)
• 8.29 (б, г)

Класа: 11

Времетраење: 2 лекции.

Целта на лекцијата:

• (за учител)формирање на холистички поглед на методите за решавање на ирационални равенки кај учениците.
• (за студенти)Развој на способност за набљудување, споредување, генерализирање, анализа на математички ситуации (слајд 2). Подготовка за испитот.

План за прва лекција(слајд 3)

1. Ажурирање на знаењето
2. Анализа на теоријата: Подигнување на равенка до парна моќност
3. Работилница за решавање равенки

План на вториот час

1. Диференцирана самостојна работа на групи „Ирационални равенки на испит“
2. Резиме на лекции
3. Домашна работа

Тек на лекции

I. Ажурирање на знаењата

Цел:повторете ги концептите неопходни за успешен развој на темата на часот.

предна анкета.

За кои две равенки се вели дека се еквивалентни?

Кои трансформации на равенката се нарекуваат еквивалентни?

- Заменете ја оваа равенка со еквивалентна со објаснување за применетата трансформација: (слајд 4)

а) x + 2x +1; б) 5 = 5; в) 12x = -3; г) x = 32; д) = -4.

Која равенка се нарекува равенка-последица на првобитната равенка?

– Дали равенката на последица може да има корен кој не е коренот на првобитната равенка? Како се нарекуваат овие корени?

– Кои трансформации на равенката доведуваат до равенката-последици?

Што е аритметички квадратен корен?

Ајде денес подетално да се задржиме на трансформацијата „Подигнување на равенка до рамномерна моќност“.

II. Анализа на теоријата: Подигнување на равенка до парна моќност

Објаснување од наставникот со активно учество на учениците:

Нека 2m(mN) е фиксен парен природен број. Потоа последица на равенкатаf(x) =g(x) е равенката (f(x)) = (g(x)).

Многу често оваа изјава се користи при решавање на ирационални равенки.

Дефиниција. Равенката што ја содржи непознатата под знакот на коренот се нарекува ирационална.

При решавање на ирационални равенки се користат следниве методи: (слајд 5)

Внимание! Методите 2 и 3 бараат задолжителнопроверки.

ODZ не секогаш помага да се елиминираат надворешните корени.

Заклучок:при решавање на ирационални равенки, важно е да се помине низ три фази: техничка, анализа на решенија, верификација (слајд 6).

III. Работилница за решавање равенки

Реши ја равенката:

Откако ќе разговарате за тоа како да се реши равенката со квадрат, решавајте со преминување во еквивалентен систем.

Заклучок: Решението на наједноставните равенки со целобројни корени може да се изврши со кој било познат метод.

б) \u003d x - 2

Решавајќи ги со подигање на двата дела од равенката на иста моќност, учениците ги добиваат корените x = 0, x = 3 -, x = 3 +, кои тешко и одземаат многу време да се проверат со замена. (Слајд 7). Транзиција кон еквивалентен систем

ви овозможува брзо да се ослободите од надворешните корени. Условот x ≥ 2 е задоволен само со x.

Одговор: 3+

Заклучок: Подобро е да се проверат ирационалните корени со преминување на еквивалентен систем.

в) \u003d x - 3

Во процесот на решавање на оваа равенка, добиваме два корени: 1 и 4. Двата корени ја задоволуваат левата страна на равенката, но за x \u003d 1, дефиницијата за аритметички квадратен корен е повредена. Равенката ODZ не помага да се елиминираат надворешните корени. Преминот кон еквивалентен систем го дава точниот одговор.

Заклучок:доброто познавање и разбирање на сите услови за одредување на аритметички квадратен корен помага да се премине навршење на еквивалентни трансформации.

Со квадратирање на двете страни на равенката, ја добиваме равенката

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, одвојувајќи го радикалот на десната страна, добиваме

26 - x + x \u003d 8. Примената на понатамошни чекори за квадратирање на двата дела од равенката, ќе доведе до равенка од 4-ти степен. Преминот кон равенката ODZ дава добар резултат:

Најдете ја ODZ равенката:

x = 3.

Проверете: - 4 = , 0 = 0 е точно.

Заклучок:понекогаш е можно да се изведе решение користејќи ја дефиницијата на ODZ равенката, но не заборавајте да проверите.

Решение: ODZ равенка: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

За x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Според тоа, левата страна на равенката е негативна, а десната страна е ненегативна; така што првобитната равенка нема корени.

Одговор: нема корени.

Заклучок:откако го направивте правилното размислување за ограничувањето во состојбата на равенката, можете лесно да ги најдете корените на равенката или да утврдите дека тие не постојат.

Користејќи го примерот за решавање на оваа равенка, прикажете го двојното квадратирање на равенката, објаснете го значењето на фразата „осаменост на радикалите“ и потребата да се проверат пронајдените корени.

ж) + = 1.

Решението на овие равенки се врши со методот на промена на променливата до враќањето на првобитната променлива. Завршете ја одлуката да им понудите на оние кои ќе се справат со задачите од следната фаза порано.

прашања за тестирање

• Како да се решат наједноставните ирационални равенки?
• Што треба да се запомни кога равенката се подига на рамномерна моќност? ( може да се појават надворешни корени)
• Кој е најдобриот начин да ги проверите ирационалните корени? ( користејќи го ODZ и условите за совпаѓање на знаците на двата дела од равенката)
• Зошто е неопходно да се знае да се анализираат математички ситуации при решавање на ирационални равенки? ( За правилен и брз избор на метод за решавање на равенка).

IV. Диференцирана самостојна работа на групи „Ирационални равенки на испит“

Часот е поделен во групи (по 2-3 лица) според нивоата на обука, секоја група избира опција со задача, дискутира и ги решава избраните задачи. Кога е потребно, контактирајте го наставникот за совет. Откако ќе ги завршат сите задачи од нивната верзија и ќе ги проверат одговорите од страна на наставникот, членовите на групата поединечно го завршуваат решението на равенките g) и h) од претходната фаза од часот. За опциите 4 и 5 (по проверка на одговорите и одлуката на наставникот) на табла се запишуваат дополнителни задачи кои се изведуваат поединечно.

Сите поединечни решенија на крајот од часовите му се предаваат на наставникот за проверка.

Опција 1

Решете ги равенките:

а) = 6;
б) = 2;
в) \u003d 2 - x;
г) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Опција 5

1. Решете ја равенката:

а) = ;
б) = 3 - 2x;

2. Реши го системот равенки:

Дополнителни задачи:

v. Резиме на лекции

Какви потешкотии доживеавте при завршувањето на испитните задачи? Што е потребно за да се надминат овие тешкотии?

VI. Домашна работа

Повторете ја теоријата за решавање на ирационални равенки, прочитајте го ставот 8.2 во учебникот (обрнете внимание на примерот 3).

Решете бр. 8.8 (а, в), бр. 8.9 (а, в), бр. 8.10 (а).

Литература:

1. Николски С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и почеток на математичка анализа , учебник за 11-то одделение на образовните институции, М .: Образование, 2009 година.
2. Мордкович А.Г. За некои методолошки прашања поврзани со решавање на равенки. Математика на училиште. -2006 година. -Број 3.
3. М. Шабунин. Равенки. Предавања за средношколци и пријавени. Москва, „Чисти Пруди“, 2005. (библиотека „Први септември“)
4. Е.Н. Балајан. Работилница за решавање проблеми. Ирационални равенки, неравенки и системи. Ростов-на-Дон, „Феникс“, 2006 година.
5. Математика. Подготовка за испит-2011 година. Уредено од Ф.Ф. Лисенко, С.Ју. Кулабухов Легија-М, Ростов-на-Дон, 2010 година.

Некои трансформации ни овозможуваат да преминеме од равенката што се решава на еквивалентни равенки, како и на равенки со последици, што го поедноставува решението на првобитната равенка. Во овој материјал, ќе ви кажеме кои се овие равенки, ќе ги формулираме главните дефиниции, ќе ги илустрираме со илустративни примери и ќе објасниме како точно се пресметуваат корените на првобитната равенка од корените на равенката на последиците или еквивалентна равенка.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Концептот на еквивалентни равенки

Дефиниција 1

Еквивалентнаречени равенки кои имаат исти корени или оние во кои нема корени.

Дефиниции од овој тип често се наоѓаат во разни учебници. Да дадеме неколку примери.

Дефиниција 2

Равенката f (x) = g (x) се смета за еквивалентна на равенката r (x) = s (x) ако имаат исти корени или и двете немаат корени.

Дефиниција 3

Равенките со исти корени се сметаат за еквивалентни. Исто така, тие се сметаат за две равенки кои подеднакво немаат корени.

Дефиниција 4

Ако равенката f (x) \u003d g (x) го има истото множество корени како равенката p (x) \u003d h (x), тогаш тие се сметаат за еквивалентни едни на други.

Кога зборуваме за совпаѓачко збир на корени, мислиме дека ако одреден број е коренот на една равенка, тогаш тој ќе се вклопи како решение за друга равенка. Ниту една од равенките што се еквивалентни не може да има корен што не е соодветен за другиот.

Даваме неколку примери за такви равенки.

Пример 1

На пример, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 и x \u003d 2 ќе бидат еквивалентни, бидејќи секој од нив има само еден корен - два. Исто така, x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 ќе бидат еквивалентни, бидејќи нивните корени можат да бидат кои било броеви, односно множествата на нивните решенија се исти. Равенките x = x + 5 и x 4 = − 1 исто така ќе бидат еквивалентни, од кои секоја нема решение.

За јасност, разгледајте неколку примери на нееквивалентни равенки.

Пример 2

На пример, x = 2 и x 2 = 4 ќе бидат, бидејќи нивните корени се различни. Истото важи и за равенките x x \u003d 1 и x 2 + 5 x 2 + 5, бидејќи во втората решението може да биде кој било број, а во втората коренот не може да биде 0.

Дефинициите дадени погоре се погодни и за равенки со повеќе променливи, меѓутоа, во случај кога станува збор за два, три или повеќе корени, посоодветен е изразот „решение на равенката“. Така, да резимираме: еквивалентни равенки се оние равенки кои имаат исти решенија или воопшто немаат.

Да земеме примери на равенки кои содржат неколку променливи и се еквивалентни една на друга. Значи, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 вклучува по три променливи и имаат само едно решение еднакво на 0 во сите три случаи. И парот равенки x + y = 5 и x y = 1 нема да бидат еквивалентни едни на други, бидејќи, на пример, вредностите 5 и 3 се погодни за првото, но нема да бидат решение за второто: кога ги заменуваме во првата равенка, ја добиваме точната еднаквост, а во втората - неточно.

Концептот на последователни равенки

Да цитираме неколку примери за дефиниции за последователни равенки земени од учебници.

Дефиниција 5

Последица на равенката f (x) = g (x) ќе биде равенката p (x) = h (x), под услов секој корен од првата равенка во исто време да биде и корен на втората.

Дефиниција 6

Ако првата равенка има исти корени како втората, тогаш втората ќе биде последица на првата.

Да земеме неколку примери на такви равенки.

Пример 3

Значи, x 2 = 32 ќе биде последица на x - 3 = 0, бидејќи првиот има само еден корен еднаков на три, а исто така ќе биде коренот на втората равенка, така што во контекст на оваа дефиниција, една равенка ќе биде последица на друга. Друг пример: равенката (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 ќе биде последица на x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 бидејќи втората равенка има два корени, еднакви на 2 и 3, кои во исто време ќе бидат корени на првиот.

Од горната дефиниција, можеме да заклучиме дека секоја равенка што нема корени, исто така, ќе биде последица на која било равенка. Еве некои други последици од сите правила формулирани во овој напис:

Дефиниција 7

1. Ако една равенка е еквивалентна на друга, тогаш секоја од нив ќе биде последица на другата.
2. Ако од две равенки секоја е последица на друга, тогаш овие равенки ќе бидат еквивалентни една на друга.
3. Равенките ќе бидат еквивалентни една во однос на друга само ако секоја од нив е последица на друга.

Како да се најдат корените на равенката од корените на равенката на последица или еквивалентна равенка

Врз основа на она што го напишавме во дефинициите, тогаш во случај кога ги знаеме корените на една равенка, тогаш ги знаеме и корените на еквивалентни, бидејќи тие ќе се совпаѓаат.

Ако ги знаеме сите корени на равенката на последиците, тогаш можеме да ги одредиме корените на втората равенка, од која таа е последица. За да го направите ова, само треба да ги отстраните надворешните корени. Напишавме посебна статија за тоа како се прави ова. Ве советуваме да го прочитате.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

За да ја проучуваме денешната тема, треба да повториме која равенка се нарекува равенка на последица, кои теореми се „немирни“ и од кои чекори се состои решението на која било равенка.

Дефиниција.Ако секој корен од равенката ef од x е еднаков на x (го означуваме со бројот еден) истовремено е и коренот на равенката pe од x, еднаков на пепел од x (го означуваме со бројот два) , тогаш равенката два се нарекува последица на равенката еден.

Теорема четири.Ако двете страни на равенката ef од x се еднакви на иста од x, помножете се со истиот израз пепел од x, што е:

Прво, има смисла насекаде во доменот на дефиниција (во опсегот на дозволени вредности) на равенката eff од x, што е еднакво на од x.

Второ, никаде во овој регион не исчезнува, тогаш ја добиваме равенката ef од x, помножено со пепел од x е еднакво на x, помножено со пепел од x, еквивалентно на даденото во неговиот ODZ.

Последица теорема четирие уште една „смирена“ изјава: ако двата дела од равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, тогаш се добива равенка која е еквивалентна на дадената.

Теорема пет. Ако двете страни на равенката

ef од x е еднаква на x е ненегативна во ODZ равенката, тогаш откако ќе ги подигнеме двата негови делови на иста парна моќност n, ја добиваме равенката eff од x до моќта на x е еднаква на x на моќта на x, еквивалентно на оваа равенка во неговата o de ze.

Теорема шест. Нека a е поголемо од нула, а не еднакво на еден, а eff од x поголемо од нула,

zhe од x е поголема од нула, тологаритамската равенка е логаритам на ef од x до основата a, еднаков на логаритамот на zhe од x до основата a,

е еквивалентно на равенката ef од x е исто како и од x .

Како што веќе рековме, решението на која било равенка се јавува во три фази:

Првата фаза е техничка. Со помош на синџир на трансформации од првобитната равенка доаѓаме до прилично едноставна равенка, која ја решаваме и ги наоѓаме корените.

Втората фаза е анализа на решението. Ги анализираме трансформациите што ги извршивме и дознаваме дали се еквивалентни.

Третата фаза е верификација. Проверката на сите корени пронајдени со нивна замена во првобитната равенка е задолжителна кога се вршат трансформации кои можат да доведат до равенка за последица.

Во оваа лекција, ќе дознаеме, при примена на кои трансформации оваа равенка оди во равенка на последица? Размислете за следните задачи.

Вежба 1

Која равенка е последица на равенката x минус три еднакво на два?

Решение

Равенката x минус три еднакво на два има еден корен - x е еднакво на пет. Помножете ги двете страни на оваа равенка со изразот x минус шест, додадете слични членови и добијте ја квадратната равенка x квадрат минус единаесет x плус триесет е нула. Да ги пресметаме неговите корени: x првиот е еднаков на пет; x секунда е еднакво на шест. Веќе содржи два корени. Равенката x квадрат минус единаесет x плус триесет еднаква нула содржи еден корен - x е еднакво на пет; од равенката x минус три е еднакво на два, така што x на квадрат минус единаесет x плус триесет е последица на равенката x минус три е еднаква на два.

Задача 2

Која друга равенка е последица на равенката x-3=2?

Решение

Во равенката x минус три е еднакво на два, ги квадратуваме двата нејзини дела, ја применуваме формулата за квадратот на разликата, додаваме слични членови, ја добиваме квадратната равенка x на квадрат минус шест, x плус пет е еднаква на нула.

Да ги пресметаме неговите корени: x првиот е еднаков на пет, x вториот е еднаков на еден.

Коренот x е еднаков на еден е необичен за равенката x минус три еднакви на два. Ова се случи затоа што двете страни на првобитната равенка беа квадратни (рамна моќност). Но, во исто време, неговата лева страна - x минус три - може да биде негативна (услови теорема пет). Значи, равенката x квадрат минус шест x плус пет е еднаква на нула е последица на равенката x минус три е еднаква на два.

Задача 3

Најди ја равенката-следица за равенката

логаритамот од x плус еден до основата три плус логаритамот од x плус три до основата три е еднакво на еден.

Решение

Го претставуваме единството како логаритам од три до основата од три, ја потенцираме логаритамската равенка, вршиме множење, собираме слични членови и ја добиваме квадратната равенка x на квадрат плус четири x е еднакво на нула. Да ги пресметаме неговите корени: x првиот е еднаков на нула, x вториот е еднаков на минус четири. Коренот x е еднаков на минус четири е необичен за логаритамската равенка, бидејќи кога ќе се замени во логаритамската равенка, изразите x плус еден и x плус три земаат негативни вредности - условите се прекршени теорема шест.

Значи, равенката x во квадрат плус четири x е еднаква на нула е последица на оваа равенка.

Врз основа на решението на овие примери, можеме да направиме заклучок:равенката на последица се добива од дадената равенка со проширување на доменот на равенката. И ова е можно кога се вршат такви трансформации како

1) ослободување од именители кои содржат променлива;

2) подигање на двата дела од равенката на иста парна моќност;

3) ослободување од знаци на логаритми.

Запомнете!Ако во процесот на решавање на равенката се проширил доменот на дефинирање на равенката, тогаш потребно е да се проверат сите пронајдени корени.

Задача 4

Решете ја равенката x минус три поделено со x минус пет плус едно поделено со x е еднакво на x плус пет поделено со x пати x минус пет.

Решение

Првата фаза е техничка.

Ајде да извршиме синџир на трансформации, да ја добиеме наједноставната равенка и да ја решиме. За да го направите ова, ги множиме двата дела од равенката со заеднички именител на дропките, односно со изразот x помножен со xминус пет.

Ја добиваме квадратната равенка x квадрат минус три x минус десет е еднакво на нула. Да ги пресметаме корените: x првиот е еднаков на пет, x вториот е еднаков на минус два.

Втората фаза е анализа на решението.

При решавањето на равенката, двата нејзини дела ги помноживме со израз кој содржи променлива. Тоа значи дека доменот на дефинирање на равенката е проширен. Затоа, потребна е проверка на корените.

Третата фаза е верификација.

Кога x е еднакво на минус два, заедничкиот именител не исчезнува. Значи x е еднакво минус два е коренот на оваа равенка.

Кога x е еднакво на пет, заедничкиот именител оди на нула. Затоа x е еднакво на пет - надворешен корен.

Одговор: минус два.

Задача 5

Решете ја равенката квадратен корен од x минус шест е еднаков на квадратен корен од четири минус x.

Решение

Првата фаза е техничка .

За да добиеме едноставна равенка и да ја решиме, вршиме синџир на трансформации.

Да ги квадратиме (парна моќност) двата дела од оваа равенка, да ги поместиме x-овите на левата страна, а броевите на десната страна од равенката, да дадеме слични членови, добиваме: два x е еднакво на десет. X е еднакво на пет.

Втората фаза е анализа на решението.

Да ги провериме извршените трансформации за еквивалентност.

Кога решаваме равенка, ги квадриравме двете страни од неа. Тоа значи дека доменот на дефинирање на равенката е проширен. Затоа, потребна е проверка на корените.

Третата фаза е верификација.

Пронајдените корени ги заменуваме во првобитната равенка.

Ако x е еднакво на пет, изразот квадратен корен од четири минус x е недефиниран, така што x еднаков на пет е надворешен корен. Значи оваа равенка нема корени.

Одговор: Равенката нема корени.

Задача 6

Решете ја равенката Природниот логаритам x на квадрат плус два x минус седум е еднаков на природниот логаритам од x минус еден.

Решение

Првата фаза е техничка .

Ајде да извршиме синџир на трансформации, да ја добиеме наједноставната равенка и да ја решиме. За да го направите ова, ние потенцираме

равенка, ги пренесуваме сите членови на левата страна на равенката, донесуваме слични членови, добиваме квадратна равенка x квадрат плус x минус шест е еднаква на нула. Да ги пресметаме корените: x првиот е еднаков на два, x вториот е еднаков на минус три.

Втората фаза е анализа на решението.

Да ги провериме извршените трансформации за еквивалентност.

Во процесот на решавање на оваа равенка, се ослободивме од знаците на логаритми. Тоа значи дека доменот на дефинирање на равенката е проширен. Затоа, потребна е проверка на корените.

Третата фаза е верификација.

Пронајдените корени ги заменуваме во првобитната равенка.

Ако x е еднакво на два, тогаш добиваме дека природниот логаритам на единство е еднаков на природниот логаритам на единството -

правилна еднаквост.

Оттука, x еднакво на два е коренот на оваа равенка.

Ако x е минус три, тогаш природниот логаритам x на квадрат плус два x минус седум и природниот логаритам x минус еден се недефинирани. Значи, x еднакво на минус три е необичен корен.

Одговор: два.

Дали е секогаш потребно да се разликуваат три фази при решавање на равенка? Како поинаку можете да проверите?

Одговорите на овие прашања ќе ги добиеме во следната лекција.