2. Torsione.

2.4. Costruzione di diagrammi degli spostamenti angolari durante la torsione.

Avendo formule per determinare le deformazioni e conoscere le condizioni per fissare l'asta, è facile determinare gli spostamenti angolari delle sezioni dell'asta e tracciare questi spostamenti. Se è presente un albero (cioè un'asta rotante) che non ha sezioni fisse, per tracciare il diagramma degli spostamenti angolari, qualsiasi sezione viene considerata condizionatamente fissa.

Considera un esempio specifico (Fig. 2.12, a). Nella fig. 2.12, b, viene fornito il diagramma Tk.

Consideriamo la sezione del punto A fissata condizionatamente. Determiniamo la rotazione della sezione B rispetto alla sezione A.

Dove TAB è la coppia nella sezione AB; lAB è la lunghezza della sezione AB.

Per gli angoli di rotazione delle sezioni accettiamo la seguente regola dei segni: consideriamo positivi gli angoli quando la sezione ruota (se vista lungo l'asse da destra a sinistra) in senso antiorario. In questo caso sarà positivo. Sulla scala accettata, mettiamo da parte l'ordinata (Fig. 2.12, c). Colleghiamo il punto risultante K con un punto E della retta, poiché nella sezione AB gli angoli cambiano secondo la legge della retta. Calcoliamo ora l'angolo di rotazione della sezione C rispetto alla sezione B. Tenendo conto della regola dei segni accettata per gli angoli di torsione, otteniamo

Poiché la sezione B non è fissa, l'angolo di rotazione della sezione C rispetto alla sezione A è pari a

L'angolo di torsione può essere positivo, negativo e, in un caso particolare, pari a zero.

Supponiamo che in questo caso l'angolo sia positivo. Quindi, inserendo questo valore sulla scala accettata a partire dal diagramma, otteniamo il punto M. Collegando il punto M con il punto K, otteniamo un grafico degli angoli di torsione nella sezione BC. La torsione non si verifica nella sezione CD, poiché le coppie in questa sezione sono uguali a zero, quindi tutte le sezioni ruotano della stessa quantità di rotazione della sezione C. La sezione MN del diagramma qui è orizzontale. Si invita il lettore ad accertarsi che, se preso come tratto B fisso, allora il diagramma degli angoli di torsione avrà la forma mostrata in Fig. 2.12, città

Esempio 2.1. Determina il diametro di un albero d'acciaio che ruota con una velocità angolare W = 100 rad/s e una potenza di trasmissione N = 100 kW. Sollecitazione ammissibile = 40 MPa, angolo di torsione ammissibile = 0,5 gradi/m, G = 80000 MPa.

Soluzione. Il momento trasmesso dall'albero è determinato dalla formula

T = N/W = 100.000 / 100 = 1.000 N * m

La coppia in tutte le sezioni trasversali dell'albero è la stessa

Tk \u003d T \u003d 1000 N * m \u003d 1 kN * m \u003d 0,001 MN * m.

Il diametro dell'albero per la resistenza è determinato dalla formula (2.15)

Usando la formula (2.24), determiniamo il diametro dell'albero dalla condizione di rigidezza

Il diametro dell'albero in questo caso è determinato dalla condizione di rigidità e deve essere considerato pari a d = 52 mm.

Esempio 2.2. Selezionare le dimensioni della sezione dell'albero tubolare che trasmette il momento T = 6 kN*m, con rapporto tra i diametri c = d / D = 0,8 e sollecitazione ammissibile = 60 MPa. Confronta il peso di questo albero tubolare con un albero a sezione solida di uguale resistenza.

Risposta. Dimensioni dell'albero tubolare: D = 9,52 cm, d = 7,62 cm. Area della sezione Am = 25,9 cm quadrati. Diametro dell'albero in sezione solida d1 = 8 cm. Area della sezione Ac = 50,2 cm quadrati. La massa dell'albero tubolare è pari al 51% della massa di a albero solido.

Torsione di una barra tonda: condizione del problema

Quattro momenti torcenti esterni sono applicati ad un albero in acciaio di sezione trasversale costante (Fig. 3.8): kN m; kN·m; kN·m; kN·m Lunghezze delle sezioni dell'asta: m; m, m, m Obbligatorio: tracciare le coppie, determinare il diametro dell'albero in kN/cm2 e tracciare gli angoli di torsione delle sezioni trasversali dell'asta.

Torsione di una barra tonda - schema di progettazione

Riso. 3.8

Soluzione del problema della torsione di un'asta tonda

Determinare il momento reattivo che si verifica in una terminazione rigida

Designiamo il momento nell'inclusione e dirigiamolo, ad esempio, in senso antiorario (guardando verso l'asse z).

Scriviamo l'equazione di equilibrio per l'albero. In questo caso utilizzeremo la seguente regola dei segni: i momenti torcenti esterni (momenti attivi, nonché momento reattivo nella terminazione), che fanno ruotare l'albero in senso antiorario (guardandolo verso l'asse z), sono considerati positivi .

Il segno più nell'espressione che abbiamo ricevuto indica che abbiamo indovinato la direzione del momento reattivo che si verifica nella terminazione.

Costruire un diagramma delle coppie

Ricordiamo che il momento torcente interno che si manifesta in una certa sezione trasversale dell'asta è pari alla somma algebrica dei momenti torcenti esterni applicati ad una qualsiasi delle parti dell'asta considerata (cioè agendo a sinistra o a destra di la sezione realizzata). In questo caso, il momento torcente esterno, che fa ruotare la parte considerata dell'asta in senso antiorario (guardando la sezione trasversale), è incluso in questa somma algebrica con un segno più, e parallelamente con un segno meno.

Di conseguenza, la coppia interna positiva, che contrasta i momenti torcenti esterni, è diretta in senso orario (guardando la sezione trasversale), e quella negativa è diretta in senso antiorario.

Dividiamo la lunghezza dell'asta in quattro sezioni (Fig. 3.8, a). I confini delle sezioni sono quelle sezioni in cui vengono applicati i momenti esterni.

Realizziamo una sezione in un posto arbitrario di ciascuna delle quattro sezioni dell'asta.

Sezione 1 - 1. Scartare mentalmente (o coprire con un pezzo di carta) il lato sinistro della bacchetta. Per bilanciare il momento torcente kN m, nella sezione trasversale dell'asta deve verificarsi una coppia uguale e diretta in senso opposto. Tenendo conto della regola dei segni menzionata sopra

kN·m

Sezioni 2 - 2 e 3 - 3:

Sezione 4 - 4. Per determinare la coppia, nella sezione 4 - 4 scartiamo il lato destro dell'asta. Poi

kN·m

È facile verificare che il risultato ottenuto non cambierà se scartiamo ora non la parte destra, ma quella sinistra dell'asta. Ottenere

Per tracciare il diagramma della coppia, tracciamo un asse parallelo all'asse dell'asta z con una linea sottile (Fig. 3.8, b). Da questo asse vengono allontanati i valori calcolati delle coppie nella scala selezionata e tenendo conto del loro segno. All'interno di ciascuna sezione dell'asta, la coppia è costante, quindi "ombreggiamo" la sezione corrispondente con linee verticali. Ricordiamo che ogni segmento del “tratteggio” (l'ordinata del diagramma) riporta, nella scala accettata, il valore della coppia nella corrispondente sezione trasversale dell'asta. La trama risultante è delineata con una linea in grassetto.

Si noti che nei punti in cui sul diagramma sono applicati i momenti torcenti esterni, abbiamo ottenuto una brusca variazione della coppia interna del valore del momento esterno corrispondente.

Determinare il diametro dell'albero dalle condizioni di resistenza

La condizione di resistenza alla torsione ha la forma

,

Dove - momento resistente polare (momento resistente torsionale).

La coppia assoluta più elevata si verifica nella seconda sezione dell'albero: kN cm

Quindi il diametro dell'albero richiesto è determinato dalla formula

cm.

Arrotondando il valore ottenuto allo standard, prendiamo il diametro dell'albero pari a mm.

Determinare gli angoli di torsione delle sezioni trasversali A, B, C, D ed E e tracciare gli angoli di torsione

Per prima cosa calcoliamo la rigidezza torsionale dell'asta, dove G è il modulo di taglio, e è il momento polare di inerzia. Ottenere

Gli angoli di torsione nelle singole sezioni dell'asta sono pari a:

lieto;

lieto;

lieto;

lieto.

L'angolo di torsione nella terminazione è zero, cioè . Poi

Il grafico degli angoli di torsione è mostrato in fig. 3.8, c. Si noti che all'interno della lunghezza di ciascuna sezione dell'albero, l'angolo di torsione cambia in modo lineare.

Un esempio di problema di torsione per un'asta "tonda" per una soluzione indipendente

Condizione del problema sulla torsione di un'asta "tonda".

Un'asta d'acciaio rigidamente fissata a un'estremità (modulo di taglio kN / cm2) di sezione trasversale circolare è attorcigliata di quattro momenti (Fig. 3.7).

Necessario:

costruire un diagramma delle coppie;

· ad una data tensione di taglio ammissibile kN/cm2 dalla condizione di resistenza determinare il diametro dell'albero, arrotondandolo al più vicino dei seguenti valori 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200mm;

· tracciare gli angoli di torsione delle sezioni trasversali dell'asta.

Varianti di schemi di progettazione per il problema della torsione di una barra tonda per soluzione indipendente

Un esempio di problema di torsione di un'asta tonda: condizioni iniziali per una soluzione indipendente

Numero dello schema
			Prima di risolvere il problema della resistenza dei materiali, è necessario riscrivere completamente le sue condizioni con dati numerici, redigere uno schizzo su una scala e indicare su di esso in numeri tutte le quantità necessarie per ulteriori calcoli, Integra la soluzione dei problemi sulla resistenza dei materiali con brevi spiegazioni e disegni, che visualizzano le quantità incluse nel calcolo, Prima di utilizzare la formula per determinare lo stato di tensione-deformazione, è necessario studiare l'argomento corrispondente delle lezioni sulla resistenza dei materiali per comprendere il significato fisico di tutte le quantità in esso incluse, Quando si sostituiscono i valori di forza, momento o lunghezza nella formula utilizzata, è necessario convertirli in un sistema di unità, Quando si risolvono problemi relativi alla resistenza dei materiali, l'accuratezza dei calcoli non deve superare le tre cifre significative (il risultato della risoluzione del problema non può essere più accurato dei prerequisiti stabiliti nelle formule di calcolo), Devi completare i calcoli con un'analisi dei risultati: hanno insegnato sulla resistenza dei materiali in questo modo controllano il tuo lavoro. L'analisi dei risultati della soluzione aiuterà a evitare errori ridicoli e ad eliminarli rapidamente.

Esercizio

Per un albero in acciaio a sezione circolare, determinare i valori dei momenti esterni corrispondenti alle potenze trasmesse, e del momento equilibrato (Tabella 7.1 e Tabella 7.2).

Tracciare la curva di coppia lungo la lunghezza dell'albero.

Determinare i diametri dell'albero in base alle sezioni in base ai calcoli di resistenza e rigidità. Arrotonda il risultato più alto al numero pari più vicino o al numero che termina con 5.

Per il calcolo utilizzare i seguenti dati: l'albero ruota con una velocità angolare di 25 rad/s; materiale dell'albero - acciaio, sollecitazione di torsione ammissibile 30 MPa, modulo di elasticità a taglio 8 10 4 MPa; angolo di torsione consentito = 0,02 rad/m.

Eseguire il calcolo per l'albero della sezione anulare, prendendo Con= 0,9. Trarre conclusioni sulla fattibilità della realizzazione di un albero con sezione rotonda o anulare confrontando le aree della sezione trasversale.

Obiettivo del lavoro - apprendere come eseguire calcoli di progettazione e verifica di travi tonde per sistemi staticamente determinati, per prove di rigidezza.

Giustificazione teorica

La torsione è chiamata carico, in cui nella sezione trasversale della trave si verifica un solo fattore di forza interno: la coppia. Anche i carichi esterni sono due coppie di forze dirette in modo opposto.

Distribuzione delle sollecitazioni di taglio sulla sezione trasversale durante la torsione (Fig. 7.1)

Sollecitazione di taglio in un punto UN:

Fig.7.1

(7.1)

dov'è la distanza dal punto UN Prima

centro sezione.

Condizione di resistenza alla torsione

; (cerchio), (7.2)

(anello), (7.3)

dove M a - coppia nella sezione, N-m, N-mm;

Wp- momento di resistenza durante la torsione, m 3, mm 3;

[t a] - sollecitazione torsionale ammissibile, N / m 2, N / mm 2.

Calcolo del progetto, determinazione delle dimensioni della sezione trasversale

(7.4)

Dove D- diametro esterno della sezione circolare;

dBn- diametro interno della sezione anulare; c \u003d d BK / d.

Determinazione della disposizione razionale dell'albero della ruota

Una disposizione razionale delle ruote è una disposizione in cui il valore massimo della coppia sull'albero è il più piccolo possibile.

Condizione di rigidezza torsionale

; G ≈ 0,4E(7.5)

Dove G- modulo di elasticità a taglio, N/m 2 , N/mm 2 ;

E- modulo di trazione, N/m 2 , N/mm 2 .

[φo] - angolo di torsione consentito, [φо] = 0,54-1 gradi/m;

Jp- momento d'inerzia polare nella sezione, m 4 , mm 4 .

(7.6)

Calcolo progettuale, determinazione del diametro esterno della sezione

Ordine di lavoro

1. Costruire un diagramma delle coppie lungo la lunghezza dell'albero per lo schema proposto nell'attività.

2. Scegliere una disposizione razionale delle ruote sull'albero ed eseguire ulteriori calcoli per un albero con pulegge posizionate in modo razionale.

3. Determinare i diametri richiesti dell'albero tondo in base alla resistenza e alla rigidità e scegliere il maggiore dei valori ottenuti arrotondando il diametro.

4. Confronta i costi del metallo nel caso di sezioni tonde e anulari. Il confronto viene effettuato in base alle sezioni trasversali degli alberi.

Domande di controllo

1. Quali deformazioni si verificano durante la torsione?

2. Quali ipotesi sono soddisfatte in caso di deformazione da torsione?

3. La lunghezza e il diametro dell'albero cambiano dopo la torsione?

4. Quali fattori di forza interni si verificano durante la torsione?

5. Qual è la disposizione razionale delle orecchie sull'albero?

6. Qual è il momento d'inerzia polare? Qual è il significato fisico di questa quantità?

7. In quali unità viene misurato?

Esempio di esecuzione

Per una determinata barra (Fig. 7.1), tracciare i diagrammi di coppia, mediante la disposizione razionale delle pulegge sull'albero, ottenere una diminuzione del valore della coppia massima. Costruire un diagramma delle coppie con una disposizione razionale delle pulegge. Dalla condizione di resistenza, determinare i diametri degli alberi per sezioni piene e anulari, assumendo c = . Confrontare i risultati ottenuti per le aree della sezione trasversale ottenute. [τ] = 35 MPa.

Soluzione

sezione trasversale 2 (Fig. 7.2b):

sezione trasversale 3 (Fig. 7.3c):

Fig.7.2

A B C

Fig.7.3

1. Costruiamo un diagramma delle coppie. Impostiamo i valori delle coppie dall'asse, perché i punti sono negativi. Il valore massimo della coppia sull'albero in questo caso è 1000 Nm (Fig. 7.1).
2. Scegliamo una disposizione razionale delle pulegge sull'albero. È più opportuno posizionare le pulegge in modo tale che i maggiori valori di coppia positiva e negativa nelle sezioni siano il più uguali possibile. Per questi motivi la puleggia motrice che trasmette una coppia di 1000 Nm è posizionata più vicino al centro dell'albero, le pulegge condotte 1 e 2 sono posizionate a sinistra della motrice con una coppia di 1000 Nm, la puleggia 3 rimane nella stessa posto. Costruiamo un diagramma di coppia per la posizione selezionata delle pulegge (Fig. 7.3).

Il valore massimo della coppia sull'albero con la posizione selezionata delle pulegge è 600 N * m.

Fig.7.4

Momento torcente:

Determiniamo i diametri dell'albero in base alle sezioni:

Arrotondiamo i valori ottenuti: , ,

1. Determiniamo i diametri dell'albero per sezioni, a condizione che la sezione sia un anello

I momenti di resistenza rimangono gli stessi. Per condizione

Momento polare di resistenza dell'anello:

Formula per determinare il diametro esterno di un albero anulare:

Il calcolo può essere effettuato secondo la formula:

Diametri albero per sezioni:

I diametri esterni dell'albero della sezione anulare non sono cambiati.

Per una sezione anulare: , ,

1. Per concludere che il metallo viene risparmiato, quando si passa ad una sezione anulare, confrontiamo le aree della sezione trasversale (Fig. 7.4)

A condizione che la sezione sia un cerchio (Fig. 7.4a)

Sezione rotonda solida:

A condizione che la sezione sia un anello, (Fig. 7.4b)

Sezione anulare:

Valutazione comparativa dei risultati:

Di conseguenza, passando dalla sezione circolare a quella anulare, il risparmio di metallo in peso sarà di 1,3 volte.

fig.7.4

Tabella 7.1

Tabella 7.2

Opzione	Opzioni
a = b = s, m	P1, kW	P2, kW	P3, kW
	1,1	2,1	2,6	3,1
	1,2	2,2	2,7	3,2
	1,3	2,3	2,8	3,3
	1,4	2,4	2,9	3,4
	1,5	2,5	3,0	3,5
	1,6	2,6	3,1	3,6
	1,7	2,7	3,2	3,7
	1,8	2,8	3,3	3,8
	1,9	2,9	3,4	3,9
	2,0	3,0	3,5	4,0
	1,1	3,1	3,4	4,1
	1,2	3,2	3,3	4,2
	1,3	3,3	3,2	4,3
	1,4	3,4	3,1	4,5
	1,5	3,5	2,8	2,9
	1,3	2,1	2,6	3,1
	1,4	2,2	2,7	3,2
	1,5	2,3	2,8	3,3
	1,6	2,4	2,9	3,4
	1,7	2,5	3,0	3,5
	1,8	2,6	3,1	3,6
	1,9	2,7	3,2	3,7
	2,0	2,8	3,3	3,8
	1,1	2,9	3,4	3,9
	1,2	3,0	3,5	4,0
	1,3	3,1	3,4	4,1
	1,4	3,2	3,3	4,2
	1,5	3,3	3,2	4,3
	1,4	3,4	3,1	4,5
	1,9	3,5	2,8	2,9

APPENDICE A

TORSIONE

Sequenza di risoluzione dei problemi

1. Determinare i momenti torcenti esterni con la formula

M=P/ω

Dove R - energia,

ω - velocità angolare.

2. Poiché con rotazione uniforme dell'albero, la somma algebrica dei momenti torsionali (rotanti) esterni applicati ad esso è uguale a zero, determinare il momento di bilanciamento utilizzando l'equazione di equilibrio

∑ Mi z = 0

3. Utilizzando il metodo delle sezioni, tracciare le coppie lungo la lunghezza dell'albero.

4. Per la sezione dell'albero in cui si verifica la coppia maggiore, determinare il diametro dell'albero di sezione circolare o anulare dalla condizione di resistenza e rigidità. Per la sezione anulare dell'albero, prendere il rapporto tra i diametri

Dove D O- diametro interno dell'anello;

D è il diametro esterno dell'anello.

Dalla condizione di forza:

Dalla condizione di rigidità:

Dove M zmax- coppia massima;

W P - momento polare di resistenza alla torsione;

[τ kr] - sforzo di taglio ammissibile

Dove J P - momento d'inerzia polare della sezione;

G - modulo di taglio;

[φ O] - angolo di torsione consentito della sezione

Sezione dell'albero - cerchio

Diametro dell'albero richiesto per la resistenza:

Diametro dell'albero richiesto:

Sezione albero - anello

Il diametro esterno dell'anello richiesto per la resistenza:

Il diametro esterno dell'anello richiesto per la rigidità:

Esempio 1 . Per un albero in acciaio (Fig. 1) a sezione costante lungo la lunghezza occorre: 1) determinare i valori dei momenti M 2 E M 3 corrispondenti alle potenze trasmesse R 2 E R 3 , così come il momento di equilibrio M 1 ; 2) tracciare le coppie; 3) determinare il diametro dell'albero richiesto dai calcoli di resistenza e rigidità, assumendo a seconda della variante (UN) (B) - C =d 0 /d=0,8.

Accetta: [ τ kr ] = 30 MPa ; [ φ 0 ] = 0,02 rad/m; R 2 = 52kW; R 3 = 50KW; ω = 20 rad/s; G = 8  10 4 MPa

Riso. 1 - Schema dei compiti

Soluzione:

1. Determinare i momenti torcenti esterni:

M 2 \u003d P 2 / ω \u003d 52  10 3 / 20 \u003d 2600 N  m

M 3 \u003d P 3 / ω \u003d 50  10 3 / 20 \u003d 2500 N  m

2. Determinare il momento di bilanciamento M 1 :

∑ Mi z = 0; M1 - M2 - M3 \u003d 0

M 1 =M 2 +M 3 = 5100 H  m

3. Determinare la coppia per sezioni dell'albero:

M z IO\u003d M 1 \u003d 5100 N  m

M z II\u003d M 1 - M 2 \u003d 5100 – 2600 = 2500 N  m

Costruiamo un diagramma delle coppie Mz(Fig. 2).

Riso. 2 - Grafico delle coppie

4. Determinare il diametro dell'albero dalle condizioni di resistenza e rigidità, prendendoM z massimo = 5100 N  M(Fig. 2).

a) Sezione dell'albero – cerchio.

Dalla condizione di forza:

Accettare D = 96 mm

Dalla condizione di rigidità:

Accettare D = 76 mm

Il diametro richiesto si è rivelato maggiore in base alla resistenza, quindi lo consideriamo come finale d = 96 mm.

b) La sezione trasversale dell'albero è un anello.

Dalla condizione di forza:

Accettare D = 114 mm

Dalla condizione di rigidità:

Accettare D = 86 mm

I diametri richiesti vengono infine ricavati dai calcoli di resistenza:

Diametro esterno dell'anello D = 114 mm

Diametro interno del paletto circa D O = 0,8  D = 0,8  114 = 91,2 mm. Accettare D O =92 mm .

Compito 1. Per un albero in acciaio (Fig. 3) a sezione costante è necessario: 1) determinare i valori dei momenti M 1 , M 2 , M 3 E M 4 ; 2) tracciare le coppie; 3) determinare il diametro dell'albero dai calcoli di resistenza e rigidità, assumendo secondo la variante (UN) sezione trasversale dell'albero - cerchio; per opzione (B)- sezione trasversale dell'albero - un anello avente un rapporto tra i diametri C =d 0 /d=0,7. Accensione degli ingranaggi accetta R 2 = 0,5R 1 ; R 3 = 0,3Р 1 ; R 4 = 0,2Р 1 .

Accetta: [ τ kr ] = 30 MPa ; [ φ 0 ] = 0,02 rad/m; G = 8  10 4 MPa

Arrotondare il valore del diametro finale al numero pari più vicino (o che termina con cinque).

Prendi i tuoi dati dalla tabella 1

Istruzioni. Il valore calcolato risultante del diametro (in mm) viene arrotondato al numero superiore più vicino che termina con 0, 2, 5, 8.

Tabella 1 – Dati iniziali

Numero dello schema nella figura 3.2.5

R1

Opzioni

rad/s

kW

Riso. 3 - Schema dei compiti

Torsione di una barra tonda: condizione del problema

Quattro momenti torcenti esterni sono applicati ad un albero in acciaio di sezione trasversale costante (Fig. 3.8): kN m; kN·m; kN·m; kN·m Lunghezze delle sezioni dell'asta: m; m, m, m Obbligatorio: tracciare le coppie, determinare il diametro dell'albero in kN/cm2 e tracciare gli angoli di torsione delle sezioni trasversali dell'asta.

Torsione di una barra tonda - schema di progettazione

Riso. 3.8

Soluzione del problema della torsione di un'asta tonda

Determinare il momento reattivo che si verifica in una terminazione rigida

Designiamo il momento nell'inclusione e dirigiamolo, ad esempio, in senso antiorario (guardando verso l'asse z).

Scriviamo l'equazione di equilibrio per l'albero. In questo caso utilizzeremo la seguente regola dei segni: i momenti torcenti esterni (momenti attivi, nonché momento reattivo nella terminazione), che fanno ruotare l'albero in senso antiorario (guardandolo verso l'asse z), sono considerati positivi .

Il segno più nell'espressione che abbiamo ricevuto indica che abbiamo indovinato la direzione del momento reattivo che si verifica nella terminazione.

Costruire un diagramma delle coppie

Ricordiamo che il momento torcente interno che si manifesta in una certa sezione trasversale dell'asta è pari alla somma algebrica dei momenti torcenti esterni applicati ad una qualsiasi delle parti dell'asta considerata (cioè agendo a sinistra o a destra di la sezione realizzata). In questo caso, il momento torcente esterno, che fa ruotare la parte considerata dell'asta in senso antiorario (guardando la sezione trasversale), è incluso in questa somma algebrica con un segno più, e parallelamente con un segno meno.

Di conseguenza, la coppia interna positiva, che contrasta i momenti torcenti esterni, è diretta in senso orario (guardando la sezione trasversale), e quella negativa è diretta in senso antiorario.

Dividiamo la lunghezza dell'asta in quattro sezioni (Fig. 3.8, a). I confini delle sezioni sono quelle sezioni in cui vengono applicati i momenti esterni.

Realizziamo una sezione in un posto arbitrario di ciascuna delle quattro sezioni dell'asta.

Sezione 1 - 1. Scartare mentalmente (o coprire con un pezzo di carta) il lato sinistro della bacchetta. Per bilanciare il momento torcente kN m, nella sezione trasversale dell'asta deve verificarsi una coppia uguale e diretta in senso opposto. Tenendo conto della regola dei segni menzionata sopra

kN·m

Sezioni 2 - 2 e 3 - 3:

Sezione 4 - 4. Per determinare la coppia, nella sezione 4 - 4 scartiamo il lato destro dell'asta. Poi

kN·m

È facile verificare che il risultato ottenuto non cambierà se scartiamo ora non la parte destra, ma quella sinistra dell'asta. Ottenere

Per tracciare il diagramma della coppia, tracciamo un asse parallelo all'asse dell'asta z con una linea sottile (Fig. 3.8, b). Da questo asse vengono allontanati i valori calcolati delle coppie nella scala selezionata e tenendo conto del loro segno. All'interno di ciascuna sezione dell'asta, la coppia è costante, quindi "ombreggiamo" la sezione corrispondente con linee verticali. Ricordiamo che ogni segmento del “tratteggio” (l'ordinata del diagramma) riporta, nella scala accettata, il valore della coppia nella corrispondente sezione trasversale dell'asta. La trama risultante è delineata con una linea in grassetto.

Si noti che nei punti in cui sul diagramma sono applicati i momenti torcenti esterni, abbiamo ottenuto una brusca variazione della coppia interna del valore del momento esterno corrispondente.

Determinare il diametro dell'albero dalle condizioni di resistenza

La condizione di resistenza alla torsione ha la forma

,

Dove - momento resistente polare (momento resistente torsionale).

La coppia assoluta più elevata si verifica nella seconda sezione dell'albero: kN cm

Quindi il diametro dell'albero richiesto è determinato dalla formula

cm.

Arrotondando il valore ottenuto allo standard, prendiamo il diametro dell'albero pari a mm.

Determinare gli angoli di torsione delle sezioni trasversali A, B, C, D ed E e tracciare gli angoli di torsione

Per prima cosa calcoliamo la rigidezza torsionale dell'asta, dove G è il modulo di taglio, e è il momento polare di inerzia. Ottenere

Gli angoli di torsione nelle singole sezioni dell'asta sono pari a:

lieto;

lieto;

lieto;

lieto.

L'angolo di torsione nella terminazione è zero, cioè . Poi

Il grafico degli angoli di torsione è mostrato in fig. 3.8, c. Si noti che all'interno della lunghezza di ciascuna sezione dell'albero, l'angolo di torsione cambia in modo lineare.

Un esempio di problema di torsione per un'asta "tonda" per una soluzione indipendente

Condizione del problema sulla torsione di un'asta "tonda".

Un'asta d'acciaio rigidamente fissata a un'estremità (modulo di taglio kN / cm2) di sezione trasversale circolare è attorcigliata di quattro momenti (Fig. 3.7).

Necessario:

costruire un diagramma delle coppie;

· ad una data tensione di taglio ammissibile kN/cm2 dalla condizione di resistenza determinare il diametro dell'albero, arrotondandolo al più vicino dei seguenti valori 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200mm;

· tracciare gli angoli di torsione delle sezioni trasversali dell'asta.

Varianti di schemi di progettazione per il problema della torsione di una barra tonda per soluzione indipendente

Un esempio di problema di torsione di un'asta tonda: condizioni iniziali per una soluzione indipendente

Numero dello schema
			Prima di risolvere il problema della resistenza dei materiali, è necessario riscrivere completamente le sue condizioni con dati numerici, redigere uno schizzo su una scala e indicare su di esso in numeri tutte le quantità necessarie per ulteriori calcoli, Integra la soluzione dei problemi sulla resistenza dei materiali con brevi spiegazioni e disegni, che visualizzano le quantità incluse nel calcolo, Prima di utilizzare la formula per determinare lo stato di tensione-deformazione, è necessario studiare l'argomento corrispondente delle lezioni sulla resistenza dei materiali per comprendere il significato fisico di tutte le quantità in esso incluse, Quando si sostituiscono i valori di forza, momento o lunghezza nella formula utilizzata, è necessario convertirli in un sistema di unità, Quando si risolvono problemi relativi alla resistenza dei materiali, l'accuratezza dei calcoli non deve superare le tre cifre significative (il risultato della risoluzione del problema non può essere più accurato dei prerequisiti stabiliti nelle formule di calcolo), Devi completare i calcoli con un'analisi dei risultati: hanno insegnato sulla resistenza dei materiali in questo modo controllano il tuo lavoro. L'analisi dei risultati della soluzione aiuterà a evitare errori ridicoli e ad eliminarli rapidamente.