La lunghezza dell'arco di una cicloide fu calcolata per la prima volta dall'architetto e matematico inglese Wren nel 1658. Wren procede da considerazioni meccaniche che ricordano i primi lavori di Torricelli e Roberval. Considerò la rotazione di un cerchio rotolante attraverso un angolo molto piccolo vicino al punto "inferiore" del cerchio generatore. Per dare forza probativa alle suggestive considerazioni di Wren, bisognerebbe considerare una serie di teoremi ausiliari, e di conseguenza bisognerebbe dedicare troppo lavoro.

È molto più conveniente utilizzare un percorso più lungo ma dolce. Per fare ciò, devi considerare una curva speciale che ha ogni curva piatta: la sua curva.

Consideriamo un arco convesso AB di una linea curva (Fig. 4.1). Immaginiamo che un filo flessibile ed inestensibile della stessa lunghezza dell'arco AB stesso sia attaccato all'arco AB nel punto A, e questo filo sia “avvolto” sulla curva e aderisca strettamente ad essa, in modo che la sua estremità coincida con il punto B. “Spiegheremo”: raddrizzeremo il filo, mantenendolo teso, in modo che la parte libera del filo CM sarà sempre diretta tangenzialmente all'arco AB. In queste condizioni, la fine del filo descriverà una certa curva. Questa curva si chiama sviluppo o, in latino, evolvere curva originaria.

Se l'arco della curva non è convesso ovunque in una direzione, se è come la curva AB in Fig. 4.2, ha un punto C in cui la tangente alla curva passa da un lato all'altro (tale punto è detto punto di flesso), allora in questo caso si potrà parlare di sviluppo della curva, ma il ragionamento avrà essere un po' più complicato.

Immagina che il filo sia fissato proprio nel punto di flesso C (Fig. 4.2). Il filo, che si snoda dall'arco BC, descriverà la curva BMP: una scansione.

Immaginiamo ora un filo avvolto attorno all'arco AC della curva originaria, ma questo filo è già allungato: nel punto C ad esso è legato un pezzo di filo CP. Avvolgendo il filo allungato ACP con la curva CA, otteniamo un arco RNA, che, insieme all'arco BMP, forma un'unica curva continua - continua, ma non liscia ovunque: il punto di deflessione C della curva originale corrisponderà al punta (punto di ritorno) della curva BMRNA: la curva BMRNA sarà l'evolvente (sweep) della curva BCA.

Questi esempi ci hanno aiutato ad abituarci ai nuovi concetti di evoluto ed evolvente. Studiamo ora lo sviluppo delle curve cicloidali.

Studiando questa o quella curva, spesso costruiamo una curva ausiliaria, una "compagna" di questa curva. Quindi, costiamo una sinusoide, una compagna di una cicloide. Ora, partendo da questa cicloide, costruiremo una cicloide ausiliaria ad essa indissolubilmente legata. Risulta che lo studio congiunto di tale coppia di cicloidi è per certi aspetti più semplice dello studio di una singola cicloide. Chiameremo tale cicloide ausiliaria cicloide accompagnatoria.

Consideriamo la metà dell'arco della cicloide AMB (Fig. 4.3). Non dovremmo essere imbarazzati dal fatto che questa cicloide sia posizionata in modo insolito (“capovolta”). Disegniamo 4 rette parallele alla retta guida AK a distanze UN, 2UN, 3UN e 4 UN. Costruiamo un cerchio generatore nella posizione corrispondente al punto M (in Fig. 4.3 il centro di questo cerchio è indicato con la lettera O). Indichiamo l'angolo di rotazione MON con c. Allora il segmento AN sarà uguale a bc (l'angolo c è espresso in radianti).

Proseguiamo il diametro NT del cerchio generatore oltre il punto T fino all'intersezione (nel punto E) con la retta PP. Usando TE come diametro, costruiremo un cerchio (con centro O 1). Costruiamo una tangente nel punto M alla cicloide AMB. Per fare ciò, il punto M deve, come sappiamo, essere collegato al punto T. Prolunghiamo la tangente MT oltre il punto T finché non si interseca con il cerchio ausiliario e chiamiamo punto di intersezione M 1. È di questo punto M 1 che vogliamo ora occuparci.

Abbiamo indicato l'angolo MON con c. Pertanto l'angolo MTN sarà uguale a (l'angolo inscritto rispetto allo stesso arco). Il triangolo TO 1 M 1 è ovviamente isoscele. Pertanto non solo l'angolo O 1 TM 1, ma anche l'angolo TM 1 O 1 saranno ciascuno uguali. Pertanto, la frazione dell'angolo TO 1 M 1 nel triangolo TO 1 M 1 rimane esattamente p - q radianti (ricorda che l'angolo 180? è uguale a p radianti). Notiamo anche che il segmento NK è ovviamente uguale a b(p - q).

Consideriamo ora un cerchio di centro O 2, mostrato in Fig. 4.3 con una linea tratteggiata. Dal disegno è chiaro di che tipo di cerchio si tratta. Se lo fai rotolare senza scivolare lungo una linea retta NE, il suo punto B descriverà la cicloide BB. Quando il cerchio tratteggiato ruota dell'angolo p - c, il centro O 2 arriverà al punto O 1 e il raggio O 2 B assumerà la posizione O 1 M 1. Quindi il punto M 1 che abbiamo costruito risulta essere un punto della cicloide BB.

La costruzione descritta associa ogni punto M della cicloide AMB al punto M 1 della cicloide VM 1 B. In Fig. 4.4 questa corrispondenza è mostrata più chiaramente. La cicloide così ottenuta si chiama cicloide associata. Nella fig. 4.3 e 4.4, le cicloidi rappresentate da linee tratteggiate in grassetto si accompagnano rispetto alle cicloidi rappresentate da linee continue in grassetto.

Dalla fig. 4.3 è chiaro che la retta MM 1 è normale nel punto M 1 alla cicloide associata. Questa retta, infatti, passa per il punto M 1 della cicloide e per il punto T di tangenza tra la circonferenza generatrice e la linea direttrice (il punto "più basso" della circonferenza generatrice, come si diceva; ora risultava essere il "più alto", perché il disegno viene ruotato). Ma questa stessa linea, per costruzione, è tangente alla "base" della cicloide AMB. Pertanto la cicloide originaria tocca ogni normale della cicloide accompagnante. È l'inviluppo delle normali della cicloide associata, cioè la sua evoluzione. E la cicloide "accompagnata" risulta essere semplicemente un'evolvente della cicloide originale!

Lavorando su questa costruzione complessa, ma essenzialmente semplice, abbiamo dimostrato un notevole teorema scoperto dallo scienziato olandese Huygens. Questo è il teorema: L'evoluta di una cicloide è esattamente la stessa cicloide, solo spostata.

Avendo costruito un'evoluzione non di un arco, ma dell'intera cicloide (cosa che, ovviamente, può essere fatta solo mentalmente), quindi un'evoluzione di questa evoluta, ecc., otteniamo la Fig. 4.5, somigliante a piastrelle.

Prestiamo attenzione al fatto che nel dimostrare il teorema di Huygens non abbiamo utilizzato né stime infinitesimali, né indivisibili, né approssimative. Non abbiamo nemmeno usato la meccanica, anche se a volte abbiamo usato espressioni prese in prestito dalla meccanica. Questa prova è completamente nello spirito del ragionamento utilizzato dagli scienziati del XVII secolo quando volevano convalidare rigorosamente i risultati ottenuti utilizzando varie considerazioni principali.

Dal teorema di Huygens segue immediatamente un importante corollario. Consideriamo il segmento AB in Fig. 4.4. La lunghezza di questo segmento è ovviamente 4 UN. Immaginiamo ora che attorno all'arco AMB della cicloide venga avvolto un filo, fissato nel punto A e dotato di una matita nel punto B. Se “avvolgiamo” il filo, la matita si sposterà lungo lo sviluppo della cicloide AMB , cioè. lungo la cicloide BM 1 B. La lunghezza del filo, pari alla lunghezza del semiarco della cicloide, sarà ovviamente pari al segmento AB, cioè, come abbiamo visto, 4 UN. Pertanto la lunghezza L dell’intero arco cicloide sarà pari a 8 UN e la formula L=8 UN può ora essere considerato abbastanza rigorosamente provato.

Calcoliamo la lunghezza dell'arco utilizzando la geometria differenziale. La soluzione ottenuta in questo modo sarà molto più breve e semplice:

Dove T?

| r(t)|===2 peccato

5. Equazione parametrica della cicloide ed equazione in coordinate cartesiane

Supponiamo di avere una cicloide formata da una circonferenza di raggio a con centro nel punto A.

Se scegliamo come parametro che determina la posizione del punto l'angolo t=∟NDM di cui è riuscito a ruotare il raggio, che all'inizio del rotolamento aveva una posizione verticale AO, allora le coordinate xey del punto M saranno essere espresso come segue:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a costo t

Quindi le equazioni parametriche della cicloide hanno la forma:

Quando t cambia da -∞ a +∞, si otterrà una curva costituita da un numero infinito di rami come quelli mostrati in questa figura.

Inoltre, oltre all'equazione parametrica della cicloide, esiste anche la sua equazione in coordinate cartesiane:

Dove r è il raggio del cerchio che forma la cicloide.

6. Problemi per trovare parti di una cicloide e figure formate da una cicloide

Compito numero 1. Trova l'area di una figura delimitata da un arco di una cicloide la cui equazione è data parametricamente

e l'asse del bue.

Soluzione. Per risolvere questo problema, utilizziamo i fatti a noi noti dalla teoria degli integrali, vale a dire:

L'area del settore curvilineo.

Consideriamo una funzione r = r(ϕ) definita su [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] corrisponde a r 0 = r(ϕ 0) e, quindi, al punto M 0 (ϕ 0 , r 0), dove ϕ 0 ,

r 0 - coordinate polari del punto. Se ϕ cambia, “attraversando” l’intero [α, β], allora il punto variabile M descriverà una qualche curva AB data da

equazione r = r(ϕ).

Definizione 7.4. Un settore curvilineo è una figura delimitata da due raggi ϕ = α, ϕ = β e da una curva AB definita in polarità

coordinate dall'equazione r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Quanto segue è vero

Teorema. Se la funzione r(ϕ) > 0 ed è continua su [α, β], allora l'area

il settore curvilineo si calcola con la formula:

Questo teorema è stato dimostrato in precedenza nell'argomento dell'integrale definito.

Sulla base del teorema precedente, il nostro problema di trovare l'area di una figura limitata da un arco di cicloide, la cui equazione è data dai parametri parametrici x= a (t – sin t), y= a (1 – cost t), e l’asse Ox, si riduce alla seguente soluzione .

Soluzione. Dall'equazione della curva dx = a(1−cos t) dt. Il primo arco della cicloide corrisponde a una variazione del parametro t da 0 a 2π. Quindi,

Compito numero 2. Trova la lunghezza di un arco della cicloide

Il seguente teorema ed il suo corollario sono stati studiati anche nel calcolo integrale.

Teorema. Se la curva AB è data dall’equazione y = f(x), dove f(x) e f ’ (x) sono continue su , allora AB è rettificabile e

Conseguenza. Sia AB dato parametricamente

L AB = (1)

Siano le funzioni x(t), y(t) continuamente differenziabili su [α, β]. Poi

la formula (1) può essere scritta come segue

Facciamo un cambio di variabili in questo integrale x = x(t), quindi y’(x)= ;

dx= x’(t)dt e quindi:

Ora torniamo a risolvere il nostro problema.

Soluzione. Abbiamo, e quindi

Compito numero 3. Dobbiamo trovare l'area superficiale S formata dalla rotazione di un arco della cicloide

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – costo), 0≤ t ≤ 2π)

Nel calcolo integrale, esiste la seguente formula per trovare l'area della superficie di un corpo di rivoluzione attorno all'asse x di una curva definita parametricamente su un segmento: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤ t ≤ t 1)

Applicando questa formula alla nostra equazione cicloide otteniamo:

Compito numero 4. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando l'arco cicloide

Lungo l'asse del Bue.

Nel calcolo integrale, quando si studiano i volumi, vale la seguente osservazione:

Se la curva che delimita un trapezio curvilineo è data da equazioni parametriche e le funzioni in queste equazioni soddisfano le condizioni del teorema sul cambiamento di variabile in un certo integrale, allora il volume del corpo di rivoluzione del trapezio attorno all'asse del Bue sarà essere calcolato con la formula

Usiamo questa formula per trovare il volume di cui abbiamo bisogno.

Il problema è risolto.

Conclusione

Quindi, nel corso di questo lavoro, sono state chiarite le proprietà di base della cicloide. Abbiamo anche imparato come costruire una cicloide e scoperto il significato geometrico di una cicloide. Come si è scoperto, la cicloide ha enormi applicazioni pratiche non solo in matematica, ma anche nei calcoli tecnologici e nella fisica. Ma la cicloide ha altri pregi. Fu utilizzato dagli scienziati del XVII secolo quando svilupparono tecniche per lo studio delle linee curve, quelle tecniche che alla fine portarono all'invenzione del calcolo differenziale e integrale. Fu anche una delle “pietre di paragone” su cui Newton, Leibniz e i loro primi ricercatori testarono la potenza di nuovi e potenti metodi matematici. Infine, il problema della brachistocrona portò all'invenzione del calcolo delle variazioni, così necessario per i fisici di oggi. Pertanto, la cicloide si è rivelata indissolubilmente legata a uno dei periodi più interessanti della storia della matematica.

Letteratura

1. Berman G.N. Cicloide. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistocrona, o un altro segreto della cicloide // Quantistica. – 1975. - N. 5

3. Verov S.G. I segreti della cicloide // Quantistici. – 1975. - N. 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Applicazioni di un integrale definito. Linee guida e compiti individuali per gli studenti del 1° anno della Facoltà di Fisica. - Rostov n/d: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. L'età stellare della cicloide // Quantistica. – 1985. - N. 6.

6. Fikhtengolts G.M. Corso di calcolo differenziale e integrale. T.1. – M., 1969

Questa linea è chiamata “busta”. Ogni linea curva è un inviluppo delle sue tangenti.

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Archi. Le spirali sono anche evolventi di curve chiuse, come l'evolvente di un cerchio. I nomi di alcune spirali sono dati dalla somiglianza delle loro equazioni polari con le equazioni delle curve in coordinate cartesiane, ad esempio: spirale parabolica (a - r)2 = bj, spirale iperbolica: r = a/j. · Bacchetta: r2 = a/j · si-ci-spirale, le cui equazioni parametriche sono: , è una costante b 2 .

Curva come nelle figure seguenti quando b a rispettivamente.

Se b = a, la curva è lemniscata

LA LUMACA DI PASCAL
Equazione polare: r = b + acosθ

Sia OQ una linea che congiunge il centro O con un punto qualsiasi Q su una circonferenza di diametro a passante per O. Allora la curva è il fuoco di tutti i punti P tali che PQ = b.

La curva mostrata nelle figure sottostanti quando b > aob

CISSOIDE DI DIOCLI
Equazione in coordinate rettangolari: y 2 = x 3 /(2a - x)

Equazioni parametriche:

Questa è una curva descritta da un punto P tale che distanza OP = distanza RS. Utilizzato nell'attività raddoppiando il cubo, cioè. trovare il lato di un cubo che ha il doppio del volume di un cubo dato

SPIRALE DI ARCHIMEDE
Equazione polare: r = aθ

Gli esempi analizzati ci hanno aiutato ad abituarci ai nuovi concetti di evoluto ed evolvente. Ora siamo sufficientemente preparati per studiare lo sviluppo delle curve cicloidali.

Studiando questa o quella curva, spesso costruiamo una curva ausiliaria, una "compagna" di questa curva.

Riso. 89. Cicloide e il suo assistente.

Quindi, abbiamo costruito concoidi di una linea retta e di un cerchio, uno sviluppo di un cerchio, una sinusoide - una compagna di una cicloide. Ora, partendo da questa cicloide, costruiremo una cicloide ausiliaria ad essa indissolubilmente legata. Risulta che lo studio congiunto di tale coppia di cicloidi è per certi aspetti più semplice dello studio di una singola cicloide. Chiameremo tale cicloide ausiliaria cicloide accompagnatoria.

Consideriamo la metà dell'arco della cicloide AMB (Fig. 89). Non dovremmo essere imbarazzati dal fatto che questa cicloide sia posizionata in modo insolito (“capovolta”).

Disegniamo 4 linee rette parallele alla linea guida AK alle distanze a, 2a, 3a e 4a. Costruiamo un cerchio generatore nella posizione corrispondente al punto M (in Fig. 89 il centro di questo cerchio è indicato con la lettera O). Indichiamo l'angolo di rotazione di MON con . Allora il segmento AN sarà uguale (l'angolo è espresso in radianti).

Proseguiamo il diametro NT del cerchio generatore oltre il punto T fino all'intersezione (nel punto E) con la retta PP. Usando TE come diametro costruiremo una circonferenza (con centro ). Costruiamo una tangente nel punto M alla cicloide AMB. Per fare ciò, il punto M deve, come sappiamo, essere collegato al punto T (p. 23). Continuiamo la tangente MT oltre il punto T finché non interseca il cerchio ausiliario e chiamiamo punto di intersezione . Questo è il punto che ora vogliamo affrontare.

Abbiamo indicato l'angolo MON con Pertanto l'angolo MTN sarà uguale a (l'angolo inscritto basato sullo stesso arco). Il triangolo è ovviamente isoscele. Pertanto non solo l'angolo, ma anche l'angolo sarà uguale, quindi per la frazione dell'angolo del triangolo rimangono esattamente radianti (ricordiamo che un angolo di 180° è uguale a radianti). Notiamo anche che il segmento NK è ovviamente uguale ad a ().

Consideriamo ora la circonferenza di centro mostrata in Fig. 89 linea tratteggiata. Dal disegno è chiaro di che tipo di cerchio si tratta. Se lo fai rotolare senza scivolare lungo la linea retta CB, il suo punto B descriverà la cicloide BB. Quando il cerchio tratteggiato ruota dell'angolo , il centro arriverà al punto e il raggio assumerà la posizione Quindi, il punto che abbiamo costruito risulta essere un punto della cicloide BB,

La costruzione descritta associa ogni punto M della cicloide AMB ad un punto della cicloide In Fig. 90 questa corrispondenza è mostrata più chiaramente. La cicloide così ottenuta si chiama accompagnante. Nella fig. 89 e 90, le cicloidi rappresentate da linee tratteggiate spesse si accompagnano rispetto alle cicloidi rappresentate da linee continue spesse.

Dalla fig. 89 è chiaro che la linea retta è normale in un punto alla cicloide che la accompagna. Questa retta, infatti, passa per il punto della cicloide e per il punto T di tangenza tra la circonferenza generatrice e la retta direttrice (punto “più basso” della circonferenza generatrice, come dicevamo una volta; ora si è scoperto che era la “più alto” perché il disegno viene ruotato).

Ma questa stessa linea retta, per costruzione, è tangente alla cicloide “principale” AMB. Pertanto la cicloide originaria tocca ogni normale della cicloide accompagnante. È l'inviluppo della normale della cicloide che la accompagna, cioè della sua evoluta. E la cicloide “accompagnatrice” risulta essere semplicemente un evolvente (spiegamento) della cicloide originale!

Riso. 91 Corrispondenza tra i punti della cicloide e quello che l'accompagna.

Impegnandoci in questa costruzione complessa ma essenzialmente semplice, abbiamo dimostrato un notevole teorema scoperto dallo scienziato olandese Huygens. Ecco questo teorema: l'evoluta di una cicloide è esattamente la stessa cicloide, solo spostata.

Avendo costruito un'evoluta non per un arco, ma per l'intera cicloide (cosa che, ovviamente, può essere fatta solo mentalmente), quindi un'evoluta per questa evoluta, ecc., otteniamo la Fig. 91, somigliante a piastrelle.

Prestiamo attenzione al fatto che nel dimostrare il teorema di Huygens non abbiamo utilizzato né stime infinitesimali, né indivisibili, né approssimative. Non abbiamo nemmeno usato la meccanica; a volte abbiamo usato espressioni prese in prestito dalla meccanica. Questa prova è completamente nello spirito del ragionamento utilizzato dagli scienziati del XVII secolo quando volevano convalidare rigorosamente i risultati ottenuti utilizzando varie considerazioni principali.

Dal teorema di Huygens segue immediatamente un importante corollario. Consideriamo il segmento AB in Fig. 89. La lunghezza di questo segmento è ovviamente 4a. Immaginiamo ora che sull'arco della cicloide AMB sia avvolto un filo, fissato nel punto A e dotato di una matita nel punto B. Se “avvolgiamo” il filo, allora la matita si muoverà lungo lo sviluppo della cicloide AMB, cioè , lungo la cicloide BMB.

Riso. 91 Evoluzioni successive della cicloide.

La lunghezza del filo, pari alla lunghezza del semiarco della cicloide, sarà ovviamente pari al segmento AB, cioè, come abbiamo visto, 4a. Di conseguenza, la lunghezza dell'intero arco della cicloide sarà pari a 8a, e la formula può ormai ritenersi sufficientemente rigorosamente provata.

Dalla fig. 89 si vede di più: una formula non solo per la lunghezza dell'intero arco della cicloide, ma anche per la lunghezza di qualunque suo arco. È ovvio infatti che la lunghezza dell'arco MB è pari alla lunghezza del segmento, cioè al doppio del segmento della tangente nel punto corrispondente della cicloide, racchiuso all'interno del cerchio generatore.