Formule di potenza utilizzato nel processo di riduzione e semplificazione di espressioni complesse, nella risoluzione di equazioni e disequazioni.

Numero CÈ N-esima potenza di un numero UN Quando:

Operazioni con i gradi.

1. Moltiplicando i gradi con la stessa base, i loro indicatori si sommano:

Sonoun n = un m + n .

2. Nella divisione dei gradi con la stessa base si sottraggono i loro indicatori:

3. Il grado del prodotto di 2 o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Il grado di una frazione è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo e il divisore:

(a/b) n = a n / b n .

5. Elevando una potenza a potenza, si moltiplicano gli esponenti:

(am) n = a m n .

Ciascuna formula sopra è corretta nelle direzioni da sinistra a destra e viceversa.

Per esempio. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operazioni con le radici.

1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice del rapporto è uguale al rapporto tra il dividendo e il divisore delle radici:

3. Quando si eleva una radice a una potenza, è sufficiente elevare il numero della radice a questa potenza:

4. Se aumentiamo il grado della radice in N una volta e allo stesso tempo rilanciare a N l'esima potenza è un numero radice, quindi il valore della radice non cambierà:

5. Se diminuiamo il grado della radice in N radice allo stesso tempo N grado dal numero radicale, il valore della radice non cambierà:

Grado con esponente negativo. Il grado di un numero con esponente non positivo (intero) è definito come uno diviso per il grado dello stesso numero con esponente uguale al valore assoluto dell'esponente non positivo:

Formula Sono:a n = a m - n può essere utilizzato non solo per M> N, ma anche a M< N.

Per esempio. UN4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Alla formula Sono:a n = a m - nè diventato giusto a m=n, è necessaria la presenza del grado zero.

Grado con esponente zero. La potenza di qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è uguale a uno.

Per esempio. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grado con un esponente frazionario. Per aumentare un numero reale UN in una certa misura m/n, devi estrarre la radice N° grado di M l'esima potenza di questo numero UN.

Quando il numero si moltiplica a me stesso, lavoro chiamato grado.

Quindi 2,2 = 4, quadrato o seconda potenza di 2
2.2.2 = 8, cubo o terza potenza.
2.2.2.2 = 16, quarto grado.

Inoltre, 10,10 = 100, la seconda potenza è 10.
10.10.10 = 1000, terzo grado.
10.10.10.10 = 10000 quarto grado.

E a.a = aa, la seconda potenza di a
a.a.a = aaa, la terza potenza di a
a.a.a.a = aaaa, quarta potenza di a

Viene chiamato il numero originale radice gradi di quel numero, perché quello è il numero da cui sono stati creati i gradi.

Tuttavia non è molto conveniente, soprattutto nel caso delle alte potenze, trascrivere tutti i fattori che compongono le potenze. Pertanto, viene utilizzato un metodo di notazione abbreviato. La radice del grado è scritta una sola volta, e a destra e un po' più in alto accanto ad essa, ma in un carattere leggermente più piccolo è scritto quante volte la radice funge da fattore. Questo numero o lettera viene chiamato esponente O grado numeri. Quindi, a 2 è uguale a a.a o aa, perché la radice di a deve essere moltiplicata per se stessa due volte per ottenere la potenza di aa. Inoltre, a 3 significa aaa, cioè qui a viene ripetuto tre volte come moltiplicatore.

L'esponente della prima potenza è 1, ma solitamente non viene scritto. Quindi, un 1 è scritto come a.

Non dovresti confondere i titoli di studio con coefficienti. Il coefficiente mostra la frequenza con cui viene preso il valore Parte Totale. L'esponente indica la frequenza con cui viene preso il valore fattore nel lavoro.
Quindi, 4a = a + a + a + a. Ma a 4 = a.a.a.a

La notazione esponenziale ha il peculiare vantaggio di permetterci di esprimere sconosciuto grado. A questo scopo, al posto del numero, viene scritto l'esponente lettera. Nel processo di risoluzione del problema, possiamo ottenere il valore che, come sappiamo, è Alcuni grado di un'altra grandezza. Ma finora non sappiamo se si tratta di un quadrato, di un cubo o di un altro grado superiore. Quindi, nell'espressione a x , l'esponente significa che questa espressione ha Alcuni grado, anche se non definito che grado. Quindi b m e d n sono elevati alle potenze di m e n. Una volta trovato l'esponente, numero sostituito con una lettera. Quindi, se m=3, allora b m = b 3 ; ma se m = 5 allora b m =b 5 .

Anche il metodo di scrittura dei valori con esponenti è un grande vantaggio durante l'utilizzo espressioni. Quindi, (a + b + d) 3 è (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), cioè il cubo del trinomio (a + b + d) . Ma se scriviamo questa espressione dopo il cubo, sembrerà
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Se prendiamo una serie di potenze i cui esponenti aumentano o diminuiscono di 1, troviamo che il prodotto aumenta di fattore comune o ridotto di divisore comune, e questo fattore o divisore è il numero originale elevato a potenza.

Quindi, nella serie aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
oppure un 5, un 4, un 3, un 2, un 1;
gli indicatori, se contati da destra a sinistra, sono 1, 2, 3, 4, 5; e la differenza tra i loro valori è 1. Se iniziamo sulla destra moltiplicare su a, otterremo con successo più valori.

Quindi a.a = a 2 , il secondo termine. E a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , il terzo termine. un 4 .a = un 5 .

Se iniziamo Sinistra dividere su un,
otteniamo a 5:a = a 4 e a 3:a = a 2 .
un 4:a = un 3 un 2:a = un 1

Ma questo processo di divisione può essere continuato ulteriormente e otteniamo un nuovo insieme di valori.

Quindi, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

La riga completa sarà: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Oppure un 5 , un 4 , un 3 , un 2 , un, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Ecco i valori sulla destra dall'unità è inversione valori a sinistra di uno. Pertanto, questi gradi possono essere chiamati potenze inverse UN. Si può anche dire che i poteri di sinistra sono l’inverso dei poteri di destra.

Quindi, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. E 1:(1/a 3) = a 3 .

È possibile applicare lo stesso piano di registrazione polinomi. Quindi, per a + b, otteniamo un insieme,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Per comodità viene utilizzata un'altra forma di scrittura delle potenze inverse.

Secondo questa forma, 1/a oppure 1/a 1 = a -1 . E 1/aaa o 1/a 3 = a -3 .
1/aa o 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa oppure 1/a 4 = a -4 .

E per fare in modo che gli esponenti completino la serie con 1 come differenza totale, a/a o 1, si considera come tale che non ha grado e si scrive come 0 .

Quindi, tenendo conto dei poteri diretti e inversi
invece di aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
puoi scrivere un 4 , un 3 , un 2 , un 1 , un 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
Oppure un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.

E una serie di diplomi conseguiti solo separatamente avrà la forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

La radice del grado può essere espressa da più lettere.

Pertanto, aa.aa o (aa) 2 è la seconda potenza di aa.
E aa.aa.aa o (aa) 3 è la terza potenza di aa.

Tutti i gradi del numero 1 sono uguali: 1.1 o 1.1.1. sarà uguale a 1.

L'elevamento a potenza consiste nel trovare il valore di qualsiasi numero moltiplicando quel numero per se stesso. Regola di esponenziazione:

Moltiplica il valore per se stesso tante volte quanto indicato nella potenza del numero.

Questa regola è comune a tutti gli esempi che possono sorgere nel processo di esponenziazione. Ma sarà corretto spiegare come si applica ai casi particolari.

Se un solo termine viene elevato a potenza, allora viene moltiplicato per se stesso tante volte quante indica l'esponente.

La quarta potenza a è 4 o aaaa. (Articolo 195.)
La sesta potenza di y è y 6 o aaaaaa.
L'ennesima potenza di x è x n oppure xxx..... n volte ripetuta.

Se è necessario elevare a potenza l'espressione di più termini, vale il principio che il grado del prodotto di più fattori è uguale al prodotto di questi fattori elevato a una potenza.

Quindi (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Ma ay.ay = aay = aayy = a 2 y 2 .
Quindi, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Pertanto, nel trovare il grado di un prodotto, possiamo o operare sull'intero prodotto in una volta, oppure possiamo operare su ciascun fattore separatamente, e poi moltiplicare i loro valori per i gradi.

Esempio 1. La quarta potenza di dhy è (dhy) 4 , oppure d 4 h 4 y 4 .

Esempio 2. La terza potenza di 4b è (4b) 3 , o 4 3 b 3 , o 64b 3 .

Esempio 3. L'ennesima potenza di 6ad è (6ad) n oppure 6 n a n d n .

Esempio 4. La terza potenza di 3m.2y è (3m.2y) 3 , o 27m 3 .8y 3 .

Il grado di un binomio, formato da termini collegati da + e -, si calcola moltiplicando i suoi termini. SÌ,

(a + b) 1 = a + b, la prima potenza.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , seconda potenza (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, terzo grado.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, quarto grado.

Nel quadrato a - b, c'è a 2 - 2ab + b 2 .

Il quadrato a + b + h è a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Esercizio 1. Trova il cubo a + 2d + 3

Esercizio 2. Trova la quarta potenza b + 2.

Esercizio 3. Trova la quinta potenza di x + 1.

Esercizio 4. Trova il sesto grado 1 - b.

Quadrati di somma importi E differenza i binomi sono così comuni in algebra che è necessario conoscerli molto bene.

Se moltiplichiamo a + h per se stesso o a - h per se stesso,
otteniamo: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 inoltre, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Ciò mostra che in ogni caso il primo e l'ultimo termine sono i quadrati di a e h, e il termine medio è il doppio del prodotto di a e h. Pertanto, il quadrato della somma e della differenza dei binomi può essere trovato utilizzando la seguente regola.

Il quadrato di un binomio, entrambi positivi, è uguale al quadrato del primo termine + due volte il prodotto di entrambi i termini + il quadrato dell'ultimo termine.

Piazza differenza Il binomio è uguale al quadrato del primo termine meno il doppio del prodotto di entrambi i termini più il quadrato del secondo termine.

Esempio 1. Quadrato 2a + b, ci sono 4a 2 + 4ab + b 2 .

Esempio 2. Il quadrato ab + cd è a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Esempio 3. Il quadrato 3d - h è 9d 2 + 6dh + h 2 .

Esempio 4. Il quadrato a - 1 è a 2 - 2a + 1.

Per un metodo per trovare potenze superiori dei binomi, vedere le sezioni seguenti.

In molti casi è efficace scrivere grado nessuna moltiplicazione.

Quindi, il quadrato a + b è (a + b) 2 .
L'ennesima potenza bc + 8 + x è (bc + 8 + x) n

In questi casi, le parentesi coprono Tutto membri in corso di laurea.

Ma se la radice del grado è composta da diversi moltiplicatori, le parentesi possono coprire l'intera espressione, oppure possono essere applicate separatamente ai fattori, a seconda della comodità.

Pertanto, il quadrato (a + b)(c + d) è [(a + b).(c + d)] 2 o (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Per la prima di queste espressioni, il risultato è il quadrato del prodotto di due fattori, mentre per la seconda il prodotto dei loro quadrati. Ma sono uguali tra loro.

Il cubo a.(b + d), è 3 , oppure a 3 .(b + d) 3 .

È necessario tenere conto anche della segnaletica posta davanti ai soci coinvolti. È molto importante ricordare che quando la radice di un potere è positiva, anche tutti i suoi poteri positivi sono positivi. Ma quando la radice è negativa, i valori da strano le potenze sono negative, mentre i valori Anche i gradi sono positivi.

La seconda potenza (- a) è +a 2
Il terzo grado (-a) è -a 3
La quarta potenza (-a) è +a 4
La quinta potenza (-a) è -a 5

Quindi qualsiasi strano l'esponente ha lo stesso segno del numero. Ma Anche il grado è positivo, indipendentemente dal fatto che il numero abbia segno negativo o positivo.
Quindi, +a.+a = +a 2
AND -a.-a = +a 2

Un valore già elevato a potenza viene nuovamente elevato a potenza moltiplicando gli esponenti.

La terza potenza di a 2 è a 2.3 = a 6 .

Per a 2 = aa; il cubo aa è aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; che è la sesta potenza di a, ma la terza potenza di a 2 .

La quarta potenza a 3 b 2 è a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

La terza potenza di 4a 2 x è 64a 6 x 3 .

La quinta potenza di (a + b) 2 è (a + b) 10 .

L'ennesima potenza di a 3 è un 3n

L'ennesima potenza di (x - y) m è (x - y) mn

(a3.b3) 2 = a6.b6

(a3b2h4) 3 = a9b6h12

La regola vale anche per negativo gradi.

Esempio 1. La terza potenza di a -2 è a -3.3 =a -6 .

Per a -2 = 1/aa e la terza potenza di questo
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

La quarta potenza a 2 b -3 è a 8 b -12 oppure a 8 / b 12 .

Il quadrato b 3 x -1 è b 6 x -2 .

L'ennesima potenza ax -m è x -mn o 1/x .

Tuttavia, va ricordato qui che se un segno precedente grado è "-", quindi dovrebbe essere cambiato in "+" ogni volta che il grado è un numero pari.

Esempio 1. Il quadrato -a 3 è +a 6 . Il quadrato di -a 3 è -a 3 .-a 3 , che, secondo le regole dei segni di moltiplicazione, è +a 6 .

2. Ma il cubo -a 3 è -a 9 . Per -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. L'ennesima potenza di -a 3 è a 3n .

Qui il risultato può essere positivo o negativo a seconda che n sia pari o dispari.

Se frazione elevati a una potenza si elevano a potenza il numeratore e il denominatore.

Il quadrato a/b è a 2 /b 2 . Secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

La seconda, la terza e l'ennesima potenza di 1/a sono 1/a 2 , 1/a 3 e 1/a n .

Esempi binomi dove uno dei termini è una frazione.

1. Trova il quadrato x + 1/2 e x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Il quadrato a + 2/3 è a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Quadrato x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Il quadrato x - b/m è x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

In precedenza, questo è stato dimostrato coefficiente frazionario può essere spostato dal numeratore al denominatore o dal denominatore al numeratore. Utilizzando lo schema di scrittura delle potenze inverse, si può vedere questo qualsiasi moltiplicatore può anche essere spostato se si cambia segno del grado.

Quindi, nella frazione ax -2 /y, possiamo spostare x dal numeratore al denominatore.
Quindi ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Nella frazione a/per 3 possiamo spostare y dal denominatore al numeratore.
Allora a/per 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Allo stesso modo possiamo spostare un fattore che ha esponente positivo al numeratore, oppure un fattore con esponente negativo al denominatore.

Quindi, ax 3 / b = a / bx -3 . Per x 3 l'inverso è x -3 , ovvero x 3 = 1/x -3 .

Pertanto, il denominatore di qualsiasi frazione può essere completamente rimosso o il numeratore può essere ridotto a uno senza modificare il significato dell'espressione.

Quindi a/b = 1/ba -1 o ab -1 .

può essere trovato utilizzando la moltiplicazione. Ad esempio: 5+5+5+5+5+5=5x6. Dicono di tale espressione che la somma dei termini uguali è stata piegata in un prodotto. E viceversa, se leggiamo questa uguaglianza da destra a sinistra, otteniamo che abbiamo ampliato la somma dei termini uguali. Allo stesso modo, puoi piegare il prodotto di diversi fattori uguali 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Cioè, invece di moltiplicare sei fattori identici 5x5x5x5x5x5, scrivono 5 6 e dicono "cinque alla sesta potenza".

L'espressione 5 6 è una potenza di un numero, dove:

5 - base di laurea;

6 - esponente.

Si chiamano operazioni con le quali il prodotto di fattori uguali viene ripiegato in una potenza esponenziazione.

In generale, una potenza con base "a" ed esponente "n" si scrive come

Elevare il numero a alla potenza di n significa trovare il prodotto di n fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a

Se la base del grado "a" è 1, il valore del grado per qualsiasi n naturale sarà uguale a 1. Ad esempio, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Se rilanci il numero "a" rilancia fino a primo grado, quindi otteniamo il numero a stesso: un1 = un

Se alzi qualsiasi numero a grado zero, quindi come risultato dei calcoli ne otteniamo uno. uno 0 = 1

La seconda e la terza potenza di un numero sono considerate speciali. Hanno inventato dei nomi per loro: si chiama il secondo grado il quadrato di un numero, terzo - cubo questo numero.

Qualsiasi numero può essere elevato a una potenza: positiva, negativa o zero. Tuttavia, le seguenti regole non vengono utilizzate:

Quando si trova il grado di un numero positivo, si ottiene un numero positivo.

Quando calcoliamo lo zero in natura, otteniamo zero.

x m х n = xm + n

ad esempio: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

A dividere i poteri con la stessa base non cambiamo la base, ma sottraiamo gli esponenti:

x m /xn \u003d x m - n , Dove, m >n

es: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Durante il calcolo esponenziazione Non cambiamo la base, ma moltiplichiamo gli esponenti tra loro.

(alle m )N = y m N

ad esempio: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · sì) n = x n · M ,

ad esempio: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Quando si eseguono calcoli per esponenziazione di una frazione eleviamo il numeratore e il denominatore della frazione alla potenza data

(x/y)n = x n / sì no

ad esempio: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

La sequenza di esecuzione dei calcoli quando si lavora con espressioni contenenti un grado.

Quando si eseguono calcoli di espressioni senza parentesi, ma contenenti potenze, viene eseguita prima l'elevamento a potenza, quindi le operazioni di moltiplicazione e divisione e solo successivamente le operazioni di addizione e sottrazione.

Se è necessario valutare un'espressione contenente parentesi, prima, nell'ordine sopra indicato, eseguiamo i calcoli tra parentesi, quindi le restanti azioni nello stesso ordine da sinistra a destra.

Molto ampiamente nei calcoli pratici, per semplificare i calcoli, vengono utilizzate tabelle di gradi già pronte.

L'esponenziazione è un'operazione strettamente correlata alla moltiplicazione, questa operazione è il risultato della moltiplicazione multipla di un numero per se stesso. Rappresentiamo la formula: a1 * a2 * ... * an = an.

Ad esempio, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

In generale, l'elevamento a potenza viene spesso utilizzato in varie formule in matematica e fisica. Questa funzione ha uno scopo più scientifico rispetto alle quattro fondamentali: Addizione, Sottrazione, Moltiplicazione, Divisione.

Elevare un numero a una potenza

Elevare un numero a potenza non è un'operazione difficile. È legato alla moltiplicazione come il rapporto tra moltiplicazione e addizione. Registra an - una breve registrazione dell'ennesimo numero di numeri "a" moltiplicati tra loro.

Considera l'esponenziazione degli esempi più semplici, passando a quelli complessi.

Ad esempio, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Quattro al quadrato (alla seconda potenza) fa sedici. Se non capisci la moltiplicazione 4 * 4, leggi il nostro articolo sulla moltiplicazione.

Diamo un'occhiata a un altro esempio: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinque al cubo (alla terza potenza) equivalgono a centoventicinque.

Un altro esempio: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nove al cubo equivalgono a settecentoventinove.

Formule di esponenziazione

Per elevare correttamente a una potenza, è necessario ricordare e conoscere le formule seguenti. Non c'è niente di oltre il naturale in questo, l'importante è capirne l'essenza e poi non solo saranno ricordati, ma sembreranno anche facili.

Elevare un monomio a potenza

Cos'è un monomio? Questo è il prodotto di numeri e variabili in qualsiasi quantità. Ad esempio, due è un monomio. E questo articolo riguarda l'elevazione di tali monomi a potenza.

Usando le formule di esponenziazione, non sarà difficile calcolare l'esponenziante di un monomio ad una potenza.

Per esempio, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Se elevi un monomio a potenza, ogni componente del monomio viene elevato a potenza.

Quando si eleva a potenza una variabile che già possiede un grado, i gradi vengono moltiplicati. Ad esempio, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Elevare a una potenza negativa

Un esponente negativo è il reciproco di un numero. Cos'è un reciproco? Per qualsiasi numero X, il reciproco è 1/X. Questo è X-1=1/X. Questa è l'essenza del grado negativo.

Considera l'esempio (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Perché? Poiché il grado ha un segno meno, trasferiamo semplicemente questa espressione al denominatore e quindi la eleviamo alla terza potenza. Giusto?

Elevazione a una potenza frazionaria

Cominciamo con un esempio specifico. 43/2. Cosa significa potenza 3/2? 3 - numeratore, significa elevare un numero (in questo caso 4) a cubo. Il numero 2 è il denominatore, questa è l'estrazione della seconda radice del numero (in questo caso 4).

Quindi otteniamo la radice quadrata di 43 = 2^3 = 8 . Risposta: 8.

Quindi, il denominatore di un grado frazionario può essere 3 o 4, e all'infinito qualsiasi numero, e questo numero determina il grado della radice quadrata estratta da un dato numero. Naturalmente il denominatore non può essere zero.

Elevare una radice a potenza

Se la radice viene elevata ad una potenza pari alla potenza della radice stessa, allora la risposta è l'espressione radicale. Ad esempio, (√x)2 = x. E così in ogni caso di uguaglianza tra il grado della radice e il grado di innalzamento della radice.

Se (√x)^4. Allora (√x)^4=x^2. Per verificare la soluzione, traduciamo l'espressione in un'espressione con grado frazionario. Poiché la radice è quadrata, il denominatore è 2. E se la radice viene elevata alla quarta potenza, il numeratore è 4. Otteniamo 4/2=2. Risposta: x = 2.

In ogni caso, l'opzione migliore è semplicemente convertire l'espressione in un esponente frazionario. Se la frazione non viene ridotta, lo sarà tale risposta, a condizione che la radice del numero indicato non venga assegnata.

Esponenziazione di un numero complesso

Cos'è un numero complesso? Un numero complesso è un'espressione che ha la formula a + b * i; a, b sono numeri reali. i è il numero che, al quadrato, dà il numero -1.

Considera un esempio. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

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Esponenziazione in linea

Con l'aiuto della nostra calcolatrice puoi calcolare l'elevamento a potenza di un numero:

Esponenziazione Grado 7

L'aumento al potere inizia a superare gli scolari solo in seconda media.

L'esponenziazione è un'operazione strettamente correlata alla moltiplicazione, questa operazione è il risultato della moltiplicazione multipla di un numero per se stesso. Rappresentiamo la formula: a1 * a2 * … * an=an .

Per esempio, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Esempi di soluzioni:

Presentazione dell'esponenziazione

Presentazione sull'elevamento a potenza, pensata per gli alunni della seconda media. La presentazione può chiarire alcuni punti incomprensibili, ma probabilmente non ci saranno tali punti grazie al nostro articolo.

Risultato

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Abbiamo scoperto qual è il grado di un numero in generale. Ora dobbiamo capire come calcolarlo correttamente, cioè elevare i numeri a potenze. In questo materiale analizzeremo le regole base per il calcolo del grado nel caso di esponente intero, naturale, frazionario, razionale e irrazionale. Tutte le definizioni saranno illustrate con esempi.

Il concetto di esponenziazione

Cominciamo con la formulazione delle definizioni di base.

Definizione 1

Esponenziazioneè il calcolo del valore della potenza di un certo numero.

Cioè, le parole "calcolo del valore del grado" e "elevamento a potenza" significano la stessa cosa. Quindi, se l'attività è "Elevare il numero 0 , 5 alla quinta potenza", ciò dovrebbe essere inteso come "calcolare il valore della potenza (0 , 5) 5 .

Ora diamo le regole di base che devono essere seguite in tali calcoli.

Ricorda cos'è la potenza di un numero con esponente naturale. Per una potenza con base a ed esponente n, questo sarà il prodotto dell'n-esimo numero di fattori, ciascuno dei quali è uguale ad a. Questo può essere scritto in questo modo:

Per calcolare il valore della laurea è necessario eseguire l'operazione di moltiplicazione, cioè moltiplicare le basi della laurea il numero di volte specificato. Il concetto stesso di laurea con indicatore naturale si basa sulla capacità di moltiplicarsi rapidamente. Facciamo degli esempi.

Esempio 1

Condizione: rilanciare - 2 alla potenza di 4 .

Soluzione

Usando la definizione sopra, scriviamo: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Successivamente, dobbiamo solo seguire questi passaggi e ottenere 16 .

Facciamo un esempio più complicato.

Esempio 2

Calcola il valore 3 2 7 2

Soluzione

Questa voce può essere riscritta come 3 2 7 · 3 2 7 . In precedenza abbiamo visto come moltiplicare correttamente i numeri misti menzionati nella condizione.

Esegui questi passaggi e ottieni la risposta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Se il compito indica la necessità di elevare i numeri irrazionali a una potenza naturale, dovremo prima arrotondare le loro basi a una cifra che ci permetterà di ottenere una risposta con l'accuratezza desiderata. Facciamo un esempio.

Esempio 3

Esegui la quadratura del numero π .

Soluzione

Arrotondiamo prima i centesimi. Allora π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Se π ≈ 3 . 14159, otterremo un risultato più accurato: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Si noti che la necessità di calcolare le potenze dei numeri irrazionali nella pratica si presenta relativamente raramente. Possiamo quindi scrivere la risposta come la potenza stessa (ln 6) 3 o convertirla se possibile: 5 7 = 125 5 .

Separatamente va indicato qual è la prima potenza di un numero. Qui puoi semplicemente ricordare che qualsiasi numero elevato alla prima potenza rimarrà se stesso:

Questo risulta chiaramente dagli atti. .

Non dipende dalla base del titolo di studio.

Esempio 4

Quindi, (− 9) 1 = − 9 , e 7 3 elevato alla prima potenza rimane uguale a 7 3 .

Per comodità analizzeremo tre casi separatamente: se l'esponente è un intero positivo, se è zero e se è un intero negativo.

Nel primo caso equivale a elevare a potenza naturale: dopo tutto, gli interi positivi appartengono all'insieme dei numeri naturali. Abbiamo già descritto come lavorare con tali gradi sopra.

Ora vediamo come elevare correttamente alla potenza zero. Con una base diversa da zero, questo calcolo produce sempre un output pari a 1 . Abbiamo spiegato in precedenza che la potenza 0 di a può essere definita per qualsiasi numero reale diverso da 0 e a 0 = 1 .

Esempio 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - non definito.

Ci resta solo il caso di un grado con esponente intero negativo. Abbiamo già discusso che tali gradi possono essere scritti come una frazione 1 a z, dove a è un numero qualsiasi e z è un numero intero negativo. Vediamo che il denominatore di questa frazione non è altro che un grado ordinario con un numero intero positivo e abbiamo già imparato a calcolarlo. Diamo esempi di compiti.

Esempio 6

Aumenta 2 alla potenza di -3.

Soluzione

Usando la definizione sopra, scriviamo: 2 - 3 = 1 2 3

Calcoliamo il denominatore di questa frazione e otteniamo 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Allora la risposta è: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Esempio 7

Aumenta 1,43 alla potenza di -2.

Soluzione

Riformulare: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calcoliamo il quadrato al denominatore: 1,43 1,43. I decimali possono essere moltiplicati in questo modo:

Di conseguenza, abbiamo (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Resta da scrivere questo risultato sotto forma di frazione ordinaria, per la quale è necessario moltiplicarlo per 10mila (vedi materiale sulla conversione delle frazioni).

Risposta: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caso separato è l'elevazione di un numero alla prima potenza meno. Il valore di tale grado è uguale al numero opposto al valore originale della base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Esempio 8

Esempio: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Come elevare un numero a potenza frazionaria

Per eseguire tale operazione, dobbiamo ricordare la definizione di base di un grado con esponente frazionario: a m n \u003d a m n per qualsiasi a positivo, intero m e n naturale.

Definizione 2

Pertanto, il calcolo di un grado frazionario deve essere eseguito in due passaggi: elevazione a potenza intera e ricerca della radice dell'ennesimo grado.

Abbiamo l'uguaglianza a m n = a m n , che, date le proprietà delle radici, viene solitamente utilizzata per risolvere problemi nella forma a m n = a n m . Ciò significa che se eleviamo un numero a a una potenza frazionaria m / n, allora prima estraiamo la radice dell'ennesimo grado da a, quindi eleviamo il risultato a una potenza con esponente intero m.

Illustriamo con un esempio.

Esempio 9

Calcola 8 - 2 3 .

Soluzione

Metodo 1. Secondo la definizione di base, possiamo rappresentarlo come: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ora calcoliamo il grado sotto la radice ed estraiamo la terza radice dal risultato: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metodo 2. Trasformiamo l'uguaglianza di base: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Successivamente estraiamo la radice 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 e eleviamo al quadrato il risultato: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vediamo che le soluzioni sono identiche. Puoi usarlo come preferisci.

Ci sono casi in cui la laurea ha un indicatore espresso come numero misto o frazione decimale. Per comodità di calcolo è meglio sostituirla con una frazione ordinaria e contare come sopra indicato.

Esempio 10

Eleva 44,89 alla potenza di 2,5.

Soluzione

Convertiamo il valore dell'indicatore in una frazione ordinaria: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

E ora eseguiamo tutte le azioni sopra indicate in ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Risposta: 13501, 25107.

Se ci sono grandi numeri nel numeratore e nel denominatore di un esponente frazionario, calcolare tali esponenti con esponenti razionali è un lavoro piuttosto difficile. Di solito richiede la tecnologia informatica.

Separatamente, ci soffermeremo sul grado con base zero e esponente frazionario. Ad un'espressione della forma 0 m n si può dare il seguente significato: se m n > 0, allora 0 m n = 0 m n = 0 ; se m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Come elevare un numero a potenza irrazionale

La necessità di calcolare il valore della laurea, nel cui indicatore è presente un numero irrazionale, non si presenta così spesso. In pratica, il compito si limita solitamente al calcolo di un valore approssimativo (fino a un certo numero di cifre decimali). Questo di solito viene calcolato su un computer a causa della complessità di tali calcoli, quindi non ci soffermeremo su questo in dettaglio, indicheremo solo le disposizioni principali.

Se dobbiamo calcolare il valore del grado a con esponente irrazionale a , allora prendiamo l'approssimazione decimale dell'esponente e contiamo da essa. Il risultato sarà una risposta approssimativa. Quanto più accurata è l'approssimazione decimale, tanto più precisa sarà la risposta. Mostriamolo con un esempio:

Esempio 11

Calcolare il valore approssimativo di 2 alla potenza di 1.174367....

Soluzione

Ci limitiamo all'approssimazione decimale a n = 1 , 17 . Facciamo i calcoli utilizzando questo numero: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Se prendiamo, ad esempio, l'approssimazione a n = 1 , 1743 , la risposta sarà un po' più precisa: 2 1 , 174367 . . . ≈ 21.1743 ≈ 2.256833 .

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