Englantilainen arkkitehti ja matemaatikko Wren laski ensimmäisen kerran sykloidin kaaren pituuden vuonna 1658. Wren lähti mekaanisista näkökohdista, jotka muistuttivat Torricellin ja Robervalin varhaisia ​​töitä. Hän harkitsi vierivän ympyrän pyörimistä hyvin pienen kulman läpi lähellä generoivan ympyrän "alapistettä". Jotta Wrenin vihjaileville näkemyksille olisi todistusvoimaa, olisi otettava huomioon useita apulauseita, ja vastaavasti joutuisi käyttämään liikaa työtä.

On paljon kätevämpää käyttää pidempää, mutta lempeämpää polkua. Tätä varten sinun on otettava huomioon erityinen käyrä, joka on jokaisessa tasaisessa käyrässä - sen pyyhkäisy.

Tarkastellaan kaarevan viivan kuperaa kaaria AB (kuva 4.1). Kuvitellaan, että kaaren AB kanssa samanpituinen joustava venymätön lanka on kiinnitetty kaariin AB pisteessä A ja tämä lanka "kierretään" käyrälle ja liittyy siihen tiukasti niin, että sen pää osuu yhteen pisteen B kanssa. "Avaa rullaa" - suorista lankaa pitäen sen kireänä, jotta CM-langan vapaa osa suuntautuu aina tangentiaalisesti kaarelle AB. Näissä olosuhteissa langan loppu kuvaa jonkin verran käyrää. Tätä käyrää kutsutaan pyyhkäisyksi tai latinaksi involuuttinen alkuperäinen käyrä.

Jos käyrän kaari ei ole kaikkialla kupera yhteen suuntaan, jos se, kuten kuvan 1 käyrä AB. 4.2:lla on piste C, jossa käyrän tangentti siirtyy puolelta toiselle (tällaista pistettä kutsutaan käännepisteeksi), niin tässä tapauksessa voidaan puhua myös käyrän kehityksestä, mutta päättely on olla hieman monimutkaisempi.

Kuvittele, että lanka on kiinnitetty juuri käännekohtaan C (kuva 4.2). Kaaresta BC kiertyvä lanka kuvaa BMP-käyrää - pyyhkäisyä.

Kuvittele nyt lanka, joka on kierretty alkuperäisen käyrän kaaren AC ympärille, mutta tämä lanka on jo pitkänomainen: pisteeseen C on kiinnitetty lanka CP. Käärimällä pitkänomainen ACP-lanka SA-käyrällä, saadaan RNA-kaaren, joka yhdessä BMP-kaaren kanssa muodostaa yhden jatkuvan käyrän - jatkuvan, mutta ei kaikkialla tasaisen: alkuperäisen käyrän taipumapiste C vastaa kärkeä (paluupiste) VMRNA-käyrästä: VMRNA-käyrä on ICA-käyrän evoluutio (pyyhkäisy).

Nämä esimerkit auttoivat meitä tottumaan uusiin evoluution ja evolution käsitteisiin. Nyt tutkitaan sykloidisten käyrien avautumista.

Tutkiessamme tätä tai tuota käyrää rakensimme usein apukäyrän - tämän käyrän "kumppanin". Joten maksamme sinusoidin - sykloidin kumppanin. Nyt annetusta sykloidista lähtien rakennamme siihen erottamattomasti liittyvän apusykloidin. Osoittautuu, että tällaisen sykloidiparin yhteinen tutkimus on jossain suhteessa helpompaa kuin yhden sykloidin tutkiminen. Tällaista apusykloidia kutsumme mukana olevaksi sykloidiksi.

Tarkastellaan puolta sykloidin AMB kaaresta (kuva 4.3). Meidän ei pitäisi olla hämmentynyt siitä, että tämä sykloidi sijaitsee epätavallisella tavalla ("ylösalaisin"). Piirretään etäisyyksille 4 suuntaviivan AK suuntaista suoraa a, 2a, 3a ja 4 a. Rakennetaan generoiva ympyrä pistettä M vastaavaan asentoon (kuvassa 4.3 tämän ympyrän keskipiste on merkitty kirjaimella O). MON:n kiertokulma merkitään c:llä. Silloin jana AN on yhtä suuri kuin bc (kulma u ilmaistaan ​​radiaaneina).

Jatkamme generoivan ympyrän halkaisijaa HT pisteen T yli, kunnes se leikkaa (pisteessä E) suoran PP kanssa. TE:llä halkaisijana rakennamme ympyrän (keskipisteellä O 1). Muodostetaan sykloidin AMB tangentti pisteeseen M. Tätä varten pisteen M on, kuten tiedämme, yhdistettävä pisteeseen T. Jatkamme tangenttia MT pisteen T yli apuympyrän leikkauspisteeseen ja kutsumme leikkauspistettä M 1:ksi. Juuri tätä kohtaa M 1 haluamme nyt käsitellä.

Merkitsimme kulman MON c:llä. Siksi kulma MTH on yhtä suuri kuin (kirjoitettu kulma, joka perustuu samaan kaareen). Kolmio TO 1 M 1, ilmeisesti tasakylkinen. Siksi ei vain kulma O 1 TM 1, vaan myös kulma TM 1 O 1 on kumpikin yhtä suuri. Näin ollen kulman TO 1 M 1 osuus kolmiossa TO 1 M 1 pysyy täsmälleen p - q radiaania (muista, että kulma 180? on yhtä suuri kuin p radiaania). Huomaa myös, että segmentti NK on ilmeisesti yhtä suuri kuin b (p - c).

Tarkastellaan nyt ympyrää, jonka keskipiste on O 2 ja joka on esitetty kuvassa 4.3 katkoviivalla. Piirustuksesta käy selvästi ilmi, millainen ympyrä se on. Jos rullaat sitä liukumatta pitkin suoraa viivaa CB, sen piste B kuvaa sykloidia BB. Kun katkoviiva ympyrä pyörii kulman p - c läpi, keskipiste O 2 tulee pisteeseen O 1 ja säde O 2 B ottaa paikan O 1 M 1. Siten rakentamamme piste M 1 osoittautuu sykloidin BB pisteeksi.

Kuvattu rakenne osoittaa jokaiselle sykloidin AMB pisteelle M sykloidin VM 1 B pisteen M1. 4.4 tämä vastaavuus näkyy selkeämmin. Tällä tavalla saatua sykloidia kutsutaan mukana tulevaksi sykloidiksi. Kuvassa Kuvissa 4.3 ja 4.4 lihavoiduilla katkoviivoilla kuvatut sykloidit ovat mukana suhteessa lihavoin yhtenäisin viivoin kuvattuihin sykloideihin.

Kuvasta 4.3 voidaan nähdä, että suora MM 1 on normaali pisteessä M 1 mukana tulevalle sykloidille. Todellakin, tämä viiva kulkee sykloidin pisteen M 1 ja generoivan ympyrän ja suuntaviivan välisen tangenttipisteen T kautta (generoivan ympyrän "matalin" piste, kuten meillä oli tapana sanoa; nyt kävi ilmi, että olla "korkein", koska piirrosta kierretään). Mutta tämä sama viiva on rakenteeltaan tangentti sykloidin AMB "kantalle". Siten alkuperäinen sykloidi koskettaa jokaista mukana olevan sykloidin normaalia. Se on verhokäyrä mukana tulevan sykloidin normaaleille, ts. hänen evoluutioonsa. Ja "mukana oleva" sykloidi osoittautuu yksinkertaisesti alkuperäisen sykloidin involuutioksi!

Työskennellessämme tämän hankalan, mutta pohjimmiltaan yksinkertaisen rakenteen parissa, todistimme hollantilaisen tiedemiehen Huygensin löytämän huomattavan lauseen. Tässä on lause: sykloidin kehitys on täsmälleen sama sykloidi, vain siirtynyt.

Kun olemme rakentaneet evoluutin yhdelle kaarelle, vaan koko sykloidille (joka tietysti voidaan tehdä vain henkisesti), niin evoluutio tähän evoluutioon jne., saamme kuvan. 4.5, laattoja muistuttava.

Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että Huygensin lausetta todistaessamme emme käyttäneet infinitesimaalisia, jakamattomia tai likimääräisiä arvioita. Emme edes käyttäneet mekaniikkaa, vaikka käytimme joskus mekaniikasta lainattuja ilmaisuja. Tämä todiste on täysin sen päättelyn hengessä, jota 1600-luvun tiedemiehet käyttivät, kun he halusivat tiukasti perustella saatuja tuloksia erilaisten vihjailevien näkökohtien avulla.

Huygensin lauseesta seuraa välittömästi tärkeä seuraus. Harkitse segmenttiä AB kuvassa. 4.4 Tämän segmentin pituus on selvästi yhtä suuri kuin 4 a. Kuvittele nyt, että AMB-sykloidin kaarelle on kierretty lanka, joka on kiinnitetty pisteeseen A ja varustettu lyijykynällä pisteessä B. Jos "kääritään" lanka, niin kynä liikkuu AMB-sykloidin kehitystä pitkin, ts. sykloidia BM 1 B pitkin. Kierteen pituus, joka on yhtä suuri kuin sykloidin puolikaaren pituus, on ilmeisesti yhtä suuri kuin segmentti AB, eli kuten olemme nähneet, 4 a. Siksi sykloidin koko kaaren pituus L on yhtä suuri kuin 8 a ja kaava L = 8 a voidaan nyt katsoa riittävän tiukasti todistetuksi.

Laskemme kaaren pituuden differentiaaligeometrian avulla. Tällä tavalla saatu ratkaisu on paljon lyhyempi ja helpompi:

Missä t?

| r(t)|===2sin

5. Sykloidin parametrinen yhtälö ja yhtälö suorakulmaisina koordinaatteina

Oletetaan, että meillä on sykloidi, jonka muodostaa ympyrä, jonka säde on a ja jonka keskipiste on pisteessä A.

Jos valitaan pisteen paikan määrääväksi parametriksi kulma t=∟NDM, jolla säde, jolla oli rullan alussa pystyasento AO, on onnistunut kääntymään, niin x- ja y-koordinaatit. kohdan M ilmaistaan ​​seuraavasti:

x \u003d OF \u003d ON - NF \u003d NM - MG \u003d at-a sin t,

y= FM = NG = ND - GD = a - a cos t

Joten sykloidin parametriyhtälöillä on muoto:

Kun t muutetaan arvosta -∞ arvoon +∞, saadaan käyrä, joka koostuu lukemattomasta joukosta tällaisia ​​haaroja, joka on esitetty tässä kuvassa.

Sykloidin parametrisen yhtälön lisäksi on myös sen yhtälö suorakulmaisina koordinaatteina:

Missä r on sykloidin muodostavan ympyrän säde.

6. Tehtäviä sykloidin osien ja sykloidin muodostamien kuvioiden löytämiseksi

Tehtävä numero 1. Etsi pinta-ala kuviosta, jota rajoittaa yksi sykloidin kaari, jonka yhtälö on parametrisesti annettu

ja akseli Oh.

Ratkaisu. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme meille integraaliteoriasta tuntemia tosiseikkoja, nimittäin:

Kaareva sektorin alue.

Tarkastellaan jotakin [α, β]:lle määritettyä funktiota r = r(ϕ).

ϕ 0 ∈ [α, β] vastaa r 0 = r(ϕ 0) ja siten pistettä M 0 (ϕ 0, r 0), jossa ϕ 0,

r 0 - pisteen napakoordinaatit. Jos ϕ muuttuu, "kulkee läpi" koko [α, β], niin muuttujapiste M kuvaa jotakin käyrää AB, jonka antaa

yhtälö r = r(ϕ).

Määritelmä 7.4. Kaareva sektori on kuvio, jota rajoittavat kaksi sädettä ϕ = α, ϕ = β ja käyrä AB, joka on annettu polaarissa

koordinaatit yhtälöllä r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Seuraavat

Lause. Jos funktio r(ϕ) > 0 ja on jatkuva [α, β], niin pinta-ala

kaareva sektori lasketaan kaavalla:

Tämä lause on todistettu aiemmin aiheessa määrätty integraali.

Yllä olevan lauseen perusteella ongelmamme löytää pinta-ala kuviolle, jota rajoittaa sykloidin yksi kaari, jonka yhtälön antaa parametrinen x= a (t - sin t) , y= a ( 1 - cos t) ja Ox-akseli pelkistetään seuraavaan ratkaisuun .

Ratkaisu. Käyräyhtälöstä dx = a(1−cos t) dt. Sykloidin ensimmäinen kaari vastaa parametrin t muutosta 0:sta 2π:ään. Siten,

Tehtävä numero 2. Laske sykloidin yhden kaaren pituus

Integraalilaskennassa tutkittiin myös seuraavaa lausetta ja sen seurausta.

Lause. Jos käyrä AB on annettu yhtälöllä y = f(x), missä f(x) ja f ’ (x) ovat jatkuvia päällä , niin AB on tasoitettava ja

Seuraus. Olkoon AB parametrisesti annettu

L AB = (1)

Olkoon funktiot x(t), y(t) jatkuvasti differentioituvia [α, β]:lla. Sitten

kaava (1) voidaan kirjoittaa muodossa

Tehdään muuttujien muutos tässä integraalissa x = x(t), niin y'(x)= ;

dx= x'(t)dt ja näin:

Palataan nyt ongelmamme ratkaisemiseen.

Ratkaisu. Meillä on ja siksi

Tehtävä numero 3. On tarpeen löytää pinta-ala S, joka muodostuu sykloidin yhden kaaren pyörimisestä

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - hinta), 0≤ t ≤ 2π)

Integraalilaskennassa on seuraava kaava kierroskappaleen pinta-alan löytämiseksi janalle parametrisesti annetun käyrän x-akselin ympärillä: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Soveltamalla tätä kaavaa sykloidiyhtälöihimme, saamme:

Tehtävä numero 4. Etsi sykloidin kaaria kiertämällä saadun kappaleen tilavuus

Ox-akselia pitkin.

Integraalilaskennassa tilavuuksia tutkittaessa on seuraava huomautus:

Jos kaarevaa puolisuunnikasta rajoittava käyrä on annettu parametrisillä yhtälöillä ja näiden yhtälöiden funktiot täyttävät lauseen ehdot muuttujan muuttumisesta tietyssä integraalissa, niin puolisuunnikkaan kiertokappaleen tilavuus Ox-akselin ympäri lasketaan kaavalla

Etsitään tämän kaavan avulla tarvitsemamme tilavuus.

Ongelma ratkaistu.

Johtopäätös

Joten tämän työn aikana sykloidin pääominaisuudet selvitettiin. He myös oppivat rakentamaan sykloidia, selvittivät sykloidin geometrisen merkityksen. Kuten kävi ilmi, sykloidilla on valtava käytännön sovellus paitsi matematiikassa, myös teknologisissa laskelmissa, fysiikassa. Mutta sykloidilla on muitakin etuja. 1600-luvun tiedemiehet käyttivät sitä kehittäessään menetelmiä kaarevien viivojen tutkimiseksi, jotka lopulta johtivat differentiaali- ja integraalilaskennan keksimiseen. Se oli myös yksi "kosketuskivistä", jolla Newton, Leibniz ja heidän ensimmäiset tutkijansa testasivat uusien tehokkaiden matemaattisten menetelmien voimaa. Lopuksi brachistochrone-ongelma johti variaatiolaskelman keksimiseen, joka on niin välttämätön nykypäivän fyysikoille. Siten sykloidi liittyi erottamattomasti yhteen matematiikan historian mielenkiintoisimmista ajanjaksoista.

Kirjallisuus

1. Berman G.N. Cycloid. - M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone tai toinen sykloidin salaisuus // Kvant. - 1975. - Nro 5

3. Verov S.G. Sykloidin salaisuudet// Kvant. - 1975. - Nro 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Määrätyn integraalin sovellukset. Ohjeet ja yksilötehtävät Fysiikan tiedekunnan 1. vuoden opiskelijoille. - Rostov n / a: UPL RGU, 1994.

5. Gindikin S.G. Sykloidin tähtiaika // Kvant. - 1985. - Nro 6.

6. Fikhtengolts G.M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. T.1. - M., 1969

Tällaista riviä kutsutaan "kirjekuoreksi". Jokainen kaareva viiva on tangenttien verhokäyrä.

Aine ja liike sekä niiden muodostama menetelmä mahdollistavat jokaisen toteuttaa potentiaalinsa totuuden tuntemisessa. Menetelmän kehittäminen dialektis-materialistisen ajattelun muodon kehittämiseksi ja vastaavan kognition menetelmän hallitsemiseksi on toinen askel kohti kehitysongelman ratkaisemista ja ihmisen mahdollisuuksien toteuttamista. Fragmentti XX Mahdollisuudet...

Tilanne voi sairastua neurasthenia - neuroosi, jonka kliinisen kuvan perusta on asteninen tila. Sekä neurasthenian että neurasteenisen psykopatian dekompensaation tapauksessa henkisen (psykologisen) suojan olemus ilmenee siirtymisessä vaikeuksista ärtyneeseen heikkouteen, johon liittyy vegetatiivisia toimintahäiriöitä: joko henkilö alitajuisesti "taistelee takaisin" enemmän hyökkäystä vastaan. ...

Erilaiset toiminnot; koululaisten avaruudellisen mielikuvituksen ja tilaesitysten, figuratiivisen, tilallisen, loogisen, abstraktin ajattelun kehittäminen; geometrisen ja graafisen tiedon soveltamistaitojen ja erilaisten sovellettavien ongelmien ratkaisemisen taitojen muodostuminen; tutustuminen projektitoiminnan sisältöön ja vaiheiden järjestykseen teknisen ja ...

Arcs. Spiraalit ovat myös suljettujen käyrien evoluutioita, kuten ympyrän involuutteja. Joidenkin spiraalien nimet saadaan niiden napayhtälöiden samankaltaisuudesta karteesisten koordinaattien käyrien yhtälöiden kanssa, esimerkiksi: parabolinen spiraali (a - r)2 = bj, hyperbolinen spiraali: r = a/j. · Sauva: r2 = a/j · si-ci-spiraali, jonka parametriset yhtälöt näyttävät tältä: , on vakio b 2 .

Käyrä kuten alla olevissa kuvissa, kun vastaavasti b a.

Jos b = a, käyrä on lemniskaatti

Pascalin etana
Napayhtälö: r = b + acosθ

Olkoon OQ suora, joka yhdistää keskipisteen O mihin tahansa pisteeseen Q halkaisijaltaan a olevalla ympyrällä, joka kulkee O:n kautta. Tällöin käyrä on kaikkien pisteiden P fokus, jolloin PQ = b.

Alla olevissa kuvissa näkyvä käyrä, kun b > a tai b

DIOKLEIN CISSOID
Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametriset yhtälöt:

Se on pisteen P kuvaama käyrä siten, että etäisyys OP = etäisyys RS. Käytetään tehtävässä tuplauskuutio, eli etsitään kuution sivu, jonka tilavuus on kaksi kertaa tietyn kuution tilavuus

ARKIMEDESKIERRE
Napayhtälö: r = aθ

Analysoidut esimerkit auttoivat meitä tottumaan uusiin evoluution ja evolution käsitteisiin. Nyt olemme riittävän valmiita tutkimaan sykloidisten käyrien avautumista.

Tutkiessamme tätä tai tuota käyrää rakensimme usein apukäyrän - tämän käyrän "kumppanin".

Riisi. 89. Cycloid ja hänen kumppaninsa.

Joten rakensimme suoran ja ympyrän konkoidit, ympyrän kehitystä, siniaaltoa - sykloidin kumppania. Nyt tästä sykloidista lähtien rakennamme apusykloidin, joka liittyy siihen erottamattomasti. Osoittautuu, että tällaisen sykloidiparin yhteinen tutkimus on jossain suhteessa helpompaa kuin yhden sykloidin tutkiminen. Tällaista apusykloidia kutsumme mukana olevaksi sykloidiksi.

Tarkastellaan puolta AMB-sykloidin kaaresta (kuva 89). Meidän ei pitäisi olla hämmentynyt siitä, että tämä sykloidi sijaitsee epätavallisella tavalla ("ylösalaisin").

Piirretään 4 suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​apuviivan AK kanssa etäisyyksille a, 2a, 3a ja 4a. Muodostetaan generoiva ympyrä pistettä M vastaavaan paikkaan (kuvassa 89 tämän ympyrän keskipiste on merkitty kirjaimella O). Merkitään MOH:n kiertokulmaa . Silloin jana AN on yhtä suuri (kulma ilmaistaan ​​radiaaneina).

Jatkamme generoivan ympyrän halkaisijaa HT pisteen T yli, kunnes se leikkaa (pisteessä E) suoran PP kanssa. Rakennetaan ympyrä TE:lle halkaisijaksi (keskipisteellä ). Muodostetaan sykloidin AMB tangentti pisteeseen M. Tätä varten pisteen M täytyy, kuten tiedämme, olla yhdistetty pisteeseen T (s. 23). Jatkamme tangenttia MT pisteen T yli apuympyrän leikkauspisteeseen ja kutsumme leikkauspistettä . Tämä on se asia, jota haluamme nyt käsitellä.

Merkitsimme kulman MON:lla. Siksi kulma MTH on yhtä suuri kuin (kirjoitettu kulma, joka perustuu samaan kaareen). Kolmio on selvästi tasakylkinen. Siksi kulman lisäksi myös kulma on kumpikin yhtä suuri, joten kolmion kulman murto-osalle jää täsmälleen radiaaneja (muista, että kulma 180° on yhtä suuri kuin radiaanit). Huomaa myös, että segmentti NK on ilmeisesti yhtä suuri kuin a ().

Tarkastellaan nyt ympyrää, jonka keskusta on , joka näkyy kuvassa. 89 katkoviiva. Piirustuksesta käy selvästi ilmi, millainen ympyrä se on. Jos rullaat sitä liukumatta pitkin suoraa viivaa CB, sen piste B kuvaa sykloidia BB.

Kuvattu rakenne osoittaa jokaiselle sykloidin AMB pisteelle M sykloidin pisteen. 90 tämä kirjeenvaihto näkyy selkeämmin. Näin saatua sykloidia kutsutaan mukana tulevaksi sykloidiksi. Kuvassa Kuvissa 89 ja 90 lihavoiduilla katkoviivoilla kuvatut sykloidit ovat mukana suhteessa lihavoituilla yhtenäisillä viivoilla kuvattuihin sykloideihin.

Kuvasta 89 voidaan nähdä, että viiva on normaali pisteessä mukana olevaan sykloidiin. Todellakin, tämä viiva kulkee sykloidin pisteen ja generoivan ympyrän ja suuntaviivan välisen tangenttipisteen T kautta (generoivan ympyrän "matalin" piste, kuten meillä oli tapana sanoa; nyt se osoittautui " korkein", koska piirrosta kierretään).

Mutta tämä sama viiva on rakenteeltaan tangentti "pääsykloidille" AMB. Siten alkuperäinen sykloidi koskettaa jokaista mukana olevan sykloidin normaalia. Se on mukana tulevan sykloidin normaalien verhokäyrä, eli sen evoluutio. Ja "mukana oleva" sykloidi osoittautuu yksinkertaisesti alkuperäisen sykloidin involuuti (pyyhkäisy)!

Riisi. 91 Sykloidin pisteiden vastaavuus sen mukana.

Työskennellessämme tämän hankalan, mutta pohjimmiltaan yksinkertaisen rakenteen parissa, todistimme hollantilaisen tiedemiehen Huygensin löytämän huomattavan lauseen. Tässä on lause: sykloidin kehitys on täsmälleen sama sykloidi, vain siirtynyt.

Kun evoluutio on rakennettu ei yhdelle kaarelle, vaan koko sykloidille (joka tietysti voidaan tehdä vain henkisesti), ottamalla evoluutin tähän evoluutioon jne., saamme kuvan 1. 91, muistuttavat laattoja.

Kiinnittäkäämme huomiota siihen, että Huygensin lausetta todistaessamme emme käyttäneet infinitesimaalisia, jakamattomia tai likimääräisiä arvioita. Emme edes käyttäneet mekaniikkaa, vaikka käytimme joskus mekaniikasta lainattuja ilmaisuja. Tämä todiste on täysin sen päättelyn hengessä, jota 1600-luvun tiedemiehet käyttivät, kun he halusivat tiukasti perustella saatuja tuloksia erilaisten vihjailevien näkökohtien avulla.

Huygensin lauseesta seuraa välittömästi tärkeä seuraus. Harkitse segmenttiä AB kuvassa. 89. Tämän janan pituus on ilmeisesti 4a. Kuvittele nyt, että AMB-sykloidin kaarelle on kierretty lanka, joka on kiinnitetty pisteeseen A ja varustettu lyijykynällä pisteessä B. Jos "kääritään" lanka, niin kynä liikkuu AMB-sykloidin kehitystä pitkin, ts. , pitkin BMB-sykloidia.

Riisi. 91 Sykloidin peräkkäiset evoluutiot.

Kierteen pituus, joka on yhtä suuri kuin sykloidin puolikaaren pituus, on ilmeisesti yhtä suuri kuin segmentti AB, eli kuten olemme nähneet, 4a. Näin ollen sykloidin koko kaaren pituus on yhtä suuri kuin 8a, ja kaavaa voidaan nyt pitää riittävän tarkasti todistettuna.

Kuvasta 89 näet lisää: kaava ei vain sykloidin koko kaaren pituudelle, vaan myös minkä tahansa sen kaaren pituudelle. On todellakin selvää, että kaaren MB pituus on yhtä suuri kuin segmentin pituus, ts. kaksi kertaa tangentin segmentti vastaavassa sykloidin pisteessä, joka on suljettu muodostavan ympyrän sisällä.