rozdílové schéma

rozdílové schéma je konečný systém algebraických rovnic spojených s nějakým diferenciálním problémem obsahujícím diferenciální rovnici a další podmínky (například okrajové podmínky a/nebo počáteční rozdělení). Diferenční schémata se tedy používají k redukci diferenciálního problému, který má kontinuitní charakter, na konečný systém rovnic, jehož numerické řešení je zásadně možné na počítačích. Algebraické rovnice spojené s diferenciální rovnicí se získávají pomocí diferenční metody, která odlišuje teorii diferenčních schémat od jiných numerických metod řešení diferenciálních úloh (například projekční metody, jako je Galerkinova metoda).

Řešení diferenčního schématu se nazývá přibližné řešení diferenciální úlohy.

Formální definice sice neklade výrazná omezení na formu algebraických rovnic, ale v praxi má smysl uvažovat pouze ta schémata, která nějak odpovídají diferenciálnímu problému. Důležitými koncepty teorie diferenčních schémat jsou koncepty konvergence, aproximace, stability a konzervatismu.

Přiblížení

Říká se, že diferenciální operátor definovaný na funkcích definovaných v doméně je aproximován na určité třídě funkcí operátorem konečných rozdílů definovaným na funkcích definovaných na mřížce v závislosti na kroku, pokud

Říká se, že aproximace má řád, jestliže

kde je konstanta , která závisí na konkrétní funkci , ale nezávisí na kroku . Výše použitá norma se může lišit a koncept aproximace závisí na jejím výběru. Často se používá diskrétní analogie normy jednotné kontinuity:

někdy se používají diskrétní analogy integrálních norem.

Příklad. Aproximace operátoru operátorem konečné diference

na omezeném intervalu je druhý řád na třídě hladkých funkcí.

Problém konečných rozdílů aproximuje diferenciální problém a aproximace je řádu , jestliže jak diferenciální rovnice samotná, tak i okrajové (a počáteční) podmínky jsou aproximovány odpovídajícími operátory konečných rozdílů a aproximace jsou řádu .

Courantní stav

Podmínka Courant (v anglicky psané literatuře Eng. Podmínka Courant-Friedrichs-Levy , CFL) - rychlost šíření poruch v diferenčním problému by neměla být menší než v diferenciálním. Pokud tato podmínka není splněna, pak výsledek diferenčního schématu nemusí mít tendenci řešit diferenciální rovnici. Jinými slovy, v jednom časovém kroku by částice neměla „proběhnout“ více než jednou buňkou.

V případě obvodů, jejichž koeficienty nezávisí na řešení diferenciální rovnice, vyplývá Courantova podmínka ze stability.

Schémata na vychýlených sítích

V těchto schématech mřížky, kde je nastaven výsledek a data jsou vzájemně posunuta. Například výsledné body jsou uprostřed mezi datovými body. V některých případech to umožňuje použití jednodušších okrajových podmínek.

viz také

Odkazy

• "Differenční schémata" - kapitola Wikibooks "Rozdílová schémata pro hyperbolické rovnice"
• Demjanov A. Yu., Čižikov D. V. Implicitní hybridní monotónní diferenční schéma druhého řádu přesnosti
• V. S. Ryaben’kii, A. F. Filippov. O stabilitě diferenčních rovnic. - M.: Gostekhizdat, 1956.
• S. K. Godunov, V. S. Ryabenky.Úvod do teorie diferenčních schémat. - M.: Fizmatgiz, 1962.
• K. I. Babenko. Základy numerické analýzy. - M.: Nauka, 1986.
• Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metody výpočtu, - Libovolné vydání.
• Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerické metody, - Libovolné vydání.
• G. I. Marchuk. Metody výpočetní matematiky. - M.: Nauka, 1977.

Poznámky

Nadace Wikimedia. 2010 .

Podívejte se, co je "Schéma rozdílů" v jiných slovnících:

Systém diferenčních rovnic aproximujících diferenciální rovnici a doplňkové (počáteční, okrajové atd.) podmínky. Aproximace původní diferenciální úlohy R. s. toto je jeden způsob přibližné diskretizace původního problému... Matematická encyklopedie

schéma konečných prvků- metoda konečných prvků - [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Témata Energie obecně Synonyma metoda konečných prvků EN rozvrh konečných objemových rozdílů …

Diferenční schéma je konečný systém algebraických rovnic, spojený s jakýmkoli diferenciálním problémem obsahujícím diferenciální rovnici a další podmínky (například okrajové podmínky a / nebo počáteční ... ... Wikipedia

schéma výpočtu konečných rozdílů na základě kontrolních objemů- (např. přenos tepla a hmoty, tepelná vodivost) [A.S.Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Energetická témata obecně EN plán řízení objemu založený na konečných rozdílech … Technická příručka překladatele

Schéma: grafický dokument; prezentace, obrázek, prezentace něčeho v nejobecnějších pojmech, zjednodušeně (například schéma zprávy); elektronické zařízení obsahující mnoho součástek (integrovaný obvod). Grafický dokument ... ... Wikipedie

Diferenční schéma založené na variační úloze odpovídající okrajové úloze pro diferenciální rovnici. Hlavní myšlenkou vybudování R. v. S. je to se speciálním výběrem souřadnicových funkcí v Ritzově metodě ... ... Matematická encyklopedie

Numerické metody řešení metod řešení gierbolpchových rovnic. typu založeného na výpočetních algoritmech. Různé matematické modely v mnoha případech vedou k hyperbolickým diferenciálním rovnicím. typ. Takové rovnice mají přesnou aialitu. ... ... Matematická encyklopedie

Obor výpočetní matematiky, který studuje metody pro přibližné řešení diferenciálních rovnic jejich nahrazením rovnicemi konečných rozdílů (diferenčními schématy). R. s. t. studuje metody konstrukce diferenčních schémat, ... ... Matematická encyklopedie

Numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic jsou přibližné metody řešení, jejichž výsledkem je řešení úlohy reprezentováno tabulkou čísel. Přesně řešení (ve formě explicitních vzorců, řad atd.) lze postavit pouze ve vzácných ... ... Matematická encyklopedie

Metody řešení problémů dynamiky plynů založené na výpočtových algoritmech. Podívejme se na hlavní aspekty teorie numerických metod pro řešení problémů dynamiky plynů, psaní rovnic dynamiky plynů ve formě zákonů zachování v inerciální ... ... Matematická encyklopedie eBook

Pomocí šablony pro každý vnitřní uzel oblasti řešení se aproximuje rovnice tepla

Odtud najdeme:

Pomocí počátečních a okrajových podmínek jsou hodnoty funkce mřížky nalezeny ve všech uzlech na nulové časové úrovni.

Poté pomocí poměrů

hodnoty těchto funkcí se nacházejí ve všech vnitřních uzlech na první časové úrovni, poté najdeme hodnotu na hraničních uzlech

Výsledkem je, že najdeme hodnotu funkcí ve všech uzlech na první časové úrovni. Poté pomocí těchto vztahů najdeme všechny ostatní hodnoty atd.

V uvažovaném rozdílovém schématu jsou hodnoty požadované funkce na další časové úrovni nalezeny přímo, explicitně pomocí vzorce

Proto se nazývá uvažované rozdílové schéma využívající tuto šablonu explicitní rozdílové schéma . Jeho přesnost je v pořádku.

Toto rozdílové schéma se snadno používá, ale má významnou nevýhodu. Ukazuje se, že explicitní rozdíl schéma má stabilní řešení pouze v případě, pokud je podmínka splněna :

Explicitní rozdílové schéma je podmíněně stabilní . Pokud podmínka není splněna, pak malé chyby ve výpočtu, spojené například se zaokrouhlováním počítačových dat, vedou k prudké změně řešení. Řešení se stává nepoužitelným. Tato podmínka klade velmi přísná omezení na časový krok, což může být nepřijatelné z důvodu výrazného prodloužení doby výpočtu pro řešení tohoto problému.

Zvažte rozdílné schéma pomocí jiného vzoru

Metoda 36

Implicitní diferenční schéma pro rovnici tepla.

Dosaďte do rovnice tepla:

Tento poměr je zapsán pro každý vnitřní uzel na časové úrovni a je doplněn dvěma poměry, které určují hodnoty na hraničních uzlech. Výsledkem je systém rovnic pro určení neznámých hodnot funkce na časové úrovni.

Schéma řešení problému je následující:

Pomocí počátečních a okrajových podmínek je hodnota funkce nalezena na nulové časové úrovni. Poté se pomocí těchto vztahů a okrajových podmínek zkonstruuje systém lineárních algebraických rovnic pro nalezení hodnoty funkce na první časové úrovni, načež se systém znovu sestaví pomocí těchto vztahů a hodnoty se najdou na druhá úroveň atd.

Rozdíl od Explicitního schématu- hodnoty na další časové úrovni se nepočítají přímo pomocí hotového vzorce, ale zjišťují se řešením soustavy rovnic, tzn. hodnoty neznámých jsou nalezeny implicitně řešením SLAE. Proto se rozdílové schéma nazývá implicitní. Na rozdíl od explicitního je implicitní absolutně stabilní.

Téma #9

Problémy s optimalizací.

Tyto problémy patří mezi nejdůležitější problémy v aplikované matematice. Optimalizace znamená výběr nejlepší možnosti ze všech možných řešení daného problému. K tomu je nutné formulovat řešený problém jako matematický, dávat kvantitativní význam pojmům lepší nebo horší. Obvykle je v procesu řešení nutné najít optimalizované hodnoty parametrů. Tyto možnosti se nazývají design. A určuje počet konstrukčních parametrů rozměr úkolu.

Řešení je kvantifikováno pomocí nějaké funkce, která závisí na parametrech návrhu. Tato funkce se nazývá cílová . Je postavena tak, aby nejoptimálnější hodnota odpovídala maximu (minimu).

- Objektivní funkce.

Nejjednodušší případy jsou, kdy účelová funkce závisí na jednom parametru a je dána explicitním vzorcem. Může existovat několik cílových funkcí.

Například při návrhu letadla je nutné současně zajistit maximální spolehlivost, minimální hmotnost a náklady atd. V takových případech zadejte prioritní systém . Každé cílové funkci je přiřazen určitý cílový multiplikátor, v důsledku čehož je získána zobecněná cílová funkce (kompromisní funkce).

Obvykle je optimální řešení limitováno řadou podmínek spojených s fyzikální funkcí problému. Tyto podmínky mohou mít podobu rovnosti nebo nerovnosti

Teorie a metody řešení optimalizačních úloh za přítomnosti omezení jsou předmětem výzkumu v jedné ze sekcí aplikované matematiky - matematické programování.

Pokud je účelová funkce lineární s ohledem na parametry návrhu a omezení kladená na parametry jsou také lineární, pak problém lineárního programování . Zvažte metody řešení jednorozměrného optimalizačního problému.

Je nutné najít hodnoty, pro které má účelová funkce maximální hodnotu. Pokud je účelová funkce dána analyticky a lze najít výraz pro její derivace, pak optimálního řešení dosáhneme buď na koncích úsečky, nebo v bodech, ve kterých derivace mizí. Toto jsou kritické body a . Je nutné najít hodnoty účelové funkce ve všech kritických bodech a vybrat maximum.

V obecném případě se k nalezení řešení používají různé vyhledávací metody. V důsledku toho se segment obsahující optimální řešení zužuje.

Podívejme se na některé způsoby vyhledávání. Předpokládejme, že účelová funkce má na intervalu jedno maximum. V tomto případě rozdělení podle uzlových bodů , jejichž počet je , se účelová funkce vypočítá v těchto uzlových bodech. Předpokládejme, že maximální hodnota účelové funkce bude v uzlu, pak můžeme předpokládat, že optimální řešení je na intervalu. Výsledkem je zúžení segmentu obsahujícího optimální řešení. Výsledný nový segment je opět rozdělen na části atd. S každým oddílem se segment obsahující optimální řešení o faktor zmenší.

Předpokládejme, že se vytvoří zužující stupně. Pak se původní segment o faktor zmenší.

To znamená, dělat za běhu (*)

V tomto případě se vypočítá účelová funkce.

Je potřeba najít takovou hodnotu, aby výraz (*) byl získán s nejmenším

počet výpočtů.

Metoda 37

metoda polovičního dělení.

Zvažte metodu vyhledávání pro . Říká se tomu metoda polovičního dělení, protože v každém kroku se segment obsahující optimální řešení rozpůlí.

Efektivitu vyhledávání lze zvýšit speciální volbou bodů, ve kterých je účelová funkce počítána v určitém zužujícím kroku.

Metoda 38

Metoda zlatého řezu.

Jednou z účinných metod je metoda zlatého řezu. Zlatý řez segmentu je bod, pro který je podmínka splněna

Existují dva takové body: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Úsek je rozdělen body a poté je bod, kde je účelová funkce maximální. V důsledku toho je nalezen upravený segment o délce 0,618 ( - ).

Jedna hodnota zlatého řezu pro zúžený segment je již známa, proto je v každém dalším kroku vyžadován výpočet účelové funkce pouze v jednom bodě (druhý bod zlatého řezu).

Metoda 39

Metoda souřadnicového výstupu (sestupu).

Přejděme k úvaze o optimalizačním problému v případě, kdy účelová funkce závisí na více hodnotách parametrů. Nejjednodušší metodou vyhledávání je metoda souřadnicového výstupu (sestupu).

Sekce 10. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic

Diferenční schémata pro rovnice eliptického typu
Různé problémy okrajových hodnot a aproximace okrajových podmínek
Konstrukce diferenčního schématu v případě Dirichletovy úlohy pro Poissonovu rovnici
Metoda maticového zametání
Iterační metoda pro řešení diferenčního schématu pro Dirichletův problém
Rovnice parabolického typu. Explicitní a implicitní metody konečných diferencí
Metody rozmítání pro rovnici parabolického typu
Předmětový rejstřík

Diferenční schémata. Základní pojmy

Nechť D je nějaká oblast změny nezávislých proměnných x, y, ohraničená obrysem. Říká se, že v oblasti D je dána lineární diferenciální rovnice druhého řádu pro funkci U(x, y), pokud pro libovolný bod z oblasti D platí vztah

			∂2 U				∂2 U		∂2 U
			∂x2						∂x2
						G(x, y)U = f(x, y),

kde a(x, y), b(x, y), . . . - koeficienty, f(x, y) - volný člen rovnice. Tyto funkce jsou známé a obvykle se považují za definované v uzavřené oblasti D = D + .

Graf řešení je plocha v prostoru Oxyz.

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

Označme δ(x, y) = b2 − ac. Rovnice L(U) = f se nazývá eliptická, parabolická, popř

hyperbolický v D, pokud jsou podmínky δ(x, y)< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 pro

všechny (x, y) D.

V závislosti na typu diferenciální rovnice jsou hraniční počáteční hodnoty nastaveny odlišně.

(10.1):

Poissonova rovnice (rovnice eliptického typu)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

Tepelná rovnice (rovnice parabolického typu)

∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2

Vlnová rovnice (rovnice hyperbolického typu)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Konvergence, aproximace a stabilita diferenčních schémat

Nechť U je řešení diferenciální rovnice

dáno v D. Uvažujme nějakou množinu Dh = (Mh ) sestávající z izolovaných bodů Mh patřících do uzavřené oblasti D = D + . Počet bodů v Дh bude charakterizován hodnotou h; čím menší h, tím větší bude počet bodů v Dh. Množina Dh se nazývá mřížka a body Mh Dh se nazývají uzly mřížky. Funkce definovaná v uzlech se nazývá mřížková funkce. Označme U prostor funkcí V (x, y) spojitých v D. Uh označíme prostor tvořený množinou mřížkových funkcí Vh (x, y) definovaných na Дh . V mřížkové metodě je prostor U nahrazen prostorem Uh .

Nechť U(x, y) je přesné řešení rovnice ((10.2 )) a U(x, y) patří do U. Stanovme problém hledání hodnot Uh (x, y). Tyto hodnoty dohromady tvoří tabulku, ve které je počet hodnot

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

se rovná počtu bodů v Dh. Jen zřídka je možné vyřešit přesný problém. Zpravidla lze vypočítat nějaké hodnoty mřížky U(h) , vzhledem k nimž se to dá předpokládat

U(h) ≈ Uh(x, y).

Veličiny U(h) se nazývají přibližné mřížkové hodnoty řešení U(x, y). Pro jejich výpočet je sestaven soustava číselných rovnic, které zapíšeme do formuláře

Lh (U(h) ) = fh ,

existuje rozdílný operátor,

odpovídající operátorovi

je definováno F stejným způsobem jako U

vznikla podle U. Vzorec (10.3) budeme nazývat rozdíl

systém. Nechť jsou v lineárních prostorech Uh a Fh zavedeny normy k · kU ha k · kF h , což jsou mřížkové analogy norem k · kU a k · kF v původních prostorech. Řekneme, že diferenční schéma (10.3) je konvergentní, pokud je podmínka h → 0

kUh (x, y) − Uh kU h → 0.

Pokud je podmínka splněna

kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,

kde c je konstanta nezávislá na h as > 0, pak říkáme, že existuje konvergence rychlostí řádu s vzhledem k h.

Diferenční schéma (10.3 ) prý aproximuje problém (10.2 ) na řešení U(x, y), pokud

Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) a	δf(h) F h → 0 jako h → 0.

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

Hodnota δf(h) se nazývá aproximační chyba nebo nevazké diferenční schéma. Li

δf (h) F h 6 Mh σ , kde M je konstanta nezávislá na h a σ > 0, pak říkáme, že je dáno diferenční schéma ( 10.3 ) na řešení U(x, y) s chybou řádu σ vzhledem k h.

Diferenční schéma (3) se nazývá stabilní, pokud existuje h0 > 0 takové, že pro všechna h< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия

	Rozdílové schéma (10.3) má jedinečné řešení;
	U (h) Uh			f(h) F h , kde M je konstanta nezávislá na h a f(h) .

Jinými slovy, diferenční schéma je stabilní, pokud jeho řešení nepřetržitě závisí na vstupních datech. Stabilita charakterizuje citlivost schématu na různé druhy chyb, je vnitřní vlastností diferenčního problému a tato vlastnost přímo nesouvisí s původním diferenciálním problémem, na rozdíl od konvergence a aproximace. Mezi pojmy konvergence, aproximace a stability existuje souvislost. Spočívá v tom, že konvergence vyplývá z aproximace a stability.

Věta 1 Nechte rozdílové schéma L h (U h (x, y)) = f (h) přibližuje problém L(U) = f na řešení U(x, y) s řády s vzhledem k h a stabilní. Pak bude toto schéma konvergovat a pořadí jeho konvergence se bude shodovat s řádem aproximace, tzn. hodnocení bude spravedlivé

Uh (x, y) − Uh U h 6 khs,

kde k je konstanta nezávislá na h.

Důkaz . Podle definice aproximace máme

(h) F h 6 M(Chs ) = Khs,

kde K=MC. Je tedy stanoven odhad (10.4) a věta je dokázána. Obvyklé použití metody mřížky je následující:

1. Nejprve je specifikováno pravidlo výběru mřížky, tzn. je naznačen způsob nahrazení oblasti D a obrysu G nějakou mřížkovou oblastí. Nejčastěji se pletivo volí obdélníkové a jednotné.

2. Poté je specifikováno a specificky konstruováno jedno nebo více diferenčních schémat. Zkontroluje se podmínka aproximace a stanoví se její pořadí.

3. Je prokázána stabilita vytvořených diferenčních schémat. To je jedna z nejdůležitějších a nejtěžších otázek. Pokud má diferenční schéma aproximaci a stabilitu, pak je konvergence posuzována podle dokázané věty.

4. Je zvažována otázka numerického řešení diferenčních schémat.

V v případě lineárních diferenčních schémat se bude jednat o soustavu lineárních algebraických rovnic. Pořadí takových systémů může být velké.

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

Druhá část knihy je věnována konstrukci a studiu diferenčních schémat pro obyčejné diferenciální rovnice. Zároveň zavádíme základní pojmy konvergence, aproximace a stability v teorii diferenčních schémat, které mají obecný charakter. Znalost těchto pojmů, získaná v souvislosti s obyčejnými diferenciálními rovnicemi, umožní v budoucnu při studiu diferenčních schémat pro parciální diferenciální rovnice zaměřit se na četné rysy a obtíže charakteristické pro tuto velmi různorodou třídu problémů.

KAPITOLA 4. ZÁKLADNÍ PŘÍKLADY ROZDÍLOVÝCH SCHÉMŮ

V této kapitole budeme uvažovat o úvodních příkladech diferenčních schémat, určených pouze pro předběžné seznámení se základními pojmy teorie.

§ 8. Pojem řádu přesnosti a přiblížení

1. Pořadí přesnosti rozdílového schématu.

Tato část je věnována otázce konvergence řešení diferenčních rovnic, když je mřížka zpřesněna na řešení diferenciálních rovnic, která aproximují. Zde se omezíme na studium dvou diferenčních schémat pro numerické řešení problému

Začněme nejjednodušším diferenčním schématem založeným na použití diferenční rovnice

Rozdělme segment na kroky délky h. Je vhodné zvolit, kde N je celé číslo. Dělicí body jsou číslovány zleva doprava, takže . Hodnota a získaná diferenčním schématem v bodě bude označena Nastavme počáteční hodnotu. Nechte Z diferenční rovnice (2) vyplývá vztah

odkud najdeme řešení rovnice (2) za počáteční podmínky:

Přesné řešení úlohy (1) má tvar . Má hodnotu v bodě

Nyní najdeme odhad chyby v přibližném řešení (3). Tato bodová chyba bude

Zajímá nás, jak se snižuje s nárůstem počtu dělicích bodů, nebo, co je stejné, s poklesem kroku rozdílové mřížky. Abychom to zjistili, dáme to do formuláře

Rovnost (3) tedy nabývá tvaru

tj. chyba (5) má tendenci k nule a chybová hodnota je řádově první mocninou kroku.

Na tomto základě říkáme, že diferenční schéma má první řád přesnosti (nezaměňovat s řádem diferenční rovnice definované v § 1).

Nyní řešíme problém (1) pomocí diferenční rovnice

Není to tak jednoduché, jak by se na první pohled mohlo zdát. Faktem je, že uvažované schéma je diferenční rovnice druhého řádu, to znamená, že vyžaduje zadání dvou počátečních podmínek, zatímco integrovatelná rovnice (1) je rovnice prvního řádu a pro ni specifikujeme pouze . Je přirozené zařadit i schéma rozdílu.

Není jasné, jak se jich zeptat. Abychom to pochopili, použijeme explicitní formu řešení rovnice (7) (viz vzorce § 3):

Rozšíření (9) podle Taylorova vzorce kořenů charakteristické rovnice nám umožňují poskytnout přibližná zobrazení pro Proveďme podrobně odvození takového zobrazení -

Od té doby

Zcela podobný výpočet neprovedeme pro , ale výsledek ihned zapište:

Dosazením přibližných výrazů pro do vzorce (8) získáme

Všechny další závěry získáme studiem tohoto vzorce.

Všimněte si, že pokud koeficient směřuje ke konečné limitě b, pak první člen na pravé straně rovnosti (12) směřuje k požadovanému řešení úlohy (1).

konfigurace uzlů, hodnoty funkce mřížky, ve kterých určují tvar diferenčních rovnic ve vnitřních (nikoli hraničních) bodech mřížky. Na obrázcích s obrázky šablon jsou body zapojené do výpočtu derivací zpravidla spojeny čarami.

Courant-Isakson-Ries schéma(KIR), který je někdy spojován také se jménem S.K. Godunov, ukazuje se v , . Jeho řád aproximace. Schéma KIR je podmíněně stabilní, tzn. pod podmínkou Courant . Uveďme diferenční rovnice pro Courant-Isakson-Riesovo schéma ve vnitřních bodech výpočetní oblasti:

Tato schémata, která mají také název upwind Rozdíl schéma (v anglické literatuře - upwind) lze psát jako

Jejich výhoda spočívá v přesnějším zohlednění domény závislosti řešení. Zavedeme-li notaci

pak lze obě schémata zapsat v následujících tvarech:

(průtokový tvar diferenční rovnice);

(zde se výslovně rozlišuje termín s druhým rozdílem, což dává schématu stabilitu);

(rovnice v konečných přírůstcích).

Zvažte také metoda neurčitých koeficientů k sestavení diferenčního schématu, pravého rohu prvního řádu přesnosti pro transportní rovnici

Schéma může být reprezentováno jako

Schéma Courant-Isakson-Ries úzce souvisí s numerickými metodami charakteristik. Uvádíme stručný popis myšlenky takových metod.

Poslední dvě získaná schémata (pro různé znaky přenosové rychlosti) lze interpretovat následovně. Sestavme charakteristiku procházející uzlem (t n + 1 , x m ), jejíž hodnotu je třeba určit, a protínající vrstvu t n v bodě . Pro jistotu předpokládáme, že přenosová rychlost c je kladná.

Po provedení lineární interpolace mezi uzly x m - 1 a x m na spodní časové vrstvě získáme

Dále přeneseme hodnotu u n (x") podél charakteristiky beze změny do horní vrstvy t n + 1, tj. nastavíme . Je přirozené považovat poslední hodnotu za přibližné řešení homogenní rovnice převod. V tomto případě

nebo přechodem z čísla Courant znovu na parametry mřížky,

těch. Jiným způsobem jsme se dostali ke známému schématu „levý roh“, který je stabilní na . Když se průsečík charakteristiky vycházející z uzlu (t n + 1, x m, s n -tou vrstvou v čase nachází vlevo od uzlu (t n, x m - 1). Tedy najít řešení , nepoužívá se interpolace, ale extrapolace, která se ukazuje jako nestabilní .

Zřejmá je také nestabilita schématu "pravého rohu" pro c > 0. K prokázání toho lze použít buď spektrální kritérium nebo podmínku Courant, Friedrichs a Levi. Podobné úvahy lze provést pro případ c< 0 и схемы "правый уголок".

nestabilní čtyřbodové schéma získané když , jeho řád aproximace je . Mřížkové rovnice pro diferenční schéma budou mít následující tvar:

Lax-Wendroffovo schéma nastane, když . Pořadí aproximace Lax-Wendroffova schématu je . Schéma je stabilní za podmínek Courant .

Toto schéma lze získat buď metodou neurčitých koeficientů, nebo přesnějším zohledněním vedoucího členu aproximační chyby. Podívejme se podrobněji na proces odvození Lax-Wendroffova schématu. Provedením studia předchozího čtyřbodového schématu pro aproximaci (a toto studium je zcela elementární a redukuje se na rozklad promítací funkce na mřížku přesného řešení diferenciálního problému v Taylorově řadě) získáme pro hlavní termín chyby

Při odvození výrazu pro hlavní člen aproximační chyby byl použit důsledek původní diferenciální transportní rovnice

Což získáme derivací původní rovnice (3.3) nejprve vzhledem k času t, poté vzhledem k souřadnici x a odečtením jednoho z výsledných poměrů od druhého.

Dále výměna druhá derivace ve druhém členu na pravé straně až do O(h 2) získáme nové diferenční schéma aproximující původní diferenciální rovnice s přesností . Mřížkové rovnice pro Lax-Wendroffovo schéma ve vnitřních uzlech výpočtových sítí jsou

Implicitní šestibodové schéma vyskytuje se při q = 0; s jeho řádem přiblížení , na .